B 1D 1A D
C 1
B C A 1
线线角与线面角
一、课前预习
1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点
且EF=3，AD 、BC 所成的角为 .
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C 和C1D 与底面所成的
角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为
( )
(A). 46 (B).36 (C).62 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3π
,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ．
4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所
成的角的度数为
(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο
5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上,
当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值
是 ．
二、典型例题
例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值.
【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平
A C
B D B P
C
D A C B
面图形.作法有:
①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】
例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角.
备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在
此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作
平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直
的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.
例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F 为棱BB1上一点,BF ∶FB1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 为BC 的中点,E 为线段AD
上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC1; (2)试问:
若AB=a 2,在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面
BB1C1C 成60ο角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解
决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,
从而判断命题是否成立.
一、知识与方法要点：
1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜A D C 1D 1A 1B 1C B A 1C
B A B 1D
C 1E F
线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。
2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。
3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。
两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
二、例题
例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．
(1)求证：AC1⊥平面A1BD．
(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．
解：(1)连AC，∵C1C⊥平面ABCD，
∴C1C⊥BD．
又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B
∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．
(2)设正方体的棱长为a，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD ．∴ME ⊥平面A1BD ．
连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A1BD 成的角．在Rt MEB ∆
中，
122AC ME a ==
，6BE ==
，∴tan 2ME MBE BE ∠==．
例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转， 使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．
（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．
证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．
（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．
设1BC =
，则CE =，12DE =
，1
cos DE CED CE ∠===．
例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．(1)求证：1BE EB =；(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角(锐角)的度数．
证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，
