23随机变量的分布函数与连续型随机变量

则称这个随机变量具有无记忆性。
直观理解：若X表示仪器的寿命，那么上式说明:已 知此仪器已使用t时，它总共能工作s+t小时的概率等于 从开始使用时算起，它至少能工作s小时的概率．
也就是说：它对之前工作过t小时无记忆。
容易验证：指数分布是无记忆的。
2020/4/17
22
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三、正态分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
P （ 1X2） ( 2 ) ( 1 ) 0 . 9 7 7 2 0 . 8 4 1 3 0 . 1 3 5 9
P （X1） ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 0 . 8 4 1 3 0 . 1 5 8 7
P（ X 1） ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 0 .6 8 2 6
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即
0,
1
,
4
F
(x)
3
,
4
7 8
,
1 ,
x 1, 1 x 2, 2 x 3, 3 x 4,
4 x.
分布函数的图像如下：
F (x)
1
7
。
8
3
。
4
1
。
4
1
2
3
4
x
分布函数的图像是一个右连续的阶梯形。且在间断 点处的跳跃值等于X取这个值的概率。例如
2020/4/17
ABe2x，x0
F(x)
1.求常数A,B；
0, x0
2. 求X的概率密度函数 。
解：1.由分布函数的性质：F() 1
即 lim (ABe2x)1 所以 A1 x
又因为F(x)在点x=0处连续 (事实上连续型随机变量的分 布函数在任意点连续)， 所以 limF(x)F(0)
x0
即 0AB
2020/4/17
动的速度，测量误差等许多随机变量，都服从正态分布．
•大量相互独立且有相同分布的随机变量的累积也近似服从正态分 布（第四章的大数定律和中心极限定理）
2020/4/17
23
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f (x) f () 1
2
正态分布的图形具有如下特点： 1. f(x)为关于x=μ的对称钟形曲线 2. f(x)为在x=μ取得最大值
2020/4/17
13
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分布函数：
0,
F
(
x)
x b
a a
,
1,
x a, a x b,
x b.
均匀分布的概率密度和分布函数图形如下：
f (x)
1 ba
F ( x)
1
Oa
2020/4/17
bx
14
Oa
bx
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例：设某公共汽车站从早上7:00开始每隔15分钟到站 一辆汽车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车达 到此站．如果一个乘客到达该站的时刻服从7:00到7:30 之间的均匀分布．求他等待时间不超过5分钟的概率．
2020/4/通17 过f(x)积分得F(x)。 8
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5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零．
即
PXx00
由性质5，易得：
P ( x 1 X x 2 ) P ( x 1 X x 2 ) P ( x 1 X x 2 )
P(x1Xx2)xx12 f(x)dx
注：对离散型随机变量，上式不成立。
F(x1)F(x2)
(2)(有界性) 0 F ( x ) 1 ,lim F ( x ) 0 ,lim F ( x ) 1
x
x
F ( )P {X }不可能事件
F ( )P {X }必然事件
(3)(右连续性) xl imx0 F(x)F(x0)
2020/4/17
3
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例：若随机变量X的分布律为
2020/4/17
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一般正态分布的标准化
定理如 ：果 X~N (,2),则 F (x) x
概率计算：
若X~N(,2)
P (aXb ) (b ) (a )
2020/4/17
查标准正 态分布表
27
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例：若 X～N(3,32) ，试求：
1 . P 2 X 5 ;2 . P X 0 ;3 . P X 3 6 .
F(x)P(Xx)
称为随机变量X的分布函数。 从而
P ( x 1 X x 2 ) P ( X x 2 ) P ( X x 1 ) F(x2)F(x1)
也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意
一个区间的概率。
2020/4/17
2
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不加证明地给出分布函数的一些性质:
(1)(单调性) 对于任意实数 x1,x2,(x1x2) ，有
(2)由F(x) x f (t)dt ，有
F(x)
x
0dx,
0 0dx x3(4x2x2)dx,
08
0
0dx
23(4x2x2)dx 08
x
0dx,
2
x0, 0x2,
x2.
即
0,
F(x)
3 4
x2
1 4
x3,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
分段 讨论
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X 1234
pk
1 4
1 2
1 8
1 8
则随机变量X的分布函数为
0,
x 1
PX 1,
F
(x)
PX1PX2
1 x2 2x3
P X 1 P X 2 P X 3
3x4
P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 4 x
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4
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2 (1 0 .9 9 7 2 ) 0 .0 4 5 6
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练习：设 X~N1.5,4, 试计算 P X 3
解：P X3 1P X3
1P3X31F3F3
1321.53 21.5
1 0 .7 5 2 .2 5
21F3
1 0 .7 5 1 2 .2 5
2020/4/17
18
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解：1.由
1x
f(x)dx e10dx101
0
得：
1 10
2.
PX 10
1
1 x
e 10 dx
e 1
10 10
3.
P10X20
20
1
1 x
e 10 dx
e1 e2
10 10
2020/4/17
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例： 设连续型随机变量的分布函数为
11
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(3)
PX 1
f (x)dx
23(4x2x2)dx
1
1
18
2
或 P X 1 1 P X 1 1 F (1 ) 1 1 1
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几种常见的连续型随机变量的分布
一、均匀分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
f
(x)
b
1 a
解：设X表示乘客到达该车站的时间，则 X: U0,30
f
(x)
1 30
,
0 x 30,
0, 其它.
乘客等待时间不超过5分钟当且仅当他在7:10到7:15
之间或在7:25到7:30之间到达车站．因此所求概率为
15
P 1 0 X 1 5 P 2 0 X 2 5
1dx
25
1dx
解：1.
P2X5
2 3
13
23[113]
0 .7 4 8 6 ( 1 0 .6 2 9 3 ) 0 .3 7 7 9
2. PX 01PX01(1) (1) 0.8413
3. PX36P X9 P X 3
1 P X 9 P X 3
1 (2) (2)2[1(2)]
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f (x)
o
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a a x
μ，σ对概率密度曲线的影响
f (x)
1
2π1
1 0.75
1
2π 2
2 1.25
1 2
x
24
o
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x
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正态分布的分布函数：
F ( x)
1
x
F(x)
1 e(t22)2dt
2π
1 2
O
x
特别地，当0,2 1时，称X服从标准正态分布。
记为 X : N(0,1)
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6
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性质：1. f (x) 0
y
2. f (x)dx 1
f (x)
1 1
O
x
从图形上来看，性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方， 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1.
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7
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3.对于任意实数 x1,x2,(x1x2)，有
,
a x b,
0,
其它.
则称X服从 a , b 上的均匀分布。记为 X: Ua,b
意义：X“等可能”地取区间 a , b 中的值，这里的“等可能” 理解为： X落在区间 a , b 中任意等长度的子区间内的可能性是
相同的。即等长度，等概率。
d1 d c
P ( c X d ) cb a d x b a ,[ c ,d ] [a ,b ]
1
10 30 20 30
3
2020/4/17
15
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设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x22x10
有实根的概率。
解 方程有实数根
42 4 0
即 1
1
而 的密度函数为 f (x) 6
0
故所求概率为
(1 x 5) 其它
2020/4/17
P { 1 } 1f(x)d x f(x)d x2
f(x) 1 e(x22)2,x,
2
其中μ， 2 ( 0)为常数,则称X服从参数为μ和 2 的正态分布
记为 X: N(,2)
• 正态分布最早由Gauss在研究测量误差时所得到，所以正态分布
又称为Gauss分布。
•正态分布是概率论中最具有应用价值的分布之一，大量的随机变 量都服从正态分布． 如人的身高、体重，气体分子向任一方向运
P (x 1 X x 2 ) F (x 2 ) F (x 1 )x x 1 2f(x )d x
y
从图形上来看，性质3表示
f (x)
1 O x1 x2
X落在区域 ( x1 , x 2 ] 的概率 等于相应的曲边梯形的面 x 积。
4.若f(x)在点x处连续，则 F(x)f(x)
对于连续型随机变量X 来说，通过F(x)求导得f(x) ，
2020/4/17
17
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分布函数：
1ex, x0,
F(x)
0, x0.
例：设某人到银行取款时的排队时间X (分钟)服从指
数分布，其概率密度为
f (x) e110x,
0,
x 0, x 0.
1.试确定常数λ;
2.计算排队时间超过10分钟的概率;
3.计算排队时间在10分钟到20分钟的概率．
第三节 随机变量的分布函数 与连续型随机变量
➢分布函数的定义及其性质 ➢连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 ➢几种重要的连续型随机变量
202Leabharlann Baidu/4/17
1
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一、分布函数的定义及性质
由于 P ( x 1 X x 2 ) P ( X x 2 ) P ( X x 1 )
为此我们引入随机变量的分布函数的概念如下： 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
2020/4/17
9
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例：若随机变量X的概率密度为
C(4x2x2), 0x2,
f(x) 0,
其 它 .
(1)求C的值； (2)X的分布函数；(3)P{X>1}.
解：(1)由于 f (x)dx 1，有
C 2(4x2x2)dx1 0
得
C 3
8
2020/4/17
10
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所以 B1
20
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从而分布函数为 1e2x，x0
F(x) 0, x0
2.由密度函数和分布函数之间的关系 f(x)F(x)，有
2e2x，x 0 f (x)
0, x0
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21
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指数分布的无记忆性：
对于一个非负的随机变量，如果对于一切s,t≥0，有
P X s t|X t P X s
其概率密度为：
(x)
1
x2
e 2,x,
2π
相应的分布函数记为：
2020/4/17
x
(x)
1
t2
e 2dt
2π
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(x)
(x)1(x)
(x)
(0) 1 2
x
o
x
若 X～N(0,1) 则 P （ a X b ） (b ) (a )
1 (x) x
例：若 X～N(0,1) P （ Xb） (b) P （ Xa ） 1 (a)
1
3
16
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二、指数分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
ex, x0,
f (x) 0, x0.
其中λ >0,则称X服从参数为λ的指数分布。记为 X～E(λ)
背景：在实际应用中，到某个特定事件发生所需等待的时间
往往服从指数分布．例如，从现在开始到下一次地震发生、到爆 发一场新的战争、到一个元件的损坏、到你接到一次拨错号码的 电话等所需的时间，都服从指数分布．指数分布在排队论、保险 和可靠性理论中有广泛的应用．
2 0 . 7 7 3 4 0 . 9 8 7 8 0 . 2 3 8 8
31 1
P(X2)
5 4 4 2 目录
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二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质
定义：设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数f(x),使得对任意实数x，有
x
F(x) f (t)dt
称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度。