2015年高中数学联赛四川预赛参考答案及评分细则

2015 年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档；其它各题的
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次.
=
1
．………10
分
68
84
42
（2）注意到 f ( π ) + f ( 2π ) + f ( 3π ) +" + f (88π ) + f (89π )
180 180 180
180 180
= g( π ) + g( 2π ) +" + g( 44π ) + sin4 ( 45π )
180 180
180
由 g′(x) < 0 解得， 0 < x < π 或 3π < x < 2π ；由 g′(x) > 0 解得， π < x < 3π ．
22
2
2
所以，函数
g(x)
在[0, 2π
]
的单调递增区间为
π [
,
3π
]
，
22
单调递减区间为[0, π ) ， (3π , 2π ]． 22
………5 分
（2）由（1）知 g(x) 在 x = π 处取得极小值，在 x = 3π 处取得极大值．
−
1 2
an
−
2n−1
，即
an+1
=
3an
+
2n
，
………15 分
故 an+1 + 2n+1 = 3(an + 2n )
于是，当 n ≥ 2 时，有 an + 2n = (a2 + 22 ) ⋅ 3n−2 ，即 an = 3n−1 − 2n (n ≥ 2) ．
又 a1 = −1也满足 an = 3n−1 − 2n ．
180
………15 分
= 44 − 1 [sin2( 2π ) + sin2( 4π ) + sin2( 6π ) +" + sin2 (88π )] + ( 2 )4
2 180
180
180
180 2
= 44 − 1 × 22 + 1
2
4
= 133 ． 4
………20 分
参考答案及评分标准 （第 2 页 共 4 页）
（2）若 f (x) 在 (0, 2π ) 的极大值、极小值恰好各有一个，求实数 a 的取值范围．
解：（1） f (x) = e−x sin x + ax ，故 g(x) = f ′(x) = a − e−x (sin x − cos x) ，
于是 g′(x) = −2e−x cos x ，由 g′(x) = 0 知 x = π 或 3π ； 22
又因为
P(x0，y0)在双曲线 x2
−
y2 4
= 1 上，所以 x02
−
y02 4
= 1，得
y02
=
4 x0 2
−4，
所以方程①可化为 4 y02 x2 − (4x0 x − 4)2 = 4 y02 ，
化简得， −4x2 + 8x0 x − 4 − y02 = 0 ，
所以 Δ = 64x02 − 16(4 + y02 ) = 64x02 − 16 y02 − 64 = 0 ．
a−e 2
<
0
解得： −e−2π
<
a<
−π
e2
．所以，所求的实数
a
的取值范围是
(−e
−2π
,
−π
e2
)
．………20
分
参考答案及评分标准 （第 4 页 共 4 页）
)2=
5 4
(2x0－y0)，
所以|OA|2·|OB|2=
25 16
(4
x02
− y02 )
= 25 ．故得证． 4
………20 分
参考答案及评分标准 （第 3 页 共 4 页）
16、已知 a 为实常数，函数 f (x) = e−x sin x + ax (x ∈[0, 2π ]) ．
（1）记 f (x) 的导函数为 g(x) ，求 g(x) 在[0, 2π ]上的单调区间；
均有
Sn
=
1 2
an+1
−
2n
+
3 2
成立，其中
Sn
是数列{an} 的前 n
项和．
（1）求 a1, a2, a3 的值；
（2）求数列{an} 的通项公式．
解：（1）由 a1, a2 +1, a3 成等差数列知， 2(a2 +1) = a1 + a3
①
由
Sn
=
1 2
an+1
−
2n
+
3 2
，取
n
=
1知
a1
=
1 2
a2
−
2
+
3 2
取n = 2知
a1
+
a2
=
1 2
a3
−
4
+
3 2
② ③ ………5 分
联立①、②、③解得： a1 = −1， a2 = −1 ， a3 = 1．
………10 分
（2）当 n
≥
2
时，由 Sn
=
1 2
an+1
−
2n
+
3 2
，
Sn−1
=
1 2
an
−
2n−1
+
3 2
知，
an
=
1 2
an+1
当 y0≠0 时，显然直线 l 存在斜率，故可设直线 l 的方程为 y−y0=k(x−x0)，
与 y=2x 联立，解得 A 点坐标为( kx0 − y0 ， 2kx0 − 2 y0 )．
k −2
k−2
与 y=−2x 联立，解得 B 点坐标为( kx0 − y0 ， − 2kx0 − 2 y0 )．
k+2
………5 分
因为 x ∈[π , 3π ] ，则 2x ∈[π , 3π ] ，故 sin 2x ∈[ 2 ,1]
68
34
2
从而 1 ≤ 1− 1 sin2 2x ≤ 3 ，即 g(x) ∈[1 , 3] ．
22
4
24
所以，
g(x)
在
π [
,
3π
] 上的最大值为
g ( 3π
)
=
3
，最小值为
π g(
)
（2）求 f ( π ) + f ( 2π ) + f ( 3π ) +" + f (88π ) + f (89π ) 的值．
180 180 180
180 180
解：（1） g(x) = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 − 2sin2 x ⋅ cos2 x = 1− 1 sin2 2x ， 2
所以，数列{an} 的通项公式为 an = 3n−1 − 2n ．
………20 分
参考答案及评分标准 （第 1 页 共 4 页）
14、已知函数 f (x) = sin4 x ，
（1）记 g(x) = f (x) + f (π − x) ，求 g(x) 在[π , 3π ] 上的最大值与最小值；
2
68
无极值．矛盾！所以
g
π (
)
<
0
．
2
② 若 g(2π ) ≤ 0 ，当 g(3π ) ≤ 0 时， f (x) 在 (0, 2π ) 内至多有一个极值点，矛盾！ 2
当 g(3π ) > 0 时， f (x) 在 (0, 2π ) 内至少有 3 个极值点，矛盾！ 2
所以， g(2π ) > 0 ．
………15 分
一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
1、C
2、B
3、B
4、D
5、C
6、A
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
7、3
8、0
9、 3 4
10、 −1
11、0
三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）
12、0
13、已知数列{an} 满足： a1, a2 +1, a3 成等差数列，且对任意的正整数 n ，
所以 l 与双曲线只有一个交点．
………15 分
（2）S△OAB=
1 2
|OA|·|OB|·sin∠AOB，故只需证明|OA|·|OB|为定值即可．
因为|OA|2=(
kx0 − y0 k −2
)2+(
2kx0 − 2 y0 k−2
)2=
5 4
(2x0+y0)，
|OB|2=( kx0 − y0 k+2
)2+( − 2kx0 − 2 y0 k+2
15、过双曲线 x2
−
y2 4
= 1 的右支上任意一点 P(x0，y0)作一直线
l
与两条渐近线交于点 A、
B，若 P 是 AB 的中点．
（1）求证：l 与双曲线只有一个交点；
（2）求证：△OAB 的面积为定值．
证明：（1）双曲线两条渐近线方程为 y=±2x．
当 y0=0 时，易得直线 l 的方程为 x=x0，此时 l 与双曲线只有一个交点．
k+2
………5 分
因为
P
是
AB
的中点，所以
kx0 − y0 k −2
+
kx0 − y0 k+2
=2x0，解得
k= 4x0 y0
．
故直线
l
的的方程为
y
−
y0
=
4x0 y0
(x
−
x0 ) ．
与双曲线方程联立，得
4x2
− [ y0
+
4x0 y0
(x
−
x0 )]2
=
4，
………10 分
即 4 y02 x2 − [ y02 + 4x0 (x − x0 )]2 = 4 y02 ，①
另一方面，当 g(π ) < 0 且 g(2π ) > 0 时，f '(x) 在 (0, π ) 与 (π , 2π ) 内各有一个极值点．
2ห้องสมุดไป่ตู้
22
所以 f (x) 在 (0, 2π ) 的极大值、极小值恰好各有一个的充要条件是：
⎧ ⎪⎪ g
(2π
)
=
a + e−2π
>0
⎨ ⎪⎪⎩ g
(π 2
)
=
−π
2
2
又因为
g (0)
=
a
+1，
g(π
)
=
a
−
−π
e2
，
g ( 3π
)
=
a
+
− 3π
e2
，
g (2π
)
=
a
+
e−2π
．
2
2
一方面，显然 g(0) > g(3π ) > g(2π ) > g(π ) ．
2
2
………10 分
① 若 g(π ) ≥ 0 ，则 f '(x) > 0 ，故 f (x) 在 (0, 2π ) 内单调递增，从而 f (x) 在 (0, 2π ) 内 2