中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题及详细答案
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一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,AB 为⊙O 的直径,AC 为⊙O 的弦,AD 平分∠BAC ,交⊙O 于点D ,DE ⊥AC ,交AC 的延长线于点E .
(1)判断直线DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若AE =8,⊙O 的半径为5,求DE 的长.
【答案】(1)直线DE 与⊙O 相切(2)4
【解析】
试题分析:(1)连接OD ,∵AD 平分∠BAC ,∴EAD OAD ∠∠=,∵OA OD =,∴ODA OAD ∠∠=,∴ODA EAD ∠∠=,∴EA ∥OD ,∵DE ⊥EA ,∴DE ⊥OD ,又∵点D 在⊙O 上,∴直线DE 与⊙O 相切
(2)
如图1,作DF ⊥AB ,垂足为F ,∴DFA DEA 90∠∠︒==,
∵EAD FAD ∠∠=,AD AD =,∴△EAD ≌△FAD ,∴AF AE 8==,DF DE =,∵OA OD 5==,∴OF 3=,在Rt △DOF 中,22DF 4OD OF -==,∴AF AE 8== 考点:切线的证明,弦心距和半径、弦长的关系
点评:本题难度不大,第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行,再由两直线平行推出同旁内角相等.第二小题通过求出两个三角形全等,从而推出对应边相等,接着用弦心距和弦长、半径的计算公式,求出半弦长.
2.在⊙O 中,点C 是AB 上的一个动点(不与点A ,B 重合),∠ACB=120°,点I 是∠ABC 的内心,CI 的延长线交⊙O 于点D ,连结AD,BD .
(1)求证:AD=BD.
(2)猜想线段AB与DI的数量关系,并说明理由.
(3)若⊙O的半径为2,点E,F是AB的三等分点,当点C从点E运动到点F时,求点I 随之运动形成的路径长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AB=DI,理由见解析(3)23 9
【解析】
分析:(1)根据内心的定义可得CI平分∠ACB,可得出角相等,再根据圆周角定理,可证得结论;
(2)根据∠ACB=120°,∠ACD=∠BCD,可求出∠BAD的度数,再根据AD=BD,可证得
△ABD是等边三角形,再根据内心的定义及三角形的外角性质,证明∠BID=∠IBD,得出
ID=BD,再根据AB=BD,即可证得结论;
(3)连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心,DI1为半径的弧,根据已知及圆周角定理、解直角三角形,可求出AD的长,再根据点E,F是弧AB ⌢的三等分点,△ABD是等边三角形,可证得∠DAI1=∠AI1D,然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.
详解:(1)证明:∵点I是∠ABC的内心
∴CI平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∴弧AD=弧BD
∴AD=BD
(2)AB=DI
理由:∵∠ACB=120°,∠ACD=∠BCD
∴∠BCD=×120°=60°
∵弧BD=弧BD
∴∠DAB=∠BCD=60°
∵AD=BD
∴△ABD是等边三角形,
∴AB=BD,∠ABD=∠C
∵I是△ABC的内心
∴BI平分∠ABC
∴∠CBI=∠ABI
∵∠BID=∠C+∠CBI,∠IBD=∠ABI+∠ABD
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD
∵AB=BD
∴AB=DI
(3)解:如图,连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心,DI1为半径的弧
∵∠ACB=120°,弧AD=弧BD
∴∠AED=∠ACB=×120°=60°
∵圆的半径为2,DE是直径
∴DE=4,∠EAD=90°
∴AD=sin∠AED×DE=×4=2
∵点E,F是弧AB ⌢的三等分点,△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°
∴弧AB的度数为120°,
∴弧AM、弧BF的度数都为为40°
∴∠ADM=20°=∠FAB
∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°
∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°
∴∠DAI1=∠AI1D
∴AD=I1D=2
∴弧I1I2的长为:
点睛:此题是一道圆的综合题,有一定的难度,熟记圆的相关性质与定理,并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键,注意数形结合思想的渗透.
3.如图,在直角坐标系中,已知点A(-8,0),B(0,6),点M在线段AB上。
(1)如图1,如果点M是线段AB的中点,且⊙M的半径等于4,试判断直线OB与⊙M 的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,⊙M与x轴,y轴都相切,切点分别为E,F,试求出点M的坐标;
(3)如图3,⊙M与x轴,y轴,线段AB都相切,切点分别为E,F,G,试求出点M的坐标(直接写出答案)
【答案】(1)OB与⊙M相切;(2)M(-24
7
,
24
7
);(3)M(-2,2)
【解析】
分析:(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可;
(2)求出过点A、B的一次函数关系式是y=3
4
x+6,设M(a,﹣a),把x=a,y=﹣a代
入y=3
4
x+6得出关于a的方程,求出即可.
(3)连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,设ME=MF=MG=r,根据
S△ABC=1
2
AO•ME+
1
2
BO•MF+
1
2
AB•MG=
1
2
AO•BO求得r=2,据此可得答案.
详解:(1)直线OB与⊙M相切.理由如下:
设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,
∵点M是线段AB的中点,所以MD∥AO,MD=4,∴∠AOB=∠MDB=90°,∴MD⊥OB,点D在⊙M上.又∵点D在直线OB上,∴直线OB与⊙M相切;(2)如图2,连接ME,MF,
∵A(﹣8,0),B(0,6),∴设直线AB的解析式是y=kx+b,∴
80
6
k b
b
-+=
⎧
⎨
=
⎩
,解