高中数学必修一易错题、好题、难题梳理

数学必修一易错题、好题、难题

前言：本人为衡水中学毕业生，高中三年记了很多错题本、积累本，高考之后不会再看了，但扔了可惜，所以现将当年积累的错题一点点整理出来，希望对各位学弟学妹有帮助。如有错误，望告知。

⒈ 已知a ∈Z ，A={(x ,y ) | ax -y ≤3}且(2,1)∈A ，(1,-4)∉A ，则满足条件的a 的值为0或1或2. 解：∵(2,1)∈A ，∴2a -1≤3，∴a ≤2；∵(1,-4)∉A ，∴a +4>3，a ＞-1。∵a ∈Z ，∴a 为0,1,2. ⒉ 已知集合A={x ∈R | ax 2-3x +2=0}.

⑴若A=∅，求实数a 的取值范围；

⑵若A 是单元素集，求a 得值及集合A ；

⑶求集合P={a ∈R | a 使得A≠∅ }.

解：⑴∵A=∅ ∴{a ≠0∆=9−8a <0

，解得a >98. ⑵ ①当a =0时，-3x +2=0，解得x =23，∴A={23}.

②{a ≠0∆=9−8a =0，解得a =89，∴A={43}. 综上所述，当a =0时，A={23}；当a =98时，A={43}.

⑶由⑴可知，a ≤98.

⒊ 已知集合A={x ∈R|mx 2−2x +3=0,m ∈R }，若A 重元素至多有一个，求m 的取值

范围.

解：①当m =0时，-2x +3=0，∴x =32

. ②{m ≠0∆=4−12m ≤0，解得m ≥13. 综上所述，m 的取值范围为m ≥13或m =0. ⒋ 用列举法表示集合B={a 9−x ∈N|x ∈N}.

解：B={1,3,9}.

⒌ 设B={1,2}，A={x|x ⊆B }，则A 与B 的关系是 B ∈A .

解析：∵x ⊆B ，∴x ={{1},{2},{1,2},∅}，∴B ∈A.

⒍ 已知集合A={x|x 2−2x −3=0}，B={x|ax −1=0}，若B ⊆A ，则实数a 的值构成的集

合是{-1,0,13}.

解析：此题容易落掉B=∅的情况，当B=∅时，a =0.

7 若{x|2x −a =0,a ∈N }⊆{x|−1

⒏ 设集合A={1,a,b }，B={a,a 2,ab }，且A=B ，实数a 的值为 -1 .

解析：①{a 2=1ab =b

，解得a =±1，∵a ≠1，∴a =-1，此时b =0. ②{a 2

=b ab =1

，此种情况不成立. ⒐ 已知集合A={x|0

解析：当B=∅时，m ≥4-m ，m ≥2；当B ≠∅时{m ≥04−m ≤3m <4−m ，解得{m ≥0

m ≥1m <2

，综上所述，m ≥1.

⒑ 设集合A={−1,1}，试用列举法写出下列集合.

⑴ B={(x,y )|x,y ∈A } ⑵ C={x|x ⊆A }

解：B={(−1,−1),(1,1),(−1,1),(1,−1)}. C={∅,{−1},{1},{(−1,1)}}.

⒒ 已知三元素集合A={x,xy,x −y }，B={0,|x |,y }，且A=B ，求x 与y 的值.

解：∵x ≠0，y ≠0，∴xy ≠0，∴x -y =0，∴{x =y

x −y =0xy =|x|

，解得x =y =±1. 当x =1时，A={1,1,0}（舍去）；当x =-1时，A={-1,1,0}，B={0,1,-1}.

综上所述，x 与y 的值均为-1.

⒓ A={x|x 2+4x =0}，B={x|x 2+2(a +1)x +a 2−1=0}.

⑴ 若A ⊆B ，求a 的值； ⑵ 若B ⊆A ，求a 的值.

解：A={0,-4}.

⑴ ∵A ⊆B ，∴B={0,-4}，∴{−4=−2(a +1)0=a 2−1

，解得a =1. ⑵ ∵B ⊆A ，∴①若B=∅，∆=8a +8<0，∴a <-1.

②若B 为单元素集，即B={0}或{-4}，∴∆=8a +8=0，a =-1，∴x 2=0，x =0，B={0}.

③若A=B ，则a =1.

综上所述，a ≤-1或a =1.

⒔ 已知集合A={x|−2≤x ≤5}，非空集合B={x|m +1≤x ≤2m −1}，且B ⊆A ，求m 的取值集合.

解：∵B ⊆A 且B 为非空集合，∴{m +1≥−2

2m −1≤5m +1≤2m −1

，解得2≤m ≤3，即m 的取值集合为

{m|2≤m ≤3}.

⒕ 已知集合A={x|ax 2−3x −4=0,x ∈R }.

⑴若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；

⑵若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.

解：⑴∵A 中有两个元素，∴{a ≠0∆=9+16a >0，∴a >-916且a ≠0. ⑵当a =0时，-3x -4=0，∴x =-43；当a ≠0时，∆=9+16a ≤0，∴a ≤-916.

综上所述，a 的取值范围为a ≤-916或a =0.

⒖ 设集合A={2, a }，B={a 2-2, 2}，若A=B ，则实数a 的取值范围为{-1}.

解析：∵A=B ，∴a 2-2=a ，∴a 1=-1，a 2=2. ∵a ≠2，∴a =-1.

⒗ 已知A ⊆B ，其中A={x|ax −1=0,a ∈R }，若A=B ，则实数a 的取值集合为{-1,0,1}. 解析：因为A ⊆B ，∴①当A=∅时，a =0；②当A ≠∅时，a =±1. ∴a 为{-1,0,1}.

⒘ 已知全集U=R ，A={x|−2≤x ≤3}，B={x|x −a >0}，A ⊆B ，求a 的取值范围. 解：a <-2.

⒙ 设全集I={(x,y )|x,y ∈R }，集合M={(x,y )|y−3x−2=1}，N={(x,y )|y ≠x +1}，那么(∁I M )∩(∁I N)等于{(2,3)}.

解析：M={(x,y )|y =x +1,x ≠2,y ≠3}，∴M ∪ N={(x,y )|x ≠2,y ≠3}，∴∁I (M ∪N )={(2,3)}.

⒚ 设数集M={x|m ≤x ≤m +34}，N={x|n −13≤x ≤n}，且M ，N 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集，如果把b -a 叫做集合{x|a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（112）. 解析：∵M ⊆{x|0≤x ≤1}，∴0≤m ≤34，∵N ⊆{x|0≤x ≤1}，∴23≤n ≤1，∴M ∩N={x|23≤x ≤34}，∴长度为112.

⒛ 若{x ∈R|x 2+2(a +1)x +a 2−1=0}⊆{x|x 2=0}，则实数a 的取值范围是a ≤−1. 解析：① ∆=4(a 2+2a +1)-4(a 2-1)<0，∴a <-1；

② ∆=4(a 2+2a +1)-4(a 2-1)=0，∴a =-1.

综上所述，a ≤-1.