2017高中数学学业分层测评4单位圆与三角函数线新人教B版4.

学业分层测评(四) 单位圆与三角函数线(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.在直线y ＝x 上D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上【解析】 ∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上.故选B. 【答案】 B2.(2016·石家庄高一检测)如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )A.cos θ＜tan θ＜sin θB.sin θ＜cos θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜sin θ＜tan θ【解析】 由于3π＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容x 的取值范围是( ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2【解析】 如图阴影部分(不包括边界)即为所求.【答案】 C4.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】 当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sinα＋cos α＝23，∴α必为钝角.【答案】 D5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( ) A.1个 C.3个D.4个【解析】 根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.【答案】 B 二、填空题6.(2016·西安高一检测)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.【解析】 作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 【答案】 AT >MP >OM7.(2016·济南高一检测)函数y ＝1－2sin x 的定义域为________.【导学号：72010011】【解析】 要使函数有意义， 有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ). 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) 8.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为________. 【解析】 因为5π6＜3＜π，作出单位圆如图所示.设MP →，OM →的数量分别为a ，b ， 所以sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 【答案】 第四象限 三、解答题9.画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.【解】如图，MP ，OM ，AT .sin 7π＝－1，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10.求函数f (x )＝1－2cos x ＋【解】 由题意，自变量x 1－2cos x ≥0，cos x >22，)所示，∴⎩⎪⎨⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2k π＋3≤x <2k π＋4π，k ∈Z. [能力提升]1.已知sin α＞sin β，那么下列结论成立的是( ) A.若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α，β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β【解析】 若α，β同属于第一象限，则0≤β＜α≤π2，cos α＜cos β，故A 错；第二象限，则π2≤α＜β≤π，tan α＜tan β，故B 错；第三象限，则π≤α＜β≤3π2，cos α＜cos β，故C 错；第四象限，则3π2≤β＜α≤2π，tan α>tan β，(均假定0≤α，β≤2π)，故D 正确.【答案】 D2.满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z【解析】 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .【答案】 A3.(2016·东莞高一检测)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________.①sin θ＋cos θ＜0; ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|; ④sin θ＋cos θ＞0. 【解析】 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.【答案】 ④4.(2016·德州高一检测)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.【证明】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足.∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α∴1＜sin α＋cos α＜π2.。

课堂探究探究一 作出三角函数线作三角函数线的题型主要有两种：(1)已知角的大小，作三角函数线，此类题型只需按步骤进行即可；(2)已知函数值的大小找角，先找出相应y 或x 的值，再找出相应的角．【例1】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23； (2)cos α＝－35； (3)tan α＝2． 分析：对于(1)设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ．所以，要作出满足sin α＝23的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为23的点P ，则OP 即为α的终边，对于(2)，(3)可采用同样的方法予以处理．解：(1)作直线y ＝23交单位圆于点P ，Q ，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①． (2)作直线x ＝－35交单位圆于点M ，N ，则OM 与ON 为角α的终边，如图②． (3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于点C ，D ，则OC 与OD 为角α的终边，如图③．评注 三角函数线可以用来求出满足形如f (a )＝m 的三角函数的角α的终边，体现了对三角函数线的深刻理解，同时这也是利用三角函数解决问题的关键．探究二 利用三角函数线比较大小利用三角函数线比较大小，先要作出相应的三角函数线，然后观察三角函数线的大小和方向．【例2】 若θ∈3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列各式错误的是________．(填序号) ①sin θ＋cos θ<0； ②sin θ－cos θ>0； ③|sin θ|<|cos θ|； ④sin θ＋cos θ>0．解析：画出单位圆如图所示，借助三角函数线进行判断．由图可观察出，当θ∈3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时， sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|．所以①②③正确，④错误．答案：④反思 通过此题，我们发现三角函数线在解决一些与三角函数有关的不等式、比较大小等问题时十分快捷有效，所以我们要熟练地画出一个角的三角函数线，结合图形对比得出结论．这也是数形结合思想的很好体现．探究三 利用三角函数线解不等式用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：【例3】 求函数f (α)的定义域．分析：要使函数f (α)有意义，则sin α≥12．利用三角函数线可得α的范围，即为函数f (α)的定义域．解：要使函数f (α)有意义，必须使2sin α－1≥0，则sin α≥12，如图所示，画出单位圆，作x 轴的平行直线y ＝12，交单位圆于两点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，分别过点P 1，P 2作x轴的垂线，画出如图的两条正弦线，易知这两条正弦线的值都等于12．在[0,2π)内，sin6π＝sin 56π＝12． 由于sin α≥12，故满足条件的角α的终边在图中阴影部分， 所以函数f (α)的定义域为522,66a k a k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 反思 求此类三角函数定义域的本质是求三角不等式(组)的解集，其方法是首先作出单位圆，然后根据约束条件利用三角函数线画出角α终边所在的区域(可用阴影部分表示)，然后写出该区域内角的集合即可．【例4】 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π]内求α的取值范围．解：由题意，知sin cos ,tan 0a a a >⎧⎨>⎩如图所示，由三角函数线可得5,4430,22a a a πππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<<<⎪⎩或故4π<α<2π或π<α<54π． 反思 根据三角函数线可以判断sin α，cos α，tan α的符号，推出三角函数的定义域，比较三角函数值的大小等，更重要的是，由于给出了三角函数的几何定义，可以直观地研究三角函数，运用数形结合思想解决某些实际问题，还可以沟通三角函数与几何等其他内容的联系．探究四 三角函数值与角的关系由三角函数定义知：－1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1，即三角函数值是一个数值，而由弧度制知，数值与角也是一一对应的，如1 rad ＝180π︒．【例5】 (1)若角θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号．(2)若tan(cos θ)·cot(sin θ)>0，试指出θ所在象限．分析：本题主要考查正弦、余弦函数的定义和取值范围，以及它们在各象限函数值的符号，关键将角α，cos α，sin α看作弧度制下的角．解：(1)因为角θ在第四象限，所以0<cos θ<1<2π，－2π<－1<sin θ<0． 所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0．所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0．(2)由题意，知tan(cos )0,cot(sin )0,θθ>⎧⎨>⎩或tan(cos )0,cot(sin )0,θθ<⎧⎨<⎩ 所以0cos 1,0sin 1;θθ<<⎧⎨<<⎩或1cos 0,1sin 0;θθ-<<⎧⎨-<<⎩ 即θ在第一或第三象限．探究五 易错辨析易错点：因忽视角的终边在坐标轴上而致误【例6】 利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1．错解：证明：如图所示，MP ＝|sin α|，OM ＝|cos α|．根据三角形中两边之和大于第三边，易知|sin α|＋|cos α|≥1．错因分析：上述解法忽视了角α的终边在坐标轴上的情况，并且正弦线、余弦线是有方向的，不能写成MP＝|sin α|和OM＝|cos α|．正解：证明：当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1)，所以|sin α|+|cos α|=1．当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边，有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|＞1．综上，有|sin α|+|cos α|≥1．。

1.2.2 单位圆与三角函数线明目标、知重点 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.1.三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }.2.三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点.过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点.单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .即角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.[情境导学]角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，前面我们学习了任意角的三角函数，它主要从数上研究了它们，能否用几何方式来表示三角函数呢？这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一 三角函数线的概念及作法思考1 如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x 都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？tan α＝yx怎样表示？答 过角α的终边与单位圆的交点P ，向x 轴作垂线，垂足为M ，则|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α.如图，过点A (1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y 轴，设它与α的终边交于点T ，根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA 、AT ，我们有tan α＝AT ＝yx.思考2 如图，若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x 都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？如何给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？答 过角α的终边与单位圆的交点P ，向x 轴作垂线，垂足为M ，则，－|MP |＝y ＝sin α，－|OM |＝x ＝cos α.我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.即规定当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有负值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样，无论哪种情况都有OM ＝x ＝cos α.同理，当角α的终边不在x 轴上时，以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有负值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样，无论哪种情况都有MP ＝y ＝sin α.因此MP 、OM 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.小结 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.思考3 当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？ 答 如图：例1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合.解 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12.过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }. 反思与感悟 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处. 跟踪训练1 sin 25π，cos 65π，tan 25π从小到大的顺序是________.答案 cos 65π<sin 25π<tan 25π解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知： cos 65π<0，tan 25π>0，sin 25π>0. ∵|MP |<|AT |， ∴sin 25π<tan 25π.故cos 65π<sin 25π<tan 25π.探究点二 三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负. 思考1 若α为任意角，则sin α，cos α的取值范围是多少？ 答 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 －1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.思考2 设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin α＋cos α>1吗？答 设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则sin α＝MP ，cos α＝OM ，OP ＝1.在Rt △OMP 中，由两边之和大于第三边得MP ＋OM >OP ，即sin α＋cos α>1.思考3 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin 2α＋cos 2α与1的关系？解 当α的终边落在x 轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1， sin 2α＋cos 2α＝1；当α的终边落在y 轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0， sin 2α＋cos 2α＝1；当α的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP ，cos α＝OM . 在Rt △OMP 中，|MP |2＋|OM |2＝|OP |2＝1. ∴sin 2α＋cos 2α＝1.综上所述，对于任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12. 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .① ②(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .反思与感悟 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin x ≥m 或sin x ≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用.跟踪训练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围.解 由题意知⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.如图，由三角函数线可得⎩⎨⎧π4<α<54π，0<α<π2或π<α<32π.∴π4<α<π2或π<α<54π. 探究点三 利用三角函数线求函数的定义域思考 任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集.根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }.在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域.例如：(1)函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为________________. 答案 {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }(2)函数y ＝sin x 的定义域为________________. 答案 {x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }(3)函数y ＝lgcos x 的定义域为________________. 答案 {x |2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z }例3 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域. 解 由题意，得自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0.即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .反思与感悟 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分.跟踪训练3 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域. 解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.如图所示.∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )， 即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z ).1.角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( ) A.π4 B.3π4 C.7π4 D.3π4或7π4答案 D2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A.正弦线PM ，正切线A ′T ′ B.正弦线MP ，正切线A ′T ′ C.正弦线MP ，正切线AT D.正弦线PM ，正切线AT答案 C3.在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3 D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 B4.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)： (1)sin 23π________sin 45π；(2)cos 23π________cos 45π；(3)tan 23π________tan 45π.答案 (1)> (2)> (3)<解析 作出23π和45π的三角函数线，如图所示.根据三角函数线得：sin 23π＝MP >sin 45π＝M ′P ′； cos 23π＝OM >cos 45π＝OM ′； tan 23π＝AT <tan 45π＝AT ′. [呈重点、现规律] 1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便. 2.三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了.一、基础过关1.有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为( ) A.1B.2C.3D.0 答案 C解析 π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等.故①②③都正确，故选C.2.利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是( ) A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5 答案 C解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大，∴sin1.5>sin1.2>sin1.3.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π3，x ∈RB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π－5π6，k ∈Z答案 C解析 ∵x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋5π6，k ∈Z .4.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <a <b D.a <c <b答案 C解析 作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b ＝OM >0，a ＝MP <0，c ＝AT <0，且MP >AT . ∴b >a >c ，即c <a <b . 5.若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2π D.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 答案 D解析 在同一单位圆中，利用三角函数线可得D 正确.6.若集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________. 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 7.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合： (1)sin x >－12且cos x >12；(2)tan x ≥－1. 解(1)由图(1)知：当sin x >－12且cos x >12时，角x 满足的集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π6＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .(2)由图(2)知：当tan x ≥－1时，角x 满足的集合： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x <2k π＋π2，k ∈Z∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋34π≤x <2k π＋32π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n π－π4≤x <n π＋π2，n ∈Z .二、能力提升8.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A.cos α<sin α<tan αB.tan α<sin α<cos αC.sin α<cos α<tan αD.cos α<tan α<sin α答案 A解析 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α. 9.不等式tan α＋33>0的解集是____________________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .10.把sin π12，sin 512π，cos 57π，tan 512π由小到大排列为________________.答案 cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π解析 如图可知，sin π12＝M 1P 1>0，sin 512π＝M 2P 2>0，tan 512π＝AT >0，cos 57π＝OM 3<0.而0<M 1P 1<M 2P 2<AT ，∴0<sin π12<sin 512π<tan 512π.而cos 57π<0，∴cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π.11.求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域.解 由题意得，要使函数有意义，则须⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求.所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π<x <2k π＋π2，或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z .12.设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小.解 θ是第二象限角，即2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )， 故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z ). 作出θ2所在范围如图所示. 当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，易知OM <MP <AT .∴cos θ2<sin θ2<tan θ2； 当2k π＋54π<θ2<2k π＋32π(k ∈Z )时，易知MP <OM <AT .∴sin θ2<cos θ2<tan θ2. 三、探究与拓展13.当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α， S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α， S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.。

学业分层测评(三）(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1。

下列三角函数判断错误的是（)A。

sin 165°〉0 B.cos 280°〉0C。

tan 170°>0 D。

tan 310°〈0【解析】∵90°〈165°〈180°,∴sin 165°>0；又270°<280°<360°,∴cos 280°>0；又90°<170°〈180°，∴tan 170°〈0；又270°〈310°<360°，∴tan 310°〈0，故选C。

【答案】C2。

已知角α终边上异于原点的一点P且|PO｜＝r，则点P坐标为( )A。

P（sin α，cos α) B。

P(cos α，sin α）C。

P（r sin α，r cos α) D。

P（r cos α,r sin α）【解析】设P(x，y），则sin α＝错误!，∴y＝r sin α,又cos α＝错误!,x ＝r cos α，∴P(r cos α，r sin α），故选D.【答案】D3。

角α的终边上有一点（－a，2a)（a<0），则sin α的值为（) A。

－错误! B.错误!错误!C.错误!D。

－错误!错误!【解析】因为a〈0，所以sin α＝错误!＝错误!＝－错误!。

【答案】D4。

若θ是第二象限角，则（)A。

sin 错误!〉0 B。

cos 错误!〈0C。

tan 错误!〉0 D。

以上均不对【解析】∵θ是第二象限角,∴2kπ＋错误!〈θ<2kπ＋π，∴kπ＋错误! <错误!〈kπ＋错误!，∴错误!是第一或第三象限角,∴tan 错误!〉0.【答案】C5.使得lg(cos αtan α）有意义的角α是（)A.第一或第二象限角B。

第一章 1.2 1.2.2一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A ．3π4或π4B ．5π4或7π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4[答案] C[解析] 作出角π4与5π4的正弦线、余弦如图所示．由图可知，角π4与5π4的正弦线、余弦线长度相等，且符号相同．2．下列不等式中，成立的是( ) A ．sin1>sin2 B ．cos1<cos2 C ．tan1>tan2 D ．cot1<cot2[答案] C[解析] 如图，由单位圆中的三角函数线可知，sin1<sin2，cos1>cos2，tan1>tan2，故选C ．3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1 D ．不能确定[答案] A[解析] 如图，设α的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则sin α＝MP ，cos α＝OM . 在△OMP 中，∵OM ＋MP >OP ， ∴cos α＋sin α>1.4．设a ＝sin π3、b ＝cos π3、c ＝π3、d ＝tan π4，则下列关系中正确的是( )A ．c >d >a >bB ．d >c >a >bC ．c >d >b >aD ．以上答案均不对[答案] A[解析] a ＝sin π3＝32，b ＝cos π3＝12，c ＝π3>1，d ＝tan π4＝1，故c >d >a >b .5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A ．[－3π4，π4]B ．[－π2，π2]C ．[－π4，3π4]D ．[0，π] [答案] A[解析] 如图阴影部分满足sin x ≤cos x ，故选A ．6．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内的角α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π[答案] B[解析] ∵点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，∴⎩⎨⎧sin α－cos α>0tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α ①tan α>0 ②由②知α在第一、三象限．由①sin α>cos α，用正弦线、余弦线得出图中的阴影部分满足． 故α的取值范围是：⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4，故选B ． 二、填空题7．利用单位圆，可得满足sin α<22，且α∈(0，π)的α的集合为________． [答案] {α|0<α<π4或3π4<α<π}[解析] 如图所示，终边落在阴影内的角α满足sin α<22. 8．sin π5与cos π5的大小关系是________．[答案] sin π5<cos π5[解析] 如图，sin π5＝MP ，cos π5＝OM .在Rt △OMP 中，∠POM ＝π5，∠OPM ＝3π10，∴OM >MP ，cos π5>sin π5.三、解答题9．利用三角函数线，求sin α<12的角α的范围．[解析] 如图所示，首先在y 轴上找到12，过此点作平行于x 轴的直线，交单位圆于P 1与P 2两点．若sin α＝12，则α＝2k π＋π6或α＝2k π＋56π(k ∈Z )，角α所对应的正弦线分别为M 1P 1、M 2P 2，当角2k π＋π6的终边按逆时针方向旋转至2k π＋5π6时，显然sin α>12，故应舍去，所以α应取线OP 1和线OP 2以下的角，如图的阴影部分所示．故α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋5π6<α<2k π＋13π6，k ∈Z .10．利用单位圆中的三角函数线求满足cos α≤－12的角α的取值范围．[解析] 作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .一、选择题1．已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ<2π}，F ＝{θ|tan θ<sin θ，0≤θ<2π}，则E ∩F ( ) A ．⎝⎛⎭⎫π2，π B ．⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C ．⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫3π4，5π4[答案] A[解析] 由单位圆中的三角函数线可知， E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|π4<θ<5π4，F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|π2<θ<π或3π2<θ<2π，∴E ∩F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|π2<θ<π.2．以下命题正确的是( )A ．α、β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βB ．α、β都是第二象限角，若sin α>sin β，则tan α>tan βC．α、β都是第三象限角，若cosα>cosβ，则sinα>sinβD．α、β都是第四象限角，若sinα>sinβ，则tanα>tanβ[答案] D[解析]如图，α、β都是第一象限角，cosα>cosβ，则sinα<sinβ，故A错；如图，α、β都是第二象限角，sinα>sinβ，则tanα<tanβ，故B错；如图，α、β都是第三象限角，cosα>cosβ，则sinα<sinβ，故C错，只有D正确．3．已知α是第三象限角，则下列等式中可能成立的是() A．sinα＋cosα＝1.2 B．sinα＋cosα＝－0.9 C．sinαcosα＝ 3 D．sinα＋cosα＝－1.2 [答案] D[解析]如图，由三角函数线知， sin α＝MP ，cos α＝OM ， sin α＋cos α＝MP ＋OM ， |MP |＋|OM |>|OP |＝1， 又MP <0，OM <0， ∴MP ＋OM <－1，故选D ．4．sin 3π8、cos 3π8、3π8的大小关系是( )A ．sin 3π8<3π8<cos 3π8B ．sin 3π8<cos 3π8<3π8C ．cos 3π8<3π8<sin 3π8D ．cos 3π8<sin 3π8<3π8[答案] D [解析] 如图，作出角3π8的正弦线、余弦线，∴sin 3π8＝MP ，cos 3π8＝OM ，∴sin 3π8>cos 3π8.又S △POA ＝12OA ·MP ＝12MP ，S 扇形OP A ＝12×3π8，又S 扇形OP A >S △POA ，∴3π8>MP . ∴3π8>sin 3π8>cos 3π8. 二、填空题5．若0≤θ<2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，5π4∪⎝⎛⎭⎫3π2，2π [解析] 如图所示，tan θ≤1，包括tan θ<0，即二、四象限，tan θ＝0，即x 轴上，0<tan θ≤1，即第一、三象限中，直线y ＝x 与x 轴所夹的部分． 6．已知sin α＋cos α＝15，那么α是第________象限角．[答案] 二或四[解析] 由单位圆中的三角函数线知，若α是第一象限角，则sin α＋cos α>1，若α是第三象限角，则sin α＋cos α<－1，若sin α＋cos α＝15，则α是第二或四象限角．三、解答题7．确定下式的符号：sin1－cos1.[分析] 在单位圆中作出1、π4的正弦线、余弦线，将sin1、cos1与sin π4比较即可．[解析] 因为π4<1<π2，如图所示，由三角函数线可得sin1>22>cos1， 故sin1－cos1>0.8．求满足下列条件的角x 的集合： (1)已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0； (2)已知tan x <0，且sin x －cos x <0.[解析] (1){x |2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z }，如图①.(2){x |2k π－π2<x <2k π，k ∈Z }，如图②.。

课时跟踪检测（四） 单位圆与三角函数线层级一学业水平达标 仁角25和角6兰有相同的（）5 5A .正弦线B .余弦线C .正切线D .不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角n 和角6n 勺三角函数线可知，正弦线及余弦线都相5 5反，而正切线相等.2•已知角a 的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角 a 的终边在（ ）A .直线y = x 上 B. 直线y =— x 上C .直线y = x 上或直线y = — x 上D . x 轴上或y 轴上解析：选C 由角a 的正切线是长度为单位长度的有向线段，得 tan a= ±，故角a 的终边在直线 y = x 上或直线 y =— x 上.3.设 a = sin （— 1）, b = cos （— 1）, c = tan （ — 1），则有（ ）A . a<b<cB . b<a<c C.c<a<bD . a<c<b解析：选C 如图，作出角 a=— 1的正弦线、余弦线及正切线, 显然 b = cos(- 1) = OM>0,c = tan( — 1) = AT<0, a = sin(— 1)= MP <0, 由图可知 MP>AT ,「. c<a<b.4.如果MP 和OM 分别是角a= 7n 的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是（）8A . MPvOMvOB . OM >0>MPC . OMvMPvOD . MP>0>OM解析：选 D I 72是第二象限角，••• sin 7n>0, cos 职0,二 MP>0,OM<0,「. MP>0>OM.8 8 8 5.若a 是第一象限角，则 sin a+ cos a 的值与1的大小关系是（ ）A . sin a+ cos a >1B . sin a+ cos a= 1C . sin a+ cos a<1D .不能确定解析：选A 作出a 的正弦线和余弦线，由三角形 “任意两边之和大于第三边 ”的性 质可知sin a+ cos (x>1.bvzJAT6.若角a 的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为 _________ 解析：若角a 的余弦线长度为0,贝y a 的终边落在y 轴上, 所以它的正弦线的长度为 1.答案：17.用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是解析：如图，sin 1= MP , cos 1= OM.显然 MP>OM ，即 sin 1>cos 1.切线.10.求下列函数的定义域.答案： si n1>cos 1 8.若 0€ 李罗，则 解析： 3 n由图可知sin -43nsin 2 - -—1,— 1 v sin即sin-1彳答案：—__ ?■A0 I*y29.作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线. n 5 n（町；解：⑴如图⑴所示，在单位圆中ON , OM ,AT 分别表示：角的正弦线、余弦线、正切线. ⑵如图⑵所示，在单位圆中ON ,OM ,AT 分别表示—角的正弦线、余弦线、正Ml oJbd_ysin 0的取值范围是2(1) y= igsin x.(2) y = 3tan x _、. 3.所以sin xv *，所以角x 终边所在区域如图所示, 所以 2k n — 5n<xv2k n+ T, k € 乙4 4所以原函数的定义域是5 n n ,厂",2k n — _<x<2k n+ 4，k € Z -⑵为使y = 3tan x — .3有意义， 则 3tan x — 3>0,所以 tan x ^-3,3 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以 k n+xvk n+n, k € Z ,6 2所以原函数的定义域是 邓 n+ 詐 xvk n+2 k € zj层级二应试能力达标1. 下列三个命题： ① n 与貉勺正弦线相等； 6 6 ② 3与訓正切线相等； ③ n 与严的余弦线相等. 4 4 其中正确命题的个数为（ ）A . 1B . 2C . 3D . 0解析：选B n 和的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；n 和两角的终边 在同一条直线上，因而所作正切线相等；才和5°的余弦线方向不同.22. 若a 是三角形的内角，且 sin a+ COS a= 3，则这个三角形是（）1解:sin x>0,(1)为使 y = lg 2B .直角三角形 D .钝角三角形A .等边三角形 C .锐角三角形，由单位圆中的三角函数线知，sin a+ cos a> 1,而sin a+ cos a= 3,3• I a必为钝角.如果n< a<n,那么下列不等式成立的是(4 2cos a<sin avtan a B. tan a<sin a<cos aC. sin a<cos avtan aD. cos a vtan a<sin a解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出a的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出|OM |v|MPr v|AT |,且都与坐标轴的正方向相同.即cos a<sin a<tan a.4.使sin x w cosx成立的x的一个变化区间是A. B.n 「2,C.解析：选A如图，画出三角函数线由于sin-3n =n nsin ~= cos -,4 4为使sin x w cosx 成立，则由图可得一x< n.4 4 D. [0 ,7tOM,5. sin牛,cos ^T, tan罕从小到大的顺序是5 5 5解析：由图可知:6 n 2 n 2 ncos — <0, tan ~>0, sin —>05 5 5•/ |MP |<| AT |,且MP ,AT与y轴正方向相同,二sin ^vtan ^T.56n 2n 2n故cos 5 vsin 5 vtan 5 .答案：cos ^sin T^vtan5 5 2n 5解析：选D 当OV aW 3.6.若0< a <2 n,且sin晋，cos 专.利用三角函数线， 得到a 的取值范围是所以a 的取值范围是［0,扌”骨，2*答案：A 3 A 停2n)(1)sin 0< - 2; 解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角 B 的范围,(2)图②中阴影部分就是满足条件的角 0的范围， 即训2也—235< «2k n-6或2k n+f v 艮 2k n + 罕 k € Z }8.若 0<%<才，证明：sin a< a <tan a .证明：如图所示，连接 AP ，设弧AP 的长为l ,T S A OAP <S 扇形 OAP VS ^ OAT ,1 1 1•-2IOA| |MP|V 2l |OA|V 2IOA| |AT|, ••• |MP|vlv|AT|, •- sin a< aVtan a .解析：利用三角函数线得 a 的终边落在如图所示/ AOB 区域内, 7.利用单位圆中的三角函数线，分别确定角B 的取值范围.(2) —1 < cos26 +2k n，①。

1.2.2 单位圆与三角函数线5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x 轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 解析：单位圆与x 轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确. 答案：B2.对角α的正弦线叙述错误的是（ ） A.正弦线的起点为坐标原点 B.正弦线为有向线段C.正弦线的长度为不大于1的正数D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴 解析：正弦线的长度有可能为0,所以C 答案错误. 答案：C3.如图1-1-2，PM ⊥x 轴，AT ⊥x 轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.图1-1-2 图1-1-3解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出. 答案：MP OM AT cosα sinα tanα4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.正弦线、余弦线、正切线分别是''P M 、'OM 、'AT ，并且sinβ＞cosβ＞tanβ. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若-43π＜α＜2π-，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（ ）图1-1-4A.sinα＜tanα＜cosαB.tanα＜sinα＜cosαC.cosα＜sinα＜tanαD.sinα＜cosα＜tanα 解析：在单位圆中，作出43π-＜α＜2π-内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线， |OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT .答案：D2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（ ）A.第一象限B.第一、二象限C.第三象限D.第一、三象限解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限. 答案：D3.在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围为（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π）解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx ＞cosx ，则x ∈（4π，45π）.答案：C4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.答案：A5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r （r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.6.设43π＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a 、b 、c ，由图比较a 、b 、c 的大小.解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a ＞b ＞c.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.(2006安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（ ）A.大于0B.小于0C.等于0D.不大于0解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0. 答案：B 2.若θ∈(0,2π),则sinθ+cosθ的一个可能值是（ ） A.32 B.72πC.224-D.1解析：由θ∈(0，2π)知sinθ+cosθ＞1，A 、B 、C 、D 四个选项中仅有224-＞1，故选C.答案:C3.适合cosα≥21的角α的集合是（ ） A.［2kπ+3π，2kπ+35π］（k ∈Z ） B.［2kπ+3π，2kπ+32π］（k ∈Z ）C.［2kπ-3π，2kπ+3π］（k ∈Z ）D.［2kπ+3π，2kπ-3π］（k ∈Z ）解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-3π≤α≤2kπ+3π.答案：C4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.答案：B5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)4π；(2)32π-.解：如图,正弦线：MP ，余弦线：OM ，正切线：AT .(1) (2)6.利用三角线，求满足sinx≤21的角x 的集合. 解：由图可知，值为21的正弦线11P M 和22P M ，易得出∠M 1OP 1=6π，∠M 2OP 2=65π，故满足sinx≤21的x 的集合为｛x|2kπ+65π≤x≤2kπ+613π，k ∈Z ｝.7.求函数y=x cos 21-的定义域. 解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤21，所以x ∈［2kπ+3π，2kπ+35π］（k ∈Z ）.8.已知关于x 的方程（2sinα-1）x 2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.解：设方程的两根为x 1、x 2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆,0,0,02121x x x x 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+>->+---.01sin 22sin 4,01sin 24,0)2sin 4)(1sin 2(4)4(2ααααα 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<><<-.21sin 121sin ,21sin ,23sin 23αααα或故21＜sinα＜23.利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+6π＜α＜2kπ+3π或2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k ∈Z ，即α的取值范围是{α|2kπ+6π＜α＜2kπ+3π，k ∈Z }∪{α|2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k ∈Z }.9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos 2α+sin 2α=1. 证明：如图，OM =cosα，MP =sinα，在Rt △MOP 中，|OM|2+|MP|2=｜OP ｜2=1，所以cos 2α+sin 2α=1.10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，2］. 11.已知α∈（0，2），求证：sinα＜α＜tanα. 证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有MP =sinα，AT =tanα.又由α=，显然S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ，即21·OA ·MP ＜21·OA ·＜21·OA ·AT .化简得MP ＜α＜AT ，所以sinα＜α＜tanα.。

预习导航1．单位圆、正射影(1)把半径为1的圆叫做单位圆．(2)设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴，y轴上的正射影(简称射影)(如图所示)．要点解读：在三角函数的定义中，巧妙地引入了单位圆，使三角函数这一代数问题几何化了，即有了几何表示，从而也使问题由抽象变得具体．为深入细致研究三角函数提供了一种新途径，开辟了一个新视野——角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．2．三角函数线(1)如图(1)，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A′(－1,0)，而与y轴的交点分别为B(0,1)，B′(0，－1)．由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)．其中cos_α＝OM，sin_α＝ON．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．如图(2)，以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，则tan α＝AT(或AT′)．我们把轴上向量O M，O N和A T(或AT )分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线．说明：(1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数线，它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示．(2)三角函数线是有向线段(带有方向(即规定了起点和终点)的线段)，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．也可用这样的规律：凡含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点．(3)当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM＝1或－1．当角α的终边在y轴上时，正弦线MP＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．自主思考1如何根据三角函数的方向确定三角函数值的符号？提示：正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x 轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．自主思考2观察三角函数线的变化，试分析正弦线、余弦线、正切线的增减性和取值范围？提示：观察三角函数线的变化，当角由0增加到2π时，sin α在一、四象限是增函数，在二、三象限是减函数；cos α在一、二象限是减函数，在三、四象限是增函数；tan α在各个象限内分别是增函数．观察三角函数线的变化，还可以得出α∈R时，sin α，cos α的值域为[－1,1]，tan α的值域为R．3．三角函数线的作图步骤作一个角α的三角函数线的步骤：(1)画单位圆，且设其与x轴正半轴交于点A．(2)作角α的终边，且设其与单位圆的交点为P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP，OM分别是角α的正弦线和余弦线．(3)过点A作x轴的垂线，与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则有向线段AT是角α的正切线．自主思考3角α＝x (rad)，且0<x <2π，于是x ，sin x ，tan x 都是实数．请你给x 一个具体的值，比较这三个实数的大小．然后想一想，你得到的大小关系是否对区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的任意x 都成立．提示：取x ＝6π，则sin x ＝12，tan x ＝3．因为12＝366， 所以tan6π>sin 6π．又12＝36<6π，所以sin 6π<6π．又tan6π6π，所以tan 6π>6π． 从而可知，tan6π>6π>sin 6π．证明：如图所示，0<x< ．M 为角x 的正弦线，A 为角x 的正切线，由于S △OP A <S 扇形OP A <S △OAT ，且S △OP A ＝12OA ·MP ＝12sin x ，S 扇形OP A ＝12x ·OA 2＝12x ，S △OAT ＝12OA ·AT ＝12tan x ，所以12sin x <12x <12tan x ，即sin x <x <tan x ．所以若x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则必有sin x <x <tan x ． 自主思考4 如何利用单位圆解形如sin α≥(或≤)a ，cos α≥(或≤)a (|a |≤1)型不等式． 提示：(1)利用单位圆解sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)型不等式的具体方法为： ①如图甲，画出单位圆；图甲②在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P，P′，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分即为满足sin α≤a的角α的范围，剩余部分即为满足sin α≥a的角α的范围．(2)利用单位圆解cos α≥a，cos α≤a(|a|≤1)型不等式的具体方法为：①如图乙，画出单位圆；图乙②在x轴上截取OM＝a，过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P，P′，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分即为满足cos α≤a的角α的范围，剩余部分为满足cos α≥a的角α的范围．特别提示此类题型在写角α的范围时，不要忘记加上2kπ(k∈Z)，因为与角α终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍．。

高中数学课时跟踪检测四单位圆与三角函数线新人教B版必修4层级一学业水平达标1．角和角有相同的( )A．正弦线B．余弦线D．不能确定C．正切线解析：选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．直线y＝x上B．直线y＝－x上C．直线y＝x上或直线y＝－x上D．x轴上或y轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y＝x上或直线y＝－x上．3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a<b<cB．b<a<cD．a<c<bC．c<a<b解析：选C 如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos(－1)＝OM>0，c＝tan(－1)＝AT<0，a＝sin(－1)＝MP<0，由图可知MP>AT，∴c<a<b. 4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A．第一象限的角平分线上B．第四象限的角平分线上C．第二、第四象限的角平分线上D．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C. 5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) B．sin α＋cos α＝1A．sin α＋cos α>1D．不能确定C．sin α＋cos α<1解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1. 6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：1 7．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________。