线线垂直证明线面垂直专题 14
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垂直证明习题——线线垂直⇒线面垂直
1. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，1AB BC ==， PA ⊥
平面ABCD ，CD ⊥PC ．证明：CD ⊥平面PAC ．
2. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，点 为 的中点．求证： 平面 ．
3. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=AC ，AC ⊥BC ，H 为PC 的中点．求证：AH ⊥平面PBC ．
4. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面．求证：平面．
A
C
ABCD CDE CD AE ⊥
CDE AB ⊥ADE
5. 如图所示，已知P ABC -为正三棱锥，设D 为PB 的中点，且AD PC ⊥．求证：PC ⊥平面PAB ．
6. 如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，
PA ⊥平面ABCD ，60
ABC ∠=E 是BC 的中点．证明：AE ⊥平面PAD ．
7. 如图，四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB ==
，BC =
2AC =．证
明：BC ⊥平面PAB ．
8. 如图，四面体ABCD 中，
O 、E 分别是BD 、BC
的中点，AB AD ==
9. 如图，在三棱锥中，
是棱的中点，，且，求证：
直线平面．
10. 如图，在三棱锥中，面
求证：
平面
PAE ．
11. 如图，在三棱锥中底面，为
上一点，，
平面．
P
ABC
-G PA PC AC ⊥2PB AB AC BC ==== 1.PC =BG ⊥PAC P ABC -PA ⊥,,22,ABC AC AB PA AD DC AE AB ⊥=====DE ⊥P ABC -PA ⊥ABC D BC 24AC AB ==BD CD ==AD ⊥PAB
12. 如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点．证明：平面．
13. 己知三棱在底面上的射影恰为的中点，，又知求证：．
14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，
平面，为棱的中点，，，
．证明：平面．
15. 如图，已知ABC △是正三角形，EA ，CD 都垂直于
平面ABC ，且2E
A A B
==，1DC =，F 是BE 的中点，
AF ⊥平面
EDB ．
1111ABCD A B C D -ABCD 1A D 1AD E AE ⊥ECD 111,ABC A B C -柱1A 点ABC AC D 90BCA ︒∠=2,AC BC ==11.BA AC ⊥11AC A BC ⊥平面P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD E PB 2PB =1PD =45BPC ∠=︒PC ⊥
ADE
16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥
，
AB =2BC =，12AA =．证明：
1A C ⊥平面11AB C ．
17. 如图，在五面体中，四边形为矩形， ．证明：
平面．
18. 如图，四棱锥S ABCD -中，
SD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC =
，SD =E 为棱SB 的中点．求证：SC ⊥平面ADE ．
垂直证明习题——线线垂直⇒线面垂直（教师版）
1. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，1AB BC ==， PA ⊥
平面ABCD ，CD ⊥PC ．证明：CD ⊥平面PAC ．
ABCDEF CDEF
AD CD ⊥AB ⊥
ADF
【解析】证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ． 又PC ⊥CD ， PA PC P =，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴CD ⊥平
面PAC ．
2. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，点 为 的中点．求证： 平面 ．
【解析】因为 ，点 为 中点，所以 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．（等腰三角形提供垂直） 3. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=AC ，AC ⊥BC ，H 为PC 的中点．求证：AH ⊥平面PBC ．
A
C
【解析】等腰三角形提供垂直．
4. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面．求证：平面．
【解析】（正方形提供垂直）
5. 如图所示，已知P ABC -为正三棱锥，设D 为PB 的中点，且AD PC ⊥．求证：PC ⊥平面PAB ．
【解析】正三棱锥中PC AB ⊥．
6. 如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，
PA ⊥平面ABCD ，60
ABC ∠=E 是BC 的中点．证明：AE ⊥平面PAD ．
【解析】有一个内角是600的菱形提供垂直． 7. 如图，四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB ==
，BC =
2AC =．证
明：BC ⊥平面PAB ．
ABCD CDE CD AE ⊥
CDE AB ⊥
ADE
【解析】（勾股定理）
8. 如图，四面体ABCD 中，
O 、E 分别是BD 、BC
的中点，AB AD ==2CA CB CD BD ====．求证：AO ⊥平面
BCD ．
【解析】证明：连接OC ，
∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ， ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ， ∴CO ⊥BD ．
在△AOC
中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2，
∴AO 2+CO 2＝AC 2，
∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ． ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD ．（勾股定理）
9. 如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且
，求证：直线平面．
P ABC -G PA PC AC ⊥2PB AB AC BC ==== 1.PC =BG ⊥PAC