【教学随笔】排列、组合问题分类解析

排列组合问题的20种解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

复习巩固分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在1第2类办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同2的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做1第2步有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么2完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。

其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。

加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。

分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。

以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。

（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。

在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

例1： 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。

故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。

注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。

解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233A A A 种。

故共有21114233A +A A A =30（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列为35A ，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有30个偶数．（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有 解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有44A 种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有113333A A A 种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：21134333A A A A 78+=种．（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

题目：排列组合常见种类与解决办法排列组合常见种类与解决办法介绍排列组合是离散数学中的一个重要概念，应用广泛于各个领域，包括数学、计算机科学、统计学等。

排列组合问题涉及到元素的排列和组合方式，常见的种类包括排列、组合、置换和分组等。

本文将介绍这些常见的排列组合种类，并提供相应的解决办法。

排列排列是指从一组元素中选取若干元素进行排序，其中元素的顺序是重要的。

排列问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。

无重复元素的排列无重复元素的排列问题可以通过以下方法解决：1. 阶乘法：对于给定的元素个数 n，可以通过计算 n 的阶乘来得到所有可能的排列数。

$$P(n) = n!$$2. 递归法：可以通过递归的方式来生成所有可能的排列。

从给定的元素列表中选取一个元素作为起始，然后递归地对剩余的元素进行排列。

有重复元素的排列有重复元素的排列问题可以通过以下方法解决：1. 字典序法：首先将元素按照字典序排序，然后通过递归的方式生成排列。

组合组合是指从一组元素中选取若干元素，无需考虑元素的顺序。

组合问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。

无重复元素的组合无重复元素的组合问题可以通过以下方法解决：1. 组合数公式：对于给定的元素个数 n 和选取的元素个数 k，可以使用组合数公式来计算组合数。

$$C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}$$2. 回溯法：通过回溯的方式生成所有可能的组合。

从给定的元素列表中选取一个元素作为起始，然后递归地对剩余的元素进行组合。

有重复元素的组合有重复元素的组合问题可以通过以下方法解决：1. 增加限制条件：在生成组合的过程中，设置限制条件，限制重复元素的选择次数。

置换置换是指从一组元素中选取若干元素进行排列，其中元素的顺序非常重要。

与排列不同的是，置换要求选取的元素个数与元素总数相同。

置换问题可以通过以下方法解决：1. 阶乘法：对于给定的元素个数 n，可以通过计算 n 的阶乘来得到所有可能的置换数。

排列组合的知识点（一）排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法。

(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！（二）组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的。

[反思] 排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。

简单举例：1、2、3挑两个组成一个数字和1、2、3挑两个数字是完全不一样的！1、2、3挑两个组成一个数字那是排列；1、2、3挑两个数字那是组合。

例如我选1和2，排列里面12和21是两个数字！但是组合的话挑1和2就和挑2和1没有分别！！！《排列组合》教案教学目标：一.知识与技能目标：使学生通过观察，猜测，试验等活动，找出简单事物的排列规律，培养学生初步观察，分析，推理能力，以及有规律的全面思考问题。

二.过程与方法：引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。

三.情感态度目标：感受数学与生活的联系，激发学习数学，探索数学的浓厚兴趣，使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。

高中数学中的排列组合问题详解在高中数学中，排列组合问题是一种非常常见的数学问题。

它们涉及到各种实际问题，比如从一幅扑克牌中抽出几张牌需要考虑排列组合，选择全国各地的学校代表参加一个比赛也需要考虑排列组合的问题。

下面，我们来详细地了解一下排列组合问题以及它们的应用。

1. 排列问题排列问题指的是在一组元素中按照一定的次序选取部分元素的过程。

其结果称为排列。

如果我们有n个不同的元素，从中选取r个元素，那么根据不同的次序，可能会有不同的排列，总数为n × (n-1) × (n-2) × ... ×(n-r+1)，通常用P(n,r)表示。

例如，从一幅扑克牌中抽出5张牌，那么所有可能的排列数就是P(52,5) = 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311875200。

排列问题的应用非常广泛。

比如在选举会长的时候，如果有n 个人参加，我们要选出r个人进行投票，那么所有可能的排列数就是P(n,r)。

在密码学中，如果我们要从n个不同的字符中选取r个字符作为密码，那么密码的总数就是P(n,r)。

2. 组合问题与排列问题不同，组合问题不考虑元素的次序，只考虑元素的选择，其结果称为组合。

如果我们有n个不同的元素，从中选取r个元素，那么组合数为C(n,r) = P(n,r) / r!，其中r!表示r的阶乘。

例如，从一幅扑克牌中抽出5张牌，不考虑排列，组合数就是C(52,5) = 52 × 51 × 50 ×49 × 48 / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 2598960。

组合问题也有很多应用。

比如在选择学生代表参加一个比赛时，如果有n个学校，每个学校只能派出一个代表，那么所有可能的组合数就是C(n,1)。

在密码学中，如果我们要从n个不同的字符中选取r个字符作为密码，不考虑次序，那么密码的总数就是C(n,r)。

排列与组合的问题与解法排列与组合是组合数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、计算机科学、统计学等领域。

在解决排列与组合的问题时，我们需要理解其基本定义和相关的解法。

本文将介绍排列与组合的概念和性质，并详细阐述其中的解题方法。

一、排列和组合的定义排列和组合是数学中用于描述元素选择和排列方式的概念。

它们的区别在于排列考虑元素的顺序，而组合则不考虑顺序。

1. 排列排列是指从给定元素集合中选取一部分元素进行排列，形成不同的顺序。

设有n个元素，选取m个进行排列，称为从n个元素中取m个元素的排列数，记作P(n, m)。

其计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，“!”表示阶乘，即连乘从1到n的所有正整数。

2. 组合组合是指从给定元素集合中选取一部分元素，但不考虑元素的顺序，形成的集合。

设有n个元素，选取m个进行组合，称为从n个元素中取m个元素的组合数，记作C(n, m)或者(n choose m)。

其计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)二、排列和组合的性质排列和组合有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们在解决问题时快速计算排列数和组合数。

1. 互补关系排列和组合存在互补关系，即P(n, m) = C(n, m) * m!这是因为从n个元素中选取m个元素形成一个组合后，通过对选取的元素进行排列产生不同的排列方式，因此需要乘以m!。

2. 递推关系排列和组合之间还存在递推关系。

假设有n个元素，选取m个进行排列或者组合，有以下递推关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)递推关系的理解可以通过递归方式进行推导，也可以从组合数的角度去理解。

三、排列和组合的应用举例排列和组合的概念和解法在实际问题中有广泛应用。

下面通过几个典型例子来说明其应用。

1. 生日问题假设一个班级有30个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？解法：这个问题可以通过计算不同生日组合的数量，然后除以总的可能组合数量来得到概率。

数学排列组合题解析数学中的排列组合是一种重要的概念，它在解决各种问题时起着重要的作用。

排列组合题目常见于数学竞赛、考试和实际生活中的各种问题。

本文将对数学排列组合题进行解析，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、排列组合的基本概念排列和组合是数学中两个不同的概念。

排列指的是从一组元素中取出若干个元素进行排列，而组合是从一组元素中取出若干个元素进行组合。

排列和组合的计算方法也有所不同。

1. 排列排列是指从一组元素中取出若干个元素进行排列。

假设有n个元素，要从中取出m个元素进行排列，那么排列的总数为n的阶乘除以(n-m)的阶乘。

即P(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合组合是指从一组元素中取出若干个元素进行组合。

假设有n个元素，要从中取出m个元素进行组合，那么组合的总数为n的阶乘除以m的阶乘再除以(n-m)的阶乘。

即C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)二、排列组合的应用排列组合在实际生活中有着广泛的应用。

下面将通过几个例子来说明排列组合的具体应用。

1. 生日问题假设有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？这个问题可以通过排列组合的思想来解决。

首先考虑没有人生日相同的情况，那么第一个人的生日可以是任意一天，第二个人的生日只能是除了第一个人生日那天的其他364天，以此类推，第n个人的生日只能是除了前n-1个人生日那天的其他364天。

所以没有人生日相同的概率为P(n) = 364/365 * 363/365 * ... * (365-n+1)/365。

那么至少有两个人生日相同的概率为1 - P(n)。

2. 组合数的应用假设有10个人，要从中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？这个问题可以通过组合的思想来解决。

根据组合的定义，从10个人中选出3个人的组合数为C(10,3) = 10! / (3! * 7!) = 120。

三、排列组合题的解题技巧解决排列组合题需要掌握一些解题技巧，下面将介绍几个常用的技巧。

小学数学排列与组合问题数学是一门让人们思考和逻辑能力得到提升的学科。

在小学阶段，数学教育旨在培养学生的基础数学知识和问题解决能力。

其中，排列与组合是数学中一个重要的概念，它涉及到数的排列和组合方法的计算。

在本文中，我们将探讨小学数学中的排列与组合问题，并通过一些例子来帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、排列问题排列是指从给定的元素中按照一定的规则选择若干个元素进行排列的问题。

在小学数学中，我们通常会碰到两种常见的排列问题：全排列和部分排列。

1. 全排列全排列是指从给定的元素中选择所有元素进行排列的问题。

假设我们有3个元素A、B、C，那么它们的全排列有6种，分别是ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。

2. 部分排列部分排列是指从给定的元素中选择一部分元素进行排列的问题。

假设我们有3个元素A、B、C，我们要求从中选择2个元素进行排列，那么它们的部分排列有6种，分别是AB、AC、BA、BC、CA、CB。

在排列问题中，我们可以使用数学公式来计算全排列和部分排列的数量。

全排列的计算公式为n!（n的阶乘），其中n表示元素的个数。

部分排列的计算公式为n! / (n - m)!，其中n表示元素的个数，m表示选择的元素个数。

二、组合问题组合是指从给定的元素中选择若干个元素进行组合的问题。

在小学数学中，我们通常会碰到两种常见的组合问题：无重复组合和有重复组合。

1. 无重复组合无重复组合是指从给定的元素中选择若干个不重复的元素进行组合的问题。

假设我们有3个元素A、B、C，我们要求从中选择2个元素进行组合，那么它们的无重复组合有3种，分别是AB、AC、BC。

2. 有重复组合有重复组合是指从给定的元素中选择若干个元素进行组合的问题，允许选择的元素重复。

假设我们有3个元素A、B、C，我们要求从中选择2个元素进行组合，那么它们的有重复组合有6种，分别是AA、AB、AC、BB、BC、CC。

在组合问题中，我们可以使用数学公式来计算无重复组合和有重复组合的数量。

高中数学排列与组合的解题思路与应用在高中数学中，排列与组合是一个非常重要的概念和技巧，它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在现实生活中也有很多实际的应用。

掌握排列与组合的解题思路和应用方法，对于高中学生来说是非常有益的。

本文将通过具体的题目举例，详细介绍排列与组合的解题思路和应用。

一、排列问题排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的问题。

在解决排列问题时，我们需要关注以下几个方面的内容。

1.1 排列的基本概念考虑一个简单的排列问题：有5个人要排队，问有多少种不同的排队方式？这个问题可以用排列的概念来解决。

对于这个问题，我们可以先考虑第一个位置，有5种选择；然后考虑第二个位置，有4种选择；以此类推，直到考虑第五个位置，有1种选择。

根据乘法原理，总的排队方式数为5×4×3×2×1=120种。

1.2 排列问题的应用排列问题在实际生活中有很多应用，比如在组织活动时，需要确定参与活动的人员的座位安排；在密码学中，需要确定密码的不同排列方式以提高密码的安全性。

通过解决排列问题，我们可以提高思维的灵活性和逻辑推理能力。

二、组合问题组合是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的组合方式进行组合的问题。

在解决组合问题时，我们需要关注以下几个方面的内容。

2.1 组合的基本概念考虑一个简单的组合问题：有7个人中选取3个人组成一个委员会，问有多少种不同的选取方式？这个问题可以用组合的概念来解决。

对于这个问题，我们可以先考虑选取的第一个人，有7种选择；然后考虑选取的第二个人，有6种选择；最后考虑选取的第三个人，有5种选择。

由于选取的人员顺序不重要，所以需要除以选取人数的阶乘。

根据组合的定义，总的选取方式数为7×6×5/(3×2×1)=35种。

2.2 组合问题的应用组合问题在实际生活中也有很多应用，比如在购买彩票时，需要从指定的数字中选取若干个数字进行投注；在统计学中，需要确定不同样本的组合方式以进行数据分析。

高考数学中的排列组合题解析在高考数学中，排列组合题是一种常见的题型。

它要求考生通过理解和运用排列和组合的概念解决实际问题。

本文将对高考数学中的排列组合题进行解析，帮助考生更好地理解和应用相关知识。

一、排列和组合的基本概念在解析排列组合题之前，首先要明确排列和组合的基本概念。

1. 排列排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列起来。

对于n个元素，从中选取m个元素进行排列的方式数表示为P(n, m)，即排列数。

2. 组合组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑顺序的方式。

对于n个元素，从中选取m个元素进行组合的方式数表示为C(n, m)，即组合数。

二、排列组合题的解题思路解决排列组合题的关键在于确定问题所涉及的排列和组合关系，以及正确运用相关的计算公式。

1. 确定问题类型首先需要确定问题是属于排列还是组合的类型，进而判断所要计算的是排列数还是组合数。

2. 计算排列与组合根据确定的问题类型，运用相应的计算公式计算出排列数或组合数。

3. 进一步应用在确定了排列数或组合数之后，考生需要进一步应用解答问题。

有时需要考虑多种情况，或者结合其他数学知识，进行进一步的推理和计算。

三、解析示例为了更好地理解和应用排列组合的知识，以下举例说明：【例题】某班有20个学生，其中男生12人，女生8人。

要从这20个学生中选出一个学习委员和一个体育委员，问有多少种选法？【解析】本题可以看作是从20个学生中选取2个进行排列的问题。

首先，要选出一个学习委员，有20个学生可选；然后从剩下的19个学生中选一个体育委员。

因此，根据排列的性质，可得到解答，即：P(20, 2) = 20 × 19 = 380所以，共有380种选法。

四、排列组合题的拓展应用除了基本的排列组合计算外，排列组合题还常常与其他数学概念和方法相结合，拓展应用于实际问题解决中。

例如，在概率统计和图论等领域，排列组合的思想都有重要的应用价值。

五、总结通过本文的解析，我们可以发现在高考数学中，排列组合题的解答思路相对较为简单明了。