数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法

数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。 一.公式法

高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；

解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,

21210,

a d a d +=⎧⎨

+=-⎩

解得11,

1.

a d =⎧⎨

=-⎩

故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式

例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式

解：I ）设q 为等比数列{}n a 的公比，则由2

1322,4224a a a q q ==+=+得，

即2

20q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q =

所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈

3、通用公式

若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式

⎩⎨⎧≥-==-2

11n S S n S a n n n n 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以

合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。

例3、已知数列}{n a 的前n 项和12

-=n s n ，求}{n a 的通项公式。

解：011==s a ，当2≥n 时

由于1a 不适合于此等式 。 ∴⎩⎨

⎧≥-==)

2(12)1(0

n n n a n

二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法

一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。 即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥；

例4、（2011四川理8）数列

{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若

则32

b =-，

1012

b =，则

8a =

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11

解：由已知知

128,28,

n n n b n a a n +=--=-由叠加法

例5、 已知数列{}n a 满足112

11

,2n n a a a n n

+=

=++，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：12

1111

(1)1

n n a a n n n n n n +-===-+++ 2、叠乘法

一般地对于形如“已知a 1，且

n

1

n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：1

2

112

1

n n n n n a a a a a a a a ---=

⋅⋅⋅

⋅(2)n ≥； 例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得

1

1+=+n n

a a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 1

14

33221=-⋅⋅ 所以n a n

1= 3、构造法

当数列前一项和后一项即n a 和

a n-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递

推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。 （1）、待定系数法

①、一般地对于a n =k a n-1 +m(k 、m 为常数）型，可化为的形式a n +λ=k(a n-1 +λ).重新构造出一个以k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求n a 。

例7、（2011广东理）设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，1

1(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

解：

112(1)n n n a ba n a n --=+-，得111

2(1)121

n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅， 设

n n n b a =，则121

n n b b b b

-=⋅+(2)n ≥， （ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，1

2

为公差的等差数列， 即111

(1)222

n b n n =

+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=⋅+，则122

(1)n n b b b b

λ-=⋅+-， 令2

1(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b

-∴+=⋅+--(2)n ≥，

知12n b b +

-是等比数列，11112()()22n n b b b b b

-∴+=+⋅--，又11

b b =， 12112()222n n n n n b b b b b b b -∴=⋅-=⋅---，(2)2n n n n

nb b a b -∴=-．

②、对于1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：

i 、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为C Bn Aa a n n ++=+1型，可化为

])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式来求通项。

例8.设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。 解：设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++

与原式比较系数得：221

211

A A

B A B ==⎧⎧⇒⎨

⎨

-==⎩⎩ 即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++

令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3