高二年级数学 《三次函数的图象与性质》教学设计
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1,0 ， 2,0 ；如图所示， 求：⑴ x0 的值；⑵ a、b、c 的值.
3、若函数 f x 1 x3 1 ax2 a 1 x 1在区域 1,4 内为减函数，在区间 6, 上为增函数，
32
试求实数 a 的取值范围.
4、已知函数 f x x3 3x,a 0 ，如果过点 Aa,2 可作曲线 y f x 的三条切线，求 a 的
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0；a,b, c, d是常数) 的图象
b2 3ac 0
b2 3ac 0
x0
1个零点
三次函数的对称性
定理：函数f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)是对称中心图形，
其对称中心为
b 3a
,
f
b 3a
.
x 、 f x 、 f x 的变化情况如下表:
x
, 1
1
1,1
f x
＋
0
－
f x 单调递增 极大值 单调递减
1 0 极小值
1,
＋ 单调递增
∴ f x 的单调递增区间是 ,1和 1, ; f x 的单调递减区间是 1,1 , 当 x 1时， f x 有极大值 f 1 13 31 2 ; 当 x 1时， f x 有极小值 f 1 13 31 2.
（2） f 0 0, f 3 33 33 18 , ∵ f x 在0,3 上只有一个极值点 x 1, f 1 2, ∴ f x 在0,3 上的最小值为－2，最大值为 18.
三、典型例题，学以致用
【变 2】已知函数 y1 t ， y2 x3 3x ，实数 t 为何值时，函数 y1 与 y2 的图象
【变 1】已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.
三、典型例题，学以致用
【变 1】已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.
解：（1）令 f x 3x2 3 0 x1 1, x2 1,
三、典型例题，学以致用
例 1： f (x) 是函数 f (x) 的导函数，若 y f (x) 的图象如图所 示，则函数 y f (x) 的图象可能是( )
A
B
C
D
练习：已知函数 f (x) ax3 bx2 cx d 的图象如图所示，则 b
.
三、典型例题，学以致用
例 2 已知函数 f x x3 x2 3x ，
人民教育出版社高中数学选修1-1第三章导数及其应用
三次函数的图象和性质
高二 文数 专题课
一、问题情景、引入课题
问题：请你画出下列函数的大致图像
1、f (x) x3 3x 2、f (x) 2x3 5 x2 x 1
2 3、f (x) 2x3 5 x2 x 3
2 4、f (x) x3 3x2 3x 1
a0
a0
0
图象 =0
0
三次函数的单调性、极值、最值
函
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0；a,b, c, d是常数)
数
b2 3ac 0
b2 3ac 0
f (x)
f (x)
图
象
x1
x2
极 值
极大值f (x1)，极小值f (x2 )
单 调
增区间：, Hale Waihona Puke Baidu1 和 x2, +
的交点有一个、二个、三个？
【变 3】 a 为何值时，函数 f (x) x3 3x a 有一个零点？两个零点？三个零点？
【变
4】已知函数
f
x
1 3
x3
x2
ax(a R)
，若函数
f
x 的图象与
x
轴有且只有
一个交点，求 a 的取值范围.
四、课堂小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质
2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题；
⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.
解： f x 3x2 2x 3 ,
△ 22 433 32 0 ,
∴ f x 0在 R 上恒成立, ∴ f x 在 R 上单调递增, f x 没有极值,
f x 在0,3 上的最小值为 f 0 0，最大值为 f 3 45.
推论1：函数f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)的对称中心在其 导函数f (x) 3ax2 2bx c的对称轴上.
推论2：若函数f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)有极值，则其
对称中心是
x1
2
x2
,
f
x1
2
x2
(
x1、x2为两极值点).
取值范围
3、思想方法： 数形结合 分类讨论 转化与化归 函数与方程
五、布置作业
1、已知函数 f (x) x3 bx2 cx d （ b,c, d 为常数），当 k (,0) (5, ) 时， f (x) k 0 只 有一个实数根；当 k (0,5) 时， f (x) k 0有 3 个相异实根，现给出下列 4 个命题：
区 间
减区间： x1, x2
x0
无极值
增区间：R
三次函数的零点
零点个数
1个零点 f (x2 ) 0或f (x1) 0
即f (x1) f (x2 ) 0
2个零点 f (x2 )=0或f (x1)=0 即f (x1) f (x2 )=0
3个零点 f (x1)>0且f (x2 )<0 即f (x1) f (x2 ) 0
①函数 f (x) 有 2 个极值点； ②函数 f (x) 有 3 个极值点； ③方程 f (x)= -5 的根小于 f (x)=0 的任意实根； ④ f (x)=0 和 f (x)=0 有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（）.
2、已知函数 f x ax3 bx2 cx 在点 x0 处取得极大值 5，其导函数 y f x 的图象经过点
二、自主探索，总结规律
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如：y ax3 bx2 cx d (a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f (x) 3ax2 2bx c 4b2 12ac 4(b2 3ac)
二、自主探索，总结规律
函数
二次函数 y ax2 bx c(a 0；a,b,c是常数)
3、若函数 f x 1 x3 1 ax2 a 1 x 1在区域 1,4 内为减函数，在区间 6, 上为增函数，
32
试求实数 a 的取值范围.
4、已知函数 f x x3 3x,a 0 ，如果过点 Aa,2 可作曲线 y f x 的三条切线，求 a 的
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0；a,b, c, d是常数) 的图象
b2 3ac 0
b2 3ac 0
x0
1个零点
三次函数的对称性
定理：函数f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)是对称中心图形，
其对称中心为
b 3a
,
f
b 3a
.
x 、 f x 、 f x 的变化情况如下表:
x
, 1
1
1,1
f x
＋
0
－
f x 单调递增 极大值 单调递减
1 0 极小值
1,
＋ 单调递增
∴ f x 的单调递增区间是 ,1和 1, ; f x 的单调递减区间是 1,1 , 当 x 1时， f x 有极大值 f 1 13 31 2 ; 当 x 1时， f x 有极小值 f 1 13 31 2.
（2） f 0 0, f 3 33 33 18 , ∵ f x 在0,3 上只有一个极值点 x 1, f 1 2, ∴ f x 在0,3 上的最小值为－2，最大值为 18.
三、典型例题，学以致用
【变 2】已知函数 y1 t ， y2 x3 3x ，实数 t 为何值时，函数 y1 与 y2 的图象
【变 1】已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.
三、典型例题，学以致用
【变 1】已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.
解：（1）令 f x 3x2 3 0 x1 1, x2 1,
三、典型例题，学以致用
例 1： f (x) 是函数 f (x) 的导函数，若 y f (x) 的图象如图所 示，则函数 y f (x) 的图象可能是( )
A
B
C
D
练习：已知函数 f (x) ax3 bx2 cx d 的图象如图所示，则 b
.
三、典型例题，学以致用
例 2 已知函数 f x x3 x2 3x ，
人民教育出版社高中数学选修1-1第三章导数及其应用
三次函数的图象和性质
高二 文数 专题课
一、问题情景、引入课题
问题：请你画出下列函数的大致图像
1、f (x) x3 3x 2、f (x) 2x3 5 x2 x 1
2 3、f (x) 2x3 5 x2 x 3
2 4、f (x) x3 3x2 3x 1
a0
a0
0
图象 =0
0
三次函数的单调性、极值、最值
函
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0；a,b, c, d是常数)
数
b2 3ac 0
b2 3ac 0
f (x)
f (x)
图
象
x1
x2
极 值
极大值f (x1)，极小值f (x2 )
单 调
增区间：, Hale Waihona Puke Baidu1 和 x2, +
的交点有一个、二个、三个？
【变 3】 a 为何值时，函数 f (x) x3 3x a 有一个零点？两个零点？三个零点？
【变
4】已知函数
f
x
1 3
x3
x2
ax(a R)
，若函数
f
x 的图象与
x
轴有且只有
一个交点，求 a 的取值范围.
四、课堂小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质
2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题；
⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.
解： f x 3x2 2x 3 ,
△ 22 433 32 0 ,
∴ f x 0在 R 上恒成立, ∴ f x 在 R 上单调递增, f x 没有极值,
f x 在0,3 上的最小值为 f 0 0，最大值为 f 3 45.
推论1：函数f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)的对称中心在其 导函数f (x) 3ax2 2bx c的对称轴上.
推论2：若函数f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)有极值，则其
对称中心是
x1
2
x2
,
f
x1
2
x2
(
x1、x2为两极值点).
取值范围
3、思想方法： 数形结合 分类讨论 转化与化归 函数与方程
五、布置作业
1、已知函数 f (x) x3 bx2 cx d （ b,c, d 为常数），当 k (,0) (5, ) 时， f (x) k 0 只 有一个实数根；当 k (0,5) 时， f (x) k 0有 3 个相异实根，现给出下列 4 个命题：
区 间
减区间： x1, x2
x0
无极值
增区间：R
三次函数的零点
零点个数
1个零点 f (x2 ) 0或f (x1) 0
即f (x1) f (x2 ) 0
2个零点 f (x2 )=0或f (x1)=0 即f (x1) f (x2 )=0
3个零点 f (x1)>0且f (x2 )<0 即f (x1) f (x2 ) 0
①函数 f (x) 有 2 个极值点； ②函数 f (x) 有 3 个极值点； ③方程 f (x)= -5 的根小于 f (x)=0 的任意实根； ④ f (x)=0 和 f (x)=0 有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（）.
2、已知函数 f x ax3 bx2 cx 在点 x0 处取得极大值 5，其导函数 y f x 的图象经过点
二、自主探索，总结规律
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如：y ax3 bx2 cx d (a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f (x) 3ax2 2bx c 4b2 12ac 4(b2 3ac)
二、自主探索，总结规律
函数
二次函数 y ax2 bx c(a 0；a,b,c是常数)