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2019年中考二轮数学练习精品讲解-反比例函数注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！本章小结小结1本章概述本章的主要内容是反比例函数的概念和图象，确定反比例函数的解析式.通过本章的学习掌握相关的知识，同时养成数形结合的思考形式和思考方法，代数式、方程、函数、图形、直角坐标系结合起来进行思考，互相解释、互相补充，对于整个中学数学的学习，愈往后，愈显出其重要性，通过本章的学习，要为数形结合能力打下良好的基础.培养学生的应用意识、小结2本章学习重难点【本章重点】本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具.教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通.【本章难点】本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力、 知识网络结构图专题总结及应用专题1反比例函数的概念【专题解读】函数ky x=(k ≠0)叫做反比例函数，也可以写成xy =k 〔k ≠0〕或y =kx -1〔k ≠0〕,它的自变量的取值范围是x ≠0的所有实数，因为反比例函数k y x=(k ≠0)只有一个常数k ，所以求反比例函数表达式也就是求k ，要注意两点：〔1〕(k ≠0)；假设k y x=写成y =kx -1是，x 的指数是-1.例1判断以下各式是否表示y 是x 的反比例函数，假设是，指出比例系数k 的值；假设不是，指出是什么函数.〔1〕8;y x =-〔2〕1;9xy = 〔3〕43;y x =-〔4〕1;7y x =-〔5〕6.7y x=- 分析判断y 是否是x 的反比例函数，关键是根据的比例函数的定义，观察两个变量x ，y 之间能否写成k y x=〔k 为常数，k ≠0〕的形式. 解：〔1〕8y x=-是反比例函数，k =-8.〔2〕19xy =可写成19,y x=是反比例函数，1.9k = 〔3〕43y x =-不是反比例函数，是一次函数. 〔4〕17y x=-不是反比例函数，是正比例函数. 〔5〕67y x =-可写成67,y x-=是反比例函数6.7k =- 例2根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数. 〔1〕面积为常数m 的长方形的长y 与宽x 之间的关系；〔2〕一本500页的书，每天看15页，x 天后尚未看完的页数y 与天数x 之间的关系. 解：〔1〕m y x=〔m 是常数，x ＞0〕,是反比例函数.〔2〕y =500-15x ，是一次函数.【解题策略】解答此题首先要熟练掌握一次函数与反比例函数的定义. 专题2反比例函数图象的位置与系数的关系 【专题解读】反比例函数k y x=的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k 的关系有如下两种情况：〔1〕0k >⇔双曲线的两个分支在第【一】三象限⇔在第一象限内，y 随x 的增大而减小.〔2〕0k <⇔双曲线的两个分支在第【二】四象限⇔在第一象限内，y 随x 的增大而增大.例3函数y ax a =-+与(0)ay a x-=≠在同一坐标系中的图象可能是〔如图17-36所示〕分析分两种情况来考虑a 的正负情况：①当a ＞0时，函数y ax a =-+的图象在第【一】【二】四象限，函数a y x -=的图象在第【二】四象限，因此A 项正确.②当a ＜0时，函数y ax a =-+的图象在第【一】【三】四象限，函数a y x-=的图象在第【一】三象限，四个选项中没有适合的. 答案：A【解题策略】解答此题也可以从选项出发来考虑a 的情况.例如A 项，由函数y ax a =-+的可判断a ＞0，由函数a y x-=的图象可判断a ＞0，由此可判断A 项正确,再例如B 项，由函数y ax a =-+的增减性质可判断-a ＜0，即a ＞0，但由函数的图象与y 轴的交点位置可判断a ＜0，与前面得到的a ＞0相矛盾，故B 不正确，类似地，也可判断C ，D 两个选项不正确.专题3反反函数的图象【专题解读】如图17-37所示，假设点A 〔x ，y 〕为反比例函数k y x=图象上的任意一点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，作AC ⊥y 轴于C ，那么S △AOB =S △AOC =12S 矩形ABOC =1||2k .例4如图17-38所示，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过P 作x 轴的垂线交双曲线1y x=于点Q ，连续OQ ，当点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积〔〕A 、逐渐增大B 、逐渐减小C 、保持不变D 、无法确定分析过Q 作QA ⊥y 轴，交y 轴于点A ，那么S △OPQ =12S 矩形AOPQ =111||1,222xy =⨯=所以S △OPQ是一个定值，即保持不变.答案：C【解题策略】掌握比例系数k 的几何意义，即|k |=S 矩形AOPQ =2S △OPQ 是这类问题的解题关键.例5如图17-39所示，在反比例函数2(0)y x x=>的图象上有点1234,,,P P P P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1234,,,S S S S ，那么123S S S ++=.分析由题意及图象可知，三个长方形的长都为1，设112233(1,),(2,),(3,),P y P y P y44(4,).P y 代入2(0)y x x =>可求得1234212,1,,,32y y y y ====123S S S ∴++11(y =⨯43).2y -=答案：32专题4反比例函数与一次函数的综合应用【专题解读】主要考查反比例函数与一次函数的概念、图象、性质，以及用待定系烽法求出函数解析式，函数图象确定比例系数或变化范围等知识.例6反比例函数k y x=和一次函数y mx n =+的图象的一个交点坐标是〔-3，4〕，且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式.分析因为点〔-3，4〕是反比例函数k y x=和一次函数y mx n =+的图象的一个交点，所以把〔-3，4〕代入k y x=中即可求出反比例函数的表达式.欲求一次函数y mx n =+的表达式，有两个待定未知数m ，n ，书籍一个眯〔-3，4〕，只需再求一个一次函数图象上的点即可.由2由一次函数图象与x 轴的交点到的点的距离是5，那么这个交点坐标为〔-5，0〕或〔5，0〕分类讨论即可求得一次函数的解析式.解：因为函数k y x=的图象经过点〔-3，4〕， 所以4,3k =-所以k =-12. 所以反比例函数的表达式是12.y x=-由题意可知，一次函数y mx n =+的图象与x 轴的交点坐标为〔5，0〕或〔-5，0〕，那么分两种尾部讨论：当直线y mx n =+经过点〔-3，4〕和〔5，0〕时， 有43,05,m n m n =-+⎧⎨=+⎩解得1,25.2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以15.22y x =-+当直线y mx n =+经过点〔-3，4〕和〔-5，0〕时， 有43,05,m n m n =-+⎧⎨=-+⎩解得2,10.m n =⎧⎨=⎩所以210.y x =+所以所求反比例函数的表达式为12,y x =-一次函数的表达式为1522y x =-+或210.y x =+例7反比例函数k y x=的图象经过点A 〔-2，3〕.〔1〕求这个反比例函数的表达式；〔2〕经过点A 的正比例函数y k x '=的图象与反比例函数k y x=的图象还有其他交点吗？假设有，求出交点坐标；假设没有，说明理由.分析〔1〕利用点A 〔-2，3〕求出反比例函数的表达式.〔2〕利用点A 〔-2，3〕求出正比例函数的表达式，由两个函数关系式组成方程组，即可求出两图象的交点坐标，从而得到两个函数图象的另一个交点坐标.解：〔1〕因为点A 〔-2，3〕在反比例函数k y x=上.所以3,2k =-所以k =-6, 所以反比例函数的表达式为6.y x=-〔2〕有，理由如下：因为正比例函数y k x '=的图象经过点A 〔-2，3〕， 所以32k '=-，所以3.2k '=-所以正比例函数的表达式为3.2y x =- 那么6,3,2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2,3,x y =-⎧⎨=⎩或2,3.x y =⎧⎨=-⎩所以正比例函数32y x =-的图象与反比例函数6y x=-的图象的另一个交点坐标为〔2，-3〕.例8一次函数y kx b =+的图象与反比例函数6y x=的图象相交于A ，B 两点，点A 的横坐标是3，点B 的纵坐标是-3.〔1〕求一次函数的表达式；〔2〕当一次函数值小于0时，求x 的取值范围.分析〔1〕首先由A ，B 两点在反比例函数图象上可求出A ，B 两点坐标，再用待定系数法求出k ，b ，进而得到一次函数的解析式.〔2〕令y kx b =+的值y ＜0，求出x 的取值范围.解：因为A ，B 两点为两函数图象的交点， 所以点A ，B 在反比例函数6y x=的图象上. 当x =3时，6 2.3y ==当y =-3时，63,x-=所以x =-2.所以A 〔3，2〕，B 〔-2，-3〕.把A 〔3，2〕，B 〔-2，-3〕代入y kx b =+中， 得23,32,k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩所以一次函数的表达式是y =x -1. 〔2〕令y ＜0得x =1＜0，所以x ＜1.所以当函数值小于0时，x 的取值范围是x ＜1.专题5反比例函数的实际应用例9由物理学知识知道，在力F 〔N 〕的作用下，物体会在力F 的方向发生位移s 〔m 〕，力F 所做的功W 〔J 〕满足,W Fs =当W 为定值时，F 与s 之间的函数图象如图17-42所示.〔1〕力F 所做的功是多少？〔2〕试确定F 与s 之间的函数表达式；〔3〕当F =4N 时，s 是多少？ 解：〔1〕因为,W Fs =把〔2，7.5〕代入得W =7.2×5=15〔J 〕. 〔2〕15.F s=〔3〕当F =4N 时，154s =m. 【解题策略】利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用的一种，在解决有关函数问题时起着重要的作用.2017中考真题精选 【一】选择题 1.如果反比例函数〔k 是常数，k ≠0〕的图象经过点〔-1，2〕，那么这个函数的解析式是y=-、考点：待定系数法求反比例函数解析式、 专题：待定系数法、分析：根据图象过〔-1，2〕可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等、 解答：解：把〔-1，2〕代入反比例函数关系式得：k=-2， ∴y=-，故答案为：y=-，点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点、 2.〔2017江苏扬州，6，3分〕某反比例函数的图象经过点〔-1,6〕，那么以下各点中，此函数图象也经过的点是〔〕A.〔-3,2〕B.〔3,2〕C.〔2，3〕D.〔6,1〕 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
反比例函数及其应用 1．反比例函数y ＝k x 的图象过点(－2，1)，则此反比例函数的表达式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2xC ．y ＝12xD ．y ＝－12x2．★在同一直角坐标系中，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝2x的图象大致是( )图Y －113．★已知点(－2，y 1)和点(1，y 2)都在反比例函数y ＝－3x的图象上，则y 1与y 2的大小关系是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．无法确定4．★若双曲线y ＝2k －1x的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是________． 5．若正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝k x 的图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点的坐标为________．6．如图Y －12，已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A (1，0)，B (0，－1)两点，且与反比例函数y ＝m x(m ≠0)的图象在第一象限内交于点C ，点C 的横坐标为2.(1)求一次函数的表达式；(2)求点C 的坐标及反比例函数的表达式．图Y －12参考答案 1．B [解析] 将点(－2，1)代入y ＝k x ，得1＝k －2，得k ＝－2；也可直接利用双曲线上的点的横坐标与纵坐标的积就是比例系数，即k ＝xy ＝(－2)×1＝－2.故选B.2．B [解析] 正比例函数y ＝x 的图象应在第一、三象限，反比例函数y ＝2x的图象也应在第一、三象限，综合考虑，故应选B.此类问题最容易出现的错误是不能根据比例系数来确定函数图象的大致位置．3．A [解析] 解法一：把两点的坐标代入反比例函数的表达式，求出y 1，y 2的值，再比较；解法二：可根据反比例函数的性质进行比较．4．k <12 [解析] 根据反比例函数的性质及其图象在第二、四象限，知2k －1<0，解得k <12.此类问题最容易出现的错误是：1.误认为双曲线分布在第二、四象限，比例系数大于0；2.误把k 当成了反比例系数．5．(1，－2) [解析] 解法一：因为正比例函数与反比例函数的图象的两交点关于原点对称，点(－1，2)关于原点对称的点的坐标为(1，－2)，所以另一交点的坐标为(1，－2)．解法二：把点(－1，2)代入y ＝k x ，得k ＝－2，所以y ＝－2x. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝－2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以另一个交点的坐标为(1，－2)． 6．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1.(2)当x ＝2时，y ＝2－1＝1，所以点C 的坐标为(2，1)．又∵点C 在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，所以1＝m 2，解得m ＝2， 所以反比例函数的表达式为y ＝2x.。
第12讲 反比例函数及其应用二、考点分析【考点1 反比例函数的图像及性质】【解题技巧】1.对于反比例函数y ＝k x(k 是常数，且k ≠0)k 的几何意义： 设P(x ，y)是反比例函数y ＝k x图像上任一点，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，则S 矩形PNOM ＝PM ·PN ＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.2.利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【例1】（2019 安徽中考）已知点A （1，﹣3）关于x 轴的对称点A '在反比例函数y ＝的图象上，则实数k 的值为（ ）A ．3B ．C ．﹣3D ．﹣【答案】A ．【分析】先根据关于x 轴对称的点的坐标特征确定A '的坐标为（1，3），然后把A ′的坐标代入y ＝中即可得到k 的值．【解答】解：点A （1，﹣3）关于x 轴的对称点A '的坐标为（1，3），把A ′（1，3）代入y ＝得k ＝1×3＝3．故选：A ．【一领三通1-1】（2019海南中考）如果反比例函数y ＝（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是（ ）A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜2D ．a ＞2【答案】D ． 【分析】反比例函数y ＝图象在一、三象限，可得k ＞0．【解答】解：∵反比例函数y ＝（a 是常数）的图象在第一、三象限，∴a ﹣2＞0，∴a ＞2．故选：D ．【一领三通1-2】（2019 江苏徐州中考）若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在函数y ＝的图象上，且x 1＜0＜x 2，则（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1＝﹣y 2 【答案】A ．【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．【解答】解：∵函数y ＝， ∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在函数y ＝的图象上，且x 1＜0＜x 2，∴y 1＜y 2，故选：A ． 【一领三通1-3】（2019•河北石家庄中考模拟）定义新运算：a ⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（﹣5）=．则函数y=2⊕x （x ≠0）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【分析】根据题意可得y=2⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．【解答】：由题意得：y=2⊕x=， 当x ＞0时，反比例函数y=在第一象限，当x ＜0时，反比例函数y=﹣在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此D 选项符合，故选：D ．【一领三通1-4】（2019 吉林中考）已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝2时，y ＝6．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝4时，求y 的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x ＝4代入求出答案．【解答】解：（1）y 是x 的反例函数，所以，设，当x ＝2时，y ＝6．所以，k ＝xy ＝12，所以，； （2）当x ＝4时，y ＝3．【考点2 反比例函数的实际应用】【解题技巧】利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y ＝k x(k ≠0)，再由已知条件确定表达式中k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．【例2】（2019 湖北孝感中考）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（）A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝【答案】B．【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m，∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，则F＝．故选：B．【一领三通2-1】（2019 浙江温州中考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）200 250 400 500 1000 近视眼镜的度数y（度）镜片焦距x0.50 0.40 0.25 0.20 0.10（米）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【答案】A．【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，故y关于x的函数表达式为：y＝．故选：A．【一领三通2-2】（2019 河北中考）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O 的距离为S头（m）．（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求St的函数关系式（不写t的取值范围）甲与（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t （s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与t的函数关系式；（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头＝2t+300②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m甲返回时间为：（t﹣150）s∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．【一领三通2-3】（2019 浙江杭州中考）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v关于t的函数表达式为：v＝，（0≤t≤4）．（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时将t＝6代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝100．∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至11点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．【考点3 反比例函数的图像与几何图形的关系】【解题技巧】1.常见的有（1）双曲线与三角形的关系（2）双曲线与四边形的关系（3）双曲线与圆的关系（4）两条双曲线之间的关系2.在平面直角坐标系中与几何图形相联系时，通常要构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．【例3】（2019 重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（）A．16 B．20 C．32 D．40【答案】B．【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20．故选：B．【一领三通3-1】（2019•河北沧州中考模拟）如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C （2，0）作直线l交AO于点D，交AB于E，点E在反比例函数＜0）的图象上，若△ADE和△DCO（即图中两阴影部分）的面积相等，则k值为（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】连接AC，先由等边三角形及等腰三角形的性质判断出△ABC是直角三角形，再由S△ADE＝S△DCO，S△AEC ＝S△ADE+S△ADC，S△AOC＝S△DCO+S△ADC，可得出S△AEC＝S△AOC，故可得出AE的长，再由中点坐标公式求出E点坐标，把点E代入反比例函数y＝即可求出k的值．【解答】解：连接AC．∵点B的坐标为（﹣2，0），△AOB为等边三角形，∵AO＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°，∴点A的坐标为（﹣1，），∵S△ADE＝S△DCO，S△AEC＝S△ADE+S△ADC，S△AOC＝S△DCO+S△ADC，∴S△AEC＝S△AOC＝×AE•AC＝×CO×，即AE•2＝×2×，∴AE＝1．∴E点为AB的中点（﹣，）把E点（﹣，）代入y＝得，k＝（﹣）×＝﹣．故选：D．【一领三通3-2】（2019•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．【答案】【分析】要求k得值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝3AD和C（0，﹣3）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，可证△ADE∽△CDO，∴，∴AE＝1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴△ABE～△COD，∴设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，∴，∴n＝∴OE＝4n＝∴A（，1）∴k＝．故答案为：．【一领三通3-3】（2019 河北孝感中考）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF 的面积为．【答案】【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k＝2m•2n ＝4mn，解得mn＝1，由E（3m，n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到S△BEF＝BE•BF＝mn＝．【解答】解：设D（2m，2n），∵OD：OB＝2：3，∴A（3m，0），C（0，3n），∴B（3m，3n），∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，∴9＝3m•3n，∴mn＝1，∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，∴k＝4mn∴双曲线y＝（x＞0），∴E（3m，n），F（m，3n），∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，∴S△BEF＝BE•BF＝mn＝故答案为．【一领三通3-4】（2019•辽宁大连中考模拟）如图，点P在双曲线y＝（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE＝6，则k的值是．【答案】9．【分析】过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据⊙P与两坐标轴都相切可知，PA＝PB，由∠APB＝∠EPF＝90°可证△BPE≌△APF，得BE＝AF，利用OF﹣OE＝6，求圆的半径，根据k＝OA×PA求解．【解答】解：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，∵⊙P与两坐标轴都相切，∴PA＝PB，四边形OAPB为正方形，∵∠APB＝∠EPF＝90°，∴∠BPE＝∠APF，∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE＝AF，∵OF﹣OE＝6，∴（OA+AF）﹣（BE﹣OB）＝6，即2OA＝6，解得OA＝3，∴k＝OA×PA＝3×3＝9．故答案为：9．【一领三通3-5】（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．【分析】（1）作BD⊥OC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD＝1，BD＝，进而求得三角形BOD的面积，根据系数k的几何意义即可求得k＝，从而求得反比例函数的表达式；（2）求得三角形AOC的面积，即可求得A的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A的坐标．【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，∴S△OBD＝OD×BD＝，S△OBD＝|k|，∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵S△OBC＝OC•BD＝＝，∴S△AOC＝3﹣＝2，∵S△AOC＝OC•y A＝2，∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．【考点4 反比例函数的图像与其它函数的关系】【解题技巧】反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面：①探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法；②探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标；③探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法；④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数值的大小．反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．另外常见的还有反比例函数与二次函数、两个反比例函数之间的关系。
第12讲 反比例函数及其应用一、考点知识梳理【考点1 反比例函数的图像及性质】1.反比例函数的概念：1．一般地，如果变量y 与变量x 之间的函数关系可以表示成y ＝k x(k 是常数，且k ≠0)的形式，则称y 是x 的反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。
2.函数图像的性质：对于反比例函数y ＝k x(k ≠0)，k ＞0时，反比例函数图像经过第一、三象限(x ，y 同号)，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，关于直线y ＝－x 对称；k ＜0时，反比例函数图像经过第二、四象限(x ，y 异号)，在每个象限内，y 随x 的增大而增大关于直线y ＝x 对称。
【考点2 反比例函数的实际应用】1.反比例函数表达式的确定的步骤：(1)设所求的反比例函数为y ＝k x(k ≠0)； (2)根据已知条件列出含k 的方程；(3)由代入法求待定系数k 的值；(4)把k 代入函数表达式y ＝k x中． 2.求表达式的两种途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x ，y 具有反比例关系y ＝k x(x ≠0)的前提下，根据一对x ，y 的值，列出一个关于k 的方程，求得k 的值，确定出函数的表达式．【考点3 反比例函数的图像与几何图形的关系】反比例函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．【考点4 反比例函数的图像与其它函数的关系】反比例函数与一次函数、反比例函数与二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。
二、考点分析【考点1 反比例函数的图像及性质】【解题技巧】1.对于反比例函数y ＝k x(k 是常数，且k ≠0)k 的几何意义：设P(x，y)是反比例函数y＝kx图像上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.2.利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【例1】（2019 安徽中考）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（）A．3B．C．﹣3D．﹣【答案】A．【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．故选：A．【一领三通1-1】（2019海南中考）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜2D．a＞2【答案】D．【分析】反比例函数y＝图象在一、三象限，可得k＞0．【解答】解：∵反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，∴a﹣2＞0，∴a＞2．故选：D．【一领三通1-2】（2019 江苏徐州中考）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1＝﹣y2【答案】A．【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．【解答】解：∵函数y＝，∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小，∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，∴y1＜y2，故选：A．【一领三通1-3】（2019•河北石家庄中考模拟）定义新运算：a⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（﹣5）=．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是（）．B．C．D．根据题意可得y=2⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．【解答】：由题意得：y=2⊕x=，当x＞0时，反比例函数y=在第一象限，当x＜0时，反比例函数y=﹣在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合，故选：D．【一领三通1-4】（2019 吉林中考）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝4时，求y的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x＝4代入求出答案．【解答】解：（1）y是x的反例函数，所以，设，当x＝2时，y＝6．所以，k＝xy＝12，所以，；（2）当x＝4时，y＝3．【考点2 反比例函数的实际应用】【解题技巧】利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝kx(k≠0)，再由已知条件确定表达式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．【例2】（2019 湖北孝感中考）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（）A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝【答案】B．【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m，∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，则F ＝．故选：B ． 【一领三通2-1】（2019 浙江温州中考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ）A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝ 【答案】A ．【分析】直接利用已知数据可得xy ＝100，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：xy ＝100，故y 关于x 的函数表达式为：y ＝．故选：A ．【一领三通2-2】（2019 河北中考）长为300m 的春游队伍，以v （m /s ）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v （m /s ），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O 开始行进的时间为t （s ），排头与O 的距离为S 头（m ）． （1）当v ＝2时，解答：①求S 头与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S 头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为S 甲（m ），求S 甲与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T （s ），求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．【分析】（1）①排头与O 的距离为S 头（m ）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t （s ），速度是2m /s ，可以求出S 头与t 的函数关系式；②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与t的函数关系式；（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头＝2t+300②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m甲返回时间为：（t﹣150）s∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．【一领三通2-3】（2019 浙江杭州中考）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v关于t的函数表达式为：v＝，（0≤t≤4）．（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时将t＝6代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝100．∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至11点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．【考点3 反比例函数的图像与几何图形的关系】【解题技巧】1.常见的有（1）双曲线与三角形的关系（2）双曲线与四边形的关系（3）双曲线与圆的关系（4）两条双曲线之间的关系2.在平面直角坐标系中与几何图形相联系时，通常要构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．【例3】（2019 重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（）A．16B．20C．32D．40【答案】B．【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20．故选：B．【一领三通3-1】（2019•河北沧州中考模拟）如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C（2，0）作直线l交AO于点D，交AB于E，点E在反比例函数＜0）的图象上，若△ADE 和△DCO（即图中两阴影部分）的面积相等，则k值为（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】连接AC，先由等边三角形及等腰三角形的性质判断出△ABC是直角三角形，再由S△ADE＝S△DCO，S△AEC＝S△ADE+S△ADC，S△AOC＝S△DCO+S△ADC，可得出S△AEC＝S△AOC，故可得出AE的长，再由中点坐标公式求出E点坐标，把点E代入反比例函数y＝即可求出k的值．【解答】解：连接AC．∵点B的坐标为（﹣2，0），△AOB为等边三角形，∵AO＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°，∴点A的坐标为（﹣1，），∵S△ADE＝S△DCO，S△AEC＝S△ADE+S△ADC，S△AOC＝S△DCO+S△ADC，∴S△AEC＝S△AOC＝×AE•AC＝×CO×，即AE•2＝×2×，∴AE＝1．∴E点为AB的中点（﹣，）把E点（﹣，）代入y＝得，k＝（﹣）×＝﹣．故选：D．【一领三通3-2】（2019•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A 在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．【答案】【分析】要求k得值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝3AD和C（0，﹣3）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，可证△ADE∽△CDO，∴，∴AE＝1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴△ABE～△COD，∴设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，∴，∴n＝∴OE＝4n＝∴A（，1）∴k＝．故答案为：．【一领三通3-3】（2019 河北孝感中考）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为．【答案】【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k ＝2m•2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m，n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到S△BEF＝BE•BF＝mn＝．【解答】解：设D（2m，2n），∵OD：OB＝2：3，∴A（3m，0），C（0，3n），∴B（3m，3n），∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，∴9＝3m•3n，∴mn＝1，∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，∴k＝4mn∴双曲线y＝（x＞0），∴E（3m，n），F（m，3n），∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，∴S△BEF＝BE•BF＝mn＝故答案为．【一领三通3-4】（2019•辽宁大连中考模拟）如图，点P在双曲线y＝（x＞0）上，以P为圆心的⊙P 与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE＝6，则k 的值是．【答案】9．【分析】过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据⊙P与两坐标轴都相切可知，P A＝PB，由∠APB ＝∠EPF＝90°可证△BPE≌△APF，得BE＝AF，利用OF﹣OE＝6，求圆的半径，根据k＝OA×P A求解．【解答】解：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，∵⊙P与两坐标轴都相切，∴P A＝PB，四边形OAPB为正方形，∵∠APB＝∠EPF＝90°，∴∠BPE＝∠APF，∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE＝AF，∵OF﹣OE＝6，∴（OA+AF）﹣（BE﹣OB）＝6，即2OA＝6，解得OA＝3，∴k＝OA×P A＝3×3＝9．故答案为：9．【一领三通3-5】（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．【分析】（1）作BD⊥OC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD＝1，BD＝，进而求得三角形BOD的面积，根据系数k的几何意义即可求得k＝，从而求得反比例函数的表达式；（2）求得三角形AOC的面积，即可求得A的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A的坐标．【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，∴S△OBD＝OD×BD＝，S△OBD＝|k|，∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵S△OBC＝OC•BD＝＝，∴S△AOC＝3﹣＝2，∵S△AOC＝OC•y A＝2，∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．【考点4 反比例函数的图像与其它函数的关系】【解题技巧】反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面：①探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法；②探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标；③探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法；④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数值的大小．反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．另外常见的还有反比例函数与二次函数、两个反比例函数之间的关系。
反比例函数的图像与性质及实际应用【命题趋势】在中考中.反比例函数的图像与性质常以选择题和填空形式考查；反比例函数解析式主要在反比例函数综合题中与一次函数、几何图形结合考查。
【中考考查重点】一、结合具体情境体会反比例函数的意义.能根据已知条件确定反比例函数的表达式；二、能画出反比例函数的图像.根据图像和表达式探索并理解k＞0和k＜0时.图像的变化情况；三、结合具体情境体会反比例函数的意义四、能用反比例函数解决简单实际问题考点一：反比例函数的概念一般地.形如.叫做反比例函数.自变量x的取值概念范围是≠0的一切实数【提分要点】反比例函数图像上的点的横纵坐标之积是定值k1．（2021秋•南召县期末）下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣【答案】C【解答】解：A、不是y关于x的反比例函数.故此选项不合题意；B、不是y关于x的反比例函数.故此选项不合题意；C、是y关于x的反比例函数.故此选项符合题意；D、不是y关于x的反比例函数.是正比例函数.故此选项不合题意；故选C2．（2021•门头沟区一模）在物理实验室实验中.为了研究杠杆的平衡条件.设计了如下实验.如图.铁架台左侧钩码的个数与位置都不变.在保证杠杆水平平衡的条件下.右侧采取变动钩码数量即改变力F.或调整钩码位置即改变力臂L.确保杠杆水平平衡.则力F与力臂L满足的函数关系是（）A ．正比例函数关系B ．反比例函数关系C ．一次函数关系D ．二次函数关系【答案】B【解答】解：∵确保杠杆水平平衡.∴力F 与力臂L 满足的函数关系是反比例函数关系. 故选：B ．3．（2021秋•越秀区校级期末）函数y ＝（m ﹣1）x |m |﹣2是反比例函数.则m的值为 ．【答案】-1【解答】解：由题意得：|m |﹣2＝﹣1且.m ﹣1≠0；解得m ＝±1.又m ≠1； ∴m ＝﹣1． 故填m ＝﹣1． 考点二：反比例函数的图像与性质概念kk ＞0k ＜0图像所在象限一、三二、四增减性 在每个象限内.y 随x 的增大而减少在每个象限内.y 随x 的增大而增大图像特征图像无限接近于坐标轴.但不与坐标轴相交；关于直线y=±x 成轴对称；关于原点成中心对称4．（2021秋•南开区期末）若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内.y随x 的增大而减小.则k的取值范围是（）A．k＜﹣2B．k＞﹣2C．k＜2D．k＞2【答案】B【解答】解：∵反比例比例函数y＝的图象在其每一象限内.y随x的增大而减小.∴k+2＞0.解得k＞﹣2．故选：B．5．（2021秋•揭阳期末）点（x1.y1）、（x2.y2）、（x3.y3）在反比例函数y＝﹣的图象上.且x1＜0＜x2＜x3.则有（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1【答案】B【解答】解：∵k＜0.∴函数图象在二.四象限.由x1＜0＜x2＜x3可知.横坐标为x1的点在第二象限.横坐标为x2.x3的点在第四象限．∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标.∴y1最大.在第二象限内.y随x的增大而增大.∴y2＜y3＜y1．故选：B．6．（2020秋•浦东新区校级期末）已知函数y＝kx.y随x的增大而减小.另有函数.两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵函数y＝kx中y随x的增大而减小.∴k＜0.且函数的图象经过第二、四象限.∴函数的反比例系数大于零.∴反比例函数图象经过第一、三象限.故选：B．7．（2020秋•孝义市期末）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系.若要配制一副度数小于400度的近视眼镜.则镜片焦距x的取值范围是（）A．0米＜x＜0.25米B．x＞0.25米C．0米＜x＜0.2米D．x＞0.2米【答案】B【解答】解：根据题意.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例.设y＝.∵点（0.5.200）在此函数的图象上.∴k＝0.5×200＝100.∴y＝（x＞0）.∵y＜400.∴＜400.∵x＞0.∴400x＞100.∴x＞0.25.即镜片焦距x的取值范围是x＞0.25米.故选：B．考点三：反比例函数系数k的几何意义8．（2021秋•铁西区期末）如图.A是反比例函数y＝的图象上一点.过点A作AB⊥y 轴于点B.点C在x轴上.且S△ABC＝2.则k的值为（）A．4B．﹣4C．﹣2D．2【答案】B【解答】解：设点A的坐标为（x.y）.∵点A在第二象限.∴x＜0.y＞0.∴S△ABC＝AB•OB＝|x|•|y|＝﹣xy＝2.K的几何意义在反比例函数上任取一点P(x.y),过这个点分别作x轴.y轴的垂线PM、PN.于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k基本图形面积基本图形面积∴xy＝﹣4.∵A是反比例函数y＝的图象上一点.∴k＝xy＝﹣4.故选：B．9．（2021•铜仁市）如图.矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上.矩形ABOC 的面积为3.则k＝．【答案】3【解答】解：∵矩形ABOC的面积为3.∴|k|＝3.又∵k＞0.∴k＝3.故答案为：3．考点四：反比例函数解析式的确定待定系数法1.设所求反比例函数解析式为：2.找出反比例函数图像上一点P（a,b）.并将其代入解析式得k=ab；3.确定反比例函数解析式利用k得几何意义题中已知面积时.考虑利用k得几何意义.由面积得.再综合图像所在象限判段k得正负.从而得出k的值.代入解析式即可10．（2021秋•房山区期末）若反比例函数的图象经过点（3.﹣2）.则该反比例函数的表达式为（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【答案】B【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0）.函数的图象经过点（3.﹣2）.∴﹣2＝.得k＝﹣6.∴反比例函数解析式为y＝﹣．故选：B．11．（2021秋•泰山区期中）如果等腰三角形的面积为6.底边长为x.底边上的高为y.则y与x的函数关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【答案】A【解答】解：∵等腰三角形的面积为6.底边长为x.底边上的高为y.∴xy＝6.∴y与x的函数关系式为：y＝．故选：A．12．（2021•江西模拟）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m.则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m.∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl.则F＝.是反比例函数.A选项符合.故选：A．1．（2021秋•隆回县期中）下面的函数是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【答案】C【解答】解：A．y不是关于x的反比例函数.故本选项不符合题意；B．y是x的是正比例函数.不是反比例函数.故本选项不符合题意；C．y是关于x的反比例函数.故本选项符合题意；D．y不是关于x的反比例函数.故本选项不符合题意；故选：C．2．（2021秋•大东区期末）如果反比例函数的图象经过点P（﹣3.﹣1）.那么这个反比例函数的表达式为（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝x D．y＝﹣x【答案】A【解答】解：设反比例函数解析式为y＝（k≠0）.∵函数经过点P（﹣3.﹣1）.∴﹣1＝.解得k＝3．∴反比例函数解析式为y＝．故选：A．3．（2021春•海淀区校级月考）某物体对地面的压力为定值.物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系如图所示.这一函数表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：观察图象易知p与S之间的是反比例函数关系.设p＝.由于A（20.10）在此函数的图象上.∴k＝20×10＝200.∴p＝．故选：B．4．（2020秋•瓜州县期末）如图.在某温度不变的条件下.通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压.测出每一次加压后气缸内气体的体积V（mL）与气体对气缸壁产生的压强p（kPa）的关系可以用如图所示的反比例函数图象进行表示.下列说法错误的是（）A．气压p与体积V表达式为p＝.则k＞0B．当气压p＝70时.体积V的取值范围为70＜V＜80C．当体积V变为原来的时.对应的气压p变为原来的D．当60≤V≤100时.气压p随着体积V的增大而减小【答案】B【解答】解：当V＝60时.p＝100.则pV＝6000.A．气压p与体积V表达式为p＝.则k＞0.故不符合题意；B．当p＝70时.V＝＞80.故符合题意；C．当体积V变为原来的时.对应的气压p变为原来的.不符合题意；D．当60≤V≤100时.气压p随着体积V的增大而减小.不符合题意；故选：B．5．（2020秋•东莞市校级期末）已知点（3.y1）.（﹣2.y2）.（2.y3）都在反比例函数的图象上.那么y1.y2与y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2【答案】A【解答】解：∵k＝﹣6＜0.∴图象位于第二、四象限.在每一象限内.y随x的增大而增大.∴y2＞0.y3＜y1＜0.∴y3＜y1＜y2.故选：A．6．（2021秋•西湖区期中）已知y1和y2均是以x为自变量的函数.当x＝m时.函数值分别是M1和M2.若存在实数m.使得M1+M2＝1.则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2不具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【答案】D【解答】解：A．令y1+y2＝1.则x2+2x﹣x﹣1＝1.整理得.x2+x﹣2＝0.解得x＝﹣2或x ＝1.即函数y1和y2具有性质P.不符合题意；B．令y1+y2＝1.则x2+2x﹣x+1＝1.整理得.x2+x＝0.解得x＝0或x＝﹣1.即函数y1和y2具有性质P.不符合题意；C．令y1+y2＝1.则﹣﹣x﹣1＝1.整理得.x2+2x+1＝0.解得x1＝x2＝﹣1.即函数y1和y2具有性质P.不符合题意；D．令y1+y2＝1.则﹣﹣x+1＝1.整理得.x2+1＝0.方程无解.即函数y1和y2不具有性质P.符合题意；故选：D．7．（2021秋•会宁县期末）如图.A.B是反比例函数的图象上关于原点对称的两点.BC ∥x轴.AC∥y轴.若△ABC的面积为6.则k的值是．【答案】3【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限.∴k＞0.∵BC∥x轴.AC∥y轴.∴S△AOD＝S△BOE＝k.∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称.∴A、B两点关于原点对称.∴S矩形OECD＝2S△AOD＝k.∴S△ABC＝S△AOD+S△BOE+S矩形OECD＝2k＝6.解得k＝3．故答案为：3．8．（2021春•沙坪坝区校级期末）已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数.则m的值为．【答案】-1【解答】解：根据题意m2﹣2＝﹣1.∴m＝±1.又m﹣1≠0.m≠1.所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．1．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y＝.则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a＝±2【答案】C【解答】解：根据反比例函数解析式中k是常数.不能等于0.由题意可得：|a|﹣2≠0.解得：a≠±2.故选：C．2．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2.﹣4）.那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【答案】D【解答】解：设反比例函数解析式为y＝.将（2.﹣4）代入.得：﹣4＝.解得k＝﹣8.所以这个反比例函数解析式为y＝﹣.故选：D．3．（2021•黔西南州）对于反比例函数y＝.下列说法错误的是（）A．图象经过点（1.﹣5）B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．当x＞0时.y随x的增大而增大【答案】C【解答】解：∵反比例函数y＝.∴当x＝1时.y＝﹣＝﹣5.故选项A不符合题意；k＝﹣5.故该函数图象位于第二、四象限.故选项B不符合题意；当x＜0.y随x的增大而增大.故选项C符合题意；当x＞0时.y随x的增大而增大.故选项D不符合题意；故选：C．4．（2021•济南）反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限.则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限.∴k＞0.∴﹣k＜0.∴一次函数y＝kx﹣k的图象图象经过第一、三、四象限.故选：D．5．（2021•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体.当温度不变时.气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝.能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝（V.p都大于零）.∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．故选：B．6．（2021•沈阳）如图.平面直角坐标系中.O是坐标原点.点A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点.过点A分别作AM⊥x轴于点M.AN⊥y轴于点N．若四边形AMON 的面积为12.则k的值是．【答案】-12【解答】解：∵四边形AMON的面积为12.∴|k|＝12.∵反比例函数图象在二四象限.∴k＜0.∴k＝﹣12.故答案为：﹣12．7．（2021•阜新）已知点A（x1.y1）.B（x2.y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上.且x1＜0＜x2.则y1.y2的关系一定成立的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1+y2＝0D．y1﹣y2＝0【答案】A【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0.∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限.且在每一象限内.y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2.∴A在第二象限.B在第四象限.∴y1＞0.y2＜0.∴y1＞y2．故选：A．8．（2020•大庆）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝.在同一平面直角坐标系下的图象如图所示.其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】B【解答】解：①中k1＞0.k2＞0.故k1•k2＞0.故①符合题意；②中k1＜0.k2＞0.故k1•k2＜0.故②不符合题意；③中k1＞0.k2＜0.故k1•k2＜0.故③不符合题意；④中k1＜0.k2＜0.故k1•k2＞0.故④符合题意；故选：B．9．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值.使用蓄电池时.电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系.它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为I＝B．蓄电池的电压是18VC．当I≤10A时.R≥3.6ΩD．当R＝6Ω时.I＝4A【答案】C【解答】解：设I＝.∵图象过（4.9）.∴k＝36.∴I＝.∴蓄电池的电压是36V．∴A.B均错误；当I＝10时.R＝3.6.由图象知：当I≤10A时.R≥3.6Ω.∴C正确.符合题意；当R＝6时.I＝6.∴D错误.故选：C．10．（2020•河北）如图是8个台阶的示意图.每个台阶的高和宽分别是1和2.每个台阶凸出的角的顶点记作T m（m为1～8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L．（1）若L过点T1.则k＝；（2）若L过点T4.则它必定还过另一点T m.则m＝；（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧.每侧各4个点.则k的整数值有个．【答案】（1）-16 （2）5 （3）7【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2.∴T1（﹣16.1）.T2（﹣14.2）.T3（﹣12.3）.T4（﹣10.4）.T5（﹣8.5）.T6（﹣6.6）.T7（﹣4.7）.T8（﹣2.8）.∵L过点T1.∴k＝﹣16×1＝﹣16.故答案为：﹣16；（2）∵L过点T4.∴k＝﹣10×4＝﹣40.∴反比例函数解析式为：y＝﹣.当x＝﹣8时.y＝5.∴T5在反比例函数图象上.∴m＝5.故答案为：5；（3）若曲线L过点T1（﹣16.1）.T8（﹣2.8）时.k＝﹣16.若曲线L过点T2（﹣14.2）.T7（﹣4.7）时.k＝﹣14×2＝﹣28.若曲线L过点T3（﹣12.3）.T6（﹣6.6）时.k＝﹣12×3＝﹣36.若曲线L过点T4（﹣10.4）.T5（﹣8.5）时.k＝﹣40.∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧.每侧各4个点.∴﹣36＜k＜﹣28.∴整数k＝﹣35.﹣34.﹣33.﹣32.﹣31.﹣30.﹣29共7个.故答案为：7．1．（2021•抚顺模拟）下列函数中.y是x的反比例函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、是正比例函数.不是反比例函数.故此选项不合题意；B、是反比例函数.故此选项符合题意；C、不是反比例函数.故此选项不合题意；D、不是反比例函数.故此选项不合题意；故选：B．2．（2021•卧龙区二模）已知反比例函数.在下列结论中.不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1.﹣2）B．图象在第一、三象限C．若x＜﹣1.则y＜﹣2D．点A（x1.y1）.B（x2.y2）图象上的两点.且x1＜0＜x2.则y1＜y2【答案】C【解答】解：A．反比例函数.图象必经过点（﹣1.﹣2）.原说法正确.故此选项不合题意；B．反比例函数.图象在第一、三象限.原说法正确.故此选项不合题意；C．若x＜﹣1.则y＞﹣2.原说法错误.故此选项符合题意；D．点A（x1.y1）.B（x2.y2）图象上的两点.且x1＜0＜x2.则y1＜y2.原说法正确.故此选项不合题意；故选：C．3．（2021•富阳区二模）已知反比例函数y＝.当﹣2＜x＜﹣1.则下列结论正确的是（）A．﹣3＜y＜0B．﹣2＜y＜﹣1C．﹣10＜y＜﹣5D．y＞﹣10【答案】C【解答】解：∵k＝10.且﹣2＜x＜﹣1.∴在第三象限内.y随x的增大而减小.当x＝﹣2时.y＝﹣5.当x＝﹣1时.y＝﹣10.∴﹣10＜y＜﹣5.故选：C．4．（2021•武陟县模拟）某气球内充满了一定质量的气体.当温度不变时.气球内气体的气压P（kpa）是气体体积V（m3）的反比例函数其图象如图所示.当气体体积为1m3时.气压为（）kPa．A．150B．120C．96D．84【答案】C【解答】解：设P＝.由题意知120＝.所以k＝96.故P＝.当V＝1m3时.P＝＝96（kPa）；故选：C．5．（2021•云岩区模拟）阿基米德说：“给我一个支点.我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识﹣﹣杠杆原理.即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头.已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m.∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl.则F＝.是反比例函数.A选项符合.故选：A．6．（2021•昆明模拟）如图.点P在双曲线第一象限的图象上.P A⊥x轴于点A.则△OP A的面积为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解答】解：∵P A⊥x轴于点A.∴S△AOP＝|k|＝＝3.故选：B．7．（2021•乐陵市一模）为预防新冠病毒.某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中.教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后.y与t成反比例.如图所示．根据图象信息.下列选项错误的是（）A．药物释放过程需要小时B．药物释放过程中.y与t的函数表达式是y＝tC．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为hD．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害.那么从消毒开始.至少需要经过4.5小时学生才能进入教室【答案】D【解答】解：设正比例函数解析式是y＝kt.反比例函数解析式是y＝.把点（3.）代入反比例函数的解析式.得：＝.解得：m＝.当y＝1时.代入上式得t＝.把t＝时.y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt.得：k＝.∴正比例函数解析式是y＝t.A．由图象知.y＝1时.t＝.即药物释放过程需要小时.故A不符合题意；B．药物释放过程中.y与t成正比例.函数表达式是y＝t.故B不符合题意；C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得.0.5＝t1和0.5＝.解得：t1＝和t2＝3.∴t2﹣t1＝.∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；＜0.25.解得t＞6.所以至少需要经过6小时后.学生才能进入教室.故D符合题意.故选：D．8．（2021•山西模拟）已知.A（﹣3.n）.C（3n﹣6.2）是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点.则反比例函数的解析式为．【答案】y＝﹣【解答】解：∵A（﹣3.n）.C（3n﹣6.2）是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点.∴n＝.2＝.即m＝﹣3n.m＝2（3n﹣6）.消去m得：﹣3n＝2（3n﹣6）.解得：n＝.把n＝代入得：m＝﹣4.故答案为：y＝﹣．9．（2021•雁塔区校级模拟）已知同一象限内的两点A（3.n）.B（n﹣4.n+3）均在反比例函数y＝的图象上.则该反比例函数关系式为．【答案】y＝【解答】解：∵同一象限内的两点A（3.n）.B（n﹣4.n+3）均在反比例函数y＝的图象上.∴k＝3n＝（n﹣4）（n+3）.解得n＝6或n＝﹣2.∵n＝﹣2时.A（3.﹣2）.B（﹣6.1）.∴A、B不在同一象限.故n＝﹣2舍去.∵k＝3n＝18.∴y＝.故答案为y＝．10．（2021•昭通模拟）若函数y＝是关于x的反比例函数.则a满足的条件是．【答案】a≠﹣3【解答】解：由题可得.a+3≠0.解得a≠﹣3.故答案为：a≠﹣3．。
第12课时 反比例函数用待定系数法求反比例函数解析式1.（2019·百色中考）已知反比例函数y ＝kx （k≠0）的图象经过点B （3，2），点B 与点C 关于原点O 对称，BA ⊥x 轴于点A ，CD ⊥x 轴于点D.（1）求这个反比函数的解析式； （2）求△ACD 的面积.解：（1）将B 点坐标代入y ＝k x ，得k3＝2，解得k ＝6，∴这个反比例函数的解析式为y ＝6x；（2）由点B 与点C 关于原点O 对称，得C （－3，－2）. 由BA⊥x 轴于点A ，CD ⊥x 轴于点D ，得 A （3，0），D （－3，0）.∴S △ACD ＝12AD·CD＝12[3－（－3）]×|－2|＝6.反比例函数与一次函数的交点问题2.（2019·百色中考改编）如图，反比例函数y ＝mx 的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于M （1，3），N 两点，点N 的横坐标为－3.根据图象信息可得关于x 的方程mx＝kx ＋b 的解为 1或－3 .反比例函数图象上的点的坐标特征3.（2019·百色中考）如图，在边为的1正方形组成的格中，建立平面直角坐标系，若A （－4，2），B （－2，3），C （－1，1），将△ABC 沿着x 轴翻折后，得到△DE F ，点B 的对称点是点E ，求过点E 的反比例函数解析式，并写出第三象限内该反比例函数图象所经过的所有格点的坐标.解：∵点B （－2，3）关于x 轴的对称点是点E ， ∴点E 坐标为（－2，－3）.设过点E 的反比例函数解析式为y ＝kx （k≠0），则k ＝6，∴过点E 的反比例函数解析式为y ＝6x，∴第三象限内该反比例函数图象所经过的所有格点的坐标为（－1，－6），（－2，－3），（－3，－2），（－6，－1）.核心考点解读反比例函数及其图象与性质1.反比例函数：函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数，k 叫做反比例系数.反比例函数自变量的取值范围是一切 非零 实数.2.反比例函数的图象和性质反比例 函数 y ＝kx（k≠0）k 的符号k ＞0k ＜0大致图象所在象限 第一、三象限 第二、四象限增减性在每一象限内，y 随x 的增大而 减小 在每一象限内，y 随x的增大而 增大对称性双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是直线y ＝±x，对称中心是 坐标原点3.反比例函数系数k 的几何意义 （1）k 的几何意义如图，设P （x ，y ）是反比例函数y ＝kx 图象上任一点，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则S 矩形PNOM ＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.（2）常见的面积类型S △AOP ＝|k|2S 矩形OAPB ＝ |k|S △APP ′＝2|k|（P′为P 关于原点的对称点）反比例函数解析式的确定4.用待定系数法确定反比例函数解析式，具体步骤： （1）设出反比例函数解析式y ＝kx （k≠0）；（2）找出满足反比例函数解析式的点P （a ，b ）； （3）将点P （a ，b ）代入解析式得k ＝ab ； （4）确定反比例函数解析式y ＝ab x. 反比例函数的应用5.与实际生活相结合求函数表达式（1）根据题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数解析式；（3）依题意求解函数解析式及有关问题. 6.与一次函数结合的综合运用类型 设问法 解题指导与一次函 数结合确定交 点坐标联立两个函数解析式，利用方程思想求解确定函数解析式利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式求解1.（2019·柳州中考）已知反比例函数的解析式为y ＝|a|－2x，则a 的取值范围是（ C ） A.a ≠2 B.a ≠－2 C.a ≠±2 D.a ＝±22.（2019·湘西中考）反比例函数y ＝kx （k ＞0），当x ＜0时，图象在（ C ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（2019·河池中考）点P （－3，1）在双曲线y ＝kx 上，则k 的值是（ A ）A.－3B.3C.－13D.134.（2019·贺州中考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1＝kx ＋b （k ，b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2＝cx （c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （－3，－2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是（ C ）A.－3＜x ＜2B.x ＜－3或x ＞2C.－3＜x ＜0或x ＞2D.0＜x ＜25.（2019·玉林中考）如图，点A ，B 在双曲线y ＝3x （x ＞0）上，点C 在双曲线y ＝1x （x ＞0）上，若AC∥y 轴，BC ∥x 轴，且AC ＝BC ，则AB 等于（ B ）A. 2B.2 2C.4D.3 26.（2019·南宁中考）如图，反比例函数y ＝kx （k≠0，x ＞0）的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D.若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为 2 Ｗ.,（第6题图）) ,（第7题图）)7.（2019·贵港中考）如图，过C （2，1）作AC∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上，若双曲线y ＝kx（x ＞0）与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是 2≤k≤9 Ｗ.8.（2019·柳州中考）如图，一次函数y ＝mx ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx的图象交于A （3，1），B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，n 两点.（1）求该反比例函数的解析式； （2）求n 的值及该一次函数的解析式.解：（1）∵反比例函数y ＝kx的图象经过A （3，1），∴k ＝3×1＝3，∴该反比例函数的解析式为y ＝3x；（2）把B （－12，n ）代入反比例函数解析式，得－12n ＝3，解得n ＝－6，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6. 把A （3，1），B （－12，－6）代入y ＝mx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3m ＋b ，－6＝－12m ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，b ＝－5， ∴该一次函数的解析式为y ＝2x －5.典题精讲精练反比例函数图象与性质例1 （2019·贺州中考）一次函数y ＝ax ＋a （a 为常数，a ≠0）与反比例函数y ＝ax （a 为常数，a≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ B ）A B C D【解析】分为a ＞0和a ＜0两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象进行判断即可. 当a ＞0时，一次函数y ＝ax ＋a ，经过第一、二、三象限，反比例函数图象位于第一、三象限；当a ＜0时，一次函数y ＝ax ＋a ，经过第二、三、四象限，反比例函数图象位于第二、四象限.反比例函数解析式的确定与k 的几何意义例2 如图，A （4，0），B （3，3），以AO ，AB 为边作平行四边形OABC ，则经过C 点的反比例函数的解析式为 y ＝－3x Ｗ.【解析】设经过C 点的反比例函数的解析式是y ＝kx（k≠0）.∵四边形OABC 是平行四边形，∴线段BC 可以看作由线段AO 平移得到. ∵A （4，0），O （0，0），B （3，3）， ∴点C 的坐标是（3－4，3），即（－1，3）. ∵点C 在反比例函数的图象上，∴k ＝－3， ∴经过C 点的反比例函数的解析式是y ＝－3x.【点评】本题主要考查了平行四边形的对边平行且相等（对边可以看成是线段之间相互平移得到，在直角坐标系中通过平移快速求出顶点坐标），利用待定系数法求反比例函数的解析式.例3 （2019·北部湾中考）如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，且关于y 轴对称，反比例函数y ＝k 1x （x ＞0）的图象经过点C ，反比例函数y ＝k 2x（x ＜0）的图象分别与AD ，CD 交于点E ，F ，若S △BEF＝7，k 1＋3k 2＝0，则k 1等于 9 Ｗ.【解析】设点B 的坐标为（a ，0），则A 点坐标为（－a ，0）. 由题意可知，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k 1a ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－k 2a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，k 1a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，k 1a ，矩形ABCD 面积为2a·k 1a ＝2k 1，∴S △DEF ＝DE·DF 2＝－23k 2，S △BCF ＝CF·BC 2＝23k 1，S △ABE ＝AB·AE2＝－k 2. ∵S △BEF ＝7，∴2k 1＋23k 2－23k 1＋k 2＝43k 1＋53k 2＝7.①∵k 1＋3k 2＝0，∴k 2＝－13k 1，代入①，得43k 1＋53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13k 1＝7，解得k 1＝9. 【点评】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点坐标表示相关各点坐标，应用面积法构造方程.1.（2019·钦州中考）对于函数y ＝4x ，下列说法错误的是（ C ）A.这个函数的图象位于第一、第三象限B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D.当x ＜0时，y 随x 的增大而减小2.（2019·南宁中考）对于函数y ＝2x ，当函数值y ＜－1时，自变量x 的取值范围是 －2＜x ＜0Ｗ.3.已知反比例函数的图象经过点（2，－1），则它的解析式是（ D ） A.y ＝－2x B.y ＝2x C.y ＝2x D.y ＝－2x4.如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x （x ＞0）的图象上，AB⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x （x ＞0）的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于（ C ）A.2B.2 3C.4D.4 3（第4题图） （第5题图）5.（2019·桂林中考）如图，矩形OABC 的边AB 与x 轴交于点D ，与反比例函数y ＝kx （k ＞0）在第一象限的图象交于点E ，∠AOD ＝30°，点E 的纵坐标为1，△ODE 的面积是433，则k 的值是 3 3 Ｗ.6.（2019·梧州中考）已知直线y ＝ax （a≠0）与反比例函数y ＝kx （k≠0）的图象有一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是 （－2，－4） Ｗ.7.（2019·百色中考）如图，已知菱形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y ＝k x （k≠0）的图象与AD 边交于E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，F （m ，2）两点.（1）求k ，m 的值；（2）写出函数y ＝k x 图象在菱形ABCD 内x 的取值范围.解：（1）将点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12代入y ＝k x ，得k ＝－2，则反比例函数解析式为y ＝－2x.将点F （m ，2）代入y ＝－2x ，得－2m ＝2，∴m ＝－1，∴k 的值为－2，m 的值为－1；（2）由（1）知，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，F （－1，2），设函数y ＝k x 的图象与BC 边交于E′，F ′两点，则点E′，F ′分别是点E ，F 关于原点O 的对称点，∴E ′⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12，F ′（1，－2），函数y ＝k x 图象在菱形ABCD 内，则图象取EF 段和E′F′段，对应x 的取值范围为－4<x<－1或1<x<4.反比例函数与一次函数的交点问题例4 （2019·来宾中考）如图，一次函数y ＝ax ＋b （a≠0）的图象与反比例函数y ＝kx （k≠0）的图象交于点A （－2，1），B （1，－2）.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式ax ＋b≤kx 的解集.【解析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）由函数图象确定出直线在双曲线下方部分（包括两函数图象的交点，但x≠0）对应的x 的取值范围.【解答】解：（1）将点A （－2，1），B （1，－2）代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝1，a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1， 则一次函数解析式为y ＝－x －1. 将点A （－2，1）代入y ＝k x ，得1＝k －2，解得k ＝－2，则反比例函数解析式为y ＝－2x；（2）由图象知，不等式ax ＋b≤kx的解集为－2≤x＜0或x ≥1.【点评】本题解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用函数图象求不等式的解集问题.,8.（2019·贵港中考）如图，已知一次函数y ＝12x ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx （x ＜0）的图象交于点A （－1，2）和点B ，点C 在y 轴上.（1）当△ABC 的周长最小时，求点C 的坐标；（2）当12x ＋b ＜kx时，请直接写出．．．．x 的取值范围.解：（1）作点A 关于y 轴的对称点A′，连接A′B 交y 轴于点C ，此时点C 即为所求. ∵反比例函数y ＝kx （x ＜0）的图象过点A （－1，2），∴k ＝－1×2＝－2，∴反比例函数解析式为y ＝－2x （x ＜0）.∵一次函数y ＝12x ＋b 的图象过点A （－1，2），∴2＝－12＋b ，解得b ＝52，∴一次函数解析式为y ＝12x ＋52.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋52，y ＝－2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴B （－4，12）.∵点A′与点A 关于y 轴对称，∴A ′（1，2）. 设直线A′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2＝m ＋n ，12＝－4m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝310，n ＝1710，∴直线A′B 的解析式为y ＝310x ＋1710.令y ＝310x ＋1710中x ＝0，则y ＝1710，∴C （0，1710）；（2）观察函数图象，发现：当x ＜－4或－1＜x ＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方， ∴当12x ＋52＜－2x时，x 的取值范围为x ＜－4或－1＜x ＜0.请完成精练本第19～20页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若2m ＝3，2n ＝4，则23m ﹣2n 等于( ) A.1B.98C.278D.27162．如图，半径为3的扇形AOB ，∠AOB=120°，以AB 为边作矩形ABCD 交弧AB 于点E ，F ，且点E ，F 为弧AB 的四等分点，矩形ABCD 与弧AB 形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为1S ，2S ，3S ，则132S S S +-为（ ）（π取3）A ．99324-B ．99324+ C ．159324-D ．2727324-3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，点P 是BC 边上的动点，连接PA 、PD ．则PA+PD 的最小值为（ ）A.21+B.1022+ C.5D.34．如图，直线AD ∥BC ，若∠1＝40°，∠BAC ＝80°，则∠2的度数为（ ）A.70°B.60°C.50°D.40°5．已知二次函数y ＝x 2+bx+c （b ，c 是常数）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx+b 与反比例函数y ＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）A. B.C. D.6．如图所示的几何体的左视图是（）A.B.C.D.+÷的值应在（）7．估计(32842)7A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间8．下列说法中正确的是（）A．两条对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形9．一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（）A ．长方体B ．圆锥C ．圆台D ．圆柱10．用简便方法计算，将98×102变形正确的是（ ）A ．98×102＝1002+22B ．98×102＝（100﹣2）2C ．98×102＝1002﹣22D ．98×102＝（100+2）211．如图，下面几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.12．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知：在ABC △中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C B 、分别向过点A 的直线m 作CE m ⊥于E ，BF m ⊥于F ，若3,2AE CE ==.则BF 的长为______.14．如图，点E 、F 在函数y ＝2x的图象上，直线EF 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且BE ：BF ＝1：3，则△EOF 的面积是___________．15．已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．16．如图，正方形ABCD 中，点,E F 分别在线段,BC CD 上运动，且满足045EAF ∠=，,AE AF 分别与BD 相交于点,M N ，下列说法中：①BE DF EF +=；②点A 到线段EF 的距离一定等于正方形的边长；③若1tan 2BAE ∠=，则1tan 3DAF ∠=；④若2BE =，3DF =，则15AEF S ∆=．其中结论正确的是___________；（将正确的序号填写在横线上）17．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值为_____．18．一元二次方程x （x+5）＝x+5的解为_____．三、解答题19．某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，健民体育活动中心从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？（2）根据健民体育活动中心消费者的需求量，活动中心决定用不超过2550元钱购进甲、乙两种羽毛球共50筒，那么最多可以购进多少筒甲种羽毛球？20．如图，在平面直角坐标系中点A 在反比例函数图象上，一条抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3），解答下列问题．（1）求反比例函数的解析式；（2）求抛物线的解析式，并在已给的坐标系中画出这条抛物线；（3）根据图象直接判断方程2223x x x-=+在实数范围内有几个根．21．全球已经进入大数据时代，大数据（bigdata ），是指数据规模巨大，类型多样且信息传播速度快的数据库体系．大数据在推动经济发展，改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值．为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次参与调查的人数是多少？（2）关注城市医疗信息的有多少人？并补全条形统计图：（3）扇形统计图中，D 部分的圆心角的度数是多少？（4）写出两条你从统计图中获取的信息．22．如图，直线y ＝x+b 与双曲线y ＝k x（k 为常数，k≠0）在第一象限内交于点A （1，2），且与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P 在x 轴上，且△BCP 的面积等于2，求P 点的坐标．23．（1） 解方程: 2（x ﹣3）=3x （x ﹣3）（2）解不等式组475(1)2332x x x x -<-⎧⎪-⎨-⎪⎩…24．甲、乙两个工程队计划修建一条长18千米的乡村公路，已知甲工程队比乙工程队每天多修路0.6千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？（2）若甲工程队每天的修路费用为0.6万元，乙工程队每天的修路费用为0.5万元，要使两个工程队修路总费用不超过6.3万元，甲工程队至少修路多少天？25．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=6，点E，F是DC的三等分点，△OEF是等边三角形，求EF的长度．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A C B B B A B D C C B二、填空题13．1或514．8 315．416．①②③④17．718．x1＝﹣5，x2＝1三、解答题19．（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）最多可以购进20筒甲种羽毛球．【解析】【分析】（1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球共花费255元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种羽毛球m 筒，则购进乙种羽毛球（50﹣m ）筒，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过2550元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【详解】（1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价为x 元，乙种羽毛球每筒的售价为y 元，依题意，得：x-y=152x+3y=255⎧⎨⎩， 解得：x=60y=45⎧⎨⎩． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元．（2）设购进甲种羽毛球m 筒，则购进乙种羽毛球（50﹣m ）筒，依题意，得：60m+45（50﹣m ）≤2550，解得：m≤20．答：最多可以购进20筒甲种羽毛球．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20．（1）2y x =；（2）y ＝（x ﹣1）2+2，（3）方程在实数范围内只有1个根． 【解析】【分析】（1）将A 点坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出待定系数的值；（2）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，再将点（2，3）的坐标代入，即可求出抛物线的解析式；（3）所求的方程的根即为两个函数的交点横坐标，可通过观察两个函数图象有几个交点，即可确定所求方程有几个根．【详解】解：（1）∵反比例函数经过A （﹣1，2）， ∴21k =- ，k ＝﹣2； ∴反比例函数的解析式为：2.y x =-（2）依题意，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+2，由于抛物线经过（2，3），得：a （2﹣1）2+2＝3，a ＝1；∴二次函数的解析式为：y ＝（x ﹣1）2+2（3）根据图象，方程在实数范围内只有1个根．【点睛】此题考查了反比例函数、二次函数解析式的确定,二次函数图象的画法以及函数图象交点的求法.21．（1）本次参与调查的人数是1000人；（2）关注城市医疗信息的有150人，补全条形统计图见解析；（3）扇形统计图中，D 部分的圆心角的度数是144°；（4）由扇形统计图知，关注交通信息的人数最多；由条形统计图知，关注交通信息的人数是关于政府服务信息与关注教育资源人数和（答案不唯一，合理即可）．【解析】【分析】（1）用关注教育资源人数除以其所占的百分比可得被抽查的总人数；（2）根据各类别的人数之和等于总人数可得B 类别人数，据此继而可补全条形图；（3）用360°乘以样本中D 类别人数所占比例即可得；（4）根据扇形统计图和条形统计图得出合理信息即可，答案不唯一．【详解】解：（1）本次参与调查的人数是200÷20%＝1000（人）；（2）关注城市医疗信息的有1000﹣（250+200+400）＝150（人），补全条形统计图如下：（3）360°×4001000＝144°， 答：扇形统计图中，D 部分的圆心角的度数是144°；（4）由扇形统计图知，关注交通信息的人数最多；由条形统计图知，关注交通信息的人数是关于政府服务信息与关注教育资源人数和（答案不唯一，合理即可）．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（1）y＝2x；y＝x+1；（2）P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【解析】【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y＝x+b，分别可得k，b的值；（2）先根据直线解析式得到BO＝CO＝1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．【详解】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y＝kx，可得k＝2，∴双曲线的解析式为y＝2x；把A（1，2）代入直线y＝x+b，可得b＝1，∴直线的解析式为y＝x+1；（2）设P点的坐标为（x，0），在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1；令x＝0，则y＝1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO＝1＝CO，∵△BCP的面积等于2，∴12BP×CO＝2，即12|x﹣（﹣1）|×1＝2，解得x＝3或﹣5，∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．23．（1）x1=3或x2=23;（2）﹣2＜x≤245【解析】【分析】（1）把等号右边的式子移至等号左边，然后分解因式后利用因式分解法求解即可；（2）分别求出两个不等式的解集，然后求出公共部分即可．【详解】（1）解：原方程可化为：2(x-3)-3x(x-3)=0(x-3)(2-3x)=0∴x-3=0或2-3x=0解得：x1=3或x2=23；（2）解：475(1)2332x xx x-<-⎧⎪⎨--⎪⎩①②…，解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤245，不等式组的解集是﹣2＜x≤245．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和解一元一次不等式组，根据方程的特点选择恰当的方法是解一元二次方程的关键，正确的求出两个不等式的解集是解一元一次不等式组的关键．24．（1）甲每天修路1.8千米，则乙每天修路1.2千米；（2）甲工程队至少修路8天【解析】【分析】（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.6）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．【详解】（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.6）千米，根据题意，可列方程：18181.50.6x x⨯=-，解得x＝1.8，经检验x＝1.8是原方程的解，且x﹣0.6＝1.2，答：甲每天修路1.8千米，则乙每天修路1.2千米；（2）设甲修路a天，则乙需要修（18﹣1.8a）千米，∴乙需要修路18 1.81.2a＝15﹣1.5a（天），由题意可得0.6a+0.5（15﹣1.5a）≤6.3，解得a≥8，答：甲工程队至少修路8天．【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量（或不等）关系是解题的关键，注意分式方程需要检验．25．EF=23.【解析】【分析】过O作OG⊥DC，利用等边三角形的性质和矩形的性质以及含30°的直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，过O作OG⊥DC，∵△OEF是等边三角形，∴EG=GF，∠FEO=60°，OE=EF=OF，∵点E，F是DC的三等分点，∴DE=EF=FC，∴DE=OE，∴∠ODE=30°，∴DG=32OD，∵矩形ABCD，∴DB=AC=2OA=2OD=12，∴DG=33，∴DC=AB=63，∴EF=23.【点睛】此题考查矩形的性质，关键是利用等边三角形的性质和矩形的性质以及含30°的直角三角形的性质解答．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知////AB CD EF ，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BC DF CE =B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF= 2．如图①，将某四边形纸片ABCD 的AB 沿BC 方向折过去（其中AB ＜BC ），使得点A 落在BC 上，展开后出现折线BD ，如图②．将点B 折向D ，使得B ，D 两点重叠，如图③，展开后出现折线CE ，如图④．根据图④，下列关系正确的是（ ）A ．AD ∥BCB ．AB ∥CDC ．∠ADB ＝∠BDCD ．∠ADB ＞∠BDC3．如图，A ，B 是半径为1的O 上两点，且60AOB ∠=︒.点P 从A 出发，在O 上以每秒3π个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束.设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，则下面图象中可能．．表示y 与x 的函数关系的是（ ）A.①或②B.②或③C.③或④D.①或④4．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为18，我们发现第一次输出的结果为9，第二次输出的结果为12，……，则第10次输出的结果为（ ）A ．0B ．3C ．5D ．65．若点P （a-3，a-1）是第二象限内的一点，则a 的取值范围是（ ）A ．3a >B ．3a <C ．1a >D ．13a <<6．计算(x 2)2的结果是( )A ．x 2B ．x 4C ．x 6D ．x 87．若圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．230cm πB ．260cm πC ．248cm πD ．280cm π8．如图，线段AB ＝1，点P 是线段AB 上一个动点（不包括A 、B ）在AB 同侧作Rt △PAC ，Rt △PBD ，∠A ＝∠D ＝30°，∠APC ＝∠BPD ＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，连接MN ，设AP ＝x ，MN 2＝y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A. B. C. D.9．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠．恰好得到菱形AECF ．若AD ＝3，则菱形AECF 的面积为（ ）A．23B．43C．4 D．810．一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()A. B. C. D.11．关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（）A．1 B．﹣2 C．2 D．312．如果点（﹣2，6）在反比例函数kyx的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（6，2）D．（﹣3，4）二、填空题13．正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=226，AE=8，则ED=_____．14．﹣19的倒数是_____．15．在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是_____．16．把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是_____．17．在的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上，从C、D、E、F四点中任意取一点，以所取得一点及点A、B为顶点画三角形，则所画三角形为等腰三角形的概率是______．18．如图，ABC ∆中，D ，E 两点分别在AB ，BC 上，若::=2 : 3AD DB=CE EB ，则:DBE ADC S S =______．三、解答题19．如图，AC 为∠BAM 平分线，AB ＝10，以AB 的长为直径作⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥AM 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若DE ＝4，求AD 的长．20．求不等式组3(1)2531342x x x x x -++⎧⎪⎨-+≥-⎪⎩＜的解集，并将解集在数轴上表示出来． 21．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当四边形AECF 为菱形且BC ＝24B ＝8时，求出该菱形的面积．22．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣3，﹣2，﹣1，0，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．（1）求第五个台阶上的数x 是多少？（2）求前21个台阶上的数的和是多少？（3）发现：数的排列有一定的规律，第n 个﹣2出现在第 个台阶上；（4）拓展：如果倩倩小同学一步只能上1个或者2个台阶，那么她上第一个台阶的方法有1种：1＝1，上第二个台阶的方法有2种：1+1＝2或2＝2，上第三个台阶的方祛有3种：1+1+1＝3、1+2＝3或2+1＝3，…，她上第五个台阶的方法可以有种．23．如图，在7×7的方格纸中，点A，B，C都在格点上，请按要求找出D点，使得D点在格点上．（1）在图甲中画一个∠ADC，使得∠ABC＝∠ADC．（2）在图乙中画一个三角形ADC，使得△ADC的面积等于△ABC面积的2倍．24．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表销售价格x（元/个）销售量y（万个）30≤x≤60110x+860＜x≤80120 x（1）求出当销售量为2.5万个时，销售价格为多少？（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润w（万元）与销售价格x（元个）的函数关系式；（3）销售价格定为多少元时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？25．某公司以每件60元的价格购进一批环保产品，经试销发现，如果以每件80元的价格销售那么可售出40万件．销售单价每降低1元，销售量就增加1万件．现超市决定降销售，设销售单价为x元时，销售量为y万件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该公司销售这种环保产品，能获得利润w万元，当销售单价为多少元时，公司可获得最大利润？最大利润是多少万元？（3）若物价部门规定规定获利不得高于进价的30%，若该公司为了获取500万元的利润，该产品每件应降价多少元？【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B B B D B B B A B A D二、填空题13．414．-915．816．a（x+a）217．．18．9:10三、解答题19．（1）见解析；（2）AD=45.【解析】【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．（2）过点D作DF⊥AB于点F，即可证得DE＝DF＝4，在RT△ADF中利用射影定理求得AF，然后利用勾股定理求出AD．【详解】解：（1）证明：连接OD，∵AC为∠BAM平分线，∴∠BAC＝∠MAC，∵OA＝OD，∴∠BAC＝∠ADO，∴∠MAC＝∠ADO∴AE∥OD，∵DE⊥AM，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O 的切线；（2）连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，∵AC 为∠BAM 平分线，DE ⊥AM ，∴DF ＝DE ＝4，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴DF 2＝AF•BF，即42＝AF （10﹣AF ），∴AF ＝8或AF ＝2（舍去） ∴22AD 4845=+=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、射影定理以及勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．20．﹣2＜x≤73 【解析】【分析】分别解两个不等式得到x ＞﹣2和x≤73，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集．【详解】 3(1)2531342x x x x x ＜①②-++⎧⎪⎨-+≥-⎪⎩， 解①得x ＞﹣2，解②得x≤73， 所以不等式组的解集为﹣2＜x≤73． 用数轴表示为：． 【点睛】。
