角平分线的性质(1)教学设计

第一章三角形的证明

４．角平分线（一）

一、学生知识状况分析

本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。

二、教学任务分析

学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为：

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．

2.应用角平分线的性质定理及其逆定理解题

3.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．

三、教学过程分析

本节课设计了三个教学环节：第一环节：定理证明

第二环节：定理应用

第三环节：课堂总结

1：定理证明

（1）证明角平分线性质定理，请同学们自己尝试着证明上述结论，然后听老师评讲．

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：P D=PE．

证明：∵∠1=∠2，OP=OP，

∠PDO=∠PEO=90°，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．

2

1

E

D

C

P

O

B

A

（2）你能写出这个定理的逆命题吗?

我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．

引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：

在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

它是真命题吗? 你能证明它吗?

没有加“在角的内部”时，是假命题．

（3）证明角平分线性质定理的逆定理，请同学们尝试着证明，听老师评讲。

已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，

求证：点P在么AOB的角平分线上．

证明：PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠ PEO=90°．

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．

∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．

2.定理应用

综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程

的基础上，教师要给出书写示范

经典例题：在△ABC 中，∠BAC = 60°，点 D

在BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别

为E，F，且DE = DF，求DE 的长.

（应用角平分线性质定理的逆定理，回顾含有30°锐

角的直角三角形的性质）

变式训练：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分

线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。

求证：EB＝FC

（应用角平分线的性质定理，回顾直角三角形的判定定理）

拓展提升：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连BE。

证明：BE平分∠ABC

（角平分线和垂直平分线的综合应用，再次回顾含

有30°锐角的直角三角形的性质，一题多解，发散

思维）

3：课堂小结

这节课证明了角平分线的性质定理及其逆定理，这两个定理经常和直角三角形、三角形全等、线段垂直平分线等定理结合起来出题，答题时我们要做好图的标识，多去联系思考，问题自然迎刃而解！

4：课后作业，祥见配套的课后练习。