北京市怀柔区2015-2016学年八年级上期末数学试卷含答案解析

怀柔区2015—2016学年度第一学期初一期末质量检测数 学 试 卷 2016.1考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，31道小题，满分120分．考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中绝对值等于2的点是 A.点A B. 点B C. 点C D. 点D2. 飞机在飞行过程中，如果上升23米记作“+23米”，那么下降15米应记作 A ．-8米 B ． +8米 C ．-15米 D ．+15米3. 据统计，怀柔雁栖湖常年总库容量38300000立方米，将38300000用科学记数法表示为 A ． 0.383×108 B ． 3．83×107 C ． 38.3×106 D ． 383×105 4．如果x =是关于x 的方程4x +m =3的解，那么m 的值是 12A ．1B ．C ．-1D ．1212-5．下列运算正确的是A ．3x+4y=7xyB ．6y 2－y 2=5C ．b 4+b 3=b 7D ．4x －x=3x6. 如左下图所示的圆柱体从左面看是DCBA7．下列语句正确的是A ．画直线AB =10厘米 B ．画直线l 的垂直平分线C ．画射线OB =3厘米D ．延长线段AB 到点C ，使得BC =AB 8. 如果，那么代数式的值为23(2)0a b ++-=2016()a b +A ．5 B ．-5 C ．1 D ．-19. 一家商店把一种旅游鞋按成本价元提高50%标价，然后再以8折优惠卖出，则这种旅游a 鞋每双的售价是A ．0.4元B ．0.8元C ．1.2元D ．1.5元 a a a axD CB A 123–1–2–310. 按一定规律排列的一列数依次为：-3，8，-15，24，-35，…，按此规律排列下去，这列数中第n 个数（n 为正整数）应该是A ．B ．C ．当n 为奇数时： ；当n 为偶数时： (2)n n +2(1)(2)n n -+(2)n n -+(2)n n +D ．(1)n n -+二、填空题（本题共21分，每小题3分） 11. 单项式的系数是 ，次数是 . 223x y -12. 角度换算：=_______.26 48′13.如果2a －b ＝－2，ab ＝－1，那么代数式3ab －4a ＋2b-5的值是_________．14.已知：如图，OB 是∠AOC 的角平分线，OC 是∠AOD 的角平分 线，∠AOB =35°，那么∠BOD 的度数为__________； 15.定义“＊”是一种运算符号，规定a ﹡b=5a+4b+2015, 则(-4)﹡5的值为 ．16. 某校七年级共有589名学生分别到北京博物馆和中国科技馆学参观，其中到北京博物馆的人数比到中国科技馆人数的2倍还多56人．设到中国科技馆的人数为x 人，可列方程为 ．17. 学习直线、射线、线段和线段中点等内容之后，王老师请同学们交流这样一个问题：“射线OA 上有B ，C 两点，若OB=8，BC=2，点D 是线段OB 的中点，请你求出线段DC 的长.”张华同学通过计算得到DC 的长是6，你认为张华的答案是否正确 ，你的理由是 .三、解答题（本题共69分，第18-30题，每小题5分，第31题4分.） 18. 计算： .12(15)(23)--+-19. 计算：.533((1)64⨯-÷-20. 计算：. 32128(2)4-÷-⨯-21. 计算： 13116(64128-⨯-+-÷DCB AO22．先化简，再求值：，其中． 222(22)(21)x x x x +----12x =-23. 解方程：.9753x x +=-24. 解方程：. 2(35)3(12)x x x --=+-25.解方程：． 235132x x ---=26. 一辆货车在公路（直线CD ）上由点C 向点D 方向行驶，村庄A ，B 分别位于道路CD 的两侧，司机师傅要在公路上选择一个货物的下货点.（1）请在CD 上确定一个下货点E ，使点E 到村庄A 的距离最近, 画出图形并写出画图的依据；（2）请在直线CD 上确定一点O ，使点O 到村庄A ，B 的距离之和最小，画出图形并写出画图的依据.27. 某校组织七年级学生步行到生存岛参加开放性科学实践活动，七（1）班的小明同学，因为身体原因，医生建议减少长步行，经家长和学校协商决定，小明由家长开车直接从家送到生存岛，已知学生的步行速度是每小时4千米，小明爸爸的车速是每小时36千米，学生从学校出发40分钟后，小明爸爸从家里开车出来，结果小明和同学们同时到达了生存岛，已知小明家到生存岛的路程是学校到生存岛路程的3倍，问学校到生存岛的路程是多少千米？28. 课堂上李老师把要化简求值的整式3323323(7 a -6 a b+3 a b) 3 a -6 a b+3 a b+10 a -3)-(-写完后，让王红同学顺便给出一组a 、b 的值，老师自己说答案，当王红说完：“a=38，b=-32”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”，亲爱的同学你相信吗？请你通过计算说出其中的道理.29.已知：如图， ，，平分. 70AOB ∠=︒30AOC ∠=︒OD BOC ∠请依题意补全图形，并求的度数．AOD ∠DABOABO备用图30. （1）如图，已知点C 在线段AB 上，且AC=6cm ，BC=4cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段MN 的的长度．NMABC（2）对于（1）题，如果我们这样叙述：“已知点C 在直线AB 上，且AC=6cm ，BC=4cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度.”结果会有变化吗？如果有，求出结果；如果没有，说明理由. 31. 阅读下列材料：为落实开展社会大课堂活动，七年级（3）班李老师准备周六组织本班学生参观北京科技馆，要求学生周六早9:00准时在科技馆门前集合，然后集中买票参观.小强家离北京科技馆4公里，周六他准备乘出租车去，为了解北京出租车的计价方式，小强周五晚上在网上查到了现行北京市出租汽车价格标准：怀柔区2015—2016学年度第一学期初二期末质量检测数学试卷答案及评分参考 2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 ACBADCDCCB二、填空题（本题共21分，每小题3分） 题 号111213141516 17 答 案 233-， 26.8-4105° 20152x +56=589﹣x不正确，没有分类讨论，DC 的长应该是6或2三、解答题（本题共69分，第18-30题，每小题5分，第31题4分.） 18. 解：原式=12+15-23…………………………………… 4分 =4…………………………………… 5分19. 解：原式=…………………………………… 4分54(27-⨯- =…………………………………… 5分10720.解：原式= 18844-÷-⨯ =…………………………………… 4分 11-- =-2…………………………………… 5分21. 解：原式 ……………………………………………… 1分 1316()86412=-⨯-+-⨯ …………………………………………2分13148(6412=-⨯-+- ………………………………………………………4分 8364=-+ ………………………………………………………… 5分 24=-22．解：原式= ……………………………………2分2224421x x x x +--++ =………………………………………………………4分263x x +-当时， 12x =-原式=211(6(322-+⨯--………………………… 5分 1334=--234=-23.解：……………………2分73x 59x +=- …………………………3分104x =- ∴……………………………4分25x =- ∴是原方程的解. …………5分25x =-24.解： ………………2分 235312x x x -+=+- …………………3分 232315x x x -+=+- ∴ ………………………………4分1x =-∴是原方程的解.…………………5分1x =-25．解：去分母，得 ． …………………………… 1分 2(23)3(5)6x x ---= 去括号，得 ．………………………………… 2分 463156x x --+= 移项，得 ． …………………………… 3分 636415x x --=-- 合并同类项，得 ．…………………………………… 4分 913x -=- 系数化1，得 ．……………………………………… 5分 139x =26．解：（1）如图.…………………… 1分过A 作CD 的垂线，垂足E 即为所确定到村庄A 距离最近的下货点. ………… 2分 依据是：垂线段最短. …………………… 3分 （2）如图，…………………… 4分 连接线段AB ，交CD 于点O ， 则O 即为所确定的到村庄A ，B 的距离之和最小的点.依据是：两点之间线段最短. …………………… 5分 27. 解：设学校到生存岛的路程是x 千米，则小明家到生存岛的路程是3x 千米. ………………………… 1分 根据题意列方程，得.………………………… 3分34043660x x -=解这个方程，得x=4. ………………………… 4分答：学校到生存岛的路程是4千米. ………………………… 5分 28.答：相信.道理如下：…………………………4分 33233237 a -6 a b+3 a b 3 a +6 a b-3 a b-10 a +3 =3+原式=因为，原式化简后的结果是一个确定的值3，与a 、b 的取值无关. 所以，不管a ，b 取什么值，答案都是3. ………………………… 5分 29．解：符合题意的图形有两个，如图1、图2，在图1中，D∵，，70AOB ∠=︒30AOC ∠=︒∴．………………1分 40BOC AOB AOC ∠=∠-∠=︒∵平分，OD BOC ∠∴．…………………… 2分 1202COD BOC ∠=∠=︒∴．……………………………………… 3分50AOD AOC COD ∠=∠+∠=︒在图2中，∵，，70AOB ∠=︒30AOC ∠=︒∴．……………4分 100BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒∵平分，OD BOC ∠∴．…………………… 2分1502COD BOC ∠=∠=︒∴ ．………………3分20AOD COD AOC ∠=∠-∠=︒综上，的度数为50或20． .AOD ∠︒︒30. 解：（1）∵AC=6cm ，点M 是AC 的中点，∴MC=3cm ；∵BC=4cm ，点N 是BC 的中点， ∴CN=2cm ；∴MC+CN=5cm.∴线段MN 的的长为5cm. ………………………… 2分 （2）分两种情况：第一种情况：当点C 在点B 的左侧时，解法同（1），线段MN 的长为5cm. …… 3分 第二种情况：当点C 在点B 的右侧时，如图所示： ∵AC=6cm ，点M 是AC 的中点，∴MC=3cm ； ∵BC=4cm ，点N 是BC 的中点，∴CN=2cm ；∴MN=MC-CN=3-2=1cm.………………………… 4分∴综上,线段MN 的长为5cm 或1cm. ……………………… 5分 31.解：（1）3公里以内收费13元; 基本单价2.3元/公里;每5分钟早晚高峰期间加收2公里租价（不含空驶费）， 早高峰为7:00（含）-9:00（不含）；燃油附加费 1元/运次出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入. ……………………… 1分（2）4.6⨯2=9.29≈.……………………… 2分（3）13+2.3+4.6⨯2+1=25.526≈，30-26=4答：小强的打车费用26元，剩余4元钱. ……………………… 4分AM N A B。

2023北京怀柔初二（上）期末数学一、选择题（本大题共 30 分，每小题 3 分）第 1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一．．个1. 下列图标是轴对称图形的为（）A. B. C. D.2. 2022 年 11 月 30 日神舟十五号飞船载乘 3 名航天员成功与神舟十四号航天员乘组上演“太空相会”．航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m ，0.00000002 用科学记数法表示为（）⨯−9B. 2⨯108C. 2⨯10−8D. 0.2⨯10−8A. 2 103. 下列计算正确的是（）( )3A. a 3÷a 3= aB. a + a 2= a 3C.a 3= a 6D. a 3⋅a 2= a5xx −14. 若分式A. x ＞1有意义，则 x 的取值范围是（B. x ＝1）C. x ＜1 D. x ≠15. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. x (x + 2) = x 2+ 2xB.(x −3)2= x 2− 6x + 9⎛⎝ 1 ⎫x ⎭x 2+1= x x +D. x 2− 9 = (x + 3)(x − 3)C. ⎪6. 八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形．正八边形的一个内角的大小为（）A. 150︒7. 计算 B.140︒C.135︒D.D.120︒81− a 2a −9 a + 3÷⋅的结果为（）a 2+ 6a + 9 2a + 6 a + 912−2A. B. 1 C. −1的延长线于点 E ，若 ∠B = 36︒,∠E = 20︒，BA8. 如图，CE 是的外角∠）ACD 的平分线，且CE 交则 ∠ BAC 的角度是（A. 76︒B.56︒C.52︒90︒D.9. 小丽在学习作已知角的平分线的方法，已知：∠ AOB ；求作：∠ AOB 的平分线．她按照教材给出的尺规作图方法进行了如下操作：作法：（1）以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点 M ，交OB 于点 N ；1MN 长为半径画弧，两弧在∠ AOB C （2）分别以点 M ，N 为圆心；大于内部相交于点 ；2（3）画射线OC ，射线OC 即为所求．根据小丽的操作过程（如图），下列说法正确的是（）是等边三角形=，可得∠OMC = ∠ONC A. C. OC 垂直平分线段 MNB. 由于OM ON D. 此过程构造≌的方法是 SAS10. 如图，在 Rt △ABC 中∠ACB = 90︒，P ，Q 两点分别在 AC 边上（包括 A ，C ）和过点 A 且垂直 AC 的PQ 交 ABPQ AB 于点 N ，在运动过程中始终保持⊥，则此图形在这个过程中能射线 AM 上运动，连接产生与全等的三角形个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题（本大题共 12 分，每小题 2 分）11. 计算：(−)32a 2b =_______．3x + 3xy ( )2=12. 填空：，变形 依据是．6x 22x13. 一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为 1，2，则这个三角形的第三边长为_____．3 a −b 14. 分式与的最简公分母是 _________________.2a 2b ab c215. 已知：如图，C 为 BD 上一点， AB AD ．只需添加一个条件则可证明△ABC ≌△ADC ．这个条件可=以是_____．（写出一个即可）．16. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，动点 ，分别在射线OA ,OB 上，连接 MN 交OC 于点 ，若M N P OM31t − 3(t > 3),ON (t > 3)21t (t > 3)的面积比为 ∶ 时，则 的值是的长度为的长度为当与t _____．三、解答题（本大题共 58 分，第 17-24，26 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，27 题 7 分）−2⎛ 1 ⎫+ −17. 计算：(π − 3)0+ (−2)3− | −1|⎪⎝ 3⎭y − 4xy 18. 分解因式：4x 22+ y 3 ．− 7a + 5 = 0 ，求代数式(3a2− 2a ÷ a − (2a −1)的值．)219. 已知 4a 2x 2x 20. 解分式方程：−=1．x +1 3x +321. 己知：如图， ABC ∠= ∠DBE 90=︒，D 为边 AC 上一点，△ABD 是等边三角形，且AC DE ．求证：=≌．22. 某种消毒液原液需加水稀释后使用，用于衣物消杀浓度是用于环境消杀浓度的 2 倍．取1L 原液加水稀释用于衣物消杀，再取 2L 原液加水稀释用于环境消杀．按相应浓度稀释后发现，用于衣物消杀加入水的体积比用于环境消杀加入水的体积少6L ．求该消毒液用于环境消杀的浓度．（浓度=原液体积/加入水的体积，注意此浓度无单位）23. 请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题．已知：如图求作：．边 AB 上的高CD ．小怀设计的尺规作图过程如下：作法：①以点 A 为圆心， AC 长为半径作弧；②以点 B 为圆心， BC 长为半径作弧，两弧交于点 E ；③连接CE ，交 AB 于点 D ．所以线段CD 就是所求作的高线．（1）使用直尺和圆规，完成小怀的作图（保留作图痕迹）；AE , BE （2）分别连接，再将该作图证明过程补充完整：由①可得： AC = ____________．∴点 A 在线段CE 的垂直平分线上．（由②可得： BC = ____________．∴点 B 在线段CE 的垂直平分线上．∴ AB 垂直平分线段CE ．）（填推理的依据）∴ CD ⊥ AB 即 CD 是边 AB 上的高线．中，∠A = 90︒ ， C 30︒，DE ∠ =垂直平分 B C ，垂足为 E ，交 AC 于点 ，连接24. 如图，在D BD ．（1）求证：≌；（2）若 AD 1，求=AC 的长．25. 小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于 x 的多项式 x 2+ ax +b 若能分解成两个一次整式相乘的(x + p )(x + q )x + p = 0或 x + q = 0x = − p 和x = −q为多项式形式，则当时原多项式的值为 0，因此定义− p 和−q 的平均值为轴值．例：x x 22+ ax +b 的 0 值，x − 2x −3 = (x −3)(x +1), x −3 = 0 或 x +1= 0 时2− 2x −3 = 0，则 x = 3和 x =− 1为−+ 的 值， 和−1的平均值x 2 2x + 3 的轴值．−x 2 2x 3031为（1） x （2）若 x − bx (b > 0) 0 值为 x , x x 2− 4 的 0 值为____________，轴值为____________；a =ax + 4 的 0 值只有一个，则2+____________，此时 值与轴值相等；02x 2x 1 ____________，若=（3）x ( < )，轴值为 ，则m x 2− 6x + m 的 0 值与121m =轴值相等，则26. 在平面直角坐标系中，已知点PQ ____________．M (0,m )P (a ,b )，直线 l 是过点 M 且垂直于 y 轴的直线，点关于直线 l 的P 'P '轴对称点 Q ，连 接，过 作垂直于 轴的直线与射线Q y PM 交于点 ，则 称为 点的 中心对称点．P M m =1， P 2,3()时____________， P '点坐标为 点坐标为____________；（1）如图 1，当Q'−，∠QP 'M =45︒m =，则 ____________（2）若 P 点的 M 中心对称点为____________；P ( 1, 3)， 点的坐标为P （3）在（1）中，在内部（不含边界）存在点 N ，使点 N 到PQ 和 P 'Q的距离相等，则 点横坐N 标 n 的取值范围是___________．27. 康康同学在研究等边三角形，如图 1，已知是等边三角形，D 为 BC 边 中点，E 为中线 AD 上一点（E 不可取A 点，可取D 点），点E 关于直线AC 的对称点是点F．连接AF ，EF ，BF．（1）①在图 1 中补全图形；②他发现E 点在中线AD 上运动时，△AEF 一种特殊三角形．请你回答△AEF 是三角形；③利用图 1 证明这个结论．（2）康康同学发现当E 点在中线AD 上运动时，BF的长度也有规律的变化．当BF为最大值时，在图2 中画出点F，并连接AF,BF,BF 与AC 交于点P．①按要求画出图形；PQ +QC 的值最小，猜想这最小值____________ B P②在AF 上存在一点Q，使③证明②的结论．（填>，<，=）；BM −ME BM +ME的值最小，则此时MC与AC（3）在边AC 上存在一点M，同时满足的数量关系是____________．的值最大且参考答案一、选择题（本大题共30 分，每小题3 分）第1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一．．个1. 【答案】A【解析】【分析】平面内一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形的概念即可判断得出答案．【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A 选项的图形是轴对称图形，符合题意；B、C、D 选项对应的图形均不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握并运用轴对称图形的概念识别所给图形是否为轴对称图形是解答此题的关键．2. 【答案】C【解析】【分析】对于绝对值小于1 的数可以用科学记数法表示为a 10⨯−n 的形式，其中1≤a<10，是正整数；n据此可以求得答案．【详解】解：0.00000002 用科学记数法表示为：2 10−8 ，⨯故选：C．【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握绝对值小于 1 的数的科学记数法表示方法是解答此题的关键．3. 【答案】D【解析】【分析】分别根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法法则逐项判断即可．【详解】解：A．a3÷3a =1，原计算错误，不符合题意；B．a 和a2 不是同类项，不能合并，不符合题意；()33=a9 ，原计算错误，不符合题意；=a5 ，正确，符合题意．C．aD．a3⋅a2故选：D．【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则，准确进行计算．4. 【答案】D【解析】【分析】根据分式有意义，分母不等于 0 列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故选 D．【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分母不为零.5. 【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义即可求出答案，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、右边不是整式的积的形式，是分式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；D、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．6. 【答案】C【解析】【分析】首先根据多边形内角和定理：(n − 2)•180︒n ≥ 3（，且n 为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．【详解】解：正八边形的内角和为：()8−2•180︒=1080︒，1⨯1080︒=135︒每一个内角的度数为．8故答案为：C．【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，正多边形的性质，关键是熟练掌握计算公式：(n − 2)•180︒（n ≥ 3，且n 为整数）．7. 【答案】D【解析】【分析】先将分式的分子分母分别因式分解，将除法转化成乘法运算，然后分子与分母进行约分化简，即可得出答案．(9 −a)(9 +a) 2(a + 3) a + 3=⋅⋅【详解】解：原式a − 9 a + 9(a 3)+2(−1)⨯1 2⨯1 1=⨯⨯111=−2，故选：D．【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键．8. 【答案】A【解析】【分析】先根据三角形外角性质求出∠ ECD 的度数，进而可求出∠ ACD 的度数，再根据三角形的外角性质即可求出∠ BAC ．【详解】解：∵ ∠B = 36︒ ， ∠E = 20︒，∴ ∠ECD = ∠B + ∠E = 56︒ ，∵CE 平分∠ ACD ，∴ ∠ACE = ∠ECD = 56︒ ， ∠ACD = 2∠ECD =112︒，∴ ∠BAC = ∠ACD − ∠B =112︒−36︒ = 76︒，故 A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理．9. 【答案】C 【解析】【分析】根据作已知角的平分线的方法可知，OM = ON ，CM = CN ，再利用各选项进行判断即可．SSS 证明三角形全等，再对【详解】解：根据作已知角的平分线的方法可知，OM = ON ， CM = CN ，在△MOC 和⎧OM = ON 中，⎪⎨CM = CN ，⎪OC = OC ⎩∴≌)，∴∠MOC = ∠NOC ，A 选项中，只有CM = CN ，故 A 错误；，则 ∠OMN = ∠ONM ，故此项错误；B 选项中，由于OM ON == ∠NOC ，OM = ON C 选项中，,∴OC 垂直平分线段 MN ,故此项正确；D 选项中，此过程构造故选：C ．≌的方法是 SSS ，故此项错误；【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形的判定，等腰三角形的性质 ，解题的关键掌握基本作图的方法．10. 【答案】B 【解析】【分析】直接根据 HL 判断即可．【详解】由题意可知 ∠ACB = ∠PAQ = 90︒，PQ = AB ， BC = Q A时，；≌当PQ = AB ， BC = PA时，；≌当故选 B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，找出已知条件，利用 HL 证明三角形全等是解题的关键．二、填空题（本大题共 12 分，每小题 2 分）11. 【答案】 −8a 6b 3 ## −8b 3a 6【解析】【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：(−2a 2b = −8a )3 6 3b．故答案为： 8a 6b 3 ．−【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确进行计算．12. 【答案】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变．【解析】【分析】根据分式的基本性质矩形计算即可．3x 2 3xy +3x (x y ) x y⨯++==【详解】解：，6x 23x ⨯2x 2x依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变．故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变．13. 【答案】2【解析】【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可．【详解】解：∵ 2 −1 < 第三边< 2 +1，∴1 第三边<< 3，∵三边长都是整数，∴这个三角形第三边长是 2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边关系，是解答此题的关键．14. 【答案】2a 2b c 2【解析】【分析】按照公分母的定义进行解答．【详解】解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为 2a 2b 2c ．故答案为 2a 2b 2c ．【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．15. 【答案】 BC CD =（答案不唯一）【解析】【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【详解】解：添加的条件是 BC = CD ，理由是：在和中，⎧AB = AD ⎪⎨AC = AC BC = CD ，⎪⎩≌)，∴故答案为： BC = CD （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ， ASA ， AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有 HL 等．16. 【答案】9【解析】【分析】过 P 点作 PE ⊥ OA ， PF ⊥ OB .根据角平分线的性质可得， PE PF ，由=与的面积比为 2∶1，列比例式求解即可.详解】过 P 点作 PE ⊥ OA ， PF ⊥ OB ∵点 P 在∠ AOB 的平分线上，∴ PE PF ，=S ∶=2∶1，△OPN 11∴ OM ⋅ PE = ON ⋅ PF = 2∶122∴ OM ∶ON =2∶1，31t −3∶=2∶1，t2t −33=，t t = 9故答案为：9【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.掌握以上知识是解题的关键.三、解答题（本大题共 58 分，第 17-24，26 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，27 题 7 分）17. 【答案】１【解析】【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值的性质以及实数的运算法则进行计算即可．−2⎛ 1 ⎫+ −【详解】解：(π − 3)0+ (−2) − | −1|3⎪⎝ 3⎭=1+ 9 −8−1=1．【点睛】本题考查的是零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值的性质以及实数的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．(y− )218. 【答案】 y 2x 【解析】【分析】先提取公因式 y ，再利用完全平方公式分解即可．4x 2y − 4xy 2+ y 3【详解】解：()= y 4x 2− 4xy + y 2y 2x y = ( − )2 ．【点睛】本题考查了提取公因式与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．19. 【答案】2【解析】【分析】首先求出 4a 2− 7a= −5 ，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式()= − 4a − 7a −3，代入即可得出答案．2【详解】解：∵ 4a 2−7a + 5 = 0 ，∴ 4a (3a22−7a = −5 ，)− 2a ÷ a − (2a −1)2= 3a − 2 − (4a = 3a − 2 − 4a = −4a 2 + 7a − 32− 4a +1)2+ 4a −1()− 7a −3= − 4a 2= 5−3 = 2．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出 4a 2−7a = −5 ，正确化简代数式是解题的关键．320. 【答案】 x = −2【解析】【分析】先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后进行检验即可．x2x −=1，【详解】解：x +1 3x +3方程两边同乘以3(x +1)得：3x − 2x = 3x + 3，移项合并同类项得： −2x = 3，3x = −未知数系数化为 1 得：，23⎛ 3⎫⎭32检验：把代入( + )得： ⨯ − + = − ≠，x = − 3 x 1 3 ⎝ 21⎪023x = −∴是原方程的根．2【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确进行计算，注意要对方程的解进行检验．21. 【答案】见解析【解析】【分析】首先根据等边三角形的性质，得出 AB = BD ，再根据直角三角形的判定定理即可得出结论．【详解】证明：∵是等边三角形，∴ AB = BD ，∵ ∠ABC = ∠DBE = 90︒，∴和都是直角三角形，在 R t和 R t △DBE 中，⎧ AB = BD ⎨AC = DE⎩R t≌∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．22. 【答案】该消毒液用于环境消杀的浓度为 25%【解析】【分析】消毒液用于环境消杀的浓度为 x % ，则用于衣物消杀的浓度为 2x % ，然后根据题意列分式方程求解即可．【详解】解：消毒液用于环境消杀的浓度为 x % ，则用于衣物消杀的浓度为 2x %12+ 6 =由题意可得：2x %x %解得： x = 25经检验 x = 25是分式方程的解．答：该消毒液用于环境消杀的浓度为 25% ．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解答本题的关键．23. 【答案】（1）见解析；（2） AE ，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， BE ．【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据线段垂直平分线的性质即可完成证明．【小问 1 详解】如图，线段CD 就是所求作的高线【小问 2 详解】分别连接 AE ， BE由①可得： AC = AE ．∴点 A 在线段CE 的垂直平分线上．（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）由②可得： BC = BE ．∴点 B 在线段CE 的垂直平分线上．∴ AB 垂直平分线段CE ．∴ CD ⊥ AB 即 CD 是边 AB 上的高线．故答案为： AE ，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， BE ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．24. 【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）由∠A =90，︒∠C = 30︒，得出∠ABC = 60︒，根据垂直平分线的性质，得出 ，BD = CD∠DEC = 90︒ ，进而得出 ∠ABD = ∠C = 30︒，即可证明≌S)；（2）根据含 30 度角的直角三角形的性质得出 BD 2AD 2 ，即可得出==AC = AD + C D =1+ 2 = 3．【小问 1 详解】证明：∵∠A = 90 ， ∠C = 30︒，︒∴ ∠ABC = 60︒ ，∵ DE 垂直平分 BC ，∴ BD = CD ， DEC 90︒ ，∠=∴ ∠DBC = ∠C = 30︒ ，∴ ∠ABD = ∠C = 30︒，在△ABD 和中，⎧∠A = ∠DEC⎪∠ABD = ∠C BD = CD ⎨，⎪⎩≌S)∴．【小问 2 详解】解：∵ ∠ABD = ∠C = 30︒， AD 1，=∴ BD 2AD 2 ，==∴CD = BD = 2，∴ AC = AD + CD =1+ 2 = 3．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．25. 【答案】（1）2 和 −2 ，0 ；（2）4；（3）0，9．【解析】【分析】（1）把 x 2− 4 进行因式分解，即可求解；（2）根据 x 2+ax 4 的 值只有一个，则+0x 2+ ax + 4 = (x + 2)，即可求解；2（3）根据(< )，b > 0 ，即可得出结论， 由的x 2−bx = x (x −b ) ，且 0 值为 x , x x x x 2− 6x + m 0 值与1212x 2− 6x + m = (x −3)2= x − 6x + 9 ，即可求解．2轴值相等，即可得出【小问 1 详解】解：(x − 2)(x + 2) ，∴x − 2 = 0 x + 2 = 0时， x 2 − 4 = 0 ，或∴x 2− 40x = 2 和 x = −2，值为的2 + (−2)又= 0，2∴x 2− 40的轴值为 ，故答案为：2 和 2 ， ；−0【小问 2 详解】+4 的 0 值只有一个，解：∴x + ax + 4 = (x + 2)2 ，2即 x 2+ax 4+0值为x = −2，= x + 4x + 4 ，2又∴a = 4，故答案为：4；【小问 3 详解】解：= x (x −b )，x = 0 和 x = b 的 0 值为：∴x 2−bx ，，b > 0，∴ x 1 = 0；当 x 222−−6x + m 的 0 值与轴值相等，∴+x 6x m 的 0 值只有一个，∴x − 6x + m = (x −3)2= x 2− 6x + 9 ，即 m = 9时，3+ 3+x = 3，轴值为：6x m 的 0 值为= 3，此时 x 2−2故答案为：0，9．【点睛】本题考查是因式分解，以及完全平方公式的运用，解题的关键是读懂题意，以及熟练掌握相关的运算．；(− − )2,2, 126. 【答案】（1）（2） m = 4 或 m = 2 ；( )或( )1,11,5（3） 0 < n < 2【解析】1m =1， P 2,3()，先求出点∠MPA = ∠PMA 的坐标，证明= ⨯90︒ = 45︒，得出【分析】（1）根据Q2∠' = ︒− ︒ =PP Q 90 45 45︒，即∠PP 'Q = ∠P 'PQ P 'Q = PQ = 2PA = 4，即可得出答案；，得出（2）分两种情况进行讨论，分别作出图形，求出 m 的值和点 P 的坐标即可；∠PQP '（3）连接QM ，证明QM 为平分线，根据角平分线的性质可知，点N 在QMn上，求出 的取值范围即可．【小问 1 详解】解：∵ m =1，( )P2,3，∴直线 l 为∵P 与 Q 关系直线 l 对称，y =1，2, 1∴点 Q 的坐标为，∴ PA = 3−1= 2， AM = 2 ，∴ PA AM ，=∵ ∠PAM = 90︒ ，1∠MPA = ∠PMA = ⨯90︒ = 45︒∴，2∠∠∠' = ︒PQP 90，∵∴∴∴' = ︒− ︒ =PP Q 90 45 45︒，' = ∠ 'PP Q P PQ ，' ===，P Q PQ 2PA 4'2, 1∴点 P的坐标为(− − )；；(− − )．2,2, 1故答案为：【小问 2 详解】'P '(−1, 3)，解：如图，当点 M 在点 P上方时，' =∴ P B 1，OB 3，=∠QP M 45'=︒∠ ' ︒=P BM 90∵∴，，P MB 90 45 45∠ ' ︒=︒− ︒ =，∠ '∴ P MB= ∠BP M ，'= ' =∴ BM P B 1，∴ OM = OB + BM = 4，∴ m = 4 ，∴∴∴∵∴∴∴∴AQ =1，AP = AQ =1，PQ = 2，∠' = ︒， ∠QP 'M = 45︒PQP 90，∠ ' ︒P PQ 90 45 45=︒− ︒ =，P PQ ∠ '= ∠QP P '，' =P Q PQ 2=，BQ = 2 −1=1，∴P 的坐标为( )；1,5'P '(−1, 3)如图，当点 M 在点 P下方时，，' =∴ P B 1，OB 3，=∠QP M45'=︒P BM 90∠ '=︒∵，，∴ ∠P 'MB 90 45 45︒，=︒− ︒ =∠ ' = ∠∴ P MB 'BP M ，= ' =∴ BM P B 1，∴OM = OB − BM = 2，∴ m = 2 ，∴∴∴∵∴∴∴AQ = 3− 2 =1，AP = AQ =1，PQ = 2，∠' = ︒， ∠QP 'M = 45︒PQP 90，∠ ' ︒P PQ90 45 45=︒− ︒ =，P PQ ∠ '= ∠QP P '，' ==，P QPQ 2∴BQ = 2 −1=1，∴P 的坐标为( )；1,1综上分析可知， m = 4 或 m = 2 ，点 P 的坐标为：( )或1,5( )．1,1故答案为： m = 4 或 m = 2 ；( )或【小问 3 详解】( )．1,11,5QM 解：连接，如图所示：∵ PM = 22+ 22= 2 2 ， P 'M = 22+ 2= 2 2 ，2= '∴ PM P M ，= 'PQ P Q根据解析（1）可知，，∠PQP '，QM ∴平分∴点 N 一定在QM 上，∴N 点横坐标 n 的取值范围是 0 < n < 2．故答案为： 0 < n < 2．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是根据题意作出图形，注意分类讨论．27. 【答案】（1）①图形见详解；②等边；③证明见详解；（2）①图形见详解；②=；③证明见详解；1MC = AC （3）．2【解析】AE = AF ,∠EAF = 60︒△【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②③通过证明，从而判定AEF 是等边三角形；Q '（2）①根据题意画图即可；②③由已知可知：点 关于直线Q AC 的对称点一定在AD 上，先证明'+' ≥''+ 'BP 上时（如图3− 2所示），上式等号成立即 PQ BQ的最小值PQBQ BP ，当且仅当点Q 在线段等于 BP ，即结论得证；BF 交 AC 于点 P ，先证明BP + PE BM − ME最小；再根据的值（3）连接 BE 并延长交 AC 于 M ，设1最大，可知点 M 与点 P 重合，点 E 在BF 上，最后证明得到MC =AC ．2【小问 1 详解】解：①补全图形如图 1所示：②根据题意可知，△AEF 是等边三角形；故答案为：等边；点 E 关于直线 AC 的对称点是点 F ，∴ AC ③垂直平分线段 EF ，∴ AE = AF ,∠EAC = ∠FAC ，又是等边三角形，且 AD 是中线，1∴∠DAC = ∠BAC = 30︒，2∴∠EAC = ∠FAC = 30︒，∴∠EAF = 60︒，∴△AEF 是等边三角形；【小问 2 详解】解：①如图 1，可知 ∠BAF = 60︒+ 30︒ = 90︒ ，∴为直角三角形，∴BF = AB 2+ AF 2AB 边是定值，要使斜边 BF 最大，则 AF 最大，当 E 点与 D 点重合时， AF AD 最大，故当点 E 与点 D 重合时，点 E 关于直线 AC 的对称点即为所求点 F ；如图 2所示：=PQ + QC ②在 AF 上存在一点 Q ，使的值最小，猜想这最小值等于BP ；答案为：=；Q ③如图3 1 ，由已知可知：点 关于直线−AC 的对称点Q '一定在 AD 上，∴='='PQ PQ ,CQ CQ ，又是等边三角形，且 AD 是中线，∴ AD BC 垂直平分线段，∴CQBQ CQ ' =' =，∴PQ QC PQBQ +='+'，'+' ≥PQBQ BP 由图可知：，当且仅当点Q '在线段所示），上式等号成立，BP 上时（如图3− 2'+PQ BQ'即的最小值等于 BP ，PQ + QC 故在 AF 上存在一点 Q ，使的值最小，且这最小值等于BP ；【小问 3 详解】解：如图 4 1，连接−BE 并延长交AC 于M ，设BF 交 AC 于点 P ，点 E 关于直线 AC 的对称点是点 F ，∴BP + PE 最小；BM − ME 又的值最大，∴点 M 与点 P 重合，点 E 在BF 上，如图 4 2 ，−等边三角形，∴∠F = 60︒，= 90︒，1∴∠ABF = 30︒ = ∠ABC ，2C ，∴ P AC 为线段的中点，1∴MC = AC ；21MC = AC ．故答案：2【点睛】此题是关于等边三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定、轴对称的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理等知识，熟练掌握相关定理与性质、添加适当的辅助线是解答此题的关键．。

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.命题p :,1R x x ∃∈>的否定是A. :,1R p x x ⌝∀∈≤B. :,1R p x x ⌝∃∈≤C. :,1R p x x ⌝∀∈<D. :,1R p x x ⌝∃∈< 【答案】A 【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：:,1R p x x ⌝∀∈≤ 考点：全称命题与特称命题2.双曲线2214x y -=的实轴长为A ．3B ．4C ．5D ．12【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线方程可知24224a a a =∴=∴=，所以实轴长为4 考点：双曲线方程及性质3.点(1,2)P -到直线86150x y -+=的距离为 A ．2 B ．72 C ．12D ．1 【解析】试题分析：①中垂直于同一条直线的两条直线可能平行，相交或异面；②命题正确；③命题正确；④垂直于同一个平面的两个平面平行或相交 考点：空间线面平行垂直的判定与性质6. “平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由椭圆定义可知当平面内一动点P 的轨迹为椭圆时有平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数，反之不成立，所以是必要而不充分条件 考点：1.充分条件与必要条件；2.椭圆定义7.已知点(,)P x y 为圆C :22680x y x +-+=上的一点，则22x y +的最大值是 A. 2 B. 4 C. 9 D.16 【答案】D 【解析】试题分析：由圆的方程可知圆心为()3,0，半径为1，22x y +可看作点()(),,0,0x y 距离，结合图形可知()(),,0,0x y 距离的最大值4，所以22x y +的最大值是16考点：圆的性质8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知直线EF 与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交， 所以直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4 考点：空间中直线与平面之间的位置关系第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.直线21y x =+的斜率为 【答案】2 【解析】试题分析：由直线的斜截式方程y kx b =+可知斜率为2k = 考点：直线方程10.命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆命题是__________________ ． 【答案】若11<<-x ，则12<x 【解析】试题分析：命题的逆命题需将条件和结论交换，所以逆命题为：若11<<-x ，则12<x 考点：四种命题11.抛物线24x y =的焦点坐标是_______ 【答案】(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线方程可知焦点在y 轴上，由2412pp =∴=，所以焦点为(0,1) 考点：抛物线方程及性质12.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 ．【答案】4 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，其中四面为直角梯形，两底为2,4，高为2，棱锥的高为2，所以体积为()11124224332V Sh ==⨯+⨯⨯= 考点：三视图及棱锥体积13.一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为________ 【答案】6 【解析】试题分析：由题意可知3244263R R R ππ=⨯∴= 考点：球的表面积体积14.平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是_________ ． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】试题分析：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为24y x =，过点P （-1，0）且斜率为k 的直线方程为y=k （x+1），代入24y x =，可得()2222240k x k x k +-+=，∵机器人接触不到过点P （-1，0）且斜率为k 的直线，∴()2222440k k ∆=--<，∴k ＜-1或k ＞1考点：抛物线的简单性质三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥平面ABCD ，且PA=2，E 是PD 中点．以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．（Ⅰ）求点,,,,,A B C D P E 的坐标；（Ⅱ）求||CE．【答案】（Ⅰ）()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，()0,1,1E 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间直角坐标系的性质能求出点A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标．（Ⅱ）先求出向量CE ，再求CE的长考点：空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标 16.（本题满分13分）已知点(0,6)A -，(1,5)B -，且D 为线段AB 的中点． （Ⅰ）求中点D 的坐标；（Ⅱ）求线段AB 的垂直平分线的方程． 【答案】（Ⅰ）111(,)22-（Ⅱ）50x y ++= 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件求出AB 的中点坐标为111(,)22-；（Ⅱ）求出1AB k =，由此能求出线段AB 的垂直平分线的方程试题解析：（Ⅰ）因为点(0,6)A -，(1,5)B -， 所以线段AB 的中点D 的坐标为111(,)22-．----------------------6分 （Ⅱ）直线AB 的斜率()56110AB k ---==-，因此线段AB 的垂直平分线的方程是111()22y x +=--， 即50x y ++=．--------------------------------------------------------------13分 考点：直线方程 17.（本题满分13分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求向量1AC uuu r 和1DC uuur所成角的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） 【解析】试题分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出110,0,AC BD AC DE ==，证明1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）根据向量的夹角公式，即可求出余弦值试题解析：（Ⅰ）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -．则(000)D ，，，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，，1(024)C ，， (021)(220)DE DB ==，，，，，，1(224)A C =--uuu r ，，． 因为01=⋅A ,01=⋅A ,故1AC DB ⊥，1AC DE ⊥． 又DB DE D = ，所以1A C ⊥平面DBE ． -----------------------------------6分（Ⅱ）1(224)A C =--uuu r ，，，1DC uuur(024)=，，111111cos ,||||AC DC AC DC AC DC ⋅<>=⨯uuu r uuuruuu r uuur uuu ruuur = ----------------13分考点：平面向量数量积的运算；直线与平面垂直的判定 18.（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3). （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程． 【答案】（Ⅰ）10x y --=（Ⅱ）22(4)(3)16x y -+-= 【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点式，可得直线l 的方程；（Ⅱ）利用圆C 的圆心在直线l 上，且与y 轴相切于(0,3)点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程 试题解析：（Ⅰ）由已知，直线l 的斜率31142k -==-， 所以，直线l 的方程为10x y --=. -----------------------------------6分 （Ⅱ）因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(,1)a a -， 因为圆C 与y 轴相切于(0,3)点，所以圆心在直线3y =上. 所以4a =.所以圆心坐标为(4,3)，半径为4.所以，圆C 的方程为22(4)(3)16x y -+-=. ------------------------------13分[来源: 考点：直线、圆的方程 19.（本小题满分14分）如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是PC ，AB 的中点,且2PA AB AD ==． （I ）求证:MN CD ⊥；（II ）求二面角P AB M --的余弦值大小；（III ）在线段AD 上是否存在一点G ，使GM PBC ⊥平面? 若不存在，说明理由；若存在，确定点G 的位置．【答案】（I ）详见解析（II（III ）线段AD 上存在中点10,,02G ⎛⎫⎪⎝⎭，使GM ⊥平面PBC 【解析】试题分析：（I ）建立空间直角坐标系，证明0MN DC =，可得MN ⊥CD ；（II ）求出平面ABM 的法向量、平面APB 的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角P-AB-M 的余弦值大小；（Ⅲ）设出G 的坐标，由GM PC GM BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即可求得结论 试题解析：（I ）如图建立空间直角坐标系A xyz -,则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,1,0)D ,(0,0,2)P ,1(1,,1)2M ,(1,0,0)N -------2分 1(0,,1)2MN =-- ，(2,0,0)DC = --------------3分因为0MN DC ⋅=，所以MN CD ⊥.----------------------------------5分 （II ）(2,0,0)AB = ,1(1,,1)2AM =设平面MAB 的一个法向量为(,,)x y z =n则00AB AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ,即0102x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令2y =，则(0,2,1)=-n .又平面PAB 的一个法向量为(0,1,0)=m .cos ,⋅<>=n m n m nm =故二面角P AB M --的余弦值为-----------------------------10分 （III ）假设存在一点G ，使GM PBC ⊥平面.设(0,,0)G λ(01)λ<<则1(1,,1)2GM λ=- ,(0,1,0)BC = ，(2,1,2)PC =- .由00GM PC GM BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即10212202λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩， 解得1(0,1)2λ=∈. - 故线段AD 上存在中点1(0,,0)2G ，使GM PBC ⊥平面. ----------------14分考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质 20.（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x :C (0>>b a )的离心率为22，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为28．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形BCD A 的顶点在椭圆C 上，且对角线BD AC ,均过坐标原点O ，若21-=⋅BD AC k k ．(1) 求OB OA ⋅的取值范围；(2) 证明：四边形BCD A 的面积为定值．【答案】（Ⅰ）14822=+y x （Ⅱ）(1)[]2,0)(0,2OA OB ⋅∈- (2)详见解析试题解析：（I ）由已知，22228222122a b c ,b a ,a c =+=⋅⋅=于是8222===a ,b ,c所以椭圆的方程为14822=+y x -----------------------------------------------5分（II ）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB ⋅=.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A联立⎩⎨⎧=++=8222y x m kx y ，得0824)21(222=-+++m kmx x k ()2222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（）⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212212182214k m x x k km x x （24m ≠） ∵oA oB AC BD k k k k ⋅=⋅212121-=∴x x y y 1≠- 2222212121421822121k m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++= =222222142182m k km km k m k ++-++-222812m k k -=+22222218214k k m k m +-=+--∴2228)4(k m m -=--∴2242k m ∴+= -------------9分 2121y y x x OB OA +=⋅2222222222844424421212121212m m m k k k k k k---+-=-===-+++++ 2242OA OB ∴-=-≤⋅< ，且OB OA ⋅的最大值为2 因此，[]2,0)(0,2OA OB ⋅∈- ------------------------------------------10分(ii)设原点到直线AB 的距离为d ，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=∆m k m m m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB 284==∴∆AOB ABCD S S 四边形为定值．---------------------------------------14分 考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆相交的综合问题：。

2015-2016学年北京市怀柔区七年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共30分，每小题3分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1．（3分）数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值等于2的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D2．（3分）飞机在飞行过程中，如果上升23米记作“+23米”，那么下降15米应记作（）A．﹣8米B．+8米C．﹣15米D．+15米3．（3分）据统计，怀柔雁栖湖常年总库容量38300000立方米，将38300000用科学记数法表示为（）A．0.383×108B．3.83×107C．38.3×106D．383×1054．（3分）如果x=是关于x的方程4x+m=3的解，那么m的值是（）A．1 B．C．﹣1 D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．3x+4y=7xy B．6y2﹣y2=5 C．b4+b3=b7 D．4x﹣x=3x6．（3分）如图所示的圆柱体从左面看是（）A． B．C．D．7．（3分）下列语句正确的是（）A．画直线AB=10厘米B．画直线l的垂直平分线C．画射线OB=3厘米D．延长线段AB到点C，使得BC=AB8．（3分）如果|a+3|+（b﹣2）2=0，那么代数式（a+b）2016的值为（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣19．（3分）一家商店把一种旅游鞋按成本价a元提高50%标价，然后再以8折优惠卖出，则这种旅游鞋每双的售价是（）A．0.4a元B．0.8a元C．1.2a元D．1.5a元10．（3分）按一定规律排列的一列数依次为：﹣3，8，﹣15，24，﹣35，…，按此规律排列下去，这列数中第n个数（n为正整数）应该是（）A．n（n+2）B．（﹣1）n n（n+2）C．（﹣1）n（n2﹣1）D．﹣n（n+1）二、填空题：本题共21分，每小题3分。

11．（3分）单项式﹣y的系数是，次数是．12．（3分）角度换算：26°48′=°．13．（3分）如果2a﹣b=﹣2，ab=﹣1，那么代数式3ab﹣4a+2b﹣5的值是．14．（3分）已知：如图，OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠AOB=35°，那么∠BOD的度数为．15．（3分）定义“*”是一种运算符号，规定a*b=5a+4b+2015，则（﹣4）*5的值为．16．（3分）某校七年级共有589名学生分别到北京博物馆和中国科技馆学习参观，其中到北京博物馆的人数比到中国科技馆人数的2倍还多56人，设到中国科技馆的人数为x人，依题意可列方程为．17．（3分）学习直线、射线、线段和线段中点等内容之后，王老师请同学们交流这样一个问题：“射线OA上有B、C两点，若OB=8，BC=2，点D是线段OB 的中点，请你求出线段DC的长．”张华同学通过计算得到DC的长是6，你认为张华的答案是否正确，你的理由是．三、解答题：本题共69分，第18-30题每小题20分，第31题4分。

2015-2016学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）命题p：∃x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x≤1B．￢p：∃x∈R，x≤1C．￢p：∀x∈R，x＜1D．￢p：∃x∈R，x＜12．（5分）双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4B．2C．D．13．（5分）点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2B．C．1D．4．（5分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3B．﹣C．﹣6D．5．（5分）下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2B．4C．9D．168．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．直线y=2x+1的斜率为．9．（5分）直线y=2x+1的斜率为．10．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是．11．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．13．（5分）一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为．14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）15．（13分）已知正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PD 中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．（Ⅰ）求点A，B，C，D，P，E的坐标；（Ⅱ）求．16．（13分）已知点A（0，﹣6），B（1，﹣5），且D为线段AB的中点．（Ⅰ）求中点D的坐标；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线的方程．17．（13分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求向量和所成角的余弦值．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．19．（14分）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．（I）求证：MN⊥CD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣M的余弦值大小；（Ⅲ）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点c的位置．20．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若．（1）求的取值范围；（2）证明：四边形ABCD的面积为定值．2015-2016学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）命题p：∃x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x≤1B．￢p：∃x∈R，x≤1C．￢p：∀x∈R，x＜1D．￢p：∃x∈R，x＜1【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x≤1，故选：A．2．（5分）双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4B．2C．D．1【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=2，则双曲线的实轴长为2a=4，故选：A．3．（5分）点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2B．C．1D．【解答】解：点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离：d==，故选：B．4．（5分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3B．﹣C．﹣6D．【解答】解：由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，解得a=﹣6，故选：C．5．（5分）下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；故选：B．6．（5分）“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数，当常数小于等于两定点的距离时，轨迹不是椭圆，若平面内一动点P的轨迹为椭圆，则平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数成立，即“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2B．4C．9D．16【解答】解：圆C化为标准方程为（x﹣3）2+y2=1，根据图形得到P与A（4，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=42=16．故选：D．8．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．直线y=2x+1的斜率为．9．（5分）直线y=2x+1的斜率为2．【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2．故答案为：2．10．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是若﹣1＜x＜1，则x2＜1．【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是：若﹣1＜x＜1，则x2＜1，故答案为：﹣1＜x＜1，则x2＜1．11．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于4．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：故答案为4．13．（5分）一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为6．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πR2．∴R=6．故答案为：614．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）15．（13分）已知正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PD 中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．（Ⅰ）求点A，B，C，D，P，E的坐标；（Ⅱ）求．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PD中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．（Ⅱ）∵=（﹣2，﹣1，1），∴||==．16．（13分）已知点A（0，﹣6），B（1，﹣5），且D为线段AB的中点．（Ⅰ）求中点D的坐标；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，﹣6），B（1，﹣5），∴AB的中点D坐标为（，﹣），（Ⅱ）k AB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率是﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y+=﹣（x﹣），整理，得x+y+5=0．17．（13分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求向量和所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D﹣xyz．依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），C1=（0，2，4），D（0，0，0）=（0，2，1），=（2，2，0），=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4），∴•=﹣2×2+2×2+0×（﹣4）=0，•=0+4﹣4=0∴A1C⊥BD，A1C⊥DE又DB∩DE=D，∴A1C⊥平面DBE．（Ⅱ）∵=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4），∴•=﹣2×0+2×2+（﹣4）×4=﹣12，||==2，==2∴cos＜，＞===．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，∴圆心的纵坐标为3，∴横坐标为﹣2，半径为2∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．19．（14分）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．（I）求证：MN⊥CD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣M的余弦值大小；（Ⅲ）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点c的位置．【解答】（I）证明：设PA=AB=2AD=2，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C （2，1，0），N（1，0，0）∴，∴，∴MN⊥CD；（Ⅱ）解：由（I）知，M（1，，1），=（1，，1），=（2，0，0），设平面ABM的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0，∴，∴=（2，0，﹣1），∵平面APB的法向量=（1，0，0），∴二面角P﹣AB﹣M的余弦值==；（III）解：假设线段AD上是存在一点G（0，λ，0）（0＜λ＜1），使GM⊥平面PBC，则=（1，﹣λ，1），=（0，1，0），=（2，1，﹣2）由，可得，解得∴线段AD的中点G，使GM⊥平面PBC．20．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若．（1）求的取值范围；（2）证明：四边形ABCD的面积为定值．【解答】（本小题满分14分）解：（I）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为，∴由已知，，，a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，∴椭圆的方程为．（5分）（II）（1）当直线AB的斜率不存在时，=2．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，（m2≠4）∵k OA•k OB=k AC•k BD，∴=﹣，∴=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==+km•+m2=，∴﹣=，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，∴4k2+2=m2，（9分）=x1x2+y1y2===2﹣，∴﹣2=2﹣4≤＜2，且的最大值为2∴∈[﹣2，0）∪（0，2]．（10分）证明：（2）设原点到直线AB的距离为d，=|AB|•d=•|x2﹣x1|•则S△AOE====2=2，∴S=4S△AOB=8为定值．（14分）四边形ABCD。

2015-2016学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个符合题意．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（3分）下列标志是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.0000025米，把数字0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×106B．0.25×10﹣6C．25×10﹣6D．2.5×10﹣6 3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠3B．x＞3C．x＜3D．x=34．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（a2）3=a8B．a8÷a4=a2C．a3+a2=a5D．a2•a3=a5 5．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．56．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣57．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．x（2x﹣1）=2x2﹣1B．=C．（a+2）2=a2+4D．（x+2）（x﹣3）=x2+x﹣69．（3分）若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4B．3C．1D．010．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC 于D点，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．（3分）若分式的值为正整数，则整数a的值有（）A．3个B．4个C．6个D．8个12．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本题共24分，每小题3分）13．（3分）当x=时，分式值为0．14．（3分）分解因式：x2y﹣4y=．15．（3分）计算：=．16．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于．17．（3分）如图，DE⊥AB，∠A=25°，∠D=45°，则∠ACB的度数为．18．（3分）等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为．19．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=2，BC=5，则△BCE的面积为．20．（3分）图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：特殊网图结点数（V）46912网眼数（F）1246边数（E）4712☆表中“☆”处应填的数字为；根据上述探索过程，可以猜想V，F，E之间满足的等量关系为；如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为．三、解答题（本题共16分，每小题4分）21．（4分）计算：﹣（π﹣3）0﹣（）﹣1+|﹣3|．22．（4分）已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC=BE，BC=BD．求证：AB=DE．23．（4分）计算：．24．（4分）解方程：．四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分）25．（4分）已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．26．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．27．（4分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC=AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分）28．（5分）如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为（直接写出结果）．29．（6分）数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为（直接写出结果）．2015-2016学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个符合题意．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（3分）下列标志是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.0000025米，把数字0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×106B．0.25×10﹣6C．25×10﹣6D．2.5×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠3B．x＞3C．x＜3D．x=3【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由分式有意义，得x﹣3≠0，解得x≠3，故选：A．【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键．4．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（a2）3=a8B．a8÷a4=a2C．a3+a2=a5D．a2•a3=a5【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故C错误；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．5．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD=AC=7，然后根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD=AC=7，∵BE=5，∴DE=BD﹣BE=2，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣5【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，得n=2，m=3．则m+n=2+3=5．故选：C．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出m、n的值是解题关键．7．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC=∠AOC，故选：A．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．8．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．x（2x﹣1）=2x2﹣1B．=C．（a+2）2=a2+4D．（x+2）（x﹣3）=x2+x﹣6【分析】A、原式利用单项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断；B、原式约分得到最简结果，即可作出判断；C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=2x2﹣x，错误；B、原式==，正确；C、原式=a2+4a+4，错误；D、原式=x2﹣x﹣6，错误，故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及约分，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．9．（3分）若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4B．3C．1D．0【分析】首先利用平方差公式，求得a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b，继而求得答案．【解答】解：∵a+b=1，∴a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b=a﹣b+2b=a+b=1．故选：C．【点评】此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键．10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC 于D点，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°，∵MN垂直平分线AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故选：B．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．11．（3分）若分式的值为正整数，则整数a的值有（）A．3个B．4个C．6个D．8个【分析】分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求得a的值．【解答】解：分式的值为正整数，则a+1=1或2或3或6．则a=0或1或2或5．故选：B．【点评】本题考查了分式的值，理解分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数是关键．12．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）13．（3分）当x=0时，分式值为0．【分析】分式的值为零时：x=0且x﹣1≠0，由此求得x的值．【解答】解：依题意得：x=0且x﹣1≠0，解得x=0．故答案是：0．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．14．（3分）分解因式：x2y﹣4y=y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣4y，=y（x2﹣4），=y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．15．（3分）计算：=．【分析】直接利用分式的乘方运算法则化简求出答案．【解答】解：=．故答案为：．【点评】此题主要考查了分式的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．16．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于17．【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2=17．故答案为：17．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．17．（3分）如图，DE⊥AB，∠A=25°，∠D=45°，则∠ACB的度数为110°．【分析】由DE与AB垂直，利用垂直的定义得到∠BED为直角，进而确定出△BDE为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余，求出∠B的度数，在△ABC 中，利用三角形的内角和定理即可求出∠ACB的度数．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∵∠D=45°，∴∠B=180°﹣∠BED﹣∠D=45°，又∵∠A=25°，∵∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=110°．故答案为：110°【点评】此题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．18．（3分）等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为ab=0．【分析】先根据完全平方公式得出（a+b）2=a2+2ab+b2，即可得出答案．【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，∴等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为ab=0，故答案为：ab=0．【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，能理解完全平方公式是解此题的关键．19．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=2，BC=5，则△BCE的面积为5．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF=DE=2，=BC•EF=×5×2=5．∴S△BCE故答案为：5．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．20．（3分）图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：特殊网图结点数（V）46912网眼数（F）1246边数（E）4712☆表中“☆”处应填的数字为17；根据上述探索过程，可以猜想V，F，E之间满足的等量关系为V+F﹣E=1；如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为V+F﹣E=1．【分析】根据表中数据可知，边数E比结点数V与网眼数F的和小1，从而得到6个网眼时的边数；依据以上规律可得V+F﹣E=1；类比网眼为四边形时的方法，可先罗列网眼数是1、2、3时的V、F、E，从而得出三者间关系．【解答】解：由表格数据可知，1个网眼时：4+1﹣4=1；2个网眼时：6+2﹣7=1；3个网眼时：9+4﹣12=1；4个网眼时：12+6﹣☆=1，故“☆”处应填的数字为17．据此可知，V+F﹣E=1；若网眼形状为六边形时，一个网眼时：V=6，F=1，E=6，此时V+F﹣E=6+1﹣6=1；二个网眼时：V=10，F=2，E=11，此时V+F﹣E=10+2﹣11=1；三个网眼时：V=13，F=3，E=15，此时V+F﹣E=13+3﹣15=1；故若网眼形状为六边形时，V，F，E之间满足的等量关系为：V+F﹣E=1．故答案为：17，V+F﹣E=1，V+F﹣E=1．【点评】本题主要考查图形变化时数字间的关系，类比欧拉公式是解题的思路，属中档题．三、解答题（本题共16分，每小题4分）21．（4分）计算：﹣（π﹣3）0﹣（）﹣1+|﹣3|．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣1﹣2+3=2．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（4分）已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC=BE，BC=BD．求证：AB=DE．【分析】由AC、BD平行，可知∠ACB=∠DBC，再根据已知条件，即可得到△ABC ≌△EDB，即得结论AB=DE．【解答】证明：∵AC∥BD，∴∠ACB=∠DBC，∵AC=BE，BC=BD，∴△ABC≌△EDB，∴AB=DE．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到平行线的性质知识点，比较简单．23．（4分）计算：．【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【解答】解：原式=•=•=．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．24．（4分）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1），得x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）=3（x ﹣1），去括号得：x2+x﹣x2+1=3x﹣3，解得：x=2，检验：当x=2时，（x+1）（x﹣1）=3≠0，则原分式方程的解为x=2．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分）25．（4分）已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．【分析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x﹣y=3代入计算即可求出值．【解答】解：原式=（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x=（2x2﹣2xy）÷2x=x﹣y，当x﹣y=3时，原式=x﹣y=3．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【分析】首先设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时，利用高铁列车比普通快车用时少了20分钟得出等式进而求出答案．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时．根据题意得：﹣=，解得：x=180，经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5x=1.5×180=270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意结合两种列车用时的差得出等式是解题关键．27．（4分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC=AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；（2）根据角平分线的性质可得∠1=∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC=∠4，∠2=∠3，然后再证明∠1=∠3，根据等角对等边可得BD=DE．【解答】解：（1）如图所示：（2）BD=DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠4．∴∠1=∠4．∵CE=CD，∴∠2=∠3．∵∠4=∠2+∠3，∴∠3=∠4．∴∠1=∠3．∴BD=DE．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分）28．（5分）如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为24．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为976（直接写出结果）．【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2015求出a的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；故答案为：24；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2015，解得：a=976．故答案为：976．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．（6分）数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α﹣β=120°（直接写出结果）．【分析】（1）作辅助线构建全等三角形，证明△ABD≌△ABD′得△BD′C是等边三角形，再证明△AD′B≌△AD′C得∠AD′B=∠BD′C=30°，则∠ADB=∠AD′B=30°；（2）分两种情况进行讨论：第一种情况：当60°＜α≤120°时，利用全等先求∠ABC和∠ABD的度数，从而得∠ABD′和∠D′BC的度数，得到△BD′C是等边三角形，根据（1）同理得出∠ADB=∠AD′B=30°；第二种情况：当0°＜α＜60°时，仍然按此过程求出∠ADB=∠AD′B=150°；（3）分三种情况讨论：第一种情况：如图4，当120°＜α＜180°时，构建等边三角形D′BC，可知此时满足α﹣β=120°时，∠ADB的度数与（1）相同为30°；第二种情况：如图5，当0°＜α＜120°时，当△BDC是等边三角形时，即满足β=60°时，∠ADB的度数与（1）相同为30°；第三种情况：如图6，当120°＜α＜180°时，构建等边三角形DBC，与第二种情况一样，即满足β=60°时，∠ADB的度数与（1）相同为30°．【解答】解：（1）如图1作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∵∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，∵BD=BD′，BD=BC，∴BD′=BC，∴△D′BC是等边三角形，∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，∵AB=AC，AD'=AD'，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∴∠AD′B=∠BD′C=30°，∴∠ADB=30°，（2）解：第一种情况：当60°＜α≤120°时，如图2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAC=α，∴∠ABC==90°﹣，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣﹣β，同（1）可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣=180°﹣（α+β），∵α+β=120°，∴∠D′BC=60°，以下同（1）可求得∠ADB=30°，第二种情况：当0°＜α＜60°时，如图3，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=，∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=，同（1）可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣，∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．同（1）可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，∴∠ADB=∠AD′B=150°，（3）点D和点A在直线BC的异侧时，分三种情况讨论：第一种情况：如图4，当120°＜α＜180°时，连接CD′，同理构建△ABD′≌△ABD，∴∠DBA=∠D′BA，同理可知：∠CBA=90°﹣α，∴∠DBA=90°﹣α+β，∴∠DBA=∠D′BA=90°﹣α+β，∴∠CBD′=90°﹣α+90°﹣α+β=180°﹣α+β，∵BD=BD′=BC，∴当△D′BC为等边三角形时，∠AD′B=∠ADB=30°，即180°﹣α+β=60°，∴α﹣β=120°；第二种情况：如图5，当0°＜α＜120°时，连接CD，∵BD=BD′=BC，与图4同理可知：当△BDC是等边三角形时，即β=60°，此时△ABD≌△ACD，则∠ADB=∠ADC=30°，第三种情况：如图6，当120°＜α＜180°时，连接CD，同理构建△ABD′≌△ABD，∵BD=BD′=BC，当△BDC是等边三角形时，即β=60°，此时△ABD≌△ACD，则∠ADB=∠ADC=30°，综上所述，当满足0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α﹣β=120°时，∠ADB=30°；故答案为：0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°时，α﹣β=120°．【点评】本题是几何变换的综合题，考查了等腰三角形、全等三角形、等边三角形边和角的关系；在等腰三角形中，已知一个角的度数，就能表示另外两个角的度数；同时本题还运用了分类讨论的思想，这在数学解题中是一个难点．。

赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

DBC2015-2016学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个符合题意．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（3分）下列标志是轴对称图形的是（）A．B． C．D．2．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把数字0.000 002 5用科学记数法表示为（）A．2.5×106B．0.25×10﹣6C．25×10﹣6D．2.5×10﹣63．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x=34．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（a2）3=a8B．a8÷a4=a2C．a3+a2=a5 D．a2•a3=a55．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣57．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．x（2x﹣1）=2x2﹣1 B．=C．（a+2）2=a2+4 D．（x+2）（x﹣3）=x2+x﹣69．（3分）若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．010．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC 于D点，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．（3分）若分式的值为正整数，则整数a的值有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个12．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（本题共24分，每小题3分）13．（3分）当x=时，分式值为0．14．（3分）分解因式：x2y﹣4y=．15．（3分）计算：=．16．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于．17．（3分）如图，DE⊥AB，∠A=25°，∠D=45°，则∠ACB的度数为．18．（3分）等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为．19．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=2，BC=5，则△BCE的面积为．20．（3分）图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：表中“☆”处应填的数字为；根据上述探索过程，可以猜想V，F，E之间满足的等量关系为；如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为．三、解答题（本题共16分，每小题4分）21．（4分）计算：﹣（π﹣3）0﹣（）﹣1+|﹣3|．22．（4分）已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC=BE，BC=BD．求证：AB=DE．23．（4分）计算：．24．（4分）解方程：．四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分）25．（4分）已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．26．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．27．（4分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC=AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分）28．（5分）如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为（直接写出结果）．29．（6分）数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为（直接写出结果）．2015-2016学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个符合题意．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（3分）下列标志是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选B．2．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把数字0.000 002 5用科学记数法表示为（）A．2.5×106B．0.25×10﹣6C．25×10﹣6D．2.5×10﹣6【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故选：D．3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x=3【解答】解：由分式有意义，得x﹣3≠0，解得x≠3，故选：A．4．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（a2）3=a8B．a8÷a4=a2C．a3+a2=a5 D．a2•a3=a5【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故C错误；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；故选：D．5．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD=AC=7，∵BE=5，∴DE=BD﹣BE=2，故选A．6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5【解答】解：由点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，得n=2，m=3．则m+n=2+3=5．故选：C．7．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC=∠AOC，故选：A．8．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．x（2x﹣1）=2x2﹣1 B．=C．（a+2）2=a2+4 D．（x+2）（x﹣3）=x2+x﹣6【解答】解：A、原式=2x2﹣x，错误；B、原式==，正确；C、原式=a2+4a+4，错误；D、原式=x2﹣x﹣6，错误，故选B9．（3分）若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．0【解答】解：∵a+b=1，∴a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b=a﹣b+2b=a+b=1．故选C．10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC 于D点，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°，∵MN垂直平分线AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故选B．11．（3分）若分式的值为正整数，则整数a的值有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个【解答】解：分式的值为正整数，则a+1=1或2或3或6．则a=0或1或2或5．故选B．12．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选C．二、填空题（本题共24分，每小题3分）13．（3分）当x=0时，分式值为0．【解答】解：依题意得：x=0且x﹣1≠0，解得x=0．故答案是：0．14．（3分）分解因式：x2y﹣4y=y（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2y﹣4y，=y（x2﹣4），=y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．15．（3分）计算：=．【解答】解：=．故答案为：．16．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于17．【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2=17．故答案为：17．17．（3分）如图，DE⊥AB，∠A=25°，∠D=45°，则∠ACB的度数为110°．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∵∠D=45°，∴∠B=180°﹣∠BED﹣∠D=45°，又∵∠A=25°，∵∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=110°．故答案为：110°18．（3分）等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为ab=0．【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，∴等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为ab=0，故答案为：ab=0．19．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=2，BC=5，则△BCE的面积为5．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF=DE=2，=BC•EF=×5×2=5．∴S△BCE故答案为：5．20．（3分）图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：表中“☆”处应填的数字为17；根据上述探索过程，可以猜想V，F，E之间满足的等量关系为V+F﹣E=1；如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为V+F﹣E=1．【解答】解：由表格数据可知，1个网眼时：4+1﹣4=1；2个网眼时：6+2﹣7=1；3个网眼时：9+4﹣12=1；4个网眼时：12+6﹣☆=1，故“☆”处应填的数字为17．据此可知，V+F﹣E=1；若网眼形状为六边形时，一个网眼时：V=6，F=1，E=6，此时V+F﹣E=6+1﹣6=1；二个网眼时：V=10，F=2，E=11，此时V+F﹣E=10+2﹣11=1；三个网眼时：V=13，F=3，E=15，此时V+F﹣E=13+3﹣15=1；故若网眼形状为六边形时，V，F，E之间满足的等量关系为：V+F﹣E=1．故答案为：17，V+F﹣E=1，V+F﹣E=1．三、解答题（本题共16分，每小题4分）21．（4分）计算：﹣（π﹣3）0﹣（）﹣1+|﹣3|．【解答】解：原式=2﹣1﹣2+3=2．22．（4分）已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC=BE，BC=BD．求证：AB=DE．【解答】证明：∵AC∥BD，∴∠ACB=∠DBC，∵AC=BE，BC=BD，∴△ABC≌△EDB，∴AB=DE．23．（4分）计算：．【解答】解：原式=•=•=．24．（4分）解方程：．【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1），得x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）=3（x ﹣1），去括号得：x2+x﹣x2+1=3x﹣3，解得：x=2，检验：当x=2时，（x+1）（x﹣1）=3≠0，则原分式方程的解为x=2．四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分）25．（4分）已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．【解答】解：原式=（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x=（2x2﹣2xy）÷2x=x﹣y，当x﹣y=3时，原式=x﹣y=3．26．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时．根据题意得：﹣=，解得：x=180，经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5x=1.5×180=270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．27．（4分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC=AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．【解答】解：（1）如图所示：（2）BD=DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠4．∴∠1=∠4．∵CE=CD，∴∠2=∠3．∵∠4=∠2+∠3，∴∠3=∠4．∴∠1=∠3．∴BD=DE．五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分）28．（5分）如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为24．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为976（直接写出结果）．【解答】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；故答案为：24；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2015，解得：a=976．故答案为：976．29．（6分）数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α﹣β=120°（直接写出结果）．【解答】解：（1）如图1作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∵∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，∵BD=BD′，BD=BC，∴BD′=BC，∴△D′BC是等边三角形，∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，∵AB=AC，AD'=AD'，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∴∠AD′B=∠BD′C=30°，∴∠ADB=30°，（2）解：第一种情况：当60°＜α≤120°时，如图2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAC=α，∴∠ABC==90°﹣，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣﹣β，同（1）可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣=180°﹣（α+β），∵α+β=120°，∴∠D′BC=60°，以下同（1）可求得∠ADB=30°，第二种情况：当0°＜α＜60°时，如图3，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=，∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=，同（1）可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣，∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．同（1）可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，∴∠ADB=∠AD′B=150°，（3）点D和点A在直线BC的异侧时，分三种情况讨论：第一种情况：如图4，当120°＜α＜180°时，连接CD′，同理构建△ABD′≌△ABD，∴∠DBA=∠D′BA，同理可知：∠CBA=90°﹣α，∴∠DBA=90°﹣α+β，∴∠DBA=∠D′BA=90°﹣α+β，∴∠CBD′=90°﹣α+90°﹣α+β=180°﹣α+β，∵BD=BD′=BC，∴当△D′BC为等边三角形时，∠AD′B=∠ADB=30°，即180°﹣α+β=60°，∴α﹣β=120°；第二种情况：如图5，当0°＜α＜120°时，连接CD，∵BD=BD′=BC，与图4同理可知：当△BDC是等边三角形时，即β=60°，此时△ABD≌△ACD，则∠ADB=∠ADC=30°，第三种情况：如图6，当120°＜α＜180°时，连接CD，同理构建△ABD′≌△ABD，∵BD=BD′=BC，当△BDC是等边三角形时，即β=60°，此时△ABD≌△ACD，则∠ADB=∠ADC=30°，综上所述，当满足0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α﹣β=120°时，∠ADB=30°；故答案为：0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°时，α﹣β=120°．。

2015-2016学年北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地.1．（3分）京剧是我国地国粹，剪纸是流传已久地民间艺术，这两者地结合无疑是最能代表中国特色地艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形地个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（3分）下列各式中，与分式地值相等地是（）A．B． C．D．3．（3分）如果式子有意义，那么x地取值范围在数轴上表示出来，正确地是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED地度数是（）A．17°B．34°C．56°D．68°5．（3分）在实数0，π，，，中，无理数地个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（3分）寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动地可能性为（）A．B．C．D．7．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式地是（）A．B．C． D．8．（3分）为估计池塘两岸A，B间地距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间地距离不可能是（）A．15m B．17m C．20m D．28m9．（3分）已知是正整数，则实数n地最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．310．（3分）小米在用尺规作图作△ABC边AC上地高BH，作法如下：①分别以点D，E为圆心，大于DE地长为半径作弧，两弧交于F；②作射线BF，交边AC于点H；③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；④取一点K，使K和B在AC地两侧；所以，BH就是所求作地高．其中顺序正确地作图步骤是（）A．①②③④B．④③②①C．②④③①D．④③①②二、填空题（本题共32分，每小题4分）11．（4分）计算：=．12．（4分）若分式值为0，则a地值为．13．（4分）若a，b为两个连续地正整数，且，则a+b=．14．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=2，则BC=．15．（4分）若实数x，y满足=0，则代数式y x地值是．16．（4分）等腰三角形地两边长分别是3和5，则这个等腰三角形地周长为．17．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE地周长是6，则AB=，AC=．18．（4分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小米地作法如下：请回答：小米地作图依据是．三、解答题（本题共58分，第19-27题，每小题5分，第28题6分，第29题7分）19．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．20．（5分）计算：．21．（5分）计算：．22．（5分）计算：．23．（5分）解方程：24．（5分）已知，求代数式地值．25．（5分）有一块面积为150亩地绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少一半，乙队按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？26．（5分）小明解方程地过程如图．请指出他解答过程中地错误步骤及错误原因，并写出正确地解答过程．解：方程两边同乘x得1﹣（x﹣2）=1．…①去括号得1﹣x﹣2=1．…②合并同类项得﹣x﹣1=1．…③移项得﹣x=2．…④解得x=﹣2．…⑤所以原方程地解为x=﹣2．…⑥27．（5分）如图，已知△ABC中AB=AC．（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD地延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC地平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）地条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．28．（6分）阅读材料，解答下列问题．例：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，故此时|a|是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时|a|是零；当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a|是它地相反数．综上所述，|a|可分三种情况，即|a|=这种分析方法渗透了数学地分类讨论思想．问：（1）请仿照例中地分类讨论地方法，分析二次根式地各种展开地情况．（2）猜想与|a|地大小关系是|a|．（3）当1＜x＜2时，试化简：．29．（7分）如图1，有两个全等地直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK MK（填“＞”，“＜”或“=”），你地依据是；（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK MK（填“＞”或“＜”）；（3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK MK，试证明你地猜想．2015-2016学年北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地.1．（3分）京剧是我国地国粹，剪纸是流传已久地民间艺术，这两者地结合无疑是最能代表中国特色地艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形地个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由图可得，第1，3，4个图形是轴对称图形，共3个．故选C．2．（3分）下列各式中，与分式地值相等地是（）A．B． C．D．【解答】解：把分式﹣地分子、分母同时乘以﹣1得，=．故选D．3．（3分）如果式子有意义，那么x地取值范围在数轴上表示出来，正确地是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3，在数轴上表示为：，故选：C．4．（3分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED地度数是（）A．17°B．34°C．56°D．68°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=34°，∵BC平分∠ABE，∴∠CBE=∠ABC=34°，∴∠BED=∠C+∠CBE=68°．故选D．5．（3分）在实数0，π，，，中，无理数地个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：π，是无理数，故选：B．6．（3分）寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动地可能性为（）A．B．C．D．【解答】解：∵小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，∴小明选择到甲社区参加实践活动地可能性为：．故选B．7．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式地是（）A．B．C． D．【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项正确；B、=2|a|，不是最简二次根式，故本选项错误；C、=2，不是最简二次根式，故本选项错误；D、中含有分母，即不是最简二次根式，故本选项错误；故选A．8．（3分）为估计池塘两岸A，B间地距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间地距离不可能是（）A．15m B．17m C．20m D．28m【解答】解：根据三角形地三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，故选：D．9．（3分）已知是正整数，则实数n地最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【解答】解：当等于最小地正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．10．（3分）小米在用尺规作图作△ABC边AC上地高BH，作法如下：①分别以点D，E为圆心，大于DE地长为半径作弧，两弧交于F；②作射线BF，交边AC于点H；③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；④取一点K，使K和B在AC地两侧；所以，BH就是所求作地高．其中顺序正确地作图步骤是（）A．①②③④B．④③②①C．②④③①D．④③①②【解答】解：用尺规作图作△ABC边AC上地高BH，作法如下：取一点K，使K和B在AC地两侧；以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；分别以点D，E为圆心，大于DE地长为半径作弧，两弧交于F；作射线BF，交边AC于点H；所以，BH就是所求作地高．故正确地作图步骤是④③①②．故选：D．二、填空题（本题共32分，每小题4分）11．（4分）计算：=﹣2．【解答】解：=﹣2，故答案为：﹣2．12．（4分）若分式值为0，则a地值为2．【解答】解：由题意得：a﹣2=0，且a+3≠0，解得：a=2，故答案为：2．13．（4分）若a，b为两个连续地正整数，且，则a+b=9．【解答】解：∵4＜＜5，∴a=4，b=5，∴a+b=9，故答案为：9．14．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=2，则BC=3．【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴BD=AD=2，在Rt△ADC中，∠C=90°，∴DC===1，∴BC=BD+DC=2+1=3，故答案为：3．15．（4分）若实数x，y满足=0，则代数式y x地值是2．【解答】解：由题意得，x﹣2=0，y+=0，解得x=2，y=﹣，则y x=2故答案为：2．16．（4分）等腰三角形地两边长分别是3和5，则这个等腰三角形地周长为11或13．【解答】解：①3是腰长时，三角形地三边分别为3、3、5，能组成三角形，周长=3+3+5=11，②3是底边长时，三角形地三边分别为3、5、5，能组成三角形，周长=3+5+5=13，综上所述，这个等腰三角形地周长是11或13．故答案为：11或13．17．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE地周长是6，则AB=6，AC=3．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∴CD=DE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴△BDE是等腰直角三角形，设BE=x，则CD=DE=x，BD=x，∵△BDE地周长是6，∴x+x+x=6，解得x=6﹣3，∴AC=BC=x+x=6﹣3+（6﹣3）=3，AB=AC=×3=6．故答案为：6；3．18．（4分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小米地作法如下：请回答：小米地作图依据是有三边对应相等地两个三角形全等；全等三角形地对应角相等．【解答】解：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，在△DOC和△D′O′C′中，，∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），∴∠O=∠O′．故答案为：有三边对应相等地两个三角形全等；全等三角形地对应角相等．三、解答题（本题共58分，第19-27题，每小题5分，第28题6分，第29题7分）19．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=AC，∴BF=CF，∵BD=CE，∴DF=EF，∴AD=AE．20．（5分）计算：．【解答】解：原式=﹣++3=﹣3+2+3=2．21．（5分）计算：．【解答】解：====2．22．（5分）计算：．【解答】解：原式=3﹣2+2﹣+3=8﹣3．23．（5分）解方程：【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1），得x2+2（x﹣1）=x（x﹣1），解这个方程，得．经检验，是原方程地根．∴原方程地根是．24．（5分）已知，求代数式地值．【解答】解：原式=（+）•=•=x﹣1，∵x=1+时，原式=1+﹣1=．25．（5分）有一块面积为150亩地绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少一半，乙队按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？【解答】解：设规定时间为x天，由题意得：解得：x=15，经检验：x=15是原方程地解，且符合实际情况．答：规定时间是15天．26．（5分）小明解方程地过程如图．请指出他解答过程中地错误步骤及错误原因，并写出正确地解答过程．解：方程两边同乘x得1﹣（x﹣2）=1．…①去括号得1﹣x﹣2=1．…②合并同类项得﹣x﹣1=1．…③移项得﹣x=2．…④解得x=﹣2．…⑤所以原方程地解为x=﹣2．…⑥【解答】解：步骤①去分母等号右边漏乘x；步骤②去括号，当括号前是“﹣”地时候没有变号；步骤⑥前少“检验”步骤，正确解法：方程两边同乘x，得1﹣（x﹣2）=x，去括号，得1﹣x+2=x，移项，得﹣x﹣x=﹣1﹣2，合并同类项，得﹣2x=﹣3，两边同除以﹣2，得x=，经检验，x=是原方程地解，∴原方程地解是x=．27．（5分）如图，已知△ABC中AB=AC．（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD地延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC地平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）地条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．【解答】（1）解：如图所示；（2）证明：∵AB=AC，AE=AB，∴AE=AC，∵AF是∠EAC地平分线，∴∠EAF=∠CAF，在△AEF和△ACF中，，∴△AEF≌△ACF（SAS），∴∠E=∠ACF．28．（6分）阅读材料，解答下列问题．例：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，故此时|a|是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时|a|是零；当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a|是它地相反数．综上所述，|a|可分三种情况，即|a|=这种分析方法渗透了数学地分类讨论思想．问：（1）请仿照例中地分类讨论地方法，分析二次根式地各种展开地情况．（2）猜想与|a|地大小关系是=|a|．（3）当1＜x＜2时，试化简：．【解答】解：（1）当a＞0时，如a=3，则，故此时地结果是它本身；当a=0时，，故此时地结果是零；当a＜0时，如a=﹣3，则，故此时地结果是它地相反数．综上所述，地结果可分三种情况，即（2）=|a|．（3）∵1＜x＜2，∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，∴=x﹣1+（2﹣x）=1．29．（7分）如图1，有两个全等地直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK=MK（填“＞”，“＜”或“=”），你地依据是等腰三角形三线合一；（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK＞MK（填“＞”或“＜”）；（3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK＞MK，试证明你地猜想．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，D是AB地中点，∴AD=BD=CD=AB，∠B=∠BDC=60°又∵∠A=30°，∴∠ACD=60°﹣30°=30°，又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，∴∠CKD=90°，∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上地垂线与中线重合），∵CK=0，或AM=0，∴AM+CK=MK；（2）由（1），得∠ACD=30°，∠CDB=60°，又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=MD，CK=KD，∴AM+CK=MD+KD，∴在△MKD中，AM+CK＞MK，（3）AM+CK＞MK，证明：作点A关于ED地对称点G，连接GK，GM，GD．∵点G是点A关于直线DE地对称点∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，∵Rt△ABC 中，D是AB地中点，∴AD=CD=GD．∵∠A=∠E=30°，∴∠CDA=120°，∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°，∴∠GDK=∠CDK，在△GDK和△CDK中，∵，∴△GDK≌△CDK（SAS），∴GK=CK，∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2015-2016学年度第二学期期末考试八年级数学试题（时间：120分钟 满分：150分）请注意：所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。

一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，计18分） 1．下列式子中，为最简二次根式的是 （ ▲ ） A ．10B ．8C ．21D ．212．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ▲ ）A ．B ． C.D.3．与分式x--11的值相等的是（ ▲ ） A ．11--xB ．x+-11 C ．x+11D ．11-x 4． 已知实数0<a ，则下列事件中是必然事件的是（ ▲ ） A ．03>aB ．03<-aC ．03>+aD ．03>a5．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ▲ ） A ．对角线互相平分 B ．两组对角相等 C ．对角线相等D ．两组对边相等6．如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （1，3），C （3，1）．若反比例函数xky =在第一象限内的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ▲ ） A ．32≤≤k B ．42≤≤k C ．43≤≤kD ．5.32≤≤k二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，计30分）7x 的取值范围是 ▲ ．8．如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°得△ADE ，则∠BAD= ▲ °．9．若分式392+-x x 的值为0，则x 的值为 ▲ ．10．若b a <，则2)(b a -可化简为 ▲ ．11．若一元二次方程020162=-+bx ax 有一根为1-=x ，则b a -的值为 ▲ ．12．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则菱形的周长是 ▲ ． 13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若CD=5，则EF 的长为 ▲ ．第8题图 第13题图 第16题图14．某药品2014年价格为每盒120元，经过两年连续降价后，2016价格为每盒76.8元，设这两年该药品价格平均降低率为x ，根据题意可列方程为 ▲ ． 15．已知)2,(m A 与)3,1(-m B 是反比例函数xky =图像上的两个点，则m 的值为 ▲ ． 16．如图，矩形ABCD 中，AB=7cm,BC=3cm,P 、Q 两点分别从A 、B 两点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针运动，速度均为1cm/s ，当点P 到达B 点时两点同时停止运动，若PQ 长度为5cm 时，运动时间为 ▲ s ． 三、解答题：（本大题共10小题，计102分） 17．（本题10分）计算：（1）0)21()12(8+-+（2）)32)(32(-+18．（本题10分）解下列一元二次方程： （1）x x 3322=-（用公式法解） （2）93)3(2-=-x x19．（本题8分）先化简，再求值：121441222+-÷-+-+-a a a a a a ，其中12+=a20．（本题8分）一个不透明的口袋中有7个红球，5个黄球，4个绿球，这些球除颜色外没有其它区别，现从中任意摸出一球，如果要使摸到绿球的可能性最大，需要在这个口袋中至少再放入多少个绿球？请简要说明理由．21．（本题10分）2016年某校组织学生进行综合实践活动，准备从以下几个景点中选择一处进行参观。