三角形内角和与外角

三角形内角和定理的证明

知识梳理:

一．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.

符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.

变式：∠A＝180°－∠B－∠C.

谈重点三角形内角和解读

(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；

(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；

(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；

(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．

例：1、在一个三角形中，下列说法错误的是()．

A．可以有一个锐角和一个钝角

B．可以有两个锐角

C．可以有一个锐角和一个直角

D．可以有两个钝角

2、已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()．

A．60°B．75°C．90°D．120°

3、一副三角板（分别含45°角和60°角）如图1叠放在一起，求图中∠α的度数。

分析：欲求∠α的度数，需先求出∠BAE，而∠BAE＋∠B=∠FED，求∠BAE

要用三角形外角的性质。

二．三角形的外角

(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．

如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．

(2)三角形外角的特征

三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．

(3)三角形外角的实质

是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.

如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.

三角形外角定理：三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和。如刚才的例子，∠ACD=∠A+∠B。

试证明之：

例：1、如图所示，∠1为三角形的外角的是()．

2、如图所示，在△ABC中D是AC延长线上的一点，∠BCD等于（）

A．72°B．82°C．98°D．124°

（1）如右图所示，△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，若∠ADB=93•°，•则∠A=_________．

3．

（2）三角形的三个外角中，最多有______个锐角．

3、已知△ABC中，点P是△ABC内的一点，连接BP、CP，试说明：∠BPC=∠ABP＋∠ACP＋∠A。

分析：可用三角形的外角定理解题，所以本题要构造三角形的外角。

三．三角形内角和定理的证法

在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：

(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图①和图②.

(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．

四．三角形内角和定理的运用

(1)利用定理求角的度数或证明

生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．

(2)利用定理判断三角形的形状

根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．

①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；

②②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；

③③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．

例：1、如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？

例2、若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是()．

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等边三角形

例3、△ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．

例4、如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

一、填空

（1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______.

（2）在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______.

（3）在△ABC中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______.

（4）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______.

（5）在图6—5—1和6—5—2中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______

（6）已知，如图6—5—3，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______.

图6—5—1 图6—5—2 图6—5—3

二、选择题

（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）

A.65°

B.115°

C.80°

D.50°

（2）两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线（）

A.相互重合

B.互相平行

C.相互垂直

D.无法确定相互关系

（3）如图，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）

A.35°

B.45°

C.55°

D.75°

三、解答

（1）一块大型模板如图6—5—5，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检查模板是否合格？

图6—5—5

（2）小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对知识掌握的程度，她给小白出了一道这样的题目：

图6—5—6

如图6—5—6，证明五边形的内角和等于540°.即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°.