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一元二次不等式教案一元二次不等式教案5篇作为一名优秀的教育工作者，总不可避免地需要编写教案，借助教案可以更好地组织教学活动。
那么教案应该怎么写才合适呢？以下是小编整理的一元二次不等式教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一元二次不等式教案1教学内容3.2一元二次不等式及其解法三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。
回顾下等比数列的性质。
生：略师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。
4.2一元二次不等式及其解法第1课时1．正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法；2．通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；重点：1．一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念；2．一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系； 3．运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集． 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．PPT 课件．一、问题引入问题1：汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一 般称这段距离为“刹车距”.刹车距s (单位：m )与车速弑单位：h km /)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据.甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距接近 但未超过m 12，乙车的刹车距刚刚超过m 10.已知这两辆汽车的刹车距函数如下：x x s 1.001.02+=甲．x x s 05.0005.02+=乙．车速超过h km /40属违章.试问：哪一辆车违章超速行驶？师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来．预设的答案：只需分别解出使不等式121.001.02≤+x x 和1005.0005.02>+x x 成立的x 的取值范围，再确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶.追问1：不等式1005.0005.02>+x x 即01005.0005.02>-+x x ，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？师生活动：学生可以回答这个问题．之后教师给出一元二次不等式的定义，一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式：2200ax bx c ax bx c ++>++<或，并且强调二次项的系数0≠a ．一元二次不等式形如20(0)ax bx c a ++>≠，其中“>”也可换成“≥”“<”“≤”，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．二、探究新知1．探究一元二次不等式的解法问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数223y x x =--为例．师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．追问2：教师用信息技术画出函数223y x x =--的图象，图象与x 轴有两个交点，并在函数图象上任取一点()y x p ,．当点p 在抛物线上移动时，请你观察：随着点p 的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？★资源名称： 【数学探究】二次函数与一元二次方程、不等式的关系★使用说明：本资源动态展示了二次函数的零点与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察三者之间的关系．)0(02>=++=a c bx ax y 的图象)0(02>=++a c bx ax 的根)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 的解集师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x 轴的相关位置确定不等式对应的x 的取值范围，而确定x 的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．Δ＞0Δ＝0Δ＜0)0(02>=++=a c bx ax y 的图象)0(02>=++a c bx ax 的根有两个不相等的实数根21,x x ()21x x <有两个相等的实数根abx x 221-==没有实数根)0(02>>++a c bx ax 的解集{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R)0(02><++a c bx ax 的解集{}21x x xx <<∅∅设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．教师总结：(1)解一元二次不等式的口诀：先看开口再看根． 函数图象是根本． 横轴上方y 为正． 根间根外想谨慎．(2)一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的解法思路： 三、初步应用例2.求不等式29610x x -+>的解集.预设的答案：函数2961y x x =-+，抛物线开口向上，对应二次方程有两个相等实根1213x x ==，所以不等式29610x x -+>的解集为{1|3x x ⎫≠⎬⎭；例3.求不等式23520x x +->的解集. 预设的答案：解法1：对应抛物线开口向上，方程有两个实根1212,3x x =-=大于零解集是“两根之外”，所以不等式解集为{1|23x x x ⎫<->⎬⎭或. 解法2：由2352(2)(31)x x x x +-=+-，即()()2310x x +->由“同号得正，异号得负”，得20310x x +>⎧⎨->⎩或20310x x +<⎧⎨-<⎩，解得123x x <->或所以不等式解集为{1|23x x x ⎫<->⎬⎭或.追问5：二次项系数是负数（即0<a )的不等式，如何求解？ 预设的答案：先把二次项系数化成正数，再求解．师生活动：学生总结，教师完善．师生总结解一元二次不等式的一般步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．设计意图：这三道例题对应的两个二次函数的图象分别与x 轴有一个交点、两个交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应图235用，培养学生思维的严谨性．【课堂练习一】已知一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{}53><x x x 或-，则02<+-c bx ax 的解集为________．追问6：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？ 师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定a 0<．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出c b a ,,之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．预设的答案：解：根据题意可知a 0<．令)0(02≠=++a c bx ax ．由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=,53,53-ac a b解得⎩⎨⎧-=-=.15,2a c a b 代入所求不等式得01522<-+a ax ax ．①又∵0<a ，∴①化为01522>-+x x ．对于方程015-22=+x x ，因为∆＞0，所以它有两个实数根，解得3,-521==x x ，画出二次函数15-22x x y +=的图象（图2－3－5），结合图象得不等式015-22>+x x 的解集为}{53-<>x x x ，或设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．【课堂练习一】1．求下列不等式的解集： （1）2830x x -+->； （2）1021x x -≤+师生活动：学生独立完成，学生代表在黑板板书解答过程，教师根据步骤重点讲解易错细节.预设的答案：（1）{|44x x <<+；（2）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦. （1）因为284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>．所以方程2830x x -+-=有两个不相等的实根14x =24x =又二次函数283y x x =-+-的图象开口向下．所以原不等式的解集为{|44x x -<<+.（2）方法一：1021x x -≤+等价于10210x x -≤⎧⎨+>⎩①或10210x x -≥⎧⎨+<⎩ ② 解①得112x -<≤，解②得x ∈∅． 所以原不等式的解集为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.方法二：不等式1021x x -≤+⇔(1)(21)0,210,x x x -+≤⎧⎨+≠⎩所以由二次不等式知11,21,2x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩所以112x -<≤.所以原不等式的解集为1,12⎛⎤-⎥⎝⎦. 设计意图：帮助学生巩固利用“三个二次”之间的关系来解不等式. 【课堂练习二】2．已知关于x 的一元二次方程0222=++-a ax x ，当a 为何值时，该方程： （1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在()3,1内.师生活动：教师引导学生分析题意，挖掘隐藏的不等式，学生完成作答. 预设的答案：（1）(2,)+∞；（2）11(2,)5解：（1）由题意，关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=有两个不同的正根时，满足2121244(2)02020a a x x a x x a ⎧∆=-+>⎪+=>⎨⎪⋅=+>⎩，得2a >，所以a 的范围为(2,)+∞. （2）令2()22f x x ax a =-++，则当21344(2)0(1)30(3)1150a a a f a f a <<⎧⎪∆=-+>⎪⎨=->⎪⎪=->⎩时．即1125<<a 时，方程2220x ax a -++=有不同的两根且两根在(1,3)内.设计意图：利用一元二次函数图象总结一元二次方程根的分布. 四、归纳小结，布置作业问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式解的过程的？在这个过程中体现了哪些数学方法和思想？师生活动：师生共同总结，教师强调关键点是从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集．其中体现了数形结3．若220ax bx ++>的充要条件是1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，则a b +的值为___________. 设计意图：考查学生由一元二次不等式求解参数值．4.已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>，{}2|60B x x x =--≥，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围_______.所以ax 2+bx +2=0的两根为－12和3，且a <0. 所以112321123ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，且a <0．解得a =－12，b =－2. ∴ a +b =－14. 4.3(0,)2由题意，{|A x x a =<或2x a >，0}a >，{|2B x x =≤-或3}x ≥．∵x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，即B A ≠⊂. ∴2230a a a >-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得302a <<．。
7．2一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取__________，小于号取__________”求解集．函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜0 3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间(4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a ③∅(2016·宜昌模拟)设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1，2) B ．[1，2] C ．[1，2) D ．(1，2]解：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．故选D . (2016·梧州模拟)不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，1)解：因为2x ＋1<1，所以2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，所以x <－1或x >1.故选A .(2016·青海模拟)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2，2]C ．(－2，2)D ．(－∞，2)解：当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＜0， 所以－2<a <2.当a ＝2时，原式化为－4<0，恒成立．所以－2<a ≤2.故选B .(2015·广东)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 解：由－x 2－3x ＋4＞0得x 2＋3x －4＜0，解得－4＜x ＜1.故填(－4，1)．(北京市2017届普通高中会考)如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于________． 解：不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，则1，3是方程x 2－ax －b ＝0的两根，由根与系数的关系，得a ＝1＋3＝4，－b ＝1×3＝3，b ＝－3，所以b a ＝81.故填81.类型一 一元二次不等式的解法(1)解下列不等式： (Ⅰ)x 2－7x ＋12＞0； (Ⅱ)x 2－2x ＋1＜0.解：(Ⅰ)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}． (Ⅱ)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(2)解关于 x 的不等式 kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R )． 解：①当 k ＝0 时，不等式的解为 x ＞0. ②当 k ＞0 时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1 时，不等式的解为1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k；若Δ≤0，即 k ≥1 时，不等式无解． ③当 k ＜0 时， 若Δ＝4－4k 2＞0，即－1＜k ＜0时，x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k；若Δ＜0，即 k ＜－1 时，不等式的解集为 R ； 若Δ＝0，即 k ＝－1 时，不等式的解为 x ≠－1. 综上所述，当k ≥1 时，不等式的解集为∅；当0＜k ＜1 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ； 当k ＝0 时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ； 当k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当k ＜－1时，不等式的解集为R .【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2)．(1)解下列不等式： (Ⅰ)－x 2－2x ＋3≥0； (Ⅱ)x 2－2x ＋2＞0.解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .(2)(2015·贵州模拟)关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是________． 解：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．类型二 二次不等式、二次函数及二次方程的关系(1)(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C.{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.由韦达定理得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.所以不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1＜x ＜12.故选B .【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．(2)若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1) D ．[0，1)解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B .【点拨】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b2a 与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．(1)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (Ⅰ)求a ，b ；(Ⅱ)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(Ⅰ)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (Ⅱ)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式的解集为∅.(2)(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________． 解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，所以(6a ＋5)(2a ＋3)<0.所以－32<a <－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.检验知合要求． 不等式f (x )>1即为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0. 故填{x|－1＜x ＜0}．类型三 分式不等式的解法(1)不等式1x<1的解集为________．解：1x <1⇔1x －1<0⇔1－x x <0⇔x －1x >0，解得x <0，或x >1.故填(－∞，0)∪(1，＋∞)．(2)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B＝{x |0＜x ≤1}．故选B .【点拨】首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0.(1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－12或x ≤－2. 解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－12或x ≤－2.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞－12或x ≤－2.(2)(2016·丽水模拟)已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ＋1e －x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.⎣⎡⎭⎫－12，2 B.⎝⎛⎦⎤－1，－12 C ．(－1，e) D ．(2，e)解：由题意得A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}＝{x |－1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >e 或x ≤－12，故A ∩B ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12.故选B . 类型四 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， 所以a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x .因为f (x )＝x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫－x －1x max＝－52.所以a ≥－52.解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0⇒a ≥0.(如图1) ②⎩⎨⎧0＜－a 2＜12，f ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎨⎧－a 2≥12，f ⎝⎛⎭⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( ) A ．{x |1＜x ＜3} B ．{x |x ＜1或x ＞3} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |x ＜1或x ＞2}解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B .【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(3)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)(2016·南昌模拟)对于任意实数x ，不等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－∞，－4] C ．(－4，0) D ．(－4，0] 解：当m ＝0时，不等式显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m <0 得－4<m <0.综上所述，所求实数m 的取值范围是(－4，0]．故选D .(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1. 所以x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组.()注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则． 5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x 2－x －2≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2] B ．[－1，2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1，2]解：原不等式⇔(x ＋1)(x －2)≤0，即x ∈[－1，2]，故选B .2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋1≤0，B ＝{x ||x |≤1}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：A ＝{x |－1<x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，则A 是B 的真子集．故选C .3．(四川省广元市2017届适应性统考(三诊))已知集合A ＝{x |x 2－4x ＜0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，4]B ．(－∞，4)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解：集合A ＝{x |x 2－4x ＜0}＝(0，4)，B ＝{x |x ＜a }＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 满足a ≥4.故选C . 4．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解：由题意得⎩⎨⎧－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2.则f (x )＝－x 2－x ＋2，所以f (－x )＝－x 2＋x ＋2.故选C .5．(北京朝阳区2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝ax 2－x ，若对任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解：任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，当x 1<x 2，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0有f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )＝ax 2－x 在区间[2，＋∞)上是增函数，所以a >0，且函数f (x )＝ax 2－x 对称轴12a ≤2⇒a ≥14.故选D .6．(2016·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A ．[1，19] B ．(1，19) C ．[1，19) D ．(1，19]解：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）＜0， 解得1<a <19.综上1≤a <19.故选C .7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3的解集为________． 解：log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x ≤2.当x ＞0时，x ＋1x≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，此时x ＋1x ＞－6，解得－3－22＜x ＜－3＋2 2.故填(－3－22，－3＋22)∪{1}．8．(广州市2017届高三第一次模拟)已知a <0，关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0的解集是________．解：原不等式等价为(x －2)(ax －2)>0，即a (x －2)(x －2a)>0，因为a <0，所以不等式等价为(x －2)⎝⎛⎭⎫x －2a <0，所以2a<x <2，即原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2a ，2.故填⎝⎛⎭⎫2a ，2. 9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解法一：设f (x )＝x 2－ax －a .则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min ≤－3，即f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a ＋a 24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2. 解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.10．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，求实数a 的取值范围．解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得－12＜a ＜0.故实数a 的取值范围为(－12，0)．(2016·湖北模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＜0，a ＋b ＋c ＝0，且－b2a >1，所以c ＜a ＜0，所以ac >0，所以对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0，所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝（b －a ）2＋4ac a 2＝（－2a －c ）2＋4ac a 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＋8·c a＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知ca ＝t ，所以|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．所以|m －n |>13，所以|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A .2．已知－12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(－2，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，2 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D .3．(2016·山东枣庄一模)关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( ) A ．a <0或a >4 B ．0<a <2 C ．0<a <4 D ．0<a <8解：因为不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充要条件是Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4，所以不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2.故选B .4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则不等式bx 2＋2x －a <0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >3} B ．{x |x <－3或x >2}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}解：由条件得－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，由韦达定理，a ＝－12, b ＝－2，所以bx 2＋2x －a <0即为－2x 2＋2x ＋12<0，解得x <－2或x >3.故选A .5．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >lg2} B ．{x |－1<x <lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，故选D . 6．(2016·云南模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4，1]B ．[－4，3]C ．[1，3]D ．[－1，3]解：原不等式等价于(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.故选B .7．(2016·广东惠州模拟)不等式9x －7＜－1的解集为________． 解：由9x －7＜－1得x ＋2x －7＜0，可化为(x ＋2)(x －7)＜0，解得－2＜x ＜7.故填(－2，7)． 8．(2016·西安模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.解：由题意得a 2－4b ＝0，所以b ＝a 24. 所以f (x )<c 可化为x 2＋ax ＋a 24－c <0， 由题意知m 和m ＋6为关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－a ，m （m ＋6）＝a 24－c ，所以c ＝a 24－m (m ＋6)＝（2m ＋6）24－m (m ＋6)＝9.故填9. 9．(2016·西安模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件．那么要保证该商品每天的利润在320元以上，求其每件售价的取值范围．解：设售价定为每件x 元，利润为y 元，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意，有(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件售价的取值范围为(12，16)(单位：元)．10．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0，当a ＝0时，解集为(－∞，－1]．当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a， 所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞； 当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a . (2016·郑州模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)．因为a >0，且0<x <m <n <1a， 所以x －m <0，1－an ＋ax >0.所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。
一元二次不等式及其解法说课稿《一元二次不等式及其解法》说课稿各位老师好！今天我说课的题目是一元二次不等式及其解法，所选用的是高中数学人教A版必修5教材。
《一元二次不等式及其解法》出自该教材第二章不等式。
根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次不等式的解法是解不等式的基础和核心，在高中数学中有广泛的应用，蕴藏着重要的数形结合思想，现已成为代数、三角、解析几何交汇综合的部分，也是近年来高考综合题的热点，可见，本节课的学习在高中数学中具有举足轻重的地位。
2. 学情分析学生在初中已经学习了一元二次方程和一元二次函数，对不等式的性质有了初步了解。
从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升，所以要更加注重其抽象思维的训练，因此对于这个阶段的学生来说，一元二次不等式的学习有一定的基础。
3. 教学重难点根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型；围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想。
难点确定为：理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
二、教学目标分析新课标指出，教学目标应包括只是与技能目标，过程与方法目标，情感与态度目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程，这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。
借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.2.采用探究法，按照思考、交流、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;发挥学生的主体作用，作好探究性实验;理论联系实际，激发学生的学习兴趣.3.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.三、教学方法分析本节课为了培养学生的探究型思维目标，实现学生在教师指导下的发现探索，让学生愉快的学习，在发现与探索中建构知识，发展能力，有效地渗透数学思想，同时以观察法为主的合作交流方式，以一系列问题促进主体学生的学习活动，让学生自己发现问题、解决问题，得到一般性结论，教师则从旁适时点拨，帮助学生逐步攀升，从而达到知识与能力的目标。
教学目标知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法；理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.能力目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.德育目标：通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.情感目标: 在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神.教学重点:一元二次不等式的解法.教学难点:一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.教学过程:(一)引入新课.问题1：(幻灯片1)画出一次函数y=2x-7的图象，填空：2x-7=0的解是 .不等式 2x-7>0的解集是 .不等式 2x-7<0的解集是 .请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系).从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论.,0),就有如下结果.(幻灯片2): 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x}一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x一元一次不等式ax+b>0(<0)解集(1)当a>0时, 一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x};}；一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x<x(2)当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是{x|x<x}；}.一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x>x(学生看图总结,教师在幻灯片中给出结果).问题2：(幻灯片3)（2004年江苏省高考试题）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分则ax2解集是 .引导学生运用解决问题1的方法,画出二次函数y=ax2+bx+c的图象求解.并请学生说出不等式ax2+bx+c<0的解集和方程ax2+bx+c=0的解集,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系).(二)讲授新课.1.问题2的解决表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出. 请同学们解下面两组题:题组1（课本19页例1、例2）（1）解不等式2x2-3x-2>0（2）解不等式-3x2+6x>2学生根据问题2的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图象的要领和方法.2.题组2（课本19页例3、例4）（1）解不等式4x2-4x+1>0（2）解不等式-x2+2x-2>0学生不难想到,这两题的方法和上面完全相同,教师在巡回指导中及时提醒学生注意和上面两题的不同,由图象写出解集是难点,必要时教师在黑板上画出图象给予一定的提示或讲解.3.至此我们掌握了用图象法来解一元二次不等式.当然我们可以仿照前面探讨“三个一次”关系的做法来探讨这里“三个二次”的关系.引导学生分三种情况(△＞0,△＜0,△＝0)讨论一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0 )与ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集.何?课后仿上表给出.4.由上面的例题和总结我们发现,一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,进一步引导学生总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).(四)课堂练习.1.课本P练习1～3.19～202.(幻灯片5)题组3：（1）x 2+x+k>0恒成立，求k 的取值范围.（2）ax 2+bx+c>0（a ≠0）恒成立的条件为 .ax 2+bx+c ≤0（a ≠0）恒成立的条件为 .（3）（x-a ）（x-a 2）<0（0<a<1）的解集是 .课本P 19练习1的四个小题由4位同学板演,教师通过学生板演发现问题,纠正错误,规范书写过程.课堂练习1、2是两组有梯度的练习题,练习1面向全体学生,练习2供程度较好的学生进一步发展提高.(五)课时小结.1.“三个二次”关系.2.一元二次不等式的两种解法----图象法和“三步曲”法.(六)课后作业.1.课本P 20习题1,3,5,6.2.补充练习：1.若不等式 2282001x x mx mx -+<--对一切x 恒成立，求实数m 的范围. 解析：∵x 2-8x+20=(x-4)2+4>0, ∴ 只须mx 2-mx-1<0恒成立，即可：①当m=0时，-1<0,不等式成立；②当m ≠0时，则须2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩ 解之：-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m ≤0.2.设不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx 2+bx+a<0的解集. 分析：由题001111c b b a c c a a cααβαβαβαβ⎧⎧⎪⎪<<⎪⎪⎪⎪+=-⇒+=-⎨⎨⎪⎪⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩∴cx 2+bx+a<0的解集是{x|x< 1β或x>1α}． 课后预案课堂中学生可能提出的意外问题设想:1.学生可能提出的问题:不等式(x+2)(x-3)＜0能不能转化为不等式组{0203＞x＜x +-或{0203＜x＞x +-求解?2.学生在解题中可能出现的问题:把不等式(x-1)(x+2)＞1转化为{1112＞x＞x -+去解.课后反思(略)板书设计(略)教学设计说明本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏.复习引入的问题1是学生已经熟知的一元一次不等式、一元一次方程及一次函数既“三个一次”的关系问题,旨在为后面探讨“三个二次”的关系提供方法和思路.问题2是课本中的材料,以高考题的形式出现可以引起学生更大的关注和兴趣.教材中的四个例题让学生完全按照解决问题2的方法自己去解,教师只在必要的时候提醒学生应该注意的问题,或学生遇到困难时给予引导.完成四道例题后,学生对一般一元二次不等式的解法和“三个二次”的关系已经有一定的理解,然后由特殊到一般,引导学生总结规律,形成一般结论.最后学生再利用自己的总结去完成课堂练习,刚刚形成的方法与结论可以进一步巩固和深化.例题、练习和作业的设置由浅入深,并且补充部分题目照顾各个层次的学生.一元二次不等式的求解过程,也是函数与方程、数形结合、分类讨论及类比等数学思想方法的综合应用过程,在教学中提醒学生注意深刻体会,也在补充题目中逐步加以渗透.一元二次不等式的解法（第一课时）说课稿各位评委、各位老师:大家好！我叫李长杉,来自甘肃省嘉峪关市第一中学。
