历年全国卷高考数学真题汇编(解析版)
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全国卷历年高考真题汇编 三角
1(2017全国I 卷9题)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,则下面结论正确的
是()
A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π
6
个单
位长度,得到曲线2C
B .把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度,得到曲线2C
C .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度,得到曲线2C
D .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度,得到曲线2C 【答案】D
【解析】1:cos C y x =,22π:sin 23⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭C y x
首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名,可将1:cos C y x =用诱导公式处理.
πππcos cos sin 222⎛⎫⎛
⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭y x x x .横坐标变换需将1=ω变成2=ω,
即112
πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−
−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛
⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭y x x .
注意ω的系数,在右平移需将2=ω提到括号外面,这时π4+
x 平移至π
3
+x , 根据“左加右减”原则,“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12,即再向左平移π
12
2 (2017全国I 卷17题)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC
△的面积为2
3sin a A
.
(1)求sin sin B C ;
(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC △的周长.
【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.
(1)∵ABC △面积2
3sin a S A
=.且1sin 2S bc A =
∴
21
sin 3sin 2
a bc A A =
∴22
3sin 2
a bc A =
∵由正弦定理得22
3sin sin sin sin 2A B C A =,
由sin 0A ≠得2
sin sin 3B C =.
(2)由(1)得2sin sin 3B C =,1
cos cos 6
B C =
∵πA B C ++=
∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A B C B C B B C =--=-+=-=
又∵()0πA ∈,
∴60A =︒,sin A =
1cos 2A =
由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①
由正弦定理得sin sin a b B A =
⋅,sin sin a c C A
=⋅ ∴2
2sin sin 8sin a bc B C A
=⋅= ②
由①②得
b c +=
∴3a b c ++=+ABC △周长为3
3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.(12分)
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=. (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
【命题意图】本题考查三角恒等变形,解三角形.
【试题分析】在第(Ⅰ)中,利用三角形内角和定理可知A C B π+=-,将
2
sin 8)sin(2
B C A =+转化为角B 的方程,思维方向有两个:①利用降幂公式化简2sin 2B ,
结合22sin cos 1B B +=求出cos B ;②利用二倍角公式,化简2
sin 8sin 2B B =,两边约去2sin B ,求得2tan B
,进而求得B cos .在第(Ⅱ)中,利用(Ⅰ)中结论,利用勾股定理和
面积公式求出a c ac +、,从而求出b . (Ⅰ) 【基本解法1】
由题设及2
sin
8sin ,2
B
B C B A ==++π,故
sin 4-cosB B =(1)
上式两边平方,整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15
cosB=cosB 17
1(舍去),= 【基本解法2】
由题设及2sin
8sin ,2
B B
C B A ==++π,所以2sin 82cos 2sin 22B B B =,又02
sin ≠B ,所以4
12tan =B ,17152
tan 12tan 1cos 2
2
=+-=
B B
B (Ⅱ)由158cosB sin B 1717==得,故14
a sin 217
ABC S c B ac ∆==
又17
=22
ABC S ac ∆=,则
由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=(+c )
所以b=2
【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意2
2
,,a c ac a c ++三者的关系,这样的题目小而活,备受老师和学生的欢迎.
4 (2017全国卷3理)17.(12分)
ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,
已知sin 0A A =
,a =,2b =.
(1)求c ;
(2)设D 为BC 边上一点,且AD AC ⊥,求ABD △的面积.
【解析】(1)
由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭,
即()π
π3A k k +=∈Z ,又()0,πA ∈,
∴ππ3A +=,得2π
3
A =
. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.
又∵1
2,cos 2
a b A ===-代入并整理
得()2
125c +=,故4c =.