导数微积分公式大全
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导数、微分、积分公式总结
【导数】
(1)(u ± v)′=u′±v′
(2)(u v)′=u′v+ u v′(记忆方法:u v + u v ,分别在“u”上、“v”上加′)(3)(c u)′= c u′(把常数提前)
╭u╮′u′v- u v′
(4)│——│=———————( v ≠ 0 )
╰v╯v²
【关于微分】
左边:d打头
右边:dx置后
再去掉导数符号′即可
【微分】
设函数u=u(x),v=v(x)皆可微,则有:
(1)d(u ± v)= du ± dv
(2)d(u v)= du·v + u·dv
╭u╮du·v - u·dv
(3)d│——│=———————( v ≠ 0 )
╰v╯v²
(5)复合函数(由外至里的“链式法则”)
dy
——=f′(u)·φ′(x)
dx
其中y =f(u),u =φ′(x)
(6)反函数的导数:
1
[ fˉ¹(y)]′=—————
f′(x)
其中,f′(x)≠ 0
【导数】
注:【】里面是次方的意思
(1)常数的导数:
(c)′=0
(2)x的α次幂:
╭【α】╮′【α -1】
│x│=αx
╰╯
(3)指数类:
╭【x】╮′【x】
│a│=alna(其中a >0 ,a ≠ 1)
╰╯
╭【x】╮′【x】
│e│=e
╰╯
(4)对数类:
╭╮′1 1
│logx│=——log e=———(其中a >0 ,a ≠ 1)
╰a╯x a xlna
1
(lnx)′=——
x
(5)正弦余弦类:
(sinx)′=cosx
(cosx)′=-sinx
【微分】
注:【】里面是次方的意思
(1)常数的微分:
dC =0
(2)x的α次幂:
【α】【α -1】
dx=αxdx
(3)指数类:
【x】【x】
da=alnadx(其中a >0 ,a ≠ 1)
【x】【x】
de=edx
(4)对数类:
1 1
dlogx=——log e=———dx(其中a >0 ,a ≠ 1)
a x a xlna
1
dlnx =——dx
x
(5)正弦余弦类:
dsinx =cosxdx
dcosx =-sinxdx
【导数】
(6)其他三角函数:
1
(tanx)′=————=sec²x
cos²x
1
(cotx)′=-————=-csc²x
sin²x
(secx)′=secx·tanx
(cscx)′=-cscx·cotx
(7)反三角函数:
1
(arcsinx)′=———————(-1 <x <1)
/ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
√1-x²
1
(arccosx)′=-———————(-1 <x <1)
/ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
√1-x²
1
(arctanx)′=—————
1+x²
1
(arccotx)′=-—————
1+x²
【微分】
(6)其他三角函数:
1
dtanx =————=sec²xdx
cos²x
1
dcotx =-————=-csc²xdx
sin²x
dsecx =secx·tanxdx
dcscx =-cscx·cotx dx
(7)反三角函数:
1
darcsinx =———————dx(-1 <x <1)
/ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
√1-x²
1
darccosx =-———————dx(-1 <x <1)
/ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
√1-x²
1
darctanx =—————dx
1+x²
1
darccotx =-—————dx
1+x²
导数的应用(一)——中值定理
特殊形式
【拉格朗日中值定理】—————→【罗尔定理】
【拉格朗日中值定理】
如果函数y =f(x)满足:
(1)在闭区间〔a ,b〕上连续;
(2)在开区间(a ,b)上可导。
则:在(a ,b)内至少存在一点ξ(a <ξ < b ),使得
f(b)-f(a)
f′(ξ)=————————
b -a
【罗尔定理】
如果函数y =f(x)满足:
(1)在闭区间〔a ,b〕上连续;
(2)在开区间(a ,b)上可导;
(3)在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b)。
则:在(a ,b)内至少存在一点ξ(a <ξ < b ),使得f′(ξ)=0。
导数的应用(二)——求单调性、极值(辅助作图)
【单调性】
(1)如果x ∈(a ,b)时,恒有f′(x)>0 ,
则f(x)在(a ,b)内单调增加;