理论力学题库

∂xi / ∂qα = ∂x& / ∂q&α
;
d dt
(∂xi
/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂qα
)
=
∂x&
/
∂qα
11 证明 [ pα , H ] = p&α , [qα , H ] = q&α
12 证明[GZ , Py ] = −PX , [Gy , PX ] = −PZ 13 若 f=f (q,p,t), 一般 df ≠ ∂f , 有无特例? 若有, 试证之.
14. 一光滑管子在光滑水平面上以等角速度ωO (方向铅直向上)转动, 管内有一弹性系数为 k, 自然长度为 lo 的弹簧, 其一端联于转轴的 O 点, 另一端联一质点 m. 开始时, 质点 位于 x= lo 处, 且 x& =0. 求质点的运动及它对管壁的压力(在整个运动过程中, 不超过弹
簧弹性限度)
当质点离 O 很远时, 质点的速度为 V ∞ , 而其渐近线与 O 的距离则为 ρ (即瞄准距离).
试求质点与 O 的最近距离.(93J)
27. 重 P 之均匀棒 AB 搁在两固定平面上,此两平面与水平面成α 及 β 角,求平衡时角ϕ .
28. 相同的两个光滑球悬在结于定点 O 的两条绳子上, 此两球同时又支持一个等重的第
5. 任意二维光滑曲线 y = y(x), 为保证质点在运动中不会脱离曲线的约束, 要求曲线段是 向上凹的. 质点从 y=y0 ( y0 任意)高度静止下滑. (1) 试证曲线对质点的约束力
N = mg[1 + y'2 +2( y0 − y) y '' ] /(1 + y'2 )3/ 2 (2) 由此推出椭圆 (x2/a2+y2/b2 = 1) 在 y ≤ 0 曲线段的约束力
动. 如圆盘 A 点的加速度之值为常数并等于 48 厘米/秒 2, 求圆盘绕其对称轴转动的角 速度.
19. 曲柄 OA 长为 L0, 以等角速度ω 转动并带动长为 L 的连杆 AB, 滑块 B 沿垂线运动. 求
连杆的角速度, 角加速度及滑块 B 的加速度
20. 质量为 m 的小环, 套在半径为 a 的光滑圆圈上, 并可沿着圆圈滑动. 若圆圈在水平面
对于线上某一固定点(取为原点)的距离. 如质点在离原点 2a 处静止出发, 求到达 a 处 所需的时间.
3. 已知一点作平面运动时, 其速度的大小为常数 C, 矢径的角速度大小为常数ω . 求点的 运动方程及其轨迹. 设 t=0 时, r=0, θ =0.
4. 海防炮的炮弹质量为 m, 自离海平面高 h 处以初速 V0 水平射出. 空气阻力可视为与速 度的一次方成正比, 即 R= - kmV, 其中 k 为常数, 试求炮弹的运动方程.
15. 椭球状的杯子内放一重 mg 的小球, 杯子以等角速度ω 绕其自身铅直轴转动, 小球与椭
球杯处于相对静止状态, 求距离 h
16. 一直线以等角速度 ω 在一固定平面内绕其 O 端转动。当直线位于 oξ 的位置时，有一
点 M 开始从 O 点沿该直线运动，如要使此点的绝对速度 V 的大小为常数，问该点应
第三部分：运算题
1. 如向互相垂直的均匀电磁场 E, H 中发射一电量为 e 的电子, 设电子的初速度 V0 与 E
及 H 垂直, 试求电子的运动规律 (已知电子受力 F=eE + e/c V × H, 其中 V 为任一瞬
时电子的速度, c 为光速)
2. 一质量为 m 的质点受引力的作用在一直线上运动, 引力值为 m µ a2 / x2, 其中 x 是相
三球. 求α 及 β 间的关系.
29. 两根长 2 l ,重 P 的均质棒以绞链 C 互相连结并靠在一个半径为 r, 其轴为水平的光滑 固定圆柱上. 求系统平衡时的角度 ∠ACB = 2ϕ .
30. 重 P, 固有长度为 l ,弹性模量为 λ 的弹性圈放在顶角为 2α 的光滑竖直圆锥体上. 求
平衡时圈面离圆锥体顶点的距离 h.
内以等角速度ω 绕圈上某点 O 转动(如图示). 试求小环的运动微分方程.
21. 雨滴下落时, 其质量增加率与雨滴的表面积成正比, 求雨滴速度与时间的关系
22. 原始总质量为 m0 的火箭, 发射时单位时间内消耗的燃料与 m0 成正比, 即α m0(α 为比 例常数), 并以相对速度 Vr 喷射. 已知火箭本身质量为 m, 求证只有当α Vr > g 时火箭
一重 P2 , 长 l 2 的均匀杆 AB.在 AB 杆的 B 端加一水平力 F, 求平衡条件
33. 一水平的固定光滑钉子 M 与光滑铅直墙面的距离为 d, 一长为 l 的均匀棒 AB 搁在钉 子上，下端靠在墙上，求平衡时棒与墙所夹的角度φ。
34. 长为 2L 的均匀杆 AB,一端靠在光滑的竖直墙上，另一端搁在光滑的固定曲面上，曲 面方程为 x2+(2y-a)2=a2, a 为常数，求杆的平衡位置
虚位移，虚功 拉格朗日变量 正则变量 泊松括号的作用 正则变换的目的，正则变换的条件，正则变换的关键 广义势 带电粒子在电磁场中的拉格朗日方程 平面刚体, 定轴转动刚体, 定点运动刚体, 一般运动刚体, 平动刚体的自由度 面积常数的物理意义
第二部分：证明题
1 试导出可变质量物体的运动微分方程
2 试导出有心运动的轨道微分方程
几种情况下单摆的运动微分方程
. 7. 一质点沿着抛物线 y2=2px 运动, 其切向加速度为法向加速度的 2k 倍. 如质点从正焦弦
(p/2, p)的一端以速度 u 出发, 试求其到达正焦弦另一端时的速率.
8. 一均匀圆盘, 质量为 M, 半径为 R, 静止地放在一光滑平面上, 圆盘中心固定. 质量为 m 的甲虫, 原先静止于圆盘边缘上, 尔后甲虫沿圆盘边缘爬动. (1) 用三大守恒定律分析系统的守恒情况. (2) 求盘心和甲虫的轨迹.
N = −mgay[3b4 + (a 2 − b2 ) y 2 ] /[b4 + (a 2 − b2 ) y 2 ]3/ 2
.
6. 如果单摆在有阻力的媒质中振动, 并假定振幅很小, 故阻力与θ 成正比, 且可写为
.
.
R = 2mklθ , 式中 m 为摆锤质量, l 为摆长, k 为比例系数, θ 为角速度. 试写出下列
按何种规律沿此直线运动，并求点的轨迹及加速度。
17. 设一长 L 的杆 AB 作平面运动. 已知 VA 的大小和方向和 VB 的方向, 如图示. 求杆上
某点 C 的位置( VC 的方向正好沿杆的方向), 瞬时角速度及 Vc
18. 半径 R= 4 3 厘米之圆盘 OA 在绕固定点 O 转动时, 并在顶角为 60 度的固定圆锥上滚
3 证明在重力作用下火箭运动的速度为 V=V0 - gt+Vr ln(m0/m), 其中 V0 和 m0 为火箭的初速度和初质量, Vr 为喷气速度(令为常数), g 是重力加速度, t 为时间.
4 原始总质量为 M0 的火箭, 发射时单位时间内消耗的燃料与 M0 成正比, 即 α M0(α 为比例常数), 并以相对速度 Vr 喷射. 已知火箭本身质量为 M, 求证 只有当α Vr > g 时火箭才能上升, 并证其最大速度为: Vr ln(M0/M) – g(1– M/M0)/α
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第一部分：概念题
理论力学的研究对象和研究方法 内力的特点 柯尼希(König)定理 质心运动定理的物理意义 地球自转对物体运动的影响实例 如何处理可变质量物体的运动 刚体的平动 平面平行运动 瞬心，瞬心的特点 空间极迹, 本体极迹 惯量椭球，惯量主轴 刚体一般运动的动能 回转效应 表观重力 平面平行运动的定义, 特点及自由度 非惯性系中质点运动微分方程及各项的意义。 正则变换 泊松定理 拉格朗日力 自由度，广义坐标 约束，约束的类型，完整约束，理想约束 循环坐标，循环动量，循环积分 哈密顿函数的物理意义 位形空间 广义能量积分
11. 质量为 m1 和 m2 的两自由质点互相以力吸引, 引力与其质量成正比, 与距离平方成反 比, 比例系数为 k. 开始时, 两质点皆处于静止状态, 其间距离为 a. 试求两质点的距离 为 a/2 时它们的速度.
12. 一等腰直角三角形 OAB 在其自身平面内以匀角速度ω 绕顶点 O 转动, 某一点 P 以匀
5 质点组对某点 O 的总角动量等于其质心(质量为 M)对点 O 的角动量与整个
质点组相对质心的角动量之和, 试证之.
6 试导出 Euler 动力学方程
7 试导出质点组关于质心的动能定理
.
8 试证面积常数 h = r 2 θ
9 导出两体问题的结论.
10. 若 xi=xI (q1,q2,…,qS , t), 试证:
才能上升, 并证其喷射行程的最大高度
hmax
=− g 2α 2
(1 −
mS ) + Vr m0 α
( mS m0
ln mS m0
+1−
mS ) m0
23. 试证在有心力场中, 位矢在相同时间间隔内扫过的面积相等, 并证明面积常数矢量的
大小等于 r 2θ& .
24. 试证有心运动一般特性之一---------掠面速度守恒
35. 半径为 r 的均匀重球可以无滑动地沿一具有水平轴的半径为 R 的固定圆柱之内表面而 滚动. 求与圆球绕平衡位置作微振动的周期相同的数学摆之摆长.
36. 一光滑管 OA, 其 O 端固定于球绞链 O, A 端以绳子固结于铅垂轴 Oς 于 B 点(倾角α 不
变), 并以匀角速度ω 绕铅垂轴 Oς 转动, 质点 m 沿管移动, 离 a 点距离为 ρ , 运动开 始时, m 在 ρ O 处, 且初速为 0. 求质点对管 OA 的相对运动
相对速度沿 AB 边运动. 当三角形转了一周时, P 点走过了 AB. 如已知 AB=b, 试求 P 点在 A 时的绝对速度和绝对加速度.
13. 质量为 m 的质点位于一光滑水平面上, 此平面以等角速度ω 通过平面上某一点 O 的 铅直轴转动. 若质点受 O 吸引, 引力为 F= －mω 2 r (r 为质点相对于 O 的矢径). 试证 在任何起始条件下, 质点以角速度 2ω 走一圆周轨迹.
9. 在光滑的水平面上, 一个质量为 m 的小球以速度 V0 与一根长度为 2a, 质量为 M 的静 止均质杆碰撞(如图示). 试求碰后杆的质心 C 的速度(要求理论分析, 列出有关方程, 不 必求解).
10. 一均匀圆盘, 质量为 M, 半径为 R, 静止地放在一光滑的平面上, 圆盘中心不固定. 质 量为 m 的甲虫, 原先静止于圆盘边缘上, 尔后甲虫以匀相对速率 u 沿圆盘边缘爬动, (1) 求质心 C 与盘心和甲虫间的距离 (2) 用三大守恒定律分析系统的守恒情况. (3) 求盘心的平动速率和相对盘心的转动角速度.
25. 据汤川核力理论, 中子与质子间的引力具有如下形式的势能: V( r )= k e -α r/r, 其中
k<0. 试求: (a) 中子与质子间的引力表达式. (b) 求质量为 m 粒子作半径为 a 的园运动的角动量及能量.
26. 质量为 m 的质点在有心 力场 mc/r3 中运动, 式中 r 为质点到力心 O 的距离, C 为常数.
37. 一质点的质量为 m ,受重力的作用, 在旋轮线的导轨上运动. 旋轮线的方程
为 S=4asinφ ,其中 S 是自 O 点起算的弧长, φ 是旋轮线的切线与水平轴的交
角.试以两种广义坐标写出系统的拉格朗日函数,并以一种情况求质点的运动.
38. 两皮带轮 M1 与 M2, 质量为 m1 与 m2, 半径为 r1 与 r2, 其上缠有绳子, 此绳绕过一质 量为 m3, 半径为 r3 的滑轮 M3; 滑轮 M3 可以无摩擦地绕定轴 O 转动. 假定绳子与滑轮 之间没有滑动而皮带轮中心皆沿铅垂直线运动, 求系统的运动微分方程.
dt ∂t 14 已知质点组点的动量 P 和角动量 G 的笛卡儿分量所组成的泊松括号
[GZ , PX ] = PY , [GY , Py ] = 0 , [GX , PZ ] = −PY , 请直接写出以下结果 [GY , PX ] = ？ [GX , Py ] = ？ [GX , PX ] = ？ [GY , PZ ] = ？ 15 [qα , pβ ] = δ αβ
31. 一弹性绳圈(自然长度为 l O, 弹性系数为 k, 单位长度质量为σ )水平地套在一固定的 光滑球面(半径为 R, 且 2πR > l O)上, 它因自重而下滑. 试用虚功原理求其平衡条件.
32. 均匀杆 OA, 重 P1 ,长 l 1 ,能在竖直平面内绕固定铰链 O 转动, 此杆的 A 端用铰链连另