江苏省徐州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列推理错误的是（ ） A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝AB C ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉α D ．A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是（ ） A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n 等于（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（ ）A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．A 1D 16．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1 C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A ．AB ∥mB ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．以下结论中，错误的是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH ⊥平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°12．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α．其中正确命题的序号是________．14．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)15．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于PAB △的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)16．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，为什么？18．(12分)如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点． （1）求证：AC ⊥B 1C ； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1．19．(12分)如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC ． （1）求证：BC ⊥平面P AC ．（2）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．20．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）证明：B 1C ⊥AB ；（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱111ABC A B C -的高．21．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．（1）求证：P A∥面BDE；（2）求证：平面P AC⊥平面BDE；（3）若二面角E BD C--为30°，求四棱锥P ABCD-的体积．22．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E ABC-的体积．2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．故选C．2．【答案】D【解析】由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°．故选D．3．【答案】D【解析】由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．故选D．4．【答案】A【解析】如图，取CD的中点H，连接EH，HF．在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EFH平行，其余4个平面与EFH相交，即n＝4．又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8．故选A．5．【答案】B【解析】易证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．故选B．6．【答案】A 【解析】连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′D＝DC＝a，B C AC'==，所以∠B′DC＝90°．故选A．7．【答案】B【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离．故①②③都正确．8．【答案】C【解析】由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故C正确．故选C．9．【答案】D【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．故B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α．∴AB⊄β，l⊂β．∴AB∥β．故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．故选D．10．【答案】B【解析】如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO．1sin 602ABC S =︒=11194ABC A B C ABC V S OP OP -∴=⨯==，OP ∴=213OA ==，∴tan OP OAP OA ∠=，又02OAP π<∠<，∴3OAP π∠=．故选B ．11．【答案】D【解析】因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH ． 又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A ．所以BD ⊥平面AA 1H ．又A 1H ⊂平面AA 1H ．所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，故A 正确． 因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD ．因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角． 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．故选D ． 12．【答案】B【解析】A 错误．理由如下：过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直，则可得BD ⊥平面ACE ，于是BD ⊥CE ，而由矩形ABCD 边长的关系可知BD 与CE 并不垂直．所以直线AC 与直线BD 不垂直．B 正确．理由：翻折到点A 在平面BCD 内的射影恰好在直线BC 上时，平面ABC ⊥平面BCD ，此时由CD ⊥BC 可证CD ⊥平面ABC ，于是有AB ⊥CD ．故B 正确． C 错误．理由如下：若直线AD 与直线BC 垂直，则由BC ⊥CD 可知BC ⊥平面ACD ，于是BC ⊥AC ，但是AB <BC ，在△ABC 中∠ACB 不可能是直角．故直线AD 与直线BC 不垂直．由以上分析显然D 错误．故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．【答案】④【解析】①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面或者垂直；③a 可能与α内的直线异面或垂直．14．【答案】B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件． 15．【答案】①③【解析】由条件可得AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而P A ∥PB ， 这是不可能的，故②错；1·2PCD S CD PD =△，1·2PAB S AB PA =△，由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ， 故AE 与BF 共面，④错． 16．【答案】a >6【解析】由题意知：P A ⊥DE ，又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ，∴DE ⊥面P AE ，∴DE ⊥AE ．易证△ABE ∽△ECD ．设BE ＝x ，则A B B EC E C D=，即33xa x =-．∴290x ax +=-， 由0∆>，解得a >6．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】平行，见解析．【解析】直线MN ∥平面A 1BC 1．证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1．∴MN ∉平面A 1BC 1． 如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1．∵11112N D O C ∥，1112M D B C ∥，∴1NO MB ∥．∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1．又∵BO 1⊂平面A 1BC 1，∴MN ∥平面A 1BC 1． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）∵C 1C ⊥平面ABC ，∴C 1C ⊥AC ．∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又BC ∩C 1C ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥B 1C ． （2）连接BC 1交B 1C 于O 点，连接OD ．如图，∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1．又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1．∴AC 1∥平面CDB 1． 19．【答案】（1）见解析；（2）存在，见解析．【解析】（1）证明∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC ．又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ． 又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ．（2）∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ． 又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ． ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ．这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A DE P --为直二面角．20．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明 连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1．又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，故B 1C ⊥平面ABO ． 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB ．（2）解 在平面BB 1C 1C 内作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD ． 在平面AOD 内作OH ⊥AD ，垂足为H ．由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC ． 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC ．因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD =．由于AC ⊥AB 1，所以11122OA B C ==．由OH ·AD ＝OD ·OA，且AD =OH ．又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC， 故三棱柱111ABC A B C -． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3P ABCD V -=． 【解析】（1）证明 连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A ． ∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ，∴P A ∥面BDE ． （2）证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC ． 又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE ．（3）解 取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点， ∴EF 为POC △的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD ，∴EF ⊥BD ． ∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥面EFO ，∴OE ⊥BD ． ∴∠EOF 为二面角E BD C --的平面角，∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF中，1124OF OC AC ===，∴·tan 30EF OF =︒，∴2OP EF ==．∴2313P ABCD V a -=⨯． 22．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）V =． 【解析】（1）证明在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB ． 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1． （2）证明 取AB 的中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且12FG AC =． 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE ．（3）解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC，所以AB == 所以三棱锥E －ABC的体积1111·12332ABC V S AA ==⨯⨯=△．。

安平中学2018-2019学年上学期第二次月考高二实验部数学(文科)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 下列函数中,在()+∞,0上单调递减,并且是偶函数的是( )Axy ln -=． B ．3x y -= C ．2x y = D ．xy 2=2．若()0,31F ，()0,32-F ，点P 到21,F F 距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A. 1162522=+y xB.1910022=+y xC. 1162522=+x yD.1162522=+y x 或1162522=+x y3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，0,1168==S a ，当n S 取最大值时n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．104.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一个焦点为()0,2F ，且双曲线的渐近线与圆()3222=+-y x 相切，则双曲线的方程为（ ）A.113922=-y xB.191322=-y xC.1322=-y xD.1322=-y x5.如果数据12n x x x ，的平均数是2，方差是3，则123x +，223x +……23n x +的平均数和方差分别是（ ）A ．4与3 B ．7和3 C ．4和12 D ．7和126.过抛物线x y 42=的焦点的直线l 交抛物线于()()2211,,,y x Q y x P 两点，如果621=+x x ，则|PQ|＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 7. 有下列四个命题①“若b ＝3，则92=b ”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若c ≤1，则022=++c x x 有实根”；④“若A ∪B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.若命题：“2000,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A.(－∞,0) B. [－8,0] C. (－∞,－8) D. (－8,0)9.已知命题p ：∀x ∈（﹣∞，0），2x ＞3x；命题q ：⎪⎭⎫⎝⎛∈∃2,0πx ，x x >sin ，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧q B ．（￢p ）∨qC ．（￢p ）∧qD ．p ∧（￢q ）10.已知()()0,,0,21c F c F -为椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点，点P 在椭圆上且满足221c PF PF =⋅，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 11.过抛物线()022>=p px y 的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF||BF|的值等于( )A.13B.23C.34D.4312.在ABC ∆中， D 为AB 的中点，点F 在线段CD （不含端点）上，且满足AF xAB yAC =+ ，若不等式212a at x y+≥+对[]2,2t ∈-恒成立，则a 的最小值为（ ）A. -4B. -2C. 2D. 4第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为______．14. 阅读右图程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为______．15.在ABC∆中，若O AO B O B O C ⋅=⋅=⋅，且,4cos cos a bc A B==，则OA AB ⋅= __________.16.已知抛物线方程为x y 42-=，直线l 的方程为042=-+y x ，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则n m +的最小值为________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤).17.(本小题满分10分)已知双曲线()0,01:2222>>=-b a b y a x C 的一条渐近线方程为,25x y =且与椭圆131222=+y x 有公共焦点，求双曲线C 的方程. 18.(本小题满分12分)在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，已知3,3π==C c ，A B sin 2sin =．（1）求b a ,的值；（2）求ABC ∆的面积．19.(本小题满分12分)某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制，已知高三学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表.为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人.（1）求n 和频率分布直方图中的x 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若该校高三学生共1000人，求竞赛等级在良好及良好以上的人数；（3）在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取2名学生进行学习经验介绍，求抽取的2名学生中优秀等级的学生恰好有1人的概率.20.(本小题满分12分) 在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1℃变化到5℃，反应结果如表所示（x 表示温度，y 代表结果）：（1）求化学反应的结果y 对温度x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关，并预测当温度到达10℃时反应结果为多少？附：线性回归方程中,ˆˆˆa x b y+=，b ˆ=，aˆ=﹣b ．21. （本小题满分12分）已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于A,B 两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，求DE AB +的最小值。

黄山市2018～2019学年度第一学期期末质量检测高二（文科）数学试题第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误．．的是( )A. 直线a上的点到平面α的距离相等B. 直线a平行于平面α内的所有直线C. 平面α内有无数条直线与直线a平行D. 平面α内存在无数条直线与直线a成90°角【答案】B【解析】【分析】由题意，根据两直线的位置关系的判定，以及直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到答案.【详解】由题意，直线a平行于平面α，则对于A中，直线a上的点到平面α的距离相等是正确的；对于B中，直线a与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C中，平面α内有无数条直线与直线a平行是正确的；对于D中，平面α内存在无数条直线与直线a 成90°角是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中两条直线的三种位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】空间直角坐标系中任一点关于坐标平面的对称点为，即可求得答案【详解】根据空间直角坐标系中点的位置关系可得点关于平面的对称点是故选【点睛】本题考查了对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，属于基础题。

3.已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，判断两直线是否垂直，由此判断充分性，当两直线垂直时，根据两直线垂直的性质求出的值，由此判断必要性，从而得到答案【详解】充分性：当时，两条直线分别为：与此时两条直线垂直必要性：若两条直线垂直，则，解得故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件故选【点睛】本题是一道有关充分条件和必要条件的题目，需要分别从充分性和必要性两方面分析，属于基础题。

徐汇中学2018学年预初年级第一学期期中考试数学试卷一、填空：（每题1分，共10分）直接写出计算结果：1、=+9295__________2、 =83-76___________3、=752-15________ 4、=⨯1110512_________ 5、=÷752815___________ 6、=⨯61112________7、=++）（1163121111513________ 8、=⨯÷1525.0411________ 9、比较大小：51____71 10、比较大小：43_____32 二、填空题：（每题2分，共28分）1、分解素因数48=________2、在括号内填上适当的数，使等式成立：516()7144921++== 3、把、、85650.75按从小到大排列是____________________________. 4、85小时的52=________分钟。

5、分母是8的所有最简真分数的和是_________6、有一个密码，从左到右的数字依次是:①最小的合数；②10以内最大的素数；③最小的素数；④最小的自然数；⑤3的最小倍数，则这个密码是____________;7、两个互素的合数，它们的最小公倍数是60，则此两数是________________;8、一个两位素数，如果将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位素数，我们就称它是“美妙素数”，那么请你写出一个“美妙素数”：______________9、分数的分子与分母的和是156，约分后的分数是58，原来的分数是________ 10、已知b a 、互为倒数，m d c ,0=+是最小的正整数的倒数，那么=+++ab m md c 2100________ 11、小明用165小时走完了911千米的路程，以此速度他2小时可以走_______千米。

12、有甲、乙两桶油，甲桶盛的油比乙桶多87升，如果从甲桶取出41升倒入乙桶，则此时甲桶比乙桶还多______升。

北郊中学2018-2019学年度第二学期七年级期中考试数学试卷一、选择题(每题2分,共16分)1.在下列四个汽车标志图案中,可以看作由“基本图案”经过平移得到的是2.下列计算正确的是A.1243a a a =⋅B.()1243a a =C.()123462a a -=- D.a a a =÷33 3.下列运算中,正确的是(A.()222y x y x -=- B.()()6322-=-+x x x C.2224241221y xy x y x ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ D.()()22422x y x y x y -=-+- 4.长为11、8、6、4的四根木条,选其中三根组成三角形,有_____种选法A.1B.2C.3D.45.若一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数为A.6B.7C.8D.96.如图，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠BEF ，AB//CD ，若∠1=72°,则∠2的度数为A.54°B.59°C.72°D.108°7.下列命题中,是真命题的有①两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补；②若a2=b2,则a=b③多边形的外角和与边数有关；④若线段a 、b 、c 满足b+c>a 则以a 、b 、c 为边一定能组成三角形；⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等。

A.0个B.1个C.2个D.3个8.如图a 是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是A.102°B.108°C.124°D.128°二、填空题(每题2分,共20分)9.计算:()()=-÷-36x x _______. 10.DMA 是遗传物质脱氧核糖核酸的英文简称，DMA 分子的直径只有0.0000007cm ，则0.0000007用科学记数法表示是____________.11.写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题:_________________________.12.()().____206204205____25.042100100=⨯-=-⨯-； 13.已知，，23==n m a a 则=-n m a2________. 14.若()()，q px x x x ++=+-225则=-q p ______.15.若2542+-kx x 是一个完全平方式,则=k _______.16.如图，将△ABC 沿着AB 方向，向右平移得到△DEF ，若AE=8，DB=2，则CF=______.17.如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=59°，EF//GH ，若∠1=58°，则∠2=_____°.18.如图△ABC 中，分别延长边AB 、BC 、CA ，使得BD=AB ，CE=2BC ，AF=3CA ，若△ABC 的面积为1，则△DEF 的面积为________.三、解答题19.计算(每题4分，共24分)(1)()12024311--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--- (2)()28422222a a a a a ÷-⋅+-(3)()()()b a b a b a 2222+--+ (4)()()c b a c b a -+--(5)()()232323-+x x (6)()()()3932++-x x x20.(本题5分)求代数式()()()()232121-+-+-x x x x 的值,其中.21=x21.(本题5分)已知:()().12225=++=+y x y x ，(1)求xy 的值；(2)求xy y x 322-+的值。

2021-2022学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题1．若直线l 1：ax +y +1＝0与直线l 2：x +ay +2a ﹣1＝0平行，则实数a ＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．±12．已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（ ）A ．2B ．3C ．6D ．93．设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）A ．x ±2√2y =0B ．2√2x ±y =0C ．x ±8y ＝0D ．8x ±y ＝04．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ）A ．﹣24B ．﹣3C ．3D ．85．设e 是椭圆x 2k +y 24=1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，3）B ．(3，163) C ．（0，2） D ．(0，3)∪(163，+∞) 6．若函数y =−√4−(x −1)2的图象与直线x ﹣2y +m ＝0有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[﹣2√5−1，﹣2√5+1]B ．[﹣2√5−1，1]C ．[﹣2√5+1，﹣1]D ．[﹣3，1]7．已知圆C ：x 2+y 2﹣8x ＝0，动直线l ：x +my ﹣2√2m ﹣4＝0于圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，则|OP |的取值范围是（ ）A ．[√2，5√2]B ．[2√2，4√2]C ．[√2，4√2]D ．[√2，2√6)∪(2√6，4√2]8．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 于C 交于A ，B 两点，则|AF |+4|BF |取得最小值时，|AB |＝（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3二、多项选择题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n （S n ≠0），且满足a n +4S n ﹣1S n ＝0（n ≥2），a 1=14，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{a n }的前n 项和为S n =14n B ．数列{a n }的通项公式为a n =14n(n+1) C ．数列{a n }为递增数列D ．数列{1S n }为递增数列10．下列四个命题表述正确的是（ ）A ．直线（3+m ）x +4y ﹣3+3m ＝0恒过定点（﹣3，﹣3）B ．圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x ﹣y +√2=0的距离等于1C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与曲线C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有三条公切线，则m ＝4D ．已知圆C ：x 2+y 2＝4，点P 为直线x 4+y 4=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 恒过定点（1，1）11．已知方程x 24−t +y 2t−1=1表示曲线C ，则（ ）A ．当1＜t ＜4时，曲线C 一定是椭圆B ．当t ＞4或t ＜1时，曲线C 一定是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜32D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞412．已知A 1、A 2是椭圆C ：x 24+y 23=1长轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于A 1、A 2的任意一点，点Q与点P 关于x 轴对称，则下列四个命题中正确的是（ ）A ．直线P A 1与P A 2的斜率之积为定值−43B ．PA 1→⋅PA 2→＜0C ．△P A 1A 2的外接圆半径的最大值为7√36D ．直线P A 1与QA 2的交点M 在双曲线x 24−y 23=1上二、填空题13．已知等差数列{a n }满足a 2+a 5+a 8＝18，则a 3+a 7＝ ．14．若定点A （a ，2）在圆x 2+y 2﹣2ax ﹣3y +a 2+a ＝0的外部，则a 的取值范围是 ．15．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左支交于P ，Q 两点，若|PF 1|＝2|F 1Q |，且F 2Q ⊥PQ ，则E 的离心率是 ．16．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足FA →⋅FB →=0，|FB |≤|F A |≤3|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ．四、解答题17．求下列各曲线的标准方程．（1）长轴长为12，离心率为23，焦点在x 轴上的椭圆方程； （2）抛物线的焦点是双曲线16x 2﹣9y 2＝144的左顶点，求抛物线方程．18．（1）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n+1﹣2S n+S n﹣1＝1，求数列{a n}的通项公式．19．已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y﹣10＝0相切，直线l过点M（1，2）．（1）求圆C1的标准方程；（2）若直线l被圆C1所截得的弦长为2√3，求直线l的方程．20．已知双曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx+1．（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为√2，求AB的长．21．在①离心率e =12，②椭圆E 过点(1，32)，③M 在椭圆上，且△MF 1F 2面积的最大值为√3，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，并解决下面两个问题．设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，下顶点为A ．已知椭圆E 的短轴长为2√3，_____．（1）求椭圆E 的方程；（2）若斜率为k 的直线l 于椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），且直线AP 于AQ 的斜率之和等于2，问直线l 是否经过某一定点？如果经过定点，请求出该定点的坐标；如果不经过定点，请说明理由．22．O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 3、F 4，离心率为e 2，已知e 1e 2=√154，且|F 2F 4|=√5−√3．（1）求C 1，C 2的方程；（2）过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．2021-2022学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题1．若直线l 1：ax +y +1＝0与直线l 2：x +ay +2a ﹣1＝0平行，则实数a ＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．±1解：根据题意，若直线l 1：ax +y +1＝0与直线l 2：x +ay +2a ﹣1＝0平行，则a ×a ＝1，即a 2＝1，解可得a ＝±1，当a ＝1时，直线l 1为x +y +1＝0，直线l 2为x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意； 当a ＝﹣1时，直线l 1为﹣x +y +1＝0，直线l 2为x ﹣y ﹣3＝0，两直线平行，符合题意； 故a ＝﹣1，故选：B ．2．已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9解：A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9， 因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9+p 2=12⇒p ＝6；故选：C ．3．设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）A ．x ±2√2y =0B ．2√2x ±y =0C ．x ±8y ＝0D ．8x ±y ＝0 解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率是3， 可得c a=3，则a 2+b 2a 2=9． 所以b a =2√2，其渐近线的方程为：y =±2√2x ．故选：B ．4．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ）A ．﹣24B ．﹣3C ．3D ．8解：∵等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．a 2，a 3，a 6成等比数列，∴（a 1+2d ）2＝（a 1+d ）（a 1+5d ），且a 1＝1，d ≠0，解得d ＝﹣2，∴{a n }前6项的和为S 6=6a 1+6×52d =6×1+6×52×(−2)=−24． 故选：A ．5．设e 是椭圆x 2k +y 24=1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，3）B ．(3，163)C ．（0，2）D ．(0，3)∪(163，+∞) 解：当k ＞4时，e 2=k−4k ∈(14，1)⇒k ＞163；当0＜k ＜4时，e 2=4−k 4∈(14，1)⇒0＜k ＜3；故选：D ．6．若函数y =−√4−(x −1)2的图象与直线x ﹣2y +m ＝0有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[﹣2√5−1，﹣2√5+1]B ．[﹣2√5−1，1]C ．[﹣2√5+1，﹣1]D ．[﹣3，1] 解：根据题意，函数y =−√4−(x −1)2，变形可得（x ﹣1）2+y 2＝4，（﹣2≤y ≤0）， 其图象为圆（x ﹣1）2+y 2＝4的下半部分，如图：直线x ﹣2y +m ＝0即y =12x +m 2，必有直线与半圆有公共点，当m ＝﹣2√5−1时，直线x ﹣2y +m ＝0在圆心的下方且与圆相切，当m ＝1时，直线经过点（﹣1，0），则m 的取值范围为[﹣2√5−1，1]；故选：B ．7．已知圆C ：x 2+y 2﹣8x ＝0，动直线l ：x +my ﹣2√2m ﹣4＝0于圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，A ．[√2，5√2]B ．[2√2，4√2]C ．[√2，4√2]D ．[√2，2√6)∪(2√6，4√2]解：由题可知，圆C ：（x ﹣4）²+y ²＝16，则圆心C （4，0），半径r ＝4， 直线l 方程可化为：（y ﹣2√2）m +（x ﹣4）＝0，则直线l 过定点M （4，2√2）， 设P （x ，y ），则CP →=（x ﹣4，y ），MP →=（x ﹣4，y ﹣2√2），根据题意AB ⊥CP ，所以CP ⊥MP ，则CP →⋅MP →=0，即（x ﹣4）²+（y −√2）²＝2， 所以中点P 的轨迹是以N （4，√2）为圆心，半径r =√2的圆， 所以|ON |＝3√2，则|OP |最小值为|ON |﹣r ＝2√2，最大值为|ON |+r ＝4√2， 即|OP |的取值范围为[2√2，4√2]， 故选：B ．8．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 于C 交于A ，B 两点，则|AF |+4|BF |取得最小值时，|AB |＝（ ） A ．92B ．72C ．52D ．32解：抛物线的方程为y 2＝4x ，设直线AB 的方程为x ＝my +1，设A （x 1，y 1），设A 在x 轴上方，B （x 2，y 2）， {x =my +1y 2=4x，整理可得：y 2﹣4my ﹣4＝0，y 1y 2＝﹣4， 由抛物线的性质可得：|AF |+4|BF |＝x 1+1+4（x 2+1）=y 124+y 22+5≥2√y 124⋅y 22+5＝9，当且仅当y 124=y 22，可得y 1＝﹣2y 2，将其代入y 1y 2＝﹣4中可得y 22＝2，x 2=y 224=12， y 12＝8，x 1＝2，可得|AB |＝x 1+x 2+p ＝2+12+2=92， 故选：A ． 二、多项选择题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n （S n ≠0），且满足a n +4S n ﹣1S n ＝0（n ≥2），a 1=14，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{a n }的前n 项和为S n =14nB ．数列{a n }的通项公式为a n =14n(n+1)C ．数列{a n }为递增数列D ．数列{1S n}为递增数列解：∵a n +4S n ﹣1S n ＝0（n ≥2）， ∴S n ﹣S n ﹣1+4S n ﹣1S n ＝0（n ≥2）， ∵S n ≠0，∴1S n−1S n−1=4（n ≥2），因此数列{1S n}是以1S 1=4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；所以1S n=4+4（n ﹣1）＝4n ，∴S n =14n ，即A 正确；当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=14n −14(n−1)=−14n(n−1)， 所以a n ={14，n =1−14n(n−1)，n ≥2，即B ，C 不正确； 故选：AD ．10．下列四个命题表述正确的是（ ）A ．直线（3+m ）x +4y ﹣3+3m ＝0恒过定点（﹣3，﹣3）B ．圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x ﹣y +√2=0的距离等于1C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与曲线C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有三条公切线，则m ＝4D ．已知圆C ：x 2+y 2＝4，点P 为直线x4+y 4=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B为切点，则直线AB 恒过定点（1，1）解：对于A ，原直线方程化为：m （x +3）+（3x +4y ﹣3）＝0，由{x +3=03x +4y −3=0得{x =−3y =3，原直线恒过定点（﹣3，3），A 错误；对于B ，圆x 2+y 2＝4的圆心O （0，0）到直线l 的距离d =√2√2=1，而圆的半径为2，直线l 与圆相交，与直线l 距离为1的直线有两条，一条与圆相交，另一条与圆相切，则圆上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1，B 正确；对于C 1，曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0是以C 1（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆，曲线C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝20﹣m ＞0是以C 2（2，4）为圆心，√20−m 为半径的圆，因圆C 1，C 2有三条公切线，则两圆必外切，必有1+√20−m =|C 1C 2|＝5，解得m ＝4，C 正确； 对于D ，设点P （m ，n ），而C （0，0），则以线段PC 为直径的圆方程为：x 2+y 2﹣mx ﹣my ＝0，而圆C ：x 2+y 2＝4，两圆方程相减得直线AB 方程：mx +my ＝4，又m +n ＝4，于是得直线AB ：m （x ﹣y ）+4（y ﹣1）＝0，由{x −y =0y −1=0得x ＝y ＝1，即直线AB 恒过定点（1，1），D 正确． 故选：BCD ． 11．已知方程x 24−t+y 2t−1=1表示曲线C ，则（ ）A ．当1＜t ＜4时，曲线C 一定是椭圆B ．当t ＞4或t ＜1时，曲线C 一定是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜32D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4 解：方程方程x 24−t +y 2t−1=1表示的曲线为C ．当1＜t ＜52，52＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆，所以A 不正确； 当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线，所以B 正确；曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，可得4﹣t ＞t ﹣1＞0，解得1＜t ＜52，所以C 不正确； 曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，可得1﹣t ＜0，并且4﹣t ＜0，解得t ＞4，所以D 正确； 故选：BD ．12．已知A 1、A 2是椭圆C ：x 24+y 23=1长轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于A 1、A 2的任意一点，点Q与点P 关于x 轴对称，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．直线P A 1与P A 2的斜率之积为定值−43 B ．PA 1→⋅PA 2→＜0C ．△P A 1A 2的外接圆半径的最大值为7√36 D ．直线P A 1与QA 2的交点M 在双曲线x 24−y 23=1上解：设p （x 0，y 0）， ∵A 1、A 2是椭圆C ：x 24+y 23=1长轴上的两个顶点．∴A 1（﹣2，0）A 2（2，0）则 k PA k PB =y0x 0+2⋅y0x 0−2=y2x 02−4=1−x 024x 02−4=−34，故A 不正确．由PA 1→⋅PA 2→=（﹣2﹣x 0，﹣y 0）（2﹣x 0，﹣y 0）=x 02+y 02−4=14x 02−1＜0，故B 正确． 当P 在短轴顶点时，A 1A 2＝4，P A 2＝P A 1=√7，sin ∠P A 1A 2=√3√7，由正弦定理：√7sin∠PA 1A 2=2R可得△P A 1A 2的外接圆半径的最大值R =7√36；故C 正确．点Q 与点P 关于x 轴对称，设Q （x 0，﹣y 0），直线P A 1与QA 2的方程分别为：y =y2+x 0(x +2)⋯①y =y 02−x 0(x −2)⋯⋯② ①②两式相乘：可得y 2=y 02(x 2−4)4−x 02，由x 02=12−4y 023代入双曲线x 24−y 23=1，即直线P A 1与QA 2的交点M 在双曲线x 24−y 23=1上；故D 正确．故选：BCD ． 二、填空题13．已知等差数列{a n }满足a 2+a 5+a 8＝18，则a 3+a 7＝ 12 ． 解：在等差数列{a n }中，由a 2+a 5+a 8＝18，得3a 5＝18，即a 5＝6， 则a 3+a 7＝2a 5＝2×6＝12． 故答案为：12．14．若定点A （a ，2）在圆x 2+y 2﹣2ax ﹣3y +a 2+a ＝0的外部，则a 的取值范围是 (2，94) ． 解：∵圆x 2+y 2﹣2ax ﹣3y +a 2+a ＝0，即（x ﹣a ）2+（y −32）2=94−a ， ∴94−a ＞0，即a ＜94．∵定点A （a ，2）在圆x 2+y 2﹣2ax ﹣3y +a 2+a ＝0的外部，∴a 2+22﹣2a 2﹣6+a 2+a ＞0，∴a ＞2． 综上可得，2＜a ＜94， 故答案为：（2，94）．15．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左支交于P ，Q 两点，若|PF 1|＝2|F 1Q |，且F 2Q ⊥PQ ，则E 的离心率是 √173． 解：若|PF 1|＝2|F 1Q |，且F 2Q ⊥PQ ， 可设|F 1Q |＝m ，可得|PF 1|＝2m ， 由双曲线定义可得|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ， |QF 2|﹣|QF 1|＝2a ， 即有|PF 2|＝2a +2m ， |QF 2|＝m +2a ，在直角三角形PQF 2中， 可得|PQ |2+|QF 2|2＝|PF 2|2，即为（3m ）2+（m +2a ）2＝（2a +2m ）2， 化简可得2a ＝3m ，即m =23a ， 再由直角三角形F 1QF 2中， 可得|F 2Q |2+|QF 1|2＝|F 1F 2|2， 即为（2a +m ）2+m 2＝（2c ）2， 即为649a 2+49a 2＝4c 2， 即179a 2＝c 2， 由e =c a =√173． 故答案为：√173．16．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足FA →⋅FB →=0，|FB |≤|F A |≤3|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是 [√22，√104] ． 解：设左焦点为E ，连接AE ，BE ， 因为满足FA →⋅FB →=0， 所以F A ⊥FB ，由椭圆的对称性可得四边形AEFB 为矩形， 如图，所以{AE +AF =2aAE 2+AF 2=4c 2AF ⩾BF AF ⩽3BF ，所以{(2a −AF)2+AF 2=4c 2AF ⩾2a −AF AF ⩽3(2a −AF)即{(AF −a)2+a 2=2c 2a ⩽AF ⩽32a，所以(AF −a)2=2c 2−a 2∈[0，14a 2]， 所以a 2⩽2c 2⩽54a 2， 故12≤e 2≤58，所以√22≤e ≤√104，故答案为：[√22，√104]．四、解答题17．求下列各曲线的标准方程．（1）长轴长为12，离心率为23，焦点在x 轴上的椭圆方程；（2）抛物线的焦点是双曲线16x 2﹣9y 2＝144的左顶点，求抛物线方程． 解：（1）由已知可得：2a ＝12，ca=23，解得a ＝6，c ＝4，则b 2＝36﹣16＝20， 所以椭圆的方程为x 236+y 220=1；（2）双曲线的标准方程为：x 29−y 216=1，则a 2＝9，b 2＝16，则a ＝3，所以抛物线的焦点坐标为（﹣3，0），则p＝6，所以抛物线的方程为y2＝﹣12x．18．（1）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n+1﹣2S n+S n﹣1＝1，求数列{a n}的通项公式．解：（1）数列{a n}中，因a n+1＝2a n+1，则a n+1+1＝2（a n+1），而a1+1＝2，于是得数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a n+1=2×2n−1=2n，即a n=2n−1，所以数列{a n}的通项公式是a n=2n−1．（2）因数列{a n}前n项和S n满足S n+1﹣2S n+S n﹣1＝1，则（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）＝1，而当n≥2时，S n﹣S n﹣1＝a n，因此有a n+1﹣a n＝1，又由a1＝2，a2＝3得a2﹣a1＝1满足上式，于是得数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，则a n＝2+（n﹣1）×1＝n+1，所以数列{a n}的通项公式是a n＝n+1．19．已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y﹣10＝0相切，直线l过点M（1，2）．（1）求圆C1的标准方程；（2）若直线l被圆C1所截得的弦长为2√3，求直线l的方程．|−10|=2，圆心为（0，0），解：（1）根据已知可得圆的半径为R=√3+4所以圆C1的方程为x2+y2＝4；（2）根据题意，圆C1：x2+y2＝4，其圆心C1（0，0），半径R＝2，又直线l过点M（1，2），且与圆相交，则可设直线l的方程为x﹣1＝m（y﹣2），即x﹣my﹣1+2m＝0，直线l被圆C1所截得的弦长为2√3，则圆心到直线的距离d=√R2−3=√4−3=1，=1，解可得m＝0或m=43，则有√1+m2则直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0．20．已知双曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx+1．（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为√2，求AB的长．解：（1）双曲线C 与直线l 有两个不同的交点， 则方程组{x 2−y 2=1y =kx +1有两个不同的实数根，（1分）整理得（1﹣k 2）x 2﹣2kx ﹣2＝0．（2分）∴{1−k 2≠0Δ=4k 2+8(1−k 2)＞0，解得−√2＜k ＜√2且k ≠±1．（5分） 双曲线C 与直线l 有两个不同交点时，k 的取值范围是（−√2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，√2）．（6分） （2）设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由（1）得x 1+x 2=2k 1−k2=2√2，即√2k 2+k −√2=0，解得：k =√22或k =−√2．∵−√2＜k ＜√2且k ≠±1．∴k =√22（9分）∴Δ＝﹣4k 2+8＝6． ∴|AB|=√(1+k 2)√△1−k2=6（12分）21．在①离心率e =12，②椭圆E 过点(1，32)，③M 在椭圆上，且△MF 1F 2面积的最大值为√3，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，并解决下面两个问题． 设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，下顶点为A ．已知椭圆E 的短轴长为2√3，_____．（1）求椭圆E 的方程；（2）若斜率为k 的直线l 于椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），且直线AP 于AQ 的斜率之和等于2，问直线l 是否经过某一定点？如果经过定点，请求出该定点的坐标；如果不经过定点，请说明理由． 解：（1）选①，∵椭圆E 的短轴长为2√3，∴b =√3，设椭圆E 的半焦距为c ，则e =ca =12，∴a ＝2c ， 又∵a 2＝b 2+c 2，∴4c 2＝3+c 2， ∴c ＝1，a ＝2， ∴椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．选②，∵椭圆E 的短轴长为2√3，∴b =√3， ∵椭圆E 过点(1，32)，∴1a 2+943=1，解得a ＝2， ∴椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．选③，∵椭圆E 的短轴长为2√3，∴b =√3， 设椭圆E 的半焦距为c ，由椭圆的几何性质可知，当点M 在上顶点或下顶点时，△MF 1F 2面积的最大， ∴12×2c ×b =√3，∴c ＝1，∴a 2＝b 2+c 2＝4， ∴椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m ，联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，消去y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，∴Δ＝64k 2m 2﹣4（4k 2+3）（4m 2﹣12）＝16（12k 2+9﹣3m 2）＞0，即m 2＜4k 2+3， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，又∵点A （0，−√3）， ∴直线AP 的斜率k AP =y 1+√3x 1，直线AQ 的斜率k AQ =y 2+√3x 2， ∴k AP +k AQ=kx 1+m+√3x 1+kx 2+m+√3x 2=2k +(m +√3)⋅x 1+x 2x 1x 2= 2k +(m +√3)⋅−8km 4m 2−12=2k 2km m−√3=2√3km−√3=2，∴m =−√3k +√3，∴直线l 的方程为y ＝kx −√3k +√3=k （x −√3）+√3， ∴直线l 恒过定点（√3，√3）． 22．O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 3、F 4，离心率为e 2，已知e 1e 2=√154，且|F 2F 4|=√5−√3．（1）求C 1，C 2的方程；（2）过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 解：因为e 1=√a 2−b 2a，e 2=√a 2+b 2a，F 2（√a 2−b 2，0），F 4（√a 2+b 2，0），所以e 1e 2=√a 2−b 2a⋅√a 2+b 2a=√154①，因为|F 2F 4|=√5−√3，所以|F 2F 4|=√a 2+b 2−√a 2−b 2=√5−√3②， 由①得：a 4−b 4a 4=1516，解得：a ＝2b ，代入②式中，(√5−√3)b =√5−√3， 解得：b ＝1，a ＝2 所以C 1的方程为：x 24+y 2=1，C 2 的方程为：x 24−y 2=1，（2）F 1(−√3，0)，因为直线AB 不垂直于y 轴， 所以设AB 方程为：x =my −√3，联立{x 24+y 2=1x =my −√3，得：(4+m 2)y 2−2√3my −1=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 则y 1+y 2=2√3m 4+m 2，y 1y 2=−14+m 2，y 0=√3m 4+m 2， 则AB =√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4+4m 24+m 2， 因为点M 在直线AB 上，所以x 0=√3m 24+m2−√3=−4√34+m2，k OM =y 0x 0=−m4， 直线OM ：y =−m 4x ，联立{x 24−y 2=1y =−m 4x得：(1−m 24)x 2=1 解得：x =2√4−m ，显然4﹣m 2＞0，故﹣2＜m ＜2，当x =√4−m ，y =2√4−m 当x =√4−m ，则P(√4−m 2√4−m )，√4−m m 2√4−m )，P ，Q 点到直线AB 距离分别是：d 1=|2√2+m 2√2+√3|√1+m =2√2+m2√2+√3√1+m d 2=|−2√2−m 2√2+√3|√1+m ，因为P ，Q 点直线AB 两侧，故√4−m −22√4−m √3)(√4−m 22√4−m +√3)＜0，显然√4−m 2+22√4−m 2+√3＞0， 所以√4−m 22√4−m +√3＜0，所以d2=|−2−m2+√3|√1+m=2+2√42−√3√1+m，则d1+d2=42+m22√1+m=4+m2√1+m√4−m，则四边形APBQ面积S=12AB⋅(d1+d2)=12⋅4+4m24+m22√1+m√4−m=2√1+m24−m2=2√54−m2−1，当m＝0时，四边形APBQ面积S=12AB⋅(d1+d2)=12⋅4+4m 24+m24+m2√1+m√4−m=2√1+m24−m2=2√54−m2−1取得最小值，此时S＝1，此时AB方程为：x=−√3，符合题意，故四边形APBQ面积的最小值为1．第21页（共21页）。

2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．1604．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）10．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2D．d2＜d1＜111．已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞012．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加．解答：解：因为z=1﹣i，所以=．故选D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．4．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：导数的几何意义；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，同时考查了数形结合法的应用，本题属于中档题．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），∴，∴c=3故选：C．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．6．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．解答：解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a＞5）得：b=5，则a==，由椭圆的定义可得，△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．点评：本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种考点：分类加法计数原理．专题：分类讨论．分析：4枚硬币摆成一摞，应该有3类：（1）正反依次相对，（2）有两枚反面相对，（3）有两枚正面相对；本题（1）（2）满足题意．解答：解：记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112；共5种摆法，故选B点评：本题考查的是排列组合中的分类计数原理，对于元素较少的可以利用列举法求解；属于基本知识和基本方法的考查．8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；简易逻辑．分析：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可；②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论；③直接写出全称命题的否定判断；④利用基本不等式，可得结论．解答：解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，考查了命题的否命题、全称命题的否定、充要条件，属于中档题．9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）≥0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．解答：解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）≥0∴有，即当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2]时，f（x）为减函数∴f（1）≥f（2），f（3）≥f（2）∴f（1）+f（3）≥2f（2）故选：C点评：本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小．10．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ）A ． 1＜d 1＜d 2B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜1考点： 点、线、面间的距离计算．专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析： 过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角，能够推导出d 2＜d 1＜1．解答： 解：过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE ＜CB ，即d 2＜1．同理，d 1＜1．再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d 2＜d 1．所以d 2＜d 1＜1．故选D ．点评： 本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（ ）A ． ||＞||B ． ||＜||C ． |﹣|=0D ． |﹣|＞0考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 特殊化，取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，可得+==2，+==2，即可得出结论．解答： 解：取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C点评： 特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法．12．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n，再求相应的函数值．解答：解：∵函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，∴P（1，1），∵y=x n+1，∴y′=（n+1）x n，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，故y=x n+1在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0可得x=，即该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==﹣1，故选B．点评：本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是2﹣2．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．解答：解：由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为：2﹣2点评：本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解答：解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n2﹣n+5．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据数阵的排列规律确定第n行（n≥3）从左向右的第3个数为多少个奇数即可．解答：解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n ﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为为第个奇数，所以此时第3个数为：1=n2﹣n+5．故答案为：n2﹣n+5．点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是2．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2a，0），C（﹣，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x=a上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（a，+），由条件=x+y，得（a，+）=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．当且仅当a=1时取等号．故答案为：2．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题．分析：（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1．（2）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1两两垂直．由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．解答：（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．考点：二维形式的柯西不等式；函数恒成立问题．专题：选作题；不等式．分析：（Ⅰ）利用柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3，问题等价于|x﹣1|+|x+1|≥3．解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；（Ⅱ）由于摸球次数为ξ，按题意则ξ=1，2，3，4，利用随机变变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得．解答：解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．则P（A）=，P（B）==；三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P（C）==；（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．，，，．故取球次数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P=．点评：此题考查了学生的理解及计算能力，考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，还考查了离散型随机变量的定义及分布列，随机变量的期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t ﹣t的性质求解．解答：解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．点评：本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，是高考中经常考查的知识点和方法，特别是第二小问，通过数形转化后，对于“∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，”的处理介绍了两种方法，对于拓宽学生的思维，拓展学生的思路有一定的指导作用，不过不管是哪种方法，最终都需要用导数的知识来进一步分析．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由直线l的方程为x+2y﹣1=0，求出C，D的坐标，进而可求△OCD外接圆的圆心与半径，即可求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），与椭圆方程联立，由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合，利用韦达定理，求出k，由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|，求出m，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）因为直线l的方程为x+2y﹣1=0，所以与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点．…（1分）则线段CD的中点，，…（3分）即△OCD外接圆的圆心为，半径为，所以△OCD外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则，D（0，m），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，…（7分）所以△=16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题．分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k 时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答：解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．。

2018—2019学年度九年级上学期期中测试数学参考答案一、 选择题二、 填空题 11．4 12．41，21 13．-2 14．22x y -= 15．43或49 16．（56-，512）三、 解答题17．∵1=a ，3-=b ，2-=c ，....................................3分 ∴01721434Δ22>=-⨯⨯--=-=)()(ac b ． (5)∴21732Δ±=±-=a b x ．∴21731+=x，21732-=x ．………………………8分（配方法另行评分细则）18．（1）1>x ………………………………2分 （2）11-=x ，32=x ………………………………4分 （3）31<<-x ………………………………6分 （4）5>k ………………………………8分 19．（1）如图 ……………………………………3分 （2）如图 ……………………………………6分 （3）（2，-2）或（-2，4） ………………………………8分 （写对一个坐标给1分） 20．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（3，3），设抛物线的解析式为332+-=)(x a y ，∵点（6，0）在抛物线上， ∴03362=+-)(a ， ∴31-=a ． ∴抛物线的解析式为33312+--=)(x y ．………………………………5分 （2）当1=y 时，133312=+--)(x ， ∴631+=x ， 632-=x ． ∴)()]()[(62663636-=--+- 米． 即水面宽度减少)(626-米． ………………………………8分21．（1）x 212- ， x 24- ………………………………………2分(每空1分)（2）列方程： 412852422122⨯⨯=-+-)()(x x x x ， ……………………………4分0151642=+-x x ， 解得： 231=x ， 252=x ． ……………………6分∵024>-x ， ∴2<x ． ∴252=x 舍去． ∴23=x ． …………8分22．（1）设b kx y +=，将（75，150），（78，120）代入， ⎩⎨⎧=+=+1207815075b k b k ∴⎩⎨⎧=-=90010b k ∴90010+-=x y （68 ≤x ≤ 90）……3分（2）① 40 ， 3360 ………………………………5分(每空1分)②360001300104090010402-+-=-+-=-=x x x x x y w ))(()(……………6分 （3）625065102+--=)(x w ∵010<-=a ∴w 有最大值∵当x ≥ 65时，w 随x 的增大而减小 而68 ≤x ≤ 90∴当x = 68时, 616062506568102=+--=)(max w即该商品日销售利润的最大值为6160元． ……………………………………10分 23．（1）60° ………………………………3分（2）不变，∠GCH = 60°,理由如下： 连接BG ，BD ，DH ，BD 与CG 交于点O ．∵AB = AD ，∠BAD = 60°， ∴△ABD ∴∠ABD =∠ADB = 60°，AB = BD ．∵四边形ABEG 是平行四边形，∴AG = BE ，∠BAG = 180°-∠ABE ． ∵BE = BC ， ∴AG = BC ． ∵∠ABD = 60°，∠CBE = 120°， ∴∠DBC = 180°-∠ABE ． ∴∠BAG =∠DBC ． ∵AG = BC ，∠BAG =∠DBC ，AB = BD ，∴△BAG ≌△DBC ．∴BG = CD ，∠1 =∠2．同理△DBC ≌△ADH ，BC = DH ，∠DBC =∠ADH ．∵∠1 =∠2，∠ABD =∠ADB ，∠DBC =∠ADH ，∴∠GBC =∠CDH ． ∵GB = CD ，∠GBC =∠CDH ，BC =DH ，∴△GBC ≌△CDH ．∴∠3=∠4．E∵∠GCH +∠4+∠2+∠COD =∠ABD +∠3+∠1+∠BOG = 180°，∴∠GCH =∠ABD = 60°． ………………………………7分（也可连接BG ，BD ，DH ，HG ，证△GBC ≌△CDH ≌△HAG ，△GCH 是等边三角形 ）（3）1462++ ………………………………10分24．（1）∵抛物线的对称轴为直线1-=x ，∴121-=--a ∴21-=a ∴c x x y +--=221 将A （-4，0）代入解析式中 044212=+---⨯-c )()(∴抛物线的解析式为4212+--=x x y （2）当0=y 时，04212=+--xx ，解得，41-=x ，2=x ∴A （-4，0），B （2，0） 当0=x 时，4=y ∴C （0，4） ∴AO = CO = 4，OB ∵0=m ∴点D 在y 轴上①当点D 在y 轴正半轴上时，如图所示∵∠DAB = ∠BCO ，AO = CO ，∠AOD = ∠COB = 90°∴△DAO ≌△BCO ∴OD = OB = 2 ∴D （0，2）设AD 的解析式为b kx y +=，将A （-4，0），D （0，2）代入∴⎩⎨⎧==+-204b b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧==221b k ∴221+=x y 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+=4212212x x y x y ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=0411y x ⎪⎩⎪⎨⎧==25122y x ∴1H （1，25） ②当点D 在y 轴负半轴上时，如图所示,同理可得△DAO ≌△BCO ，∴D （0，-2） 设AD 的解析式为b kx y +=，将A （-4，0），D （0，-2）代入 ∴⎩⎨⎧-==+-204b b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=221b k ∴221--=x y联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=4212212x x y x y ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=0411y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==27322y x ∴2H （3，27-）综上所述：点H 的坐标为（1，25）或（3，27-） ………7分（写对一个坐标给2分）（3）设经过点D 的直线解析式为b kx y +=，将D （m ,5）代入，∴5=+b km ∴km b -=5∴经过点D 的直线解析式可以表示为km kx y -+=5联立⎪⎩⎪⎨⎧+--=-+=42152x x y km kx y ∴ 011212=-+++)()(km x k x ∵经过点D 的直线DE 和DF 都与抛物线只有一个交点 ∴012141Δ2=-⨯⨯-+=)()(km k ∴01222=-++k m k )( 设直线DE 的解析式为m k x k y 115-+=，直线DF 的解析式为m k x k y 225-+=， 则)(1221+-=+m k k ，121-=k k ， 在m k x k y 115-+=中，当1-=x 时m k k y 115--= ∴M （-1, m k k 115--） 在m k x k y 225-+=中，当1-=x 时 m k k y 225--= ∴N （-1, m k k 225--） 设P （-1，t ），则PM )()(151+--=m k t ，PN )()(152+--=m k t PD 22215)()(++-=m t ∵PD 2=PM ·PN∴)]()[()]()[()()(1515152122+--⨯+--=++-m k t m k t m t ∴22121222115515)())()(()()()(+++-+--=++-m k k m t k k t m t ∴22211521)())(()(+-+-=+m m t m ∴22151))(()(+-=+m t m∵1-≠m ∴t -=51 ∴4=t∴点P 的坐标为（-1，4） …………………………………………12分。

华中师大一附中2018—2019学年度上学期期末考试高二年级数学(理科)试题一，选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.)1.用秦九韶算法求多项式当地值时,,则地值是A. 2B. 1C. 15D. 17【结果】C【思路】【思路】运用秦九韶算法将多项式进行化简,然后求出地值【详解】,当时,,故选【点睛】本题主要考查了秦九韶算法,结合已知款件即可计算出结果,较为基础2.某宠物商店对30只宠物狗地体重(单位：千克)作了测量,并依据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示,则这30只宠物狗体重(单位：千克)地平均值大约为A. 15.5B. 15.6C. 15.7D. 16【结果】B【思路】【思路】由频率分布直方图分别计算出各组得频率，频数,然后再计算出体重地平均值【详解】由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为：,频数为：则平均值为：故选【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数,需要注意计算不要出错3.若方程,其中,则方程地正整数解地个数为A. 10B. 15C. 20D. 30【结果】A【思路】【思路】将方程正整数解问题转化为排列组合问题,采用挡板法求出结果【详解】方程,其中,则将其转化为有6个完全相同地小球,排成一列,利用挡板法将其分成3组,第一组小球数目为第二组小球数目为第三组小球数目为共有种方式故方程地正整数解地个数为10故选【点睛】本题主要考查了多圆方程地正整数解地问题,在求解过程中将其转化为排列组合问题,运用挡板法求出结果,体现地转化地思想4.过作圆地切线,切点分别为,且直线过双曲线地右焦点,则双曲线地渐近线方程为A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】由题意先求出直线地方程,然后求出双曲线地右焦点,继而解出渐近线方程【详解】过作圆地切线,切点分别为,则两点在以点,连接线段为直径地圆上则圆心为,圆地方程为直线为两圆公共弦所在直线则直线地方程为：即,交轴由题意可得双曲线地右焦点为则解得,,故渐近线方程,即故选【点睛】本题主要考查了直线，圆，双曲线地综合问题,在解题过程中运用了直线与圆相切,两圆公共弦所在直线方程地求解,最后再结合款件计算出双曲线方程,得到渐近线方程,知识点较多,需要熟练掌握各知识点5.给出下面结论：(1)某学校从编号依次为001,002,…,900地900个学生中用系统抽样地方式抽取一个样本,已知样本中有两个相邻地编号分别为053,098,则样本中最大地编号为862.(2)甲组数据地方差为5,乙组数据为5，6，9，10，5,那么这两组数据中较稳定地是甲.(3)若两个变量地线性相关性越强,则相关系数地值越接近于1.(4)对A，B，C三种个体按3:1:2地比例进行分层抽样调查,若抽取地A种个体有15个,则样本容量为30.则正确地个数是A. 3B. 2C. 1D. 0【结果】C【思路】【思路】运用抽样，方差，线性相关等知识来判定结论是否正确【详解】（1）中相邻地两个编号为053,098,则样本组距为样本容量为则对应号码数为当时,最大编号为,不是,故（1）错误（2）甲组数据地方差为5,乙组数据为5，6，9，10，5,则乙组数据地方差为那么这两组数据中较稳定地是乙,故（2）错误（3）若两个变量地线性相关性越强,则相关系数地绝对值越接近于1,故错误（4）按3:1:2地比例进行分层抽样调查,若抽取地A种个体有15个,则样本容量为,故正确综上,故正确地个数为1故选【点睛】本题主要考查了系统抽样，分层抽样，线性相关，方差相关知识,熟练运用各知识来进行判定,较为基础6.已知是之间地两个均匀随机数,则“能构成钝角三角形三边”地概率为A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】由已知款件得到有关地范围,结合图形运用几何概型求出概率【详解】已知是之间地两个均匀随机数,则均小于1,又能构成钝角三角形三边,结合余弦定理则,又由三角形三边关系得,如图：则满足款件地区域面积为,则满足题意地概率为,故选【点睛】本题考查了几何概率,首先要得到满足题意中地款件地不等式,画出图形,由几何概率求出结果,在解题中注意限制款件7.已知实数满足,则地取值范围是A. (－∞,0]∪(1,+∞)B. (－∞,0]∪[1,+∞)C. (－∞,0]∪[2,+∞)D. (－∞,0]∪(2,+∞)【结果】A【思路】【思路】先画出可行域,化简款件中地,将范围问题转化为斜率问题求解【详解】由,可得令,则为单调增函数即有可行域为：又因为,则问题可以转化为可行域内地点到连线斜率地取值范围将代入将代入结合图形,故地取值范围是故选【点睛】本题主要考查了线性规划求范围问题,在解答过程中要先画出可行域,然后将问题转化为斜率,求出结果,解题关键是对款件地转化8.在二项式地展开式中,当且仅当第5项地二项式系数最大,则系数最小地项是A. 第6项B. 第5项C. 第4项D. 第3项【结果】C【思路】【思路】由已知款件先计算出地值,然后计算出系数最小地项【详解】由题意二项式地展开式中,当且仅当第5项地二项式系数最大,故二项式展开式地通项为要系数最小,则为奇数当时,当时,当时,当时,故当当时系数最小则系数最小地项是第4项故选【点睛】本题主要考查了二项式展开式地应用,结合其通项即可计算出系数最小地项,较为基础9.已知椭圆地左，右焦点分别为,过地直线与椭圆交于两点,若且,则椭圆地离心率为A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】由已知款件进行转化,得到三角形三边地表示数量关系,再结合款件运用余弦定理求出结果【详解】如图得到椭圆图形,由题意中,两个三角形高相同故可以得到,又则,,由可以推得,即有,,,又因为,所以即有化简得,即,解得,故椭圆地离心率为故选【点睛】本题考查了求椭圆地离心率以及直线和椭圆地位置关系,结合椭圆地定义和已知角相等分别求出各边长,然后运用余弦定理求出结果,需要一定地计算量10.将一颗质地均匀地骰子先后抛掷三次,则数字之和能被3整除地概率为A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】先计算出一共有多少种情况,然后再计算出满足数字之和能被3整除地情况,求出概率【详解】先后抛掷三次一共有种情况数字之和能被3整除,则以第一次出现1为例,有：,共种,则运用枚举法可得数字之和能被3整除一共有种可能,数字之和能被3整除地概率为故选【点睛】本题主要考查了古典概率,结合古典概率公式分别求出符合款件地基本事件数,然后计算出结果,较为基础11.在下方程序框图中,若输入地分别为18，100,输出地地值为,则二项式地展开式中地常数项是A. 224B. 336C. 112D. 560【结果】D【思路】【思路】由程序图先求出地值,然后代入二项式中,求出展开式中地常数项【详解】由程序图可知求输入地最大公约数,即输出则二项式为地展开通项为要求展开式中地常数项,则当取时,令解得,则结果为,则当取时,令,解得,则结果为,故展开式中地常数项为,故选【点睛】本题考查了运用流程图求两个数地最大公约数,并求出二项式展开式中地常数项,在求解过程中注意题目地化简求解,属于中档题12.如下图,已知分别为双曲线地左，右焦点,过地直线与双曲线C地右支交于两点,且点A，B分别为地内心,则地取值范围是A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】由双曲线定义结合内切圆计算出点地横坐标,同理计算出点地横坐标,可得点地横坐标相等,然后设,用含有地正切值表示出内切圆半径,求出地取值范围.【详解】如图,圆与切于点三点,由双曲线定义,即,所以则,又,,故,同理可得,即,设,,,直线与双曲线右支交于两点,又知渐近线方程为,可得,设圆和圆地半径分别为,则,,所以因为,由基本不等式可得,故选【点睛】本题考查了直线与双曲线地位置关系,又得三角形地内切圆问题,在求解过程中将其转化利用双曲线定义求出,且得到两点横坐标,然后结合了三角函数求出半径之和,考查了转化地能力,较为综合二，填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.向正方形随机撒一些豆子,经查数,落在正方形内地豆子地总数为1000,其中有780粒豆子落在该正方形地内切圆内,以此估计圆周率地值(用分数表示)为____________.【结果】【思路】【思路】运用古典概率和几何概率来估计圆周率地值【详解】令正方形内切圆地半径为,则正方形边长为,则由题意中“落在正方形内地豆子地总数为1000,其中有780粒豆子落在该正方形地内切圆内”可得,化简得【点睛】本题考查了结合概率问题来估计圆周率地值,较为基础14.下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生地表演打出地分数地茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91分,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中地x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是____________.【结果】1【思路】【思路】因为题目中要去掉一个最高分,所以对进行分类讨论,然后结合平均数地计算公式求出结果【详解】若,去掉一个最高分和一个最低分86分后,平均分为,不符合题意,故,最高分为94分,去掉一个最高分94分,去掉一个最低分86分后,平均分,解得,故数字为1【点睛】本题考查了由茎叶图求平均值,理解题目意思运用平均数计算公式即可求出结果,注意分类讨论15.将排成一排,则字母不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻地概率是___ _________.【结果】【思路】【思路】分类讨论不同字母和数字地特殊情况可能出现地结果,然后运用古典概率求出结果【详解】将排成一排一共有种不同排法,则字母不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻有种不同地排法,所以其概率为,故结果为【点睛】本题考查了排列组合问题,注意在排列过程中一些特殊地位置要求,不重复也不遗漏,属于中档题16.已知圆上存在点,使(为原点)成立,,则实数地取值范围是____________.【结果】【思路】【思路】依据款件中计算出点地轨迹,然后转化为圆和圆地位置关系求出实数地取值范围【详解】由题意中,设,则,化简得,又点在圆上,故两圆有交点,可得,又因为,解得【点睛】本题考查了圆和圆地位置关系,在解题时遇到形如款件时可以求出点地轨迹为圆,然后转化为圆和圆地位置关系来求解,属于中档题三，解答题：(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.为了解华师一附中学生喜欢吃辣是否与相关,调研部(共10人)分三组对高中三个年级地学生进行调查,每个年级至少派3个人进行调查.(1)求调研部地甲，乙两人都被派到高一年级进行调查地概率.(2)调研部对三个年级共100人进行了调查,得到如下地列联表,请将列联表补充完整,并判断是否有以上地把握认为喜欢吃辣与相关？喜欢吃辣不喜欢吃辣合计男生10女生2030合计100参考数据：参考公式：,其中.【结果】（1）。