解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形

.正弦定理:

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外

接圆的直径，即a b c2R

（其中R是三角形外接圆的半径）

sin A sin B si nC

2.变形：1) a b c a b c

sin sin si nC sin sin si nC

2）化边为角： a :b: c sin A:sin B:sin C -

a si nA.

b sin B a sin A

b J

sin B c sin C ' c sin C '

3）化边为角：a2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC

4）化角为边：sin A a .

J

sin B b si nA a

sin B b sin C c sin C c

5）化角为边：sin A a sin B b c

,si nC

2R‘2R 2R

3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,

解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn) - Sn^ b sin B c sin C a sin A t

;求出b与c

c sin C

②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,

解法：由正弦定理a求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正

b sin B

弦定理a泄求出c边

c sin C

4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U

① a bsin A时，B无解；

② a bsinA或a b时，B有一个解;

③bsinA a b时，B有两个解。

如：①已知A 60 ,a 2,b 2.3,求B（有一个解）

②已知A 60 , b 2,a 2 3,求B （有两个解）

注意：由正弦定理求角时，注意解的个数

.三角形面积

2. S ABC -(a b c )r ,其中r 是三角形内切圆半径. 2 _________________ 1

3. S ABC JP (P a)( p b)( p c),其中 p 2(a b c ),

4. S ABC 空,R 为外接圆半径

4R

5. S ABC 2R 2sin A si n Bsin C ,R 为外接圆半径

三. 余弦定理

1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的2倍，即

2

a b 2 2 c 2bccos A

b 2 2 a

2

c 2accos B

2

c 2 a b 2

2abcosC

.2

2

2

2.变形：cos A

b

c a 2bc

2 2 . 2

a c

b cosB 2ac

a 2

b 2

c 2

cosC

2ab

注意整体代入，如：a 2 c 2 b 2 ac cosB -

2

3•利用余弦定理判断三角形形状：

设a 、b 、c 是

C 的角 、、C 的对边，贝U:

F 4■占立亡小営卫 -------------- > 0 » J < 90°

① 若，

，所以V 为锐角

② 若c 2 b 2 a 2 A 为直角

2

T

2

J +A 2 亡£ 0 eos^4 = ---- --- --- -- < 0 »

> 90*

③ 若

―

，所以以为钝角，则4亠'是 钝角

三角形

1. S ABC

abs inC 2 bcsin A

2 acs inB

2

4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

1）已知三边，求三个角

2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题

1. 已知两角和一边（如A、B、C）,由A+B+C= n求C,由正弦定理求a、b.

2. 已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C= n ,求另一角.

3. 已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C =冗求C,再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.

4. 已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C= n，求角C.

5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX 度，南偏东XX度，南偏西XX度.

6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.

五、三角形中常见的结论

1）三角形三角关系：A+B+C=180 ; C=180 —（A+B）;

2）三角形三边关系：

两边之和大于第三边；

两边之差小于第三边：川;

3）在同一个三角形中大边对大角： A B a b sin A sin B

4）三角形内的诱导公式：

sin（A B） si nC, cos（A B） cosC, tan （A B） tanC,