全等三角形复习课件

千里之行 始于足下
谢谢！
个条件
，使得△ABE≌△ACD.
思路
隐含条件∠A为公共角
已
找夹边（ASA）
知
两
角
找对边（AAS）
一题多解唤醒学生思维力
原题：如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
● 【变式1】如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求 证：BD平分EF.
● 【变式2】如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD 平分EF吗?
你还能编写出变式4,，变式5吗？如果能，请编写并解答。
典例分析：
例1、如图所示，已知AC=AD，请你添加一个条
件
，使得△ABC≌△ABD.
思路
隐含条件AB=AB
找另一边 (SSS) 已 知 两 边 找夹角 (SAS)
变式1：如图，已知∠C=∠D，请你添加一个
条件
，使得△ABC≌△ABD.
思路
隐含条件AB=AB
三角形全等的判定
复习课
复习导纲
问题：
如图,已知AB=AD，CB=CD,△ABC 和△ABD全等吗？为什么？（课 本第43页 第1题）
变式1：如图，已知AB=AD，请你添加一个条件 变式2：如图，已知∠B=∠D，请你添加一个条件
，使得△ABC≌△ADC。 ，使得△ABC≌△ADC.
变式3：已知∠CAB=∠CAD，请你添加一个条件 ，使得△ABC≌△ADC
小试牛刀
1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2， 求证：BE=DC
A
12
CE
B
D
请同学们 注意书写 格式哦！
小试牛刀

(1)证明：△AEF≌△CEF； (2)若 AB＝ 3 ，求折痕 AE 的长度.
(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝90°. ∵将△ABE 沿 AE 翻折后，点 B 恰好落在对角线 AC 的中点 F 上， ∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF. ∵∠AFE＋∠CFE＝180°， ∴∠CFE＝180°－∠AFE＝90°.
全等三角形的性质
1.如图中两个三角形全等，则∠α度数是( )
A.72° 答案：D
B.60°
C.58°
D.50°
全等三角形的判定 2.如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF； ③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F； ④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E. 其中，能使△ABC≌△DEF 的条件有__________.
∴△ABC≌△DEF(ASA).
命题与逆命题 4.命题“等角的补角相等”的题设是___________ ___________，结论是______________________，它的 逆命题是__________________________________. 答案：两个角相等 这两个角的补角相等 如果两个角的补角相等，那么这两个角相等
1.如图，已知△ABC 的六个元素，则甲、乙、丙 三个三角形中和△ABC 全等的图形的是( )
A.甲和乙 C.只有乙 答案：B
B.乙和丙 D.只有丙
2.(2021·台湾)已知△ABC 与△DEF 全等，A，B， C 的对应点分别为 D，E，F，且 E 点在 AC 上，B，F， C，D 四点共线，如图所示.若∠A＝40°，∠CED＝
第18课时 全等三角形
1.理解全等三角形的概念. 2.掌握两个三角形全等的判定方法. 3.了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的 条件(题设)和结论.了解逆命题的概念，会识别两个互 逆命题，并知道原命题成立，其逆命题不一定成立.

AB=AC，BC=EC，BD=DC，∠B=∠C>90°。
拓展习题
1 2 3
结论
全等。根据题目给出的条件，两个三角形满足 ASA（角边角）原则，因此全等。
拓展题2
给定两个三角形，它们的两边对应相等，且夹角 相等，但第三边和夹角中的一个量不等，请判断 这两个三角形是否全等。
三角形1
AB=AC，AD=AE，BC=EC，∠B=∠C≠90°。
拓展习题
三角形2
AB=AC，BC=EC， BD≠DC≠AC,∠B=∠C>90°。
结论
不全等。根据题目给出的条件，两个三角形 满足ASA（角边角）原则和SSS（边边边） 原则的组合条件，但是第三边和夹角中的一 个量不等，因此不全等。
05
CATALOGUE
小结与回顾
重点回顾
01
02
03
重点1
全等三角形判定的四种方 法及其对应的条件和结论 。
重点2
如何根据已知条件选择合 适的判定方法。
重点3
全等三角形在几何证明题 中的应用。
课堂小结
课堂小结1
回顾全等三角形判定的四 种方法，强调每种方法的 条件和结论。
课堂小结2
总结全等三角形在几何证 明题中的应用，强调证明 过程中的逻辑严密性。
课堂小结3
再次强调全等三角形的性 质和判定在几何问题中的 重要性。
进阶几何证明
在进阶几何中，全等三角形判定被广泛应用于各种复杂的证明题中。例如，在圆 的性质、多边形的内角和、三角形的重心等证明中，我们都需要利用全等三角形 判定来确定两个三角形全等。
03
CATALOGUE
全等三角形的判定方法HL
定义HL定理
总结词
HL定理是全等三角形判定定理的一种，全称是“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” 。

几何语言：
∵△ABC ≌△DEF ∴∠A =∠D，∠B =∠E， ∠C =∠F， AB = DE，AC = DF， BC = EF
A BC
D EF
例1 如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，
AC∥EF，∠C=∠F.求证：BC=DF. C
A
D
E
B
F
证明：∵AD=BE，
∴AD－BD=BE－BD，即AB=ED.
第一章 三角形的证明 1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
北师版八年级数学下册
学习目标
1、巩固全等三角形的判定及性质 2、了解并掌握等腰三角形的性质定理及推论
回顾复习
我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？
边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等.
边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三 角形全等.
如图，BC=CD=DE=AE,∠A=20°. (1)求∠DEC的度数； (2)求∠B的度数.
解：
练习
知识点三：等腰三角形性质定理的推论
想一想
A
在图中，线段 AD 还具有怎
样的性质？为什么？由此你能得
到什么结论？
B
C
D
推论 等腰三角形顶角的平分线、底边 上的中线及底边上的高线互相重合.
可分解成下面三个方面来理解：
角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等.
新课导入
建筑工人在建造房子时,为了确定房梁是否水平,常用 这样的方法:把一块等腰三角形板放在梁上,从顶角顶点系 一重物,如果系重物的绳子刚好经过三角形的底边中点,则 认为房梁就是水平的。你知道为什么吗？
新课探究
知识点一：全等，∴∠A=∠E.

结论:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.
已知:如图(1)所示,点P在∠AOB的内部, PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,且PC=PD. 求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明:如图(2)所示,作射线OP. ∵PC⊥OA,PD⊥OB. ∴∠PCO=∠PDO=90°, 在Rt△OPC和Rt△OPD中,
已知一直角边和斜边,用尺规作直角三角形. 已知:如图所示,线段a,c. 求作:△ABC,使∠C=90°,BC=a,AB=c.
分析:首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另 一直角Hale Waihona Puke 所在的射线,由AB=c可以确定点A.
作法:如图所示. (1)作线段CB=a. (2)过点C,作MC⊥BC. (3)以B为圆心,c为半径画弧,交CM于点A. (4)连接AB.则△ABC即为所求.
谢谢
4.连接BC,△ABC即为所求, 如图(2)所示.
如何证明：斜边和直角边对应相等的两个直角三角 形全等,简记为HL(或斜边、直角边).
如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,已知 ∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
由于直角边AC=A'C',我们移动其中的Rt△ABC,使点A与点A'、 点C与点C'重合,且使点B与点B'分别位于线段A'C'的两侧.因为 ∠ACB=∠A'C'B'=90°,所以∠B'C'B=∠ACB+∠A'C'B'=180°,因 此点B,C',B'在同一条直线上,于是在△A'B'B中,由AB=A'B'(已 知),得∠B=∠B'.由“角角边”便可知这两个三角形全等。

章末复习
相关题1 如图12-Z-11所示的4×4正方形网格中,∠1＋∠2＋ ∠3+∠4＋∠5+∠6＋∠7=__3_15_°.
章末复习
解析 由题图得∠1＋∠7＝90°，∠2＋∠6＝90°，∠3＋∠5＝90°， ∠4＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝90°＋90°＋ 90°＋45°＝315°.
章末复习
相关题3-2 如图12-Z-9所示, 已知∠1=∠2, 请你添加一个条件, 证明AB=AC. (1)你添加的条件是________________； (2)请写出证明过程.
章末复习
解：(1)由 AD＝AD，∠1＝∠2 这两个已知条件，根据 “AAS”
或“ASA”写出第三个条件即可．添加的条件是∠B＝∠C 或∠ADB
章末复习
解：答案不唯一，如以①②为题设，④为结论，可写出一个 真命题如下：
已知：如题图，在△ACD 和△ABE 中，点 D 在 AB 上，点 E 在
AC 上，AE＝AD，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C.
证明如下：在△ACD 与△ABE 中，
AC＝AB，

∠A＝∠A， AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴∠B＝∠C.
全等三角 形的性质
应用
角的平 分线
全等三角形
章末复习
全等三 角形
角的平 分线
全等三角形
边边边(SSS)
一般三 角形
直角三 角形
性质
边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS)
角的平分线上 的点到角的两 边的距离相等
SSS, SAS, ASA, AAS
HL(只适用于判定两 个直角三角形全等)
章末复习

A．80°
C．100°
B．90°
D．110°
(3)(2010·广州)在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5 ，则DE的长是( A．2.5 B ．5 ) C．10 D．15
(4)(2010·济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这 个三角形是( )
A．直角三角形
C．钝角三角形
B．锐角三角形
D．等边三角形
(5) （2011·黄冈）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角 ∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝______.
【点拨】本组题主要考查三角形的有关概念和性质．
【解答】(1)B 由三角形三边关系可得11＜x＜15，∴满足条件的正 整数x为12,13,14，∴这样的三角形有3个．
(2)一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)如果两个直角三角形的斜边及一条 直角边 分别对应相等，那么 这两个直角三角形全等．简记为HL. 3．证明三角形全等的思路
找夹角 (1)已知两边找直角 找另一边 (2)已知一边一角
边为角的对边时，找另一角 找夹角的另一边 边为角的邻边时找夹边的另一角 找边的对角
考点三
全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
(1)全等三角形的 对应边 、 对应角 分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、 面积相等．
考点四
全等三角形的判定
1．一般三角形全等的判定
(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等 ，那么这两个三角形全等
个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．

9
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
归纳总结
不管是截长法还是补短法,往往都需要连接 其他线段,构造全等三角形,利用全等三角形的性 质解决问题.
10
知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
典例分析
例3：如图，在△ABC中,AD是BC边上的中线,
求证:AD< (AB+AC)
A
通过添加辅助线,构造全等三角形,将
AD AB ,AC转化到同一个三角形中来求解. B D
C
E
11
知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
典例分析
A
例3：如图，在△ABC中,AD是BC边上的中线,
求证:AD< (AB+AC)
B
2
DC
证明:延长AD至点E,使得DE = AD,连接BE.
E
∵AD是BC边上的中线， ∴点D为BC的中点，∴BD=CD.
∴∠F=∠4.
6
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
大显身手
1.如图，AD为△ABC的角平分线,AB >AC,
A
求证:AB﹣AC> BD﹣DC.
E
B
DC
7
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
大显身手
2.如图，在△ABC中, B=2∠C,AD是BC边上的高.
求证:CD=AB+BD.
A
∟
E
BD
C
B
从结论出发,把较长的线段AB截成与 AC,BD分别相等的两条线段,或延长较短的线段AC, 使延长后的线段的长等于线段AB的长,再利用三角 形全等即可证明.
4
知识点二：
解：如图,在线段AB上截取AF=AC连接EF C ∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA

∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，
∠ABC=∠EDC， ∴△EDC≌△ABC（ASA）．
CD
∴DE=BA．
E
答：测出DE的长就是A、B之间的距离．
花瓶里的纸花与笔筒中毛笔同时被主人摆放在案桌上。之后，蚂蚁逢人便说：“当你遇到无法逾越的障碍时，不妨换一种方式。玛茨亚很机灵，不过还是被吓了一跳。 电影在线观看 /tv/29.html 它倒还能挺直身子走路。
AD=AD， AB=AC，
∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL). ∴BD=CD.
A
B
D
C
方法总结
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些 因素作出判断，一般采用以下步骤： （1）先明确实际问题；
（2）根据实际抽象出几何图形；
（3）经过分析，找出证明途径； （4）书写证明过程.
考点四 利用全等三角形解决实际问题 例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面 垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的 距离相等吗？
A
【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题
就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，
AD⊥BC.
B
D
C
解：相等，理由如下：
∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中，
针对训练
5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不 能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间 的距离吗？
解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：
D=BC，
再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直
线上，
“现在我再来匀一匀。，

6．(2018·衡阳)如图，线段 AC，BD 相交于点 E，AE＝DE，BE＝CE. (2)当 AB＝5 时，求 CD 的长．
解：∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD． ∵AB＝5，∴CD＝5.
7．(2016·衡阳)如图，点 A，C，D，B 四点共线，且 AC＝BD，∠A＝∠B， ∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF. 证明：∵AC＝BD，∴AC＋CD＝BD＋CD， 即 AD＝BC．
[分析] 过点 M 作 AD 的垂线交 AB 于点 E，根据 ASA 可 证明 △BEM≌△NAM，得出 BM＝NM；
证明：过点 M 作 AD 的垂线交 AB 于点 E. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠NAB＝90°，∠BAD＝45°. ∴∠AEM＝90°－45°＝45°＝∠BAD． ∴EM＝AM，∠BEM＝135°. ∵∠NAB＝90°，∠BAD＝45°， ∴∠NAD＝135°.∴∠BEM＝∠NAD．
12．(2021·柳州)如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地 上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和 B，连接 AC 并延 长到点 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到点 E，使 CE＝CB，连接 DE， 那么量出 DE 的长就是 A，B 的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题 的证明．
[解析] 根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断 △ABC≌△DEF. ∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC．∴BC＝EF. 又∠B＝∠E， ∴当添加条件 AB＝DE 时，△ABC≌△DEF(SAS)，故选项 A 不符合题意； 当添加条件∠A＝∠D 时，△ABC≌△DEF(AAS)，故选项 B 不符合题意； 当添加条件 AC＝DF 时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项 C 符合题意； 当添加条件 AC∥FD 时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF(ASA)，故选项 D 不符合题意． 故选 C．

是否全等？试说明理由。 A
D
解：
AB = DC
AC = DB
B
C
BC = BC
∴ △ABC ≌△CBD( SSS )
练 已知：如图，AC=FE,AD=FB,ED=CB,
习
点A、D、B、F在一条直线上，
求证:∠A＝∠F
A D
C
B
E
F
小结
1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。
2. 三边对应相等的两个三角形全等（边边边 或SSS）；
11.2 三角形全等的判定（1） ----SSS
复习回顾
1、全等三角形的定义
2、已知△ABC≌ △A’B’C’
A
A’
C
C’
B
B’
问题1：其中相等的边有：（全等三角形的对应边相等）
AB=A ’ B’
BC=B ’ C ’
AC=A ’ C ’
问题2：其中相等的角有：（全等三角形的对应角相等）
∠A=∠A ’ ∠B=∠B ’
∠C=∠C ’
两个三角形全等
三组对应边、三组对应角 六个条件分别相等。
问题1：若两个三角形三组对应边、三组对应角分别 相等，则这两个三角形是否一定全等？
两个三角形全等
三组对应边、三组对应角 六个条件分别相等。
问题2：两个三角形满足六个条件中的几个条件才能 确保这两个三角形全等呢？
探究一
1.给定一个条件： （1）一条边
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要
例1：如图所示，△ABC是一个钢架AB=AC，
AD是连接点A与BC中点D的支架。
求证：△ABD≌△ACD。
A
分析：要证明两个三角形全等，

基本图形
类型1：平移型
模型展示
常见模型
隐含条件：平行线；重叠线段的等式性质应用转化
基本图形
类型2：轴对称型
模型展示常见模型
隐含条件：公共边，公共角，对顶角
模型说明:轴对称模型的图形，可以看成一个轴对称图形,对应角相等,对应边相等,对应图形全等.
基本图形
类型3:旋转型模型展示常见模型
隐含条件:公共边,对顶角,重叠角和重叠线段利用等式性质的转化
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
2、“角边角”或“ASA”
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
3、“角角边”或“AAS”
两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．
4、“边边边”或“SSS”
三边分别相等的两个三角形全等。
5、“斜边、直角边”或“HL”
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
一线三等角
变：
A
B
C
A
B
C
分别根据上面所画的两幅图，猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想。
一线三等角
如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等.
知识回顾
SSS
1、三边对应相等的两个三角形全等——SSS
2、几何语言表达：
在△ABC与△DEF中
AB=DEAC=DFBC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
知识回顾
例：
如图，AB=AC，AE=AD，BSAS
1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等——SAS

（2）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中 两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成 一个五 边形，又会怎么样？
（3）上面的现象说明了什 么？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的， 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
你能举几个应用三角形稳定性的例子吗？
练一练 1.如图，已知AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，试说明 △AEB △ADC．
解： BD＝CE， BD－ED＝CE－ED（等式的性质）
即BE＝CD． 在△AEB和△ADC中，
AB＝AC，(已知) AE＝AD，(已知) BE＝CD，(已证) △AEB △ADC(SSS)
2、如图，AB=CD，BF=DE，E，F是AC上两 点，且AE=CF.请你判断BF与DE的位置关系， 并说明理由.
有一个角对应相等的三角形 不一定全等
做一做 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？ 每种情况下作出的三角形一定全等吗？
两个条件（两个角） (2)三角形的两个角分别是：30°，50°；
30°
不一定全等
两个条件（两条边） (3)三角形的两条边分别是：4cm，6cm.
不一定全等 两个条件不能保证三角形全等.
这节课你学到了什么？
1. 三角形全等的条件： 三边对应相等的两个三角形全等 (“边边边”或“SSS”)
2. 三角形具有稳定性。
三角形全等的条件：
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。
数学表达式： 在△ABC和△A'B'C'中
例题 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A与∠C相等 吗？为什么？
动手做一做
准备几根硬纸条
（1）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动 其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？

A
A′
B
C B′
C′
情境导入
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有
几种可能的情况呢？ A
这些条件能判定
两个三角形全等
A
吗？
B
C
“两角及夹边”
B
C
“两角和其中一角的对边”
探究学习
如图，在△ABC和△DEF中，已知∠B=∠E，∠C=∠F，
AB=DE，请说出△ABC≌△DEF的理由.
A
D
能不能转化成“ASA”进行证明
（简写成“角角边”或“AAS”）
数学语言表示：
D CE
在△ABC和△DEF中
∠B=∠E 按照角角边的顺序书写
∠C= ∠F
F
AB=DE ∴ΔABC≌ΔDEF（AAS）
探究学习
能不能把“AAS”、“ASA”简述为
“两角和一边对应相等的两个三角形全等”？
例如：
在△ADE和△ABC中
A A ADE B AD BC
∴AD⊥CD（___垂__直__的__定__义_____）
∵PB平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC
∴PA=PE （_角__平__分__线__的__性__质___）
同理可得PE=PD ∴PA=PD
归纳总结
两 个 三 角 形 全 等
全等三角形的定义 SSS 判定条件 SAS ASA AAS 关键： 找符合要求的条件
求证： P，AD⊥AB，可以推出什么？
E
P
2.P是∠ABC平分线上的点，那么PA应该等于什么？
证明：如图，作PE⊥BC于点E
C
D
∵ AB∥CD（已知）
∴∠BAD+∠CDA=180（__两__直__线__平__行__，__同__旁__内__角__互__补__）