2018年上海市普陀区高考数学一模试卷及答案

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若集合A ={3, 4, 5}，则∁U A =________． 【答案】 {1, 2} 【考点】 补集及其运算 【解析】利用补集定义直接求解． 【解答】∵ 全集U ={1, 2, 3, 4, 5}， 集合A ={3, 4, 5}， ∴ ∁U A ={1, 2}．2. 若sinθ=14，则cos(3π2+θ)=________． 【答案】14【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解． 【解答】 sinθ=14，∴ cos(3π2+θ)=sinθ=14．3. 方程log 2(2−x)+log 2(3−x)=log 212的解x =________． 【答案】 −1【考点】对数的运算性质 【解析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【解答】∵ 方程log 2(2−x)+log 2(3−x)=log 212， ∴ {2−x >03−x >0(2−x)(3−x)=12 ，即{x <2x 2−5x −6=0 ，解得x =−1．4. (√x −1x )9的二项展开式中的常数项的值为________．【考点】二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求． 【解答】二项展开式的通项T r+1=C 9r ∗(√x)9−r∗(−1x )r=(−1)r∗C 9r ∗x9−3r 2，由9−3r 2=0，得r =3．∴ (√x −1x )9的二项展开式中的常数项为T 4=(−1)3∗C 93=−84．5. 不等式1|x−1|≥1的解集为________． 【答案】[0, 1)∪(1, 2] 【考点】其他不等式的解法 【解析】去绝对值求出不等式的解集即可． 【解答】 由题意得：{x −1≠0|x −1|≤1 ，解得：0≤x <1或1<x ≤2，6. 函数f(x)=√3sinx +2cos 2x2的值域为________．【答案】 [−1, 3] 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式化简函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解． 【解答】∵ f(x)=√3sinx +2cos 2x2=√3sinx +cosx +1=2sin(x +π6)+1， ∵ sin(x +π6)∈[−1, 1]，∴ f(x)=2sin(x +π6)+1∈[−1, 3]．7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若|z 1+i12i |=0，则z 在复平面内所对应的点所在的象限为第________象限．【考点】二阶矩阵【解析】根据二阶行列的展开式，求得z×2i−(1+i)=0，设z=a+bi，代入即可求得a和b 的值，求得z，即可判断z在复平面内所对应的点所在的象限．【解答】|z1+i12i|=0，设z=a+bi，则z×2i−(1+i)=0，即(a+bi)×2i−1−i=0，则2ai−2b−1−i=0，∴−2b−1+(2a−1)i=0，则{2a−1=0−2b−1=0，则{a=12b=−12，∴z=12−12i，则z=12+12i，∴则z在复平面内所对应的点位于第一象限，8. 若数列{a n}的前n项和S n=−3n2+2n+1(n∈N∗)，则limn→∞a n3n=________．【答案】−2【考点】数列的极限【解析】由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n−S n−1，可得通项a n，再由数列的极限的求法，即可得到所求极限．【解答】数列{a n}的前n项和S n=−3n2+2n+1(n∈N∗)，可得n=1时，a1=S1=−3+2+1=0；当n≥2时，a n=S n−S n−1=−3n2+2n+1+3(n−1)2−2n+2−1=−6n+5，则limn→∞a n3n=limn→∞5−6n3n=limn→∞(−2+53n)=−2+0=−2．9. 若直线l:x+y=5与曲线C:x2+y2=16交于两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，则x1y2+x2y1的值为________．【答案】16【考点】直线与圆的位置关系【解析】直接利用圆与直线的位置关系，建立一元二次方程根与系数的关系，进一步求出结果．【解答】直线l:x+y=5与曲线C:x2+y2=16交于两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，则：{x +y =5x 2+y 2=16，所以：2x 2−10x +9=0， 则：x 1+x 2=5，x 1x 2=92，则：x 1y 2+x 2y 1=x 1(5−x 2)+x 2(5−x 1)， =5(x 1+x 2)−2x 1x 2， =25−9， =16．10. 设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为________． 【答案】 15【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，用间接法分析：先a 1、a 2、a 3、a 4计算所有的排列数，再用分步计数原理计算不存在i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立的情况数，两者相减即可得答案． 【解答】根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列， 则所有的排列有A 44=24个，假设不存在i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立，则a 1可以在第2、3、4位置，有3种情况， 假设a 1在第二个位置，则a 1可以在第1、3、4位置，也有3种情况， 此时a 3、a 4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立排列数有24−9=15个；11. 已知正三角形ABC 的边长为√3，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若|MA →|=1，则|MA →+MB →+MC →|的取值范围为________． 【答案】 [0, 6] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设M(cosθ, sinθ)，根据向量的坐标运算和向量的模可得|MA →+MB →+MC →|2=18−18sin(θ+π3)，再根据三角函数的性质即可求出范围 【解答】以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0, 0)，B(√3, 0)，C(√32, 32)，∵ |MA →|=1，不妨设M(cosθ, sinθ)，∴MA→+MB→+MC→=(−cosθ, −sinθ)+(√3−cosθ, −sinθ)+(√32−cosθ, 32−sinθ)=(3√32−3cosθ, 32−3sinθ)，∴|MA→+MB→+MC→|2=(3√32−3cosθ)2+(32−3sinθ)2=9(2−√3cosθ−sinθ)=18−18sin(θ+π3)，∵−1≤sin(θ+π3)≤1，∴0≤18−18sin(θ+π3)≤36，∴|MA→+MB→+MC→|的取值范围为[0, 6]，12. 双曲线x23−y2=1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象，关于此函数f(x)有如下四个命题：①f(x)是奇函数；②f(x)的图象过点(√32,32)或(√32,−32)；③f(x)的值域是(−∞,−32brack∪[32,+∞)；④函数y=f(x)−x有两个零点；则其中所有真命题的序号为________．【答案】①②【考点】双曲线的特性【解析】求出双曲线的对称中心和顶点坐标和渐近线方程，画出f(x)的图象（位于一三象限），对选项一一判断，由对称性可得f(x)的图象在二四象限的情况，即可得到答案．【解答】双曲线x23−y2=1关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f(x)的图象关于原点对称，即有f(x)为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为(±√3, 0)，渐近线方程为y=±√33x，可得f(x)的图象的渐近线为x=0和y=±√33x，图象关于直线y=√3x对称，可得f(x)的图象过点(√32,32)，或(√32,−32)，由对称性可得f(x)的图象按逆时针60∘旋转位于一三象限；按顺时针旋转60∘位于二四象限；故②对；f(x)的图象按逆时针旋转60∘位于一三象限， 由图象可得顶点为点(√32,32)，或(√32,−32)，不是极值点，则f(x)的值域不是(−∞,−32brack ∪[32,+∞)； f(x)的图象按顺时针旋转60∘位于二四象限，由对称性可得f(x)的值域也不是(−∞,−32brack ∪[32,+∞)．故③不对；当f(x)的图象位于一三象限时，f(x)的图象与直线y =x 有两个交点， 函数y =f(x)−x 有两个零点；当f(x)的图象位于二四象限时，f(x)的图象与直线y =x 没有交点， 函数y =f(x)−x 没有零点． 故④错．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）若数列{a n }(n ∈N ∗)是等比数列，则矩阵(a 1a 2a 4a 5a 6a 8)所表示方程组的解的个数是（ ）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【答案】 C【考点】等比数列的性质 等比数列的通项公式线性方程组解的存在性，唯一性 【解析】根据题意，分析矩阵所表示的方程组为{a 1x +a 2y =a4a 5x +a 6y =a 8，进而由等比数列的性质可得a 1a 5=a 2a 6=a 4a 8=1q 4，进而分析可得方程组的解的个数，即可得答案．【解答】根据题意，矩阵(a 1a 2a 4a5a 6a 8)所表示方程组为{a 1x +a 2y =a 4a 5x +a 6y =a 8 ，又由数列{a n }(n ∈N ∗)是等比数列，则有a1a 5=a2a 6=a4a 8=1q 4，则方程组{a 1x +a 2y =a4a 5x +a 6y =a 8的解有无数个；“m >0”是“函数f(x)=|x(mx +2)|在区间(0, +∞)上为增函数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】m >0，函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|，由f(0)=0，得到f(x)在区间(0, +∞)上为增函数”；由函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|在区间(0, +∞)上为增函数，得到m ∈R ，由此能求出结果． 【解答】 ∵ m >0，∴ 函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|，∵ f(0)=0，∴ f(x)在区间(0, +∞)上为增函数”；∵ 函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|在区间(0, +∞)上为增函数， f(0)=0， ∴ m ∈R ，∴ “m >0”是“函数f(x)=|x(mx +2)|在区间(0, +∞)上为增函数”的充分非必要条件．用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ） A.258cm 2 B.414cm 2 C.416cm 2 D.418cm 2 【答案】 C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S =2(ab +bc +ac)，由不等式的基本性质可知，当a ，b ，c 最接近时能够得到的长方体的表面积最大，由此可得用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，则最大表面积可求． 【解答】设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S =2(ab +bc +ac)≤(a +b)2+(b +c)2+(a +c)2， 当且仅当a =b =c 时上式“=”成立． 由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9， 用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2(8×8+8×9+8×9)=416(cm 2)．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={2x +20≤x <14−2−x −1≤x <0 ，且f(x −1)=f(x +1)，则函数g(x)=f(x)−3x−5x−2在区间[−1, 5]上的所有零点之和为（ ）A.4B.5C.7D.8 【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】把方程f(x)=g(x)在区间[−1, 5]上的根转化为函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案． 【解答】∵ 函数f(x)={2x +20≤x <14−2−x −1≤x <0 ，且f(x −1)=f(x +1)，函数的周期为2，函数g(x)=f(x)−3x−5x−2，的零点，就是y =f(x)与y =3x−5x−2图象的交点的横坐标，∴ y =f(x)关于点(0, 3)中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y =f(x)在[−1, 5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于(2, 3)中心对称． 又∵ y =3x−5x−2=3+1x−2关于(2, 3)中心对称，故方程f(x)=g(x)在区间[−1, 5]上的根就是函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于(2, 3)中心对称， ∴ x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）如图所示的圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，点C 是弧AB^的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．【答案】∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，∴ 13π×12×PO =√33π，解得PO =√3，∴ PA =√(√3)2+12=2，∴ 该圆锥的侧面积S =πrl =π×1×2=2π． ∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，点C 是弧AB^的中点，点D 是母线PA 的中点． ∴ PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴ 以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则A(0, −1, 0)，P(0, 0, √3)，D(0, −12, √32)，B(0, 1, 0)，C(1, 0, 0)，PB →=(0, 1, −√3)，CD →=(−1, −12, √32)， 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=2√2=√22， ∴ θ=π4．∴ 异面直线PB 与CD 所成角为π4．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 异面直线及其所成的角 【解析】（1）由圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，求出PO =√3，从而PA =2，由此能求出该圆锥的侧面积．（2）以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角． 【解答】∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，∴ 13π×12×PO =√33π，解得PO =√3，∴ PA =√(√3)2+12=2，∴ 该圆锥的侧面积S =πrl =π×1×2=2π． ∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，点C 是弧AB^的中点，点D 是母线PA 的中点． ∴ PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴ 以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则A(0, −1, 0)，P(0, 0, √3)，D(0, −12, √32)，B(0, 1, 0)，C(1, 0, 0)，PB →=(0, 1, −√3)，CD →=(−1, −12, √32)， 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=2√2=√22， ∴ θ=π4．∴ 异面直线PB 与CD 所成角为π4．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p(x)=1600x 2+x +150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),(1≤m ≤30),480,(m >30)（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【答案】解：(1)由总成本p(x)=1600x 2+x +150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)x =1600x2+x+150x=1600x+150x+1≥2√1600x⋅150x+1=2．当且仅当1600x=150x，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),(1≤m≤30), 480,(m>30),当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60−m)=−160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m>30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200=120人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120−30120=75%．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由总成本p(x)=1600x2+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)x，然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m)(1≤m≤30)480(m>30)，分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数，再由最大值除以1200，可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数，则答案可求．【解答】解：(1)由总成本p(x)=1600x2+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)x =1600x2+x+150x=1600x+150x+1≥2√1600x⋅150x+1=2．当且仅当1600x=150x，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),(1≤m≤30), 480,(m>30),当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60−m)=−160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m>30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200=120人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120−30120=75%．设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)，已知角φ的终边经过点(1,−√3)，点M(x1, y1)、N(x2, y2)是函数f(x)图象上的任意两点，当|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值是π2．（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）已知△ABC面积为5√3，角C所对的边c=2√5，cosC=f(π4)，求△ABC的周长．【答案】已知角φ的终边经过点(1,−√3)，且|ϕ|<π2，则：φ=−π3，点M(x1, y1)、N(x2, y2)是函数f(x)图象上的任意两点，当|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值是π2．则：T=π，所以：ω=2ππ=2，所以：f(x)=sin(2x−π3)；由于：cosC=f(π4)=sin(π2−π3)=12，且0<C<π，解得：C=π3，△ABC面积为5√3，所以：12absinC=5√3，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2−2abcosC，c=2√5，所以：20=(a+b)2−3ab，解得：a+b=4√5，所以：C△ABC=a+b+c=6√5．【考点】正弦函数的图象【解析】（1）直接利用已知条件和函数的图象求出函数的解析式，（2）利用函数的解析式求出C的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【解答】已知角φ的终边经过点(1,−√3)，且|ϕ|<π2， 则：φ=−π3，点M(x 1, y 1)、N(x 2, y 2)是函数f(x)图象上的任意两点， 当|f(x 1)−f(x 2)|=2时，|x 1−x 2|的最小值是π2． 则：T =π， 所以：ω=2ππ=2，所以：f(x)=sin(2x −π3)；由于：cosC =f(π4)=sin(π2−π3)=12， 且0<C <π， 解得：C =π3， △ABC 面积为5√3， 所以：12absinC =5√3，解得：ab =20．由于：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，c =2√5， 所以：20=(a +b)2−3ab ， 解得：a +b =4√5，所以：C △ABC =a +b +c =6√5．设点F 1、F 2分别是椭圆C:x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量F 1M →与向量F 2N →平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当F 1N →∗F 2N →=0时，求△F 1MN 的面积；（3）当|F 2N →|−|F 1M →|=√6时，求直线F 2N 的方程． 【答案】点F 1、F 2分别是椭圆C:x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，∴ a =√2t ，c =t ，∵ 椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2， ∴ a −c =√2t −t =2√2−2，解得t =2， ∴ 椭圆的方程为x 28+y 24=1，由（1）可得F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N(2√2cosθ, 2sinθ)，∴ F 1N →=(2√2cosθ+2, 2sinθ)，F 2N →=(2√2cosθ−2, 2sinθ)， ∵ F 1N →∗F 2N →=0，∴ (2√2cosθ+2)(2√2cosθ−2)+4sin 2θ=0， 解得cosθ=0，sinθ=1， ∴ N(0, 2)， ∴ F 2N →=(−2, 2)， ∴ kF 2N =22=−1，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ 直线F 1M 的斜率为−1， ∴ 直线方程为y =−x −2，联立方程组{y =−x −2x 28+y 24=1，解得x =0，y =−2（舍去），或x =−83，y =23，∴ M(−83, 23)，∴ |F 1M|=√(−83+2)2+(23)2=2√23，点N 到直线直线y =−x −2的距离为d =√2=2√2， ∴ △F 1MN 的面积=12|F 1M|⋅d =12×2√23×2√2=43，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ λF 1M →=F 2N →， ∴ |F 2N →|−|F 1M →|=√6， ∴ (λ−1)|F 1M →|=√6，即λ>1， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，∴ λ(x 1+2)=x 2−2，y 2=λy 1， ∴ x 2=λx 1+2(λ+1) ∵x 28+y 24=1，∴ x 22+2y 22=8，∴ [λx 1+2(λ+1)]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ(λ+1)x 1=8，∴ 4λ(λ+1)x 1=(1−3λ)(λ+1)， ∴ x 1=1−3λλ=1λ−3，∴ y 12=4−(1−3λ)22λ，∴ |F 1M →|2=(x 1+2)2+y 12=(1λ−3+2)2+4−(1−3λ)22λ=(λ+1)22λ2，∴ |F 1M →|=√2λ， ∴ (λ−1)2λ=√6，∴ λ2−2√3λ−1=0解得λ=2+√3，或λ=2−√3（舍去） ∴ x 1=1λ−3=2+√33=−1−√3，∴ y 12=4−(−1−√3)22=2−√3=4−2√32=(√3−1)22， ∴ y 1=√3−1√2，∴ kF 1M=√3−1√2−0−1−√3+2=−√22， ∴ 直线F 2N 的方程为y −0=−√22(x −2)，即为x +√2y −2=0 【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）根据椭圆的简单性质可得a −c =√2t −t =2√2−2，解得即可，（2）可设N(2√2cosθ, 2sinθ)，根据向量的数量积求出点N 的坐标，再根据直线平行，求出M 的坐标，利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三角形的面积公式计算即可， （3）向量F 1M →与向量F 2N →平行，不妨设λF 1M →=F 2N →，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，根据坐标之间的关系，求得M 的坐标，再根据向量的模，即可求出λ的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程． 【解答】点F 1、F 2分别是椭圆C:x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，∴ a =√2t ，c =t ，∵ 椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2， ∴ a −c =√2t −t =2√2−2， 解得t =2， ∴ 椭圆的方程为x 28+y 24=1，由（1）可得F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N(2√2cosθ, 2sinθ)，∴ F 1N →=(2√2cosθ+2, 2sinθ)，F 2N →=(2√2cosθ−2, 2sinθ)， ∵ F 1N →∗F 2N →=0，∴ (2√2cosθ+2)(2√2cosθ−2)+4sin 2θ=0， 解得cosθ=0，sinθ=1， ∴ N(0, 2)， ∴ F 2N →=(−2, 2)， ∴ kF 2N =22=−1，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ 直线F 1M 的斜率为−1， ∴ 直线方程为y =−x −2，联立方程组{y =−x −2x 28+y 24=1 ，解得x =0，y =−2（舍去），或x =−83，y =23，∴ M(−83, 23)，∴ |F 1M|=√(−83+2)2+(23)2=2√23， 点N 到直线直线y =−x −2的距离为d =√2=2√2， ∴ △F 1MN 的面积=12|F 1M|⋅d =12×2√23×2√2=43，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ λF 1M →=F 2N →， ∴ |F 2N →|−|F 1M →|=√6， ∴ (λ−1)|F 1M →|=√6，即λ>1， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，∴ λ(x 1+2)=x 2−2，y 2=λy 1， ∴ x 2=λx 1+2(λ+1) ∵x 28+y 24=1，∴ x 22+2y 22=8，∴ [λx 1+2(λ+1)]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ(λ+1)x 1=8，∴ 4λ(λ+1)x 1=(1−3λ)(λ+1)，∴ x 1=1−3λλ=1λ−3，∴ y 12=4−(1−3λ)22λ，∴ |F 1M →|2=(x 1+2)2+y 12=(1λ−3+2)2+4−(1−3λ)22λ=(λ+1)22λ2，∴ |F 1M →|=√2λ， ∴ (λ−1)√2λ=√6，∴ λ2−2√3λ−1=0解得λ=2+√3，或λ=2−√3（舍去） ∴ x 1=1λ−3=2+√33=−1−√3，∴ y 12=4−(−1−√3)22=2−√3=4−2√32=(√3−1)22， ∴ y 1=√3−1√2，∴ kF 1M=√3−1√2−0−1−√3+2=−√22，∴ 直线F 2N 的方程为y −0=−√22(x −2)，即为x +√2y −2=0设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足T n +12n =(−1)n b n (n ∈N ∗)，且d =a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x|a k−2<x <a k+3}(k ∈N ∗, k ≥3)，则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n −2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k(k ∈N ∗, k ≥3)，实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，H 2n−1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值． 【答案】T n +12n =(−1)n b n (n ∈N ∗)， 可得n =1时，T 1+12=−b 1=−T 1， 解得b 1=−14，T 2+14=b 2=−14+b 2+14=b 2，T 3+18=−b 3=−14+b 2+b 3+18，即b 2+2b 3=18， T 4+116=b 4=−14+b 2+b 3+b 4+116，即b 2+b 3=316， 解得b 2=14，b 3=−116， 同理可得b 4=116，b 5=−164， b 6=164，b 7=−1256，…，b 2n−1=−14n ，d =a 5=b 2，可得d =a 1+4d =14， 解得a 1=−34，d =14，a n =n−44，P 6={x|a 4<x <a 9}(k ∈N ∗, k ≥3)={x|0<x <54}，则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n −2λa n }是单调递增数列， 可得S n+1−2λa n+1≥S n −2λa n ， 即为(n+1)2−7(n+1)−4λ(n+1)+16λ8≥n 2−7n−4λn+16λ8，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤−1，又P k ={x|a k−2<x <a k+3}(k ∈N ∗, k ≥3)， 且a 1=−34，d >0，可得P k 中的元素大于−1，则对任意的k(k ∈N ∗, k ≥3)，实数λ都不具有性质P k ；设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，H 2n−1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=−14，H 3=T 1+T 2+T 3=−516，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=−2164， H 7=−2164+0−1256=−85256，…，H 2n−1=H 2n−3+b 2n−1，(n ≥2)，当k =3时，P 3={x|a 1<x <a 6}={x|−34<x <12}， 当k =4时，P 4={x|a 2<x <a 7}={x|−12<x <34}， 当k =5时，P 5={x|a 3<x <a 8}={x|−14<x <1}， 当k =6时，P 3={x|a 4<x <a 9}={x|0<x <54}，显然k =5，6不成立，故所有满足条件的k 的值为3，4． 【考点】 数列的求和 【解析】（1）求得n =1，2，3，4，5，6，7时，数列{b n }的前7项，可得d 和首项a 1，得到等差数列{a n }的通项，即可判断b 1、b 2是否具有性质P 6；（2）由题意可得S n+1−2λa n+1≥S n −2λa n ，代入等差数列{a n }的通项公式和求和公式，化简整理可得λ≤−1，结合集合中元素的特点，即可得证；（3）求得n =1，2，3，4，H 2n−1的特点，结合k =3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值． 【解答】T n +12n =(−1)n b n (n ∈N ∗)，可得n =1时，T 1+12=−b 1=−T 1， 解得b 1=−14，T 2+14=b 2=−14+b 2+14=b 2，T 3+18=−b 3=−14+b 2+b 3+18，即b 2+2b 3=18，T 4+116=b 4=−14+b 2+b 3+b 4+116，即b 2+b 3=316， 解得b 2=14，b 3=−116， 同理可得b 4=116，b 5=−164， b 6=164，b 7=−1256， …，b 2n−1=−14n ，d =a 5=b 2，可得d =a 1+4d =14， 解得a 1=−34，d =14，a n =n−44，P 6={x|a 4<x <a 9}(k ∈N ∗, k ≥3)={x|0<x <54}，则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n −2λa n }是单调递增数列， 可得S n+1−2λa n+1≥S n −2λa n ， 即为(n+1)2−7(n+1)−4λ(n+1)+16λ8≥n 2−7n−4λn+16λ8，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤−1，又P k ={x|a k−2<x <a k+3}(k ∈N ∗, k ≥3)， 且a 1=−34，d >0，可得P k 中的元素大于−1，则对任意的k(k ∈N ∗, k ≥3)，实数λ都不具有性质P k ；设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，H 2n−1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=−14，H 3=T 1+T 2+T 3=−516，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=−2164，H 7=−2164+0−1256=−85256，…，H 2n−1=H 2n−3+b 2n−1，(n ≥2)， 当k =3时，P 3={x|a 1<x <a 6}={x|−34<x <12}， 当k =4时，P 4={x|a 2<x <a 7}={x|−12<x <34}， 当k =5时，P 5={x|a 3<x <a 8}={x|−14<x <1}，}，当k=6时，P3={x|a4<x<a9}={x|0<x<54显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．。

2018年普陀区高考数学一模试卷含答案2017.１２一. 填空题(本大题共12题,1-６每题４分,７-12每题5分，共54分） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =,则U C A = 2. 若1sin 4θ=,则3cos()2πθ+= 3. 方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x =4. 91)x的二项展开式中的常数项的值为5. 不等式11|1|x ≥-的解集为6. 函数2()2cos 2xf x x =+的值域为7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数,若1012z ii+=，则z 在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限8． 若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++(*n N ∈)，则lim3nn a n→∞=9. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ,则1221x y x y +的值为１0． 设1a 、2a 、3a 、4a 是1,2,3，４的一个排列,若至少有一个i (1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为11. 已知正三角形ABC 点M 是ABC ∆所在平面内的任一动点,若||1MA =, 则||MA MB MC ++的取值范围为1２. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函 数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3()22或3)22-； ③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④ 函数()y f x x =-有两个零点； 则其中所有真命题的序号为二． 选择题（本大题共4题,每题５分,共20分) 13. 若数列{}n a （*n N ∈)是等比数列,则矩阵124568a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所表示方程组的解的个数 是( ）A ． 0个 B. 1个 Ｃ． 无数个 D. 不确定 １４． “0m >”是“函数()|(2)|f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ） Ａ． 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C ． 充要条件 Ｄ． 既非充分也非必要条件1５. 用长度分别为2、３、5、6、9(单位:cm )的五根木棒连接（只允许连接,不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A. 2582cm Ｂ. 4142cm C. ４162cm D ． 41８2cm1６. 定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+,则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为( ）A. ４ Ｂ. 5 Ｃ. 7 D. 8三. 解答题(本大题共5题,共14+14＋14+1６+1８＝76分) １7.,底面直径2AB =,点C 是弧AB 的中点，点D 是母 线PA 的中点. (１)求该圆锥的侧面积;(2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小.18. 某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降 低物流成本,已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元. (１）若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台？（2)现按（1）中的数量购买机器人,需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件 送达指定落袋格口完成分拣(如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩(单位：件）,已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为120０ 件，问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 百分之几?１9. 设函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>,||2πϕ<)，已知角ϕ的终边经过点(1,3)-,点11(,)M x y 、22(,)N x y 是函数()f x 图像上的任意两点，当12|()()|2f x f x -=时,12||x x -的最小值是2π. （1）求函数()y f x =的解析式;（２)已知ABC ∆面积为53，角C 所对的边25c =,cos ()4C f π=,求ABC ∆的周长.20. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2-,点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,且向量1F M 与向量2F N 平行. (1)求椭圆C 的方程;（２）当120F N F N ⋅=时，求1F MN ∆的面积； (3）当21||||6F N F M -=时，求直线2F N 的方程.21. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2nn n n T b +=- （*n N ∈),且52d a b ==,若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<(*k N ∈，3k ≥)，则称m 具有性质k P .（1）请判断1b 、2b 是否具有性质6P ，并说明理由；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若{2}n n S a λ-是单调递增数列,求证：对任意的k (*k N ∈，3k ≥),实数λ都不具有性质k P ;(3)设n H 是数列{}n T 的前n 项和，若对任意的*n N ∈,21n H -都具有性质k P ,求所有满足条件的k 的值.参考答案一． 填空题１． {1,2} 2.143. 1-4. 84-5. [0,1)(1,2]6. [1,3]- ７. 一 8. 2- 9. １6 10． １511. [0,6] 12. ①②二． 选择题13． C 14. A １５. C 16. B三. 解答题 17.(1)2π;(２)4π. 18.(1）３00;(２）75%.1９.（1)()sin(2)3f x x π=-;（２）ABC C ∆=２0.（１)22184x y +=；(２)43;（3）2x =+. 21.（1）2b 具有性质6P ，1b 不具有性质6P ；（２）证明略；(3)3和4.。

2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。

2（2018崇明一模）. 抛物线24y x =的焦点坐标是3（2018静安一模）. 与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是5（2018闵行一模）. 已知直线l 的一个法向量是1)n =-r ，则l 的倾斜角的大小是5（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过椭圆2214y x +=右顶点的双曲线的标准方程是5（2018金山一模）. 已知1F 、2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一个动点，则12||||PF PF ⨯的最大值是6（2018黄浦一模）. 过点(2,1)P -作圆225x y +=的切线，则该切线的点法向式方程是 6（2018徐汇一模）. 已知圆22:1O x y +=与圆O '关于直线5x y +=对称，则圆O '的方程是 7（2018静安一模）. 已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是8（2018金山一模）. 已知点(2,3)A ，点(B -，直线l 过点(1,0)P -，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是8（2018松江一模）. 若直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且AB =a =8（2018虹口一模）. 在平面直角坐标系中，双曲线2221x y a-=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为9（2018宝山一模）. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线22125144x y -=的右焦点是C 的焦点F ，若斜率为1-，且过F 的直线与C 交于A 、B 两点，则||AB =9（2018普陀一模）. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为9（2018奉贤一模）. 已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足PA PB =，则P 到原点的距离为10（2018奉贤一模）. 设焦点为1F 、2F 的椭圆22213x y a +=(0)a >上的一点P 也在抛物线294y x =上，抛物线焦点为3F ，若32516PF =，则△12PF F 的面积为10（2018虹口一模）. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=10（2018杨浦一模）. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为11（2018闵行一模）. 已知1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，过1F 且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P ，若212PF F F ⊥，则该双曲线的渐近线方程是12（2018杨浦一模）. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=u u u u r u u u u r，则实数λ的取值范围为12（2018普陀一模）. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函数()f x 有如下四个命题： ① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3)2或3)2-； ③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞U ；④ 函数()y f x x =-有两个零点； 则其中所有真命题的序号为12（2018浦东一模）. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-u u u r u u u u r u u u r，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为16（2018松江一模）. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A. (,1][0,1)-∞-UB. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞U 16（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为(3,1)-，M 、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个16（2018崇明一模）. 直线2x =与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,a b R ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 221a b +≥ B. ||1ab ≥ C. ||1a b +≥ D. ||2a b -≥16（2018静安一模）. 若曲线||2y x =+与22:144x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（ ）A. (,1](1,)-∞-+∞UB. (,1]-∞-C. (1,)+∞D. [1,0)(1,)-+∞U18（2018青浦一模）. 已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，过点1(0,)2D 作直线l 与抛物线C 交于不同两点M 、N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.19（2018黄浦一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.（1）求实数a 、b 的值；（2）过点F 作直线l 交椭圆E 于M 、N 两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.20（2018松江一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）经过点3(1,)2，其左焦点为(3,0)F -，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且与l 垂直的直线交椭圆于C 、D 两点，若四边形ACBD 的面积为43，求直线l 的方程； （3）设1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求证：12λλ+为定值.20（2018虹口一模）. 已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于p （0p >），动圆M 过点F 且与直线l 相切，记圆心M 的轨迹为曲线C ，在曲线C 上任取一点A ，过A 作l 的垂线，垂足为E .（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）记点A 到直线l 的距离为d ，且3443p pd ≤≤，求EAF ∠的取值范围； （3）判断EAF ∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.20（2018杨浦一模）. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点. （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=u u u r u u u r，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.20（2018金山一模）. 给出定理：在圆锥曲线中，AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），则ADB ∆的面积316ADB a S p∆=，试运用上述定理求解以下各题：（1）若2p =，AB 所在直线的方程为24y x =-，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的 直线与抛物线Γ的交点为D ，求ADB S ∆；（2）已知AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线2:2y px Γ=（0p >）分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），求AMD S ∆和BND S ∆； （3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：22y px =（0p >）与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积.20（2018普陀一模）. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量1F M u u u u r与向量2F N u u u u r 平行. （1）求椭圆C 的方程；（2）当120F N F N ⋅=u u u u r u u u u r时，求1F MN ∆的面积；（3）当21||||F N F M -=u u u u r u u u u r时，求直线2F N 的方程.20（2018徐汇一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，且1F 、2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点22P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：直线MB 过定点2(,0)3R ；（3）求2MNF ∆面积的最大值.20（2018浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y a b Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为4+（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP ∆面积S 的 不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.20（2018闵行一模）. 已知椭圆221109x y +=的右焦点是抛物线2:2y px Γ=的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y .（1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点(2,0)P ，求OAB ∆的面积的最小值（O 为坐标原点）；（3）已知点(1,2)C ，直线l 经过点(5,2)Q -，D 为线段AB 的中点，求证：||2||AB CD =.20（2018崇明一模）. 在平面直角坐标系中，已知椭圆222:1x C y a+=（0a >，1a ≠）的两个焦点分别是1F 、2F ，直线:l y kx m =+（,k m R ∈）与椭圆交于A 、B 两点. （1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值；（2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值.20（2018奉贤一模）. 设22{(,)|||1}M x y x y =-=，22{(,)|1}N x y x y =-=，设任意一点00(,)P x y M ∈，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l .（1）判断M 和N 的关系并说明理由；（2）设01x ≠±，1(1,0)A -，2(1,0)A ，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ，求12k k 的取值范围；（3）过P 点作1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于Q 、R ，求证：PQR ∆的面积为定值.20（2018静安一模）. 如图，已知满足条件|3||3|z i i -=-（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数z x yi =+（x R ∈，y R ∈）对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直； （2）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.。

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2018届上海市普陀区高考文科数学二模拟试卷题目一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合A={x| }，B={y|y=x2}，则A∩B=( )A.[﹣2，2]B.[0，2]C.[2，+∞)D.{(﹣2，4)，(2，4)}2、已知条件p：关于的不等式有解;条件q：指数函数为减函数，则p成立是q成立的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、在△ 中，为边的中点，若，，则 ( )A. B. C. D.4、已知等差数列的公差为 ,若成等比数列, 则 ( )A. B. C. D.5、若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为( )A. B. C. D.26、指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为( )A.单调递增B.单调递减C.在上递增，在上递减 D .在上递减，在上递增7、已知中，，，D为边BC的中点，则 ( )A.3B.4C.5D.68、数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于( )A.17B.16C.15D.149、在△ABC中，若 (tanB+tanC)=tanBtanC﹣1，则cos2A=( )A.﹣B.C.﹣D.10、函数的单调增区间与值域相同，则实数的取值为( )A. B. C. D.11、已知函数，其中 .若对于任意的，都有，则的取值范围是( )A. B. C. D.12、，则O是三角形的( )A.垂心B.外心C.重心D.内心二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。

上海市2018学年度高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为2.复数z 满足iiz 1=i +1，则i z 31-+= 3.底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2 4.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产5.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______6.已知圆O ：522=+y x ，直线l ：)20(1sin cos πθθθ<<=+y x ，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = 7.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为8.已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为9.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________10.已知F 是抛物线42y x =的焦点，B A ,是抛物线上两点，线段AB 的中点为)2,2(M ，则ABF ∆的面积为 11.如图,已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树 米时，第11题图看A 、B 的视角最大12.将函数()2sin()3f x x πω=-（0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为13.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C 在函数)0(1)(>+=x xx x f 的图象上.若点n B 的坐标),2)(0,(+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，数列{}n a 的前m ()+∈N m 项和为m S ，则2limnmn a S +∞→= 14.已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+。

上海市普陀区2018届高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1~6每题4分，7~12每题5分，满分54分）1.设全集U{1,2,3,4,5}，若会合A{3,4,5}，则C U A；2. 若1 3sin ，则cos( ) ；4 23.方程log2(2x)log2(3x)log212的解x；4. ( 19x ) 的二项睁开式中的常数项的值为；x15.不等式1的解集为；|x1|6. 函数2 xf ( x) 3 sin x 2 cos 的值域为；2z 1 i7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若01 2i ，则z 在复平面内所对应的点所在的象限为第象限；2 n n N 8. 若数列{ a n } 的前n项和3 2 1( )S n n ，则a n lim ；n 3n229.若直线l:xy5与曲线C :xy16交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1y2x2y1的值为；10.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个摆列，若起码有一个i(i1,2,3,4)使得a i i建立，则知足此条件的不一样摆列的个数为；11.已知正三角形ABC的边长为3，点M是ABC所在平面内的任一动点，若|MA|1，则|MAMBMC|的取值范围为；2x2 12. 双曲线y 13 绕坐标原点 O 旋转适合角度能够成为函数f ( x) 的图像，对于函数f)有以下四个命题：(x①f(x)是奇函数；②f ( x) 的图像经过点32,32或32,32；33③f(x)的值域是,,；22④函数yf(x)x有两个零点；则此中全部真命题的序号为；二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. 若数列{a n} ( n N ) 是等比数列，则矩阵a1a5aa26a4a8所表示方程组的解的个数是（）A.0个B.1个C.无数个D.不确立14.“m0”是“函数f(x)|x(mx2)|在区间(0,)上为增函数”的（）A.充足非必需条件B.必需非充足条件C.充要条件D.既非充足也非必需条件15.用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连结（只同意连结，不一样意折断），构成共极点的长方体的三条棱，则能够获得的长方体的最大表面积为（）A. 2258 cm B.2414 cm C.2416 cm D.418cm216. 定义在R上的函数f (x ) 知足f( x)x2 2, 0 x 1x4 2 , 1 x 0，且f (x 1) f ( x1) ,则函数3x5g(x)f(x)在区间[1,5]上全部零点之和为（）x2A.4B.5C.7D.8三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.（此题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图 1 所示的圆锥的体积为33，底面直径AB 2 ，点C 是弧AB的中点，点D 是母线PA的中点。

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A=．2．（4分）若，则=．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2 16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4B．5C．7D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k ∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A={1，2} ．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，∴∁U A={1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（4分）若，则=．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：，∴=．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=﹣1．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：∵方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：二项展开式的通项=，由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．【点评】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（1，2] ．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】去绝对值求出不等式的解集即可．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x＜1或1＜x≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式化简函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：∵=sinx+cosx+1=2sin（x+）+1，∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=2sin（x+）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式以及正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5R：矩阵和变换．【分析】根据二阶行列的展开式，求得z×2i﹣（1+i）=0，设z=a+bi，代入即可求得a和b的值，求得，即可判断在复平面内所对应的点所在的象限．【解答】解：，设z=a+bi，则z×2i﹣（1+i）=0，即（a+bi）×2i﹣1﹣i=0，则2ai﹣2b﹣1﹣i=0，∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i，则=+i，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．【点评】本题考查二阶行列式的展开式的应用，考查复数的运算，考查转化思想，属于中档题．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=﹣2．【考点】8J：数列的极限．【专题】3A：极限思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得通项a n，再由数列的极限的求法，即可得到所求极限．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=﹣3+2+1=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣3n2+2n+1+3（n﹣1）2﹣2n+2﹣1=﹣6n+5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的极限的求法，注意运用数列的递推式，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为16．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】直接利用圆与直线的位置关系，建立一元二次方程根与系数的关系，进一步求出结果．【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则：，所以：2x2﹣10x+9=0，则：x1+x2=5，，则：x1y2+x2y1=x1（5﹣x2）+x2（5﹣x1），=5（x1+x2）﹣2x1x2，=25﹣9，=16．故答案为：16．【点评】本题考查的知识要点：直线与曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，用间接法分析：先a1、a2、a3、a4计算所有的排列数，再用分步计数原理计算不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立的情况数，两者相减即可得答案．【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44=24个，假设不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况，假设a1在第二个位置，则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a3、a4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意利用间接法分析，避免分类讨论．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为[0，6] ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设M（cosθ，sinθ），根据向量的坐标运算和向量的模可得|++|2=18﹣18sin（θ+），再根据三角函数的性质即可求出范围【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），∵，不妨设M（cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ），∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin（θ+），∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin（θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积，以及向量的模和三角函数的性质，属于中档题12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】求出双曲线的对称中心和顶点坐标和渐近线方程，画出f（x）的图象（位于一三象限），对选项一一判断，由对称性可得f（x）的图象在二四象限的情况，即可得到答案．【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，即有f（x）为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x，可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x，图象关于直线y=x对称，可得f（x）的图象过点，或，由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f（x）的值域不是；f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f（x）的值域也不是．故③不对；当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点，函数y=f（x）﹣x有两个零点；当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=f（x）﹣x没有零点．故④错．故答案为：①②．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查函数的奇偶性和对称性、值域的求法，考查运算能力，属于难题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式；OR：线性方程组解的存在性，唯一性．【专题】11：计算题；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，分析矩阵所表示的方程组为，进而由等比数列的性质可得===，进而分析可得方程组的解的个数，即可得答案．【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则有===，则方程组的解有无数个；故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及矩阵表示的方程组的方法，关键是掌握等比数列的定义．14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】m＞0，函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，由f（0）=0，得到f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；由函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+∞）上为增函数，得到m∈R，由此能求出结果．【解答】解：∵m＞0，∴函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+∞）上为增函数，f（0）=0，∴m∈R，∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查二次函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac），由不等式的基本性质可知，当a，b，c最接近时能够得到的长方体的表面积最大，由此可得用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，则最大表面积可求．【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac）≤（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，当且仅当a=b=c时上式“=”成立．由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．故选：C．【点评】本题考查长方体表面积的求法，考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，是中档题．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4B．5C．7D．8【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】11：计算题；31：数形结合；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】把方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根转化为函数y=f（x）和y=g （x）的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案．【解答】解：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．【点评】本题考查分段函数，函数平移，零点与方程根的关系，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由圆锥的体积为，底面直径AB=2，求出PO=，从而PA=2，由此能求出该圆锥的侧面积．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB与CD所成角．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2，∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．∴PO⊥平面ABC，OC⊥AB，∴以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），P（0，0，），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB与CD所成角为．【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本，然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数，再由最大值除以1200，可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数，则答案可求．【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）=﹣160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形．【分析】（1）直接利用已知条件和函数的图象求出函数的解析式，（2）利用函数的解析式求出C的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin（）=，且0＜C＜π，解得：C=，△ABC面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2﹣2abcosC，c=2，所以：20=（a+b）2﹣3ab，解得：a+b=4，所以：．【点评】本题考查的知识要点：利用三角函数的图象求函数的解析式，余弦定理和三角形面积公式的应用．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】16：压轴题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆的简单性质可得a﹣c=t﹣t=2﹣2，解得即可，（2）可设N（2cosθ，2sinθ），根据向量的数量积求出点N的坐标，再根据直线平行，求出M的坐标，利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三角形的面积公式计算即可，（3）向量与向量平行，不妨设λ=，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据坐标之间的关系，求得M的坐标，再根据向量的模，即可求出λ的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，∴a=t，c=t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，∴a﹣c=t﹣t=2﹣2，解得t=2，∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1，∴N（0，2），∴=（﹣2，2），∴k==﹣1，∵向量与向量平行，∴直线F1M的斜率为﹣1，∴直线方程为y=﹣x﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M（﹣，），∴|F1M|==，点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，∴△F1MN的面积=|F1M|•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）=x2﹣2，y2=λy1，∴x2=λx1+2（λ+1）∵+=1，∴x22+2y22=8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1=8，∴4λ（λ+1）x1=（1﹣3λ）（λ+1），∴x1==﹣3，∴y12=4﹣，∴||2=（x1+2）2+y12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y12=4﹣=2﹣==，∴y1=，∴k==﹣，∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为x+y﹣2=0【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算和及其斜率计算公式等知识与基本方法，属于难题．21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k ∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．【考点】8E：数列的求和．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）求得n=1，2，3，4，5，6，7时，数列{b n}的前7项，可得d和首项a1，得到等差数列{a n}的通项，即可判断b1、b2是否具有性质P6；﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，代入等差数列{a n}的通项公式和求和公（2）由题意可得S n+1式，化简整理可得λ≤﹣1，结合集合中元素的特点，即可得证；的特点，结合k=3，4，5，6，集合的特点，即（3）求得n=1，2，3，4，H2n﹣1可得到所求取值．【解答】解：（1）（n∈N*），可得n=1时，T1+=﹣b1=﹣T1，解得b1=﹣，T2+=b2=﹣+b2+=b2，T3+=﹣b3=﹣+b2+b3+，即b2+2b3=，T4+=b4=﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3=，解得b2=，b3=﹣，同理可得b4=，b5=﹣，b6=，b7=﹣，…，b2n﹣1=﹣，d=a5=b2，可得d=a1+4d=，解得a1=﹣，d=，a n=，P6={x|a4＜x＜a9}（k∈N*，k≥3）={x|0＜x＜}，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，可得S n+1即为≥，化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），且a1=﹣，d＞0，可得P k中的元素大于﹣1，则对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1=T1=b1=﹣，H3=T1+T2+T3=﹣，H5=T1+T2+T3+T4+T5=﹣，H7=﹣+0﹣=﹣，…，H2n﹣1=H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k=3时，P3={x|a1＜x＜a6}={x|﹣＜x＜}，当k=4时，P4={x|a2＜x＜a7}={x|﹣＜x＜}，当k=5时，P5={x|a3＜x＜a8}={x|﹣＜x＜1}，当k=6时，P3={x|a4＜x＜a9}={x|0＜x＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。