苏教版高中数学(选修2-2)单元测试-第一章导数及其应用

1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率3．(1)常数 可导 常数 导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ， 故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数知识梳理(1)C′=_____________(C 为常数); (2)(x n )′=_____________;(3)(sinx)′=_____________;(4)(cosx)′=_____________;(5)(e x )′=_____________;(6)(a x )′=_____________;(7)(lnx)′=_____________;(8)(log a x)=_____________;(9)(x α)′=_____________.知识导学由导数定义给出了求导数的最基本方法,因为导数是由极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限运算.这显然比较麻烦,甚至困难,但是找到一些常用函数的导数将使求导工作大大简便,因此要熟记常见函数的导数.疑难突破通过几个实例归纳出y=x n 的导数的形式;熟记基本初等函数的求导公式.剖析:通过对函数y=kx+b,y=x 2,y=x 3,y=x1及y=x 几种函数导数的推导过程,总结出y=x n 的导数的形式，这是培养学生善于思考及善于归纳的好习惯.正确记忆基本初等函数的求导公式是本节课的重点和难点,只有熟练记忆才能用起来方便.常用函数的导数公式是求导的基础,高考中经常涉及,但单独考查利用导数公式求导数的题目并不多,常与其他知识联系起来考查.典题精讲【例1】 (1)求曲线y=sinx 在点P(23,3π)处切线的斜率k; (2)物体运动方程为s=3414-t ,求当t=5时瞬时物体运动的速度v. 思路分析：本题是一道导数应用题,必须从导数的公式入手.解:(1)(sinx)′=cosx,当x=3π时,k=213cos =π. (2)s′=(3414-t )′=t 3,当t=5时,v=125. 变式训练：已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x 2上的两点,求与直线PQ 平行的曲线y=x2的切线方程.思路分析：本题是已知斜率求点的坐标的问题.可先设出点的坐标，再代入方程求得切线方程.解:y′=(x 2)′=2x,设切点坐标为M(x 0,y 0)，则当x=x 0时，切线斜率k=2x 0,因为PQ 的斜率为1214+-=1.又切线平行于直线PQ,所以k=2x 0=1，即x 0=21. 所以切点M(41,21).所求切线方程为2141-=-x y ,即4x-4y-1=0. 【例2】 求曲线y=2x 2-1的斜率为4的切线方程.思路分析：导数反映了函数在某一点处的变化率,它的几何意义就是相应曲线在该点处的切线的斜率.由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标,先利用导数求出切点的横坐标,再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标,从而可求出切线方程.解:设切点为P(x 0,y 0)，则y′=(2x 2-1)′=4x.当x=x 0时,4=4x 0,∴x 0=1;当x 0=1时,y 0=1,∴切点P 的坐标为(1,1).故所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.绿色通道：联系实际，深刻理解导数的意义,在不同的区域代表的具体意义不一样,但本质上都是指事物在某过程中的变化率的极值.变式训练：求过曲线y=cosx 上点P(21,3π),且与过这点的切线垂直的直线方程. 思路分析：首先要求切线的斜率. 解:因为y=cosx,所以y′=(cosx)′=-sinx.曲线在点P(21,3π)处的切线斜率是233sin -=-π, 所以过点P 且与切线垂直的直线的斜率为33232=. 所以所求直线方程为)3(33221π-=-x y , 即233232+--πy x =0. 【例3】 已知直线x+2y-4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点.O 是坐标原点,试在抛物线的上求一点P,使△ABP 面积最大.思路分析：依题意|AB|为定值,只要P 点到AB 的距离最大,S △ABP 就最大,问题转化为在抛物线的上求一点P 到直线AB 的距离最大.由导数的几何意义,知P 为抛物线上与AB 平行的切线的切点,求出P 点坐标即可,也可用解析几何知识求解.解法一:如图1-2-1所示，|AB|是定值,△PAB 的面积最大.只需P 到AB 的距离最大,即只需点P 是抛物线上平行于AB 的切线的切点.设P(x,y)，由图知点P 在x 轴下方的图象上,所以x y 2-=.所以y′=x1-.图1-2-1 因为k AB =21-,所以211-=-x ,x=4. 又y 2=4x(y ＜0)时,y=-4，所以P(4,-4). 解法二:设P(020,4y y ).因为|AB|为定值,要使△PAB 的面积最大,只需P 到直线AB:x+2y-4=0的距离最大.设距离为d,则 d=|8)4(41|515|4241|20020-+=-+y y y , y 0∈(424,244---).当y 0=-4时,d 最大.此时△PAB 的面积最大,所以P(4,-4).绿色通道：解法一是利用导数的几何意义解题,注意数形结合思想的运用;解法二是用函数的方法求P 点的坐标,注意配方法的运用.变式训练：已知抛物线c 1：y=x 2+2x 和c 2：y=-x 2+a.如果直线l 同时是c 1和c 2的切线,称l是c 1和c 2的公切线.公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)a 取什么值时,c 1和c 2有且仅有一条公切线?写出此公切线方程.(2)若c 1和c 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线c 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2) (x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数为y′=-2x,曲线c 2在点Q(x 2,-x 22+a)处的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，所以⎩⎨⎧+=--=+.,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0. 若判别式Δ=4-4×2(1+a)=0,即a=21-,解得x 1=21-.此时点P 与Q 重合，即当a=21-时，c 1和c 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为41-=x y . (2)证明：由(1)知，当a ＜21-时，c 1和c 2有两条公切线.设一条公切线上的切点为P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2),其中P 在c 1上，Q 在c 2上，则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点坐标为(21,21a +--). 同理，另一条公切线段P′Q′的中点坐标也是(21,21a +--),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.问题探究问题：函数y=f(x)在x 0处的导数是如何定义的?若x 0∈(a,b),y=f(x)在x 0处可导,则y=f(x)在(a,b)内处处可导吗?导思：函数y=f(x)在x 0处可导即当x 0∈(a,b )时,y=f(x)在x 0处可导.与y=f(x)在(a,b)内处处可导是两码事.函数y=f(x)在(a,b)内处处可导,必须满足对任意的x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导.探究：自变量x 在x 0处有增量Δx,那么相应地函数y 也有增量Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).若Δx 趋近于0时,xy ∆∆存在,则这个值就是y=f(x)在x=x 0处的导数,x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导,只能说明在(a,b)内某一点x 0处可导,而不能说明在(a,b)内处处可导.。

第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数【知识点归纳】1.平均变化率：2.瞬时速度：3.导数及导函数的概念：4.导数的几何意义：拓展知识：5.平均变化率的几何意义：6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一 求平均变化率：例1.函数2()21y f x x ==-的图像上一点〔1,1〕及其邻近一点(1,1)x y +∆+∆，那么y x∆∆=_______.变式训练：1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +∆这段时间的平均速度v .2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π=附近的平均变化率，并比较他们的大小.题型二 实际问题中的瞬时速度例 2 质点M 按规律223s t =+做直线运动〔位移单位：cm ，时间单位：s 〕〔1〕当2,0.01t t =∆=时，求s t ∆∆；〔2〕当2,0.001t t =∆=时，求s t∆∆； 〔3〕求质点M 在t=2时的瞬时速度.题型三 求函数的导数及导函数的值例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数.题型四 曲线的切线问题例 4〔1〕曲线22y x =上一点A 〔1，2〕，求点A 处的切线方程.〔2〕求过点〔-1，-2〕且与曲线32y x x =-想切的直线方程.〔3〕求曲线321()53f x x x =-+在x=1处的切线的倾斜角.〔4〕曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.1.2 导数的计算【知识点归纳】1.常见函数的导数：2.根本初等函数的导数公式：3.导数的运算法那么：4.复合函数的导数：【典型例题】题型 一 根本初等函数导数公式运用例1 给出以下结论： ①1(cos )sin 662ππ'=-=-；②假设21y x=，那么32y x -'=-；③假设()3f x x =，那么[(1)]3f ''=；④.假设y =y '= 其中正确的选项是_________________.题型 二 导数运算法那么的应用例 2 求以下函数的导数：〔1〕531253y x x =+；〔2〕lg x y x e =-；〔3cos x ；〔4〕sin cos 22x x y x =-.变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正.2221cos 2(1cos )sin ()x x x x x x x +++'=题型三复合函数求导的应用例7求以下函数的导数.〔1〕3(1cos2)y x=+；〔2〕21sinyx=.变式训练：求函数2(2y x=-题型四切线方程及应用例4曲线sin xy x e=+在点〔0，1〕处的切线方程是？变式训练：曲线32y x x=+-在P处的切线平行于直线41y x=-，那么点P的坐标为_________.题型五利用导数求参数问题例5 假设曲线3y x ax=+在坐标原点处的切线方程是20x y-=，那么实数a=_________变式训练：假设函数()x ef xx=在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求a的值题型 六 对数求导数的应用〔选讲〕例6 求以下函数的导数〔1〕(1)(2)(3)(3)y x x x x =--->；〔2〕(1)(2)(3)1()212x x x y x x +++=>-+；1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数【知识点归纳】1.函数的单调性与其导数的关系：2.利用导数求函数的单调区间：3.导数的绝对值的大小与图像的关系〔选讲〕：【典型例题】题型 一 里用导数的信息确定函数大致图像例1 导函数()f x '的以下信息：当23x <<时，()0f x '<； 当3x >或2x <时，()0f x '>；当3x =或2x =时，()0f x '=；试画出函数f 〔x 〕图像的大致形状.题型 二 判断或者证明函数的单调性例2 试判断函数()ln f x x x =+在其定义域上的单调性.变式训练：证明：函数ln ()xf x x =在区间〔0，2〕上是单调递增函数.题型三求函数的单调性例3确定函数32()267f x x x=-+的单调区间.变式训练：求函数3y x x=-的单调性.题型四含有参数的函数的单调性例4函数2()ln(2)f x x ax a x=-+-，讨论f〔x〕的单调性.变式训练：函数1()2axf xx+=+在(2,)-+∞单调递增，数a的取值围.1.3.2 导数的极值与导数【知识点归纳】1.导数的极值的概念：2.导数的极值的判断和求法：【典型例题】题型 一 求函数的极值例1 求以下函数的极值：〔1〕276y x x =-+； 〔2〕2ln y x x =.变式训练：设32()1f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2,(2)f a f b ''==-，其中常数,a b R ∈.〔1〕求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.〔2〕设()()xg x f x e -'=，求函数()g x 的极值.题型 二 判断函数极值点的情况例2 判断以下函数有无极值，假设有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由.〔1〕31()43f x x =+； 〔2〕321()43f x x x x =++； 〔3〕23()1(2)f x x =--.变式训练：设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠.证明：当0ab >时，函数f 〔x 〕没有极值点，当0ab <时,函数f 〔x 〕有且只有一个极值点，并求出极值.题型 三导函数的图像与函数极值的关系 例3 函数f 〔x 〕的定义域为开区间〔a ，b 〕，导函数f′〔x 〕在〔a ，b 〕的图象如下列图，那么函数f 〔x 〕在开区间〔a ，b 〕有极小值点的个数为〔 〕A 1个 B.2个 C.3个 D.4个题型四极值的逆向问题例4 函数44f x ax x bx c x=+->在x=1处取得极值-3-c，其中a，b为常数.()ln(0)〔1〕试确定a，b的值.〔2〕讨论函数f〔x〕的单调区间.综上：假设说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没有“拐点〞.1.3.3 函数的最大小值与导数【知识点归纳】1.最大小值与极值的关系：2.求最大小值的步骤：3.开区间的最值问题：【典型例题】题型一利用导数求函数最值问题例1 求函数543f x x x x=+++在区间[1,4]()551-上的最大值和最小值.变式训练：设函数3f x ax bx c a=++≠为奇函数，其图像在(1,(1))()(0)f处的切线与直线--=垂直，导数的最小值为-12.x y670〔1〕求a，b，c的值.〔2〕求函数f〔x〕的单调递增区间，并求函数f〔x〕在[-1,3]上的最大小值.题型 二 含参数最值问题例 2 设a 为常数，求函数3()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.变式训练：1.设3211()232f x x x ax =-++ 〔1〕假设f 〔x 〕在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值围. 〔2〕当02a <<时,f 〔x 〕在[1,4]上的最小值为163-，求f 〔x 〕在该区间上的最大值.题型 三 由函数的最值求参数的值例3 设213a <<，函数323()(11)2f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1，最小值为，求a ，b 的值.1.4 生活中的优化问题【知识点归纳】利用求函数的最大小值的方法际应用中的最优化问题函数的极值与端点值的比较【典型例题】题型 一 利润最大问题例 1 某商品每件本钱9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x 〔单位：元, 021x ≤≤〕的平方成正比，商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.〔1〕将一星期的商品销售利润表示成x 的函数〔2〕如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大变式训练：某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的本钱为3元，并且每件产品需向总公司交m 〔3≤m ≤5〕元的管理费，预计当每件产品的售价为x 〔9≤x≤11〕元时，一年的销售量为(12-x)2万件．〔1〕求分公司一年的利润L 〔万元〕与每件产品的售价x 的函数关系式；〔2〕当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q 〔m 〕．题型二用料最省、费用最低问题例2如图，某单位用木料制作如下列图的框架，框架的下部是边长分别为x，y〔单位：米〕的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．〔Ⅰ〕求x，y的关系式，并求x的取值围；〔Ⅱ〕问x，y分别为多少时用料最省？变式训练：某企业拟建造如下列图的容器〔不计厚度，长度单位：米〕，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r≥．假设该容器的建造费用仅与其外表积有关．圆柱形局部每平方米建造费用为3千元，半球形局部每平方米建造费用为c〔c＞3〕千元．设该容器的建造费用为y千元．〔Ⅰ〕写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；〔Ⅱ〕求该容器的建造费用最小时的r．题型 三 面积、体积最值问题例 3如图在二次函数2()4f x x x =-的图像与x 轴所围成的图形中有一个接矩形ABCD ，求这个接矩形的最大面积.变式训练：请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥〔如下列图〕．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？x y1.5 定积分的概念【知识点归纳】定积分的概念：定积分的性质：【典型例题】题型一利用定义计算积分例1利用定积分定义，计算21(32) x dx+⎰题型二求曲边梯形的面积例2利用定积分的定义求出直线x=1，x=2和y=0及曲线3y x=围成的图形的面积.1.6 微积分根本定理【知识点归纳】1.牛顿—莱布尼茨公式：2.定积分的取值：3.定积分的一些性质：【典型例题】题型一求简单函数的定积分例1 求以下函数的定积分：〔1〕2211()x dxx+⎰；〔2〕22sin xdxππ-⎰；〔3〕4dx+⎰；题型二求分段函数的定积分例2 求函数32,[0,1](),[1,2]2,[2,3]xx xf x x xx⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⎩在区间[0，3]上的定积分.变式训练：求定积分：〔1〕2201x dx -⎰； 〔2〕题型 三 定积分的实际应用例 3 汽车以每小时36 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车的减速度为21.8 /a m s =刹车，求从开场停车到停车，汽车的走过的距离.变式训练：等比数列{}n a 中，36a =，前三项和3304s xdx =⎰，那么公比q 的值是多少？1.7 定积分的简单应用【知识点归纳】1.常见的平面图形的面积求法：2.定积分在物理公式中的应用：【典型例题】题型 一 用定积分求平面图形的面积例 1 求曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积.变式训练：求由抛物线22,15xy y x ==-所围成的图形的面积例2 求正弦曲线3sin,[0,]2y x xπ=∈和直线32xπ=及x轴所围成的平面图形的面积.变式训练：求由曲线222,24y x x y x x=-=-所围成的图形的面积题型二用定积分求变速直线运动的距离例3 有一两汽车以每小时36km的速度形式，在B出以22 /m s的加速度减速停车，问从开场刹车到停车一共行驶多少的路程.题型三用定积分解决变力作功问题例4 有一个长为25cm的弹簧，假设以100N的力，那么弹簧伸长到30cm，求弹簧由25cm 伸长到40所做的功.。

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-； （6）y '=习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯一.其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x=-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈.图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2l x =. 当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2Vh R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，（第2题）（第3题）22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ， 矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.m 时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()nnni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]n i i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323n nn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n →∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx-⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，23x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=⎰⎰； （4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k ----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则2(31)105tttdt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止.（2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60） 1、（1）a-⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，21111]114242x dx ππ⨯=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b=.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-. （第1（2）题）（第2题）4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >.所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--. 令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =.当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时， 旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤.令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.容易知道，3h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当h =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元） 容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xxx x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩ 得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 11200()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是12k =-.说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.。

导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。

它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。

通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。

事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。

教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。

师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。

其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。

教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。

五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。

教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。

教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。

六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。

要求层次 重难点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念 A 了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义．导数的几何意义C导数的运算根据导数定义求函数y c =，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y x =的导数 C能根据导数定义，求函数23y c y x y x y x ====，，，，1y y x x==，（c 为常数）的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数． 导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数） B 导数公式表C 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题 B板块一：导数的概念与几何意义知识内容1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．高考要求例题精讲导数的概念与应用2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．典例分析： 极限与导数【题1】 设()f x 在0x 可导，则()()0003limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x '【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 ()()0003lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆()()00000()()3limx f x x f x f x f x x x∆→+∆-+--∆∆= ()()000000()()3=lim lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→+∆---∆+⋅∆∆ ()()000000()3()=lim 3lim3x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-+⋅∆-∆000()3()4()f x f x f x '''=+=．【答案】D【题2】 设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h →--=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【考点】极限与导数 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 00(3)(3)(3)(3)11limlim (3)2222h h f h f f h f f h h →→----⎛⎫'=⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 【答案】B【题3】 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）r OA ．22πrB ．28π3r C ．24πr D ．26πr【考点】极限与导数 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，湖北，高考7【解析】 设第n 个圆的面积为n a ，则21πa r =，134n n a a -=，于是23π14314n n r S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，从而2lim 4πnn S r →∞= 【答案】C【题4】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【考点】极限与导数【难度】1星【题型】填空【关键词】2008，北京，高考【解析】 ((0))(4)2f f f ==；04(1)220f -'==--． 【答案】22-，【题5】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 22(1)(1)(2)11xf x f x x ∆-+∆--=--=-+∆∆-， 00(1)(1)2lim lim 21x x f x f x x ∆→∆→-+∆--==-∆∆-． 【答案】D【题6】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无【解析】 232v s t t '==-，362a v t '==+，4t =时，312581616v =-=，66726432a =+=． 【答案】12567,1632．【题7】 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164s t t t =-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 321232v s t t t '==-+，令0v =得0t =，4或8． 【答案】D导数的几何意义【题8】 已知曲线1y x x =+上一点522A ⎛⎫⎪⎝⎭，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 分析：求曲线在A 处的斜率A k ，即求0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-∆，其中1()f x x x=+．⑴ 记1()f x x x=+，(2)(2)y f x f ∆=+∆-1122222(2)x x x x x -∆⎛⎫=+∆+-+=+∆ ⎪+∆+∆⎝⎭， 00(1)lim lim 2(2)x x y x x f x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆'==+⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦013lim 12(2)4x x ∆→⎡⎤-=+=⎢⎥+∆⎣⎦；⑵ 切线方程为53(2)24y x -=-，即3440x y -+=．注：也可先求1y x x=+的导函数，200()()11limlim 11(0)()x x f x x f x y x x x x x x ∆→∆→⎛⎫+∆--'==+=-≠ ⎪∆+∆⎝⎭， 再计算13(2)144y '=-=．【答案】⑴34，⑵3440x y -+=【题9】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设23x x ==，时曲线上的点为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，∵(3)(2)f f -(3)(2)32AB f f k -==-，∵(3)BQ f k '=，(2)AT f k '=，如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角BQ AB AT k k k <<． 【答案】B【题10】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）A ．1y x =-B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =+ 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 232y x x '=+，(1)1y '-=，P 在曲线上，故切线方程为11y x y x +=+⇒=． 【答案】C【题11】 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）AB． C ．23 D ．23或0【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为00()2y x x '=；曲线31y x =-在0x x =处的切线的斜率为200()3y x x '=-，由题意有：2002(3)1x x ⋅-=-，解得0x =． 【答案】A【题12】 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2008，辽宁，高考【解析】 设00()P x y ，，22y x '=+，点P 处的切线的斜率的取值范围为πtan 0tan [01]4⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，， 故00221x +≤≤，解得0112x --≤≤．【答案】A【题13】 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．π3π24⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【考点】导数的几何意义 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，辽宁，高考10【解析】 2441(1)2x x x x e y e e e--'==+++，124x x e e ++≥，故[1,0)y '∈-，从而tan [1,0)α∈-,3ππ4α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 【答案】D【题14】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1-或2564-B ．1-或214C ．74-或2564-D ．74-或7【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，江西，高考【解析】 设过(10)，的直线与3y x =相切于点300()x x ，，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又(10)，在切线上，则00x =或032x =，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-．【答案】A【题15】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】 ⑴2()344y x x x '=--，(1)5y '=-，故所求的切线方程为35(1)y x +=--．⑵点(13)-，在曲线上，若切点为(13)-，，则切线方程为520x y +-=；若切点不是(13)-，，设切点为00()x y ，，则有2000033441y x x x +=---，又320000242y x x x =--+，解得01x =或012x =． 当012x =时，斜率为21121344224⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，故直线方程为21490x y +-=．故过点(13)-，的切线方程为520x y +-=或21490x y +-=．注意过一点的切线与在一点的切线的区别．【答案】⑴520x y +-=；⑵520x y +-=或21490x y +-=．【题16】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，安徽，高考 【解析】 由()()22288f x f x x x =--+-，得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =，()2f x x '=，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选A ．【答案】A【题17】 设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． ⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，海南宁夏，高考【解析】 ⑴21()()f x a x b '=-+，由题设知(2)0(2)3f f '=⎧⎨=⎩， 于是2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或9483a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+-． ⑵证明：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数．所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-．可知，函数()g x 的图象按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的图象是以点(11)，为中心的中心对称图形．（可以直接验证：若(,)x y 在()y f x =的图象上，则(2,2)x y --也在函数()y f x =的图象上）⑶证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦． 令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，． 从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．【答案】⑴1()1f x x x =+-；⑵(11)，；⑶2【题18】 已知曲线1C ：2y x =与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 分别对两条曲线的方程求导得：2y x '=与2(2)y x '=--，设直线l 与曲线1C 相切于点200()x x ，，则直线l 的方程为20002()y x x x x -=-，令02(2)2x x --=解得02x x =-，代入直线l 的方程得20043y x x =-，故直线l 与曲线2C 交于点2000(243)x x x --，，由此点在曲线2C 上得2200043(22)x x x -=---， 解得00x =或02x =，于是直线l 的方程为0y =或44y x =-．【答案】0y =或44y x =-．板块二：导数的运算知识内容1注：ln e a =．注意()x x e e '=．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦． 特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．典例分析：【题1】 已知函数()ln f x x =，则()ef e '的值等于（ ）A ．1B ．eC ．1eD ．2e【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】【解析】 1()f x x '=，()1eef e e'==．【答案】A【题2】 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3(1)3(1)x x -+-B ．22(1)x -C ．2(1)x -D ．1x -【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】 【解析】 【答案】A【题3】 已知函数2()f x ax c =+，且(1)2f '=，则a 的值为（ ） A ．1 BC ．1-D ．0【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】 ()2f x ax '=，于是221a a =⇒=．【答案】A【题4】 已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【考点】导数的运算 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设()(2)(3)(4)(100)g x x x x x =----，则()(1)()f x x g x =-，且()g x 可导，有()()(1)()f x g x x g x ''=+-，令1x =得，99(1)(1)0(0)(1)(1)99!99!f g g g ''=+⨯==-=-．【题5】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】 【解析】 2()32f x x x '=-，从而20032x x x -=⇒00x =或01x =． 【答案】0或1【题6】 已知函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】解答【关键词】【解析】 由于x e y x =，所以000()x e f x x =，又2(1)x e x y x ⋅-'=，00020(1)()x e x f x x -'∴=依题意得00()()0f x f x '+=，即000200(1)0x x e x e x x -+=，0210x ∴-=，得012x =． 【答案】12【题7】 设()ln x f x a e b x =⋅+，且1(1),(1)f e f e ''=-=，求实数,a b 的值． 【考点】导数的运算 【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】 ()x b f x ae x '=+，(1)f ae b e '=+=，1(1)a f b e e'-=-=，解得1,0a b ==． 【答案】1,0a b ==．板块三：导数的应用知识内容1．利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '；第2步 求方程()0f x '=的所有实数根；第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法：第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．典例分析：原函数与导函数的图象【题1】 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 函数()f x 的顶点为2424b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，故有204b b c <<，，()2f x x b '=+，斜率为正，排除B ，D ；纵截距为负，排除C ．（即图象不过第四象限）【答案】A【题2】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 由导函数的图象知()y f x =在(0)-∞，与(2)+∞，上单调递增，在(02)，上单调递减． 【答案】B【题3】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2005，江西，高考【解析】由图象知，(1)(1)0f f''=-=，结合图象知1x=±是函数()f x的极值点，又因为在(10)-，上，()0f x'<，在(01)，上，()0f x'<，因此在(11)-，上，()f x单调递减，故选C．要注意，若00()P x y，是函数()y f x=的极值点，则有()0f x'=，但是若()0f x'=，则是00()P x y，不一定是函数()y f x=极值点，所以要判断一个点是否为极值点，还要检验点P的两侧的单调性是否不同．【答案】C【题4】设()f x'是函数()f x的导函数，将()y f x=和()y f x'=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2007，浙江，高考【解析】选项A中的直线为导函数图象；B中递减的曲线为导函数图象；C中上面的曲线为导函数图象，都没有矛盾．D中不论哪条曲线是导函数的图象，原函数都为单调的函数，故不可能．【答案】D函数的单调性【题5】函数214y xx=+的单调增区间为（）A．(0)+∞，B．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，C．(1)-∞-，D．12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】令2221(21)(421)80x x xy xx x-++'=-=>，得12x>．【答案】B【题6】三次函数3()1y f x ax==-在()-∞+∞，内是减函数，则（）A．1a=B．2a=C．0a≤D．0a<【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 23y ax '=，要()f x 在R 上为减函数，当且仅当0a <． 【答案】D【题7】 若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞，C ．(1]-∞-，D ．(1)-∞-，【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008，湖北，高考，题7【解析】 22()22b x x bf x x x x --+'=-+=++，当1x >-时，有()0f x ≤，又此时20x +>， 故220x x b --+≤，故222(1)1b x x x +=+-≤对一切(1)x ∈-+∞，成立，故1b -≤．【答案】C【题8】 若函数()221xf x x =-+，则()f x （ ） A ．在()-∞+∞，单调增加 B ．在()-∞+∞，单调减少C ．在(11)-，单调减少，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调增加D ．在(11)-，单调增加，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调减少【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 222222(1)222(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-⋅+-'=-=++． 【答案】C【题9】 已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 函数在[1)+∞，上是单调增函数[){}1()0x f x '⇔+∞⊆，≥ ()*， 2()244f x x x a a '=++∆=-，，分类讨论：①当0∆≤，即440a -≤，即1a ≥时，()*条件成立；②当011130(1)0a a f ∆>⎧<⎧⎪-<⇔⎨⎨+⎩⎪'⎩≥≥，即31a -<≤时，()*条件成立；综上，当3a -≥时，()*条件成立，3a -≥为所求．【答案】[3)-+∞，【题10】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af a bf b ≤B ．()()bf b af a ≤C ．()()af b bf a ≤D ．()()bf a af b ≤【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 (())()()0xf x xf x f x ''=+≤，故函数()xf x 在区间(,)a b 上是非增函数，有()()af a bf b ≥【答案】B【题11】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 在区间(11)-，上不单调．．．，求a 的取值范围． 【考点】函数的单调性【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考【解析】 由()0f x '=，得1x a =，223a x +=-． 函数()f x 在区间(11)-，不单调，等价于()0f x '=在区间(11)-，上有实数解，且无重根．即1123a a a -<<⎧⎪+⎨-⎪⎩≠或211323a a a +⎧-<-<⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩≠，解得1112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠或5112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠．所以a 的取值范围是115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．【答案】115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【题12】 已知函数()ln xf x x=． ⑴判断函数()f x 的单调性；⑵若()1y xf x x=+的图像总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； ⑶若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．【考点】函数的单调性 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，宣武，二模，理，题19【解析】 ⑴可得21ln ()xf x x-'=． 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数．⑵依题意，转化为不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x=+，则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是()1.+∞上的增函数，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 是()0,1上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(),1-∞．⑶转化为212ln 63x x x m =+-，ln y x =与21263y x x m =+-在公共点()00,x y 处的切线相同由题意知20000012ln 6311233x x x m x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代入第一式，即有56m =．【答案】⑴()f x 的单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞；⑵(),1a ∈-∞；⑶56m =．【题13】 设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．⑴若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； ⑵当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，西城，一模，题18【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为()1-+∞，，()22221a f x x x -'=-+++2221x ax -+=+．因为()04f '=，所以2a =． ⑵当0a <时，因为10x +>，2220x a -+<，所以()0f x '<，故()f x 在()1-+∞，上是减函数；当0a =时，当()10x ∈-，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()10-，上是减函数，当()0x ∈+∞，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()0+∞，上是减函数，因为函数()f x 在()1-+∞，上连续，所以()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，由()22201x af x x -+'==+，得x =x =x 变化时，()f x '，()f x 的变化如情况下表：所以()f x 在1-，上为减函数、在+∞上为减函数；()f x 在上为增函数．综上，当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．【答案】⑴2a =；⑵当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．函数的极值【题14】 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】填空【关键词】2005，全国，高考【解析】 2()323f x x ax '=++，又()f x 在3x =-取得极值，∴(3)0f '-=，即23(3)6305a a ⨯--+=⇒=．【答案】D【题15】 设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-<【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2008，广东，高考，题9【解析】 x y e a '=+，由题意知0y '=有正根，故0a <，且ln()01a a ->⇒<-．【答案】A【题16】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 2()3f x ax b '=+，(2)(2)120f f a b ''-==+=，又28(2)8243f a b -=--+=，4(2)8243f a b =++=-．解得13a =，4b =-． 【答案】13a =，4b =-．【题17】 求函数22()(0100)1a b f x x a b x x=+<<>>-，，的单调区间与极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 2222222222(1)()(1)(1)a b b x a x f x x x x x --'=-+=--22()[()](1)a a b x b a x a a b x x ⎛⎫+--+ ⎪+⎝⎭=-． 当0x =时，()0b a x a a -+=>；当1x =时，()0b a x a b -+=>，∴01x <<时，恒有()0b a x a -+>，令()0f x '=，解得ax a b=+(01)∈，．当0a x a b <<+时，()0f x '<，当1ax a b<<+时，()0f x '>．∴函数()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增，故()f x 在a x a b =+处取得极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【答案】()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增； 极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【题18】 已知函数()()2223x f x x ax a a e =+-+（x ∈R ），其中a ∈R ．⑴当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率；⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当0a =时，()2x f x x e =，()()22x f x x x e '=+，故()13f e '=．所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为3e ．⑵ ()()22224xf x x a x a a e '⎡⎤=++-+⋅⎣⎦．令()0f x '=，解得2x a =-，或2x a =-．由23a ≠知，22a a -≠-． 以下分两种情况讨论．① 若23a >，则22a a -<-．当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()223a f a ae --=．函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()()2243a f a a a --=-． ② 若2a >，则22a a ->-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数． 函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()()2243a f a a e --=-． 函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()223a f a ae --=．【答案】⑴3e ；⑵见解析．【题19】 已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处有平行切线．⑴求a 的值；⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 6()f x x'=，()28g x ax '=+，根据题意，得(3)(3)f g ''=，解得1a =-．⑵ 2()()()6ln 8F x f x g x x x x =-=+-，令6()280F x x x'=+-=，得13x =，∵01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；13x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；3x >时，()0F x '>，()F x 单调递增．∴()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【答案】⑴1a =-；⑵()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【题20】 设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】解答【关键词】2010，丰台，一模，题18【解析】 ()()()()2331331f x x a x a x x a '=--+=--⑴∵函数()f x 在区间()1,4内单调递减， ∵(4)0f '≤，∴[)4,a ∈+∞．⑵∵函数()f x 在x a =处有极值是1，∴()1f a =．即()3223231313111222a a a a a a -+++=++=． ∴2(3)0a a -=，解得0a =或3． 当0a =时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()0f 为极大值， 这与函数()f x 在x a =处取得极小值是1矛盾，所以0a ≠．当3a =时，()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，所以()3f 为极小值， 所以3a =满足．故3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【答案】⑴[)4,a ∈+∞；⑵3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【题21】 设函数322()31(,)f x ax bx a x a b =+-+∈R 在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．⑴若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；⑵若0a >，求b 的取值范围．【考点】函数的极值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008，辽宁，高考，题22【解析】 22()323f x ax bx a '=+-．①⑴当1a =时，2()323f x x bx '=+-；由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根，所以12x x -=．由122x x -=，得0b =．从而2()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．当()11x ∈-，时，()0f x '<；当()()11x ∈-∞-+∞，，时，()0f x '>．故()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增．⑵由①式及题意知12x x ，为方程223230x bx a +-=的两根，所以12x x -=．从而221229(1)x x b a a -=⇔=-， 由上式及题设知01a <≤．考虑23()99g a a a =-，22()1827273g a a a a a ⎛⎫'=-=-- ⎪⎝⎭．故()g a 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在213⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为(1)0g =．所以2403b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即b的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【答案】⑴0b =，()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增． ⑵b的取值范围为⎡⎢⎣⎦．【题22】 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．⑴求证：当0ab >时，函数()f x 没有极值点； ⑵当12a b ==-，时，求()f x 的极值．⑶求证：当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．【考点】函数的极值 【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．22222()2b a x b ax b a f x ax x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'=+==． 当0ab >时，02b a>，202bx a +>，()0f x '=无解， 所以当0ab >时，函数()f x 没有极值点．⑵2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-=， 又函数()f x 的定义域为(0)+∞，，故()f x '在(01)，上为负，在(1)+∞，上为正，故()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当0ab <时，2()a x x f x x⎛- ⎝⎭⎝⎭'=， 令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0)x +∞，，当00a b ><，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 当00a b <>，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，当0ab <时，当00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】⑴见解析；⑵()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当00a b ><，时，()f x 有极小值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当00a b <>，时，()f x 有极大值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．函数的最值【题23】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37- 【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 2()6126(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，解得2x >或0x <；当02x <<时，()0f x '<；于是()f x 在(20)-，上单调增，在(02)，上单调减；于是()f x 在[22]-，上的最大值为(0)3f a ==．故32(2)2(2)6(2)337f -=⨯--⨯-+=-；32(2)226235f =⨯-⨯+=-，故()f x 在[22]-，的最小值为37-．【答案】D【题24】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，全国Ⅱ，高考，题21 【解析】 ⑴2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．⑵由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤．反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，，26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶∵(0)01g =<，故()g x 不在0x =时取到最大值，故65a >． 此时，2()36(1)60g x ax a x '=+--=有两个相异的实根，记为12x x ，（120x x <<）， ∵0a >，故()g x 在2(0)x ，（12()x x ⊆，）上单调递减，在2()x +∞，上单调递增． 又()g x 在[02]，上的最大值不在0x =时取到，故必有22x <，且()g x 在最大值在2x =时取到，即5(2)1812(1)124g a a a ==+--⇒=．【答案】⑴1a =；⑵a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶54a =．【题25】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性； ⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当1a =时，2()|ln 1|f x x x =+-．令1x =，易得(1)2f =，(1)1f '=，所以切点为(12)，，切线的斜率为1，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：10x y -+=．⑵ 当3a =时，223ln 3(0)()3ln 3()x x x e f x x x x e ⎧-+<⎪=⎨+-⎪⎩≤≥．当0x e <≤时，2323()2x f x x x x-'=-=，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，]e ⎝内单调递增； 当x e ≥时，3()20f x x x'=+>恒成立，故()f x 在[)e +∞，内单调递增；综上，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增． ⑶ ①当x e ≥时，2()4ln 4f x x x =+-，4()2f x x x'=+∴()0f x '>恒成立，()f x 在[)e +∞，上为增函数．故当x e =时，2min y e =．②当1x e <≤时，2()4ln 1f x x x =-+，42()2(f x x x x x x'=-=()f x 在[1上为减函数，在]e 上为增函数，因此当x min 242ln 22y =+=-．【答案】⑴10x y -+=；⑵()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增．⑶min 2ln 22y =-．【题26】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【考点】函数的最值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2010，山东，高考22【解析】 ⑴ 因为()1ln 1af x x ax x-=-+-，所以()()222111'0a ax x af x a x x x x --+-=-+=-∈+∞，，令()21h x ax x a =-+-，()0x ∈+∞，，（ⅰ）当0a =时，()1h x x =-+，()0x ∈+∞，，所以当()01x ∈，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递； 当()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增． （ⅱ）当0a ≠时，()0f x '=， 即210ax x a -+-=，解得11x =，211x a=-． ①当12a =时，12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()'0f x ≤，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当102a <<时，1110a->>，()01x ∈，时，()0h x >此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； 111x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增； 11x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； ③当0a <时，由于110a-<，()01x ∈，时，()0h x >，此时()'0f x <，函数()f x 单调递减； ()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增．综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵因为102a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，由⑴知，11x =，()2302x =∉，，当()01x ∈，时，()0f x '<．函数()f x 单调递减；当()12x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在单调递增，所以()f x 在()02，上的最小值为()112f =-．由于“对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥”等价于“()g x 在[]12，上的最小值不大于()f x 在()02，上的最小值12-”．又()()224g x x b b =-+-，[]12x ∈，，所以①当1b <时，因为()()min 1520g x g b ==->⎡⎤⎣⎦，此时与()*矛盾；②当[]12b ∈，时，因为()2min 40g x b =-⎡⎤⎣⎦≥，同样与()*矛盾；③当()2b ∈+∞，时，()()min 284g x g b ==-⎡⎤⎣⎦．解不等式1842b --≤，可得178b ≥．综上，b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【答案】⑴当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．【题27】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，西城，一模，题19 【解析】 ⑴令()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -．⑵函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()e xx ax a f x x +-'=⋅，令()0f x '=得12x x ==， 因为0a >，所以120,0x x <>，当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以()f x 在区间,⎛-∞ ⎝⎭上是增函数，在区间0⎫⎪⎪⎝⎭上是减函数． ⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上()f x 存在最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：由⑴知a -是函数()f x 的零点，因为10a x a --=-=>， 所以10x a <-<．由()1e x a f x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知，当x a <-时，()0f x >．又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<．所以函数在区间1,2a x ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且02a f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭．所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 计算得2e 2aa f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．。