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平面与平面垂直的性质【课时目标】．理解平面与平面垂直的性质定理．．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内于的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝，⊂α，⊥⇒．．两个重要结论：()如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在．图形表示为：符号表示为：α⊥β，∈α，∈，⊥β⇒．()已知平面α⊥平面β，⊄α，⊥β，那么(与α的位置关系)．一、选择题．平面α⊥平面β，直线∥α，则()．⊥β．∥β．与β相交．以上都有可能．平面α∩平面β＝，平面γ⊥α，γ⊥β，则()．∥γ．⊂γ．与γ斜交．⊥γ．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有()．条．条．条．无数条．设α－－β是直二面角，直线⊂α，直线⊂β，，与都不垂直，那么()．与可能垂直，但不可能平行．与可能垂直，也可能平行．与不可能垂直，但可能平行．与不可能垂直，也不可能平行．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是()①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面．．．．．如图所示，平面α⊥平面β，∈α，∈β，与两平面α、β所成的角分别为和．过、分别作两平面交线的垂线，垂足分别为′、′，则∶′′等于()．∶．∶．∶．∶二、填空题．若α⊥β，α∩β＝，点∈α，∈，则下列命题中正确的为．(只填序号)①过垂直于的平面垂直于β；②过垂直于的直线垂直于β；③过垂直于α的直线平行于β；④过垂直于β的直线在α内．．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点，空间一点到α、β、γ的距离分别是、、，则点到的距离为．．在斜三棱柱－中，∠＝°，⊥，则点在底面上的射影必在．。
．(·济南高一检测)下列命题中错误的是( )．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝，那么⊥平面γ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故项叙述是错误的．答案：．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面( )．垂直．平行．相交．以上都有可能答案：．已知平面α，β，γ和直线，，则下列结论正确的是( )．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ．α∩β＝，β∩γ＝，α⊥β，则⊥．α⊥β，α∩β＝，⊥，则⊥α解析：错，α与γ可能平行，也可能相交；错，与可能平行；错，与α可能相交(不垂直)、平行或⊂α.答案：．地面上有两根旗杆，底端相距米，它们的高分别是米和米(>)，则它们顶端的距离为米．解析：如图，由于两旗杆都与地面垂直，故两旗杆与平行，且四边形是直角梯形，设＝，＝，过作⊥于，则＝，＝－，∴＝.答案：．如图，在三棱锥－中，侧面⊥底面，且∠＝°，＝，＝，则＝.解析：∵侧面⊥底面，交线为，∠＝°(即⊥)，∴⊥平面，∴⊥，∴＝＝＝.答案：．如图，在矩形中，＝，＝，为的中点．将△沿折起，使平面⊥平面，得到几何体－.求证：⊥平面.证明：在△中，＝＋＝＋＝，在△中，＝＋＝＋＝，＝＝，∴＋＝，∴⊥.又平面⊥平面，平面∩平面＝，⊂平面，∴⊥平面.。
2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β
C．a与β相交
D．以上都有可能
2．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线
b，那么( )
A．直线a垂直于第二个平面
B．直线b垂直于第二个平面
C．直线a不一定垂直于第二个平面
D．过a的平面必垂直于过b的平面
3．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是( )
①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任何一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
5．如图K2-3-6，ABCD -A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )
图K2-3-6
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1角为60°
6．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，并且PA＝6，AB＝3，AD＝4，则点P
到BD的距离是( )
A.6 295 B．6 29
C．3 5 D．2 13
7．已知△ABC所在平面外面一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC平面．
求证：AC⊥BA.
8．如图K2-3-7，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以
下命题中：
图K2-3-7
①点H是△A1BD的垂心；
②AH垂直平面CB1D1；
③AH的延长线经过点C1；
④直线AH和BB1所成角为45°；
其中正确的命题的序号是____________．
9．在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，A到平面B1C的距离为________，A到平面
BB1D1D的距离为________，AA1到平面BB1D1D的距离为________．
10．如图K2-3-8，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是
EA的中点，求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
图K2-3-8
2．3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1．D 2.C
3．B 解析：画正方体验证α内可以有直线不与β垂直，或平行或相交，③错误．
4．D 5.D 6.A
7．证明：如图D58，过点B作BD⊥VA于D.
∵平面VAB⊥平面VAC，
∴BD⊥平面VAC.∴BD⊥AC.
又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC.
又∵BD∩VB＝B，∴AC⊥平面VBA.
∴AC⊥BA.
图D58
8．①②③ 9.a 22a 22a
10．证明：(1)如图D59，取EC 中点F ，连接DF.
∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，
∴DB⊥平面ABC.
图D59
∴DB⊥AB，EC⊥BC.
∵BD∥CE，BD＝12CE＝FC，
∴四边形FCBD是矩形，DF⊥EC.
又BA＝BC＝DF，
∴Rt△DEF≌Rt△ABD，故DE＝DA.
(2)取AC 中点N，连接MN，NB，
∵M是EA的中点，∴MN綊12EC.由BD綊12EC，
且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形．
于是DM⊥MN.
∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA.
又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA.
而DM⊂平面BDM，
则平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵DM⊥平面ECA，DM⊂平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA.
