求二面角的方法专题

求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。

本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。

它利用向量的夹角来表示二面角。

首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。

通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。

二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。

它利用坐标系中的点来表示二面角。

我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。

三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。

它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。

通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。

四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。

五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。

六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。

它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。

通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。

不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。

这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。

总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。

αβaOA B二面角三类问题六种解题策略方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。

求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。

从而给出二面角的通性通法。

第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的余弦值。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF 在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠ FG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三：空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。

二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。

笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。

一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。

以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。

例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。

例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。

二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。

如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。

例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。

例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。

三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。

求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。

求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。

对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。

二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。

具体步骤如下：2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。

平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。

2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。

2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：cosθ=n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：θ=arccos(cosθ)三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。

具体步骤如下：3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。

3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。

3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。

3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。

四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。

具体步骤如下：4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。

二面角的多种求法1.概念法例1：如图所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。

求二面角A BC D --的大小。

分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。

解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。

根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。

又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。

根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。

可以求出32AE =，3DE =3AD =。

根据余弦定理知：22222233)372cos 243232AE DE ADAED AE DE+-+-∠==-⨯⨯⨯即二面角A BC D --的大小为7arccos4π-。

例2：如图所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。

解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。

由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。

即AE PD ⊥。

由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。

通过计算可以得到：2PC =3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63CE =。

由此可以得到：63AE CE ==，又2AC =。

由余弦定理：222222133cos 22223AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅即：23AEC π∠=。

2.空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。

下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。

例3：如图所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE ，点F 在平面α内，点C 在平面β内。

求二面角F DE C --的大小。

分析：过点C 作辅助线CA 垂直于DE ，作CB 垂直于平面β于点B 。

解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139解题宝典即二面角E -BD -C 的大小为60°.可采用直接法解答本题.先利用三垂线定理，在二面角E -BD -C 的棱BD 上的点D 处，找到与BD 垂直的两条射线DC 和DE ，就能根据二面角的平面角的定义确定∠DEC 即为所求的角；再根据勾股定理求得∠DEC 的大小，即可解题.例2.如图2，凸六边形MBB 1NC 1C 的边长相等，BB 1C 1C 为矩形，∠BMC =∠B 1NC 1=90°.将ΔBCM ，ΔB 1C 1N 分别沿BC ，B 1C 1翻折，使平面ABC ，平面A 1B 1C 1分别与平面BB 1C 1C 垂直，如图3所示.其中E ，G 分别是BC ，CC 1的中点．（1）求证：多面体ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱；（2）求二面角A -EG -A 1的平面角的余弦值．图2图3解：（1）略.（2）取B 1C 1中点F ，连接A 1F ，EF ，由（1）可知，多面体ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∴A 1F ⊥平面BB 1C 1C ，同理可证AE ⊥平面BB 1C 1C ，过F 作FD ⊥EG 交EG 于点D ，连接A 1D ，∴∠A 1DF 为二面角A -EG -F 的平面角，又∵AE ⊥平面BB 1C 1C ，AE ⊂平面AEG ，∴平面AEG ⊥平面BB 1C 1C ，∴二面角A -EG -A 1的平面角为π2-∠A 1DF ，设A 1B 1=t ，则21=B 1=t ，CE =CB 2=C 1B 12=，A 1F =，∴EG=CE 2+CG 2=，∴FD =EF ∙sin =EF ∙CE EG =，∴A 1D=A 1F 2+FD 2=，∴cos α=cos æèöøπ2-∠A 1DF =sin ∠A 1DF =A 1F A 1D 我们先根据面面垂直的性质定理证明A 1F ⊥平面BB 1C 1C ；然后根据线面垂直的性质定理和二面角的定义确定二面角A -EG -F 的平面角∠A 1DF ；再根据勾股定理和正余弦函数的定义，即可运用直接法求得问题的答案.二、面积射影法当不易作出二面角的平面角时，可以考虑采用面积射影法求二面角的大小.先确定一个半平面在另一个半平面的射影；然后分别求得这两部分图形的面积，并将二者相除，所得的结果即为二面角的余弦值.要注意二面角α的范围为：.例3.如图4，正方体的棱长为3，顶点A 在平面α内，三条棱AB ，AC ，AD 都在平面α的同侧.若顶点B ，C 到平面α的距离分别为2，3，求平面ABC 与平面α所成锐二面角的余弦值.图4图5解：作BB 1⊥平面α于B 1，CC 1⊥平面α于C 1，连接BC ，B 1C 1，过点B 作BG ⊥CC 1，垂足为G 点，如图5所示.可得AC 1=AC 2-CC 12=32-()32=6，AB 1=AB 2-BB 12=32-()22=7，∴B 1C 1=BG =BC 2-CG 2=13+26，cos ∠B 1AC 1=AC 12+AB 12-B 1C122×AC 1×AB 1=7，sin ∠B 1AC 1=1-cos 2∠B 1AC 1=S ΔB 1AC 1=12×AC 1×AB 1×sin ∠B 1AC 1=12×6×7=3，S ΔBAC =12×AB ×AC =12×3×3=92，设平面ABC 与平面α所成锐二面角为θ，可得cos θ=S ΔB 1AC 1S ΔBAC =23，即平面ABC 与平面α所成锐二面角的余弦值为23.经常观察图形可发现，平面ABC 在另一个平面α内的射影为ΔB 1AC 1，于是作BB 1⊥平面α于B 1，CC 1⊥平面α于C 1，连接BC ，B 1C 1，分别求得ΔABC的面积和ΔBAC 的面积，并求得其比值，即可求得平面ABC 与平面α所成锐二面角的余弦值.三、空间向量法若根据已知条件可确定线面或线线垂直关系，即40解题宝典可以某一点为原点，三条互相垂直的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.给各个点赋予坐标，利用向量的夹角公式，通过空间向量运算，即可求得二面角的大小.例4.如图6所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AB=2，AE=3，DE=5，二面角E-AD-C的余弦值为，EF//BD，且EF=λDB()λ＞0，求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围.图6图7解：∵AB=AD=2，AE=3，DE=5，∴AD2+DE2=AE2，即AD⊥DE，∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，DE⊂平面EDC，DC⊂平面EDC，∴AD⊥平面EDC，又∵AD⊂平面ABCD，AD⊂平面ADE，∴平面ABCD⊥平面EDC，且∠EDC是二面角E-AD-C的平面角，∴cos∠EDC，作OE⊥CD于点O，得OD=DE∙cos∠EDC=1，OE=2，又∵平面ABCD⊥平面EDC，OE⊂平面EDC，∴OE⊥平面ABCD，取AB中点M，连接OM，得OM⊥CD，如图7，以O为原点建立空间直角坐标系，可得A()2,-1,0,B()2,1,0,D()0,-1,0,C()0,1,0,E()0,0,2，DB=()2,2,0,EF=()2λ,2λ,0,EC=()0,1,-2,设平面CEF的一个法向量为m =()x1,y1,z1，∴ìíîm ∙EC=y1-2z1=0,m ∙EF=2λx1+2λy1=0,取x1=2，得{y1=-2,z1=-1,∴m =()2,-2,-1,又BF=()2λ-2,2λ-1,2，AB=()0,2,0，设平面ABF的一个法向量为n =()x2,y2,z2,∴ìíîn ∙AB=2y2=0,n ∙BF=()2λ-2x2+()2λ-1y2+2z2=0,取x2=2，得{y2=0,z2=2-2λ,∴n =()2,0,2-2λ,∴||cos m ，n =||m ∙n ||m ∙||nöøλ≠14，设t=λ-14æèöøt＞-14且t≠0，∴t+2516t-32＜-8或t+2516t-32≥1，∴1+4æèöøλ-14+2516æèöøλ-14-32∈æèöø12，1⋃(]1,5，∴||cos m ，n ∈èöø÷，13⋃æèçû13，，∴当λ=14时，||cos m，n =13，∴||cos m ,n ∈èû.即平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围为èû.解答本题主要运用了空间向量法.首先利用面面垂直的性质定理得出OE⊥平面ABCD；然后找出两两垂直的三条直线，据此建立空间直角坐标系，求得各个点的坐标和各个平面的法向量（即垂直于平面的直线的方向向量），即可利用空间向量夹角公式解题.一般地，若容易作出二面角的平面角，往往可以采用直接法求二面角的大小.该方法比较常用，且较为简单，只需根据题意进行推理、运算，利用二面角的平面角的定义求解.如果不易找出或求出二面角的平面角，则往往需采用射影面积法和空间向量法，通过求平面图形的面积和平面的法向量，来求得二面角的大小.同学们要熟练掌握这些常用方法的特点和应用技巧，以在求解二面角问题时做到得心应手.（作者单位：湖北省团风中学）41。

v1.0 可编辑可修改五法求二面角一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AMB --的大小。

练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB111111ABCD P -ABCD60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥AD PABPC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。

四、射影面积法（coss S射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。

C AD A A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

（1）定义法：利用二面角的平面角的定义.在二面角的棱上取一点.过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线.两射线所成的角就是二面角的平面角.这是一种最基本的方法。

要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角.当然这种找出的角要有利于解决问题。

下面举几个例子来说明。

例1：如图.立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形.画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。

例2：在三棱锥P-ABC 中.∠APB=∠BPC=∠CPA=600.求二面角A-PB-C 的余弦值。

这样的类型是不少的.如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。

2、．边长为a 的菱形ABCD .∠ACB=600.现沿对角线BD 将其折成才600的二面角.则A 、C 之间的距离为 。

（菱形两条对角线互相垂直.对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线.则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4.过BC 的一个平面与AA 1交于D .若AD =3.求二面角D ―BC ―A 的正切值。

总之.能用定义法来找二面角的平面角的.一般是图形的性质较好.能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。

并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。

在常见的几何体有正四面体.正三棱柱.正方体.以及一些平面图形.正三角形.等腰三角形.正方形.菱形等等.这些有较好的一些性质.可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。

至于求角.通常是把这角放在一个三角形中去求解。

由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角.再用解三角形的知识去求解。

（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直.来找到二面角的平面角的方法。

O B A αβ ABA B β α AB C Dβ αl αβlOA B 二面角的求法专题一、定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱。

这两个半平面叫做二面角的面。

二、表示二面角α－AB － β 二面角C －AB － D 二面角α－ l － β 三、度量以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

说明：1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内3）角的边都要垂直于二面角的棱范围：二面角的计算：（一“作”二“证”三“计算”） 1）找到或作出二面角的平面角2）证明 1中的角就是所求的角3）计算出此角的大小注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。

在书写时不要写成”∠AOB 为所求二面角”，而应写成”∠AOB 为二面角βα--l 的平面角”。

练习：１. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1-BD-C 的正切值是_______.四、二面角的求法1、 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角 例1在正方体AC 1中，下列二面角， 1）二面角 D 1—AC —D 的大小2）二面角A-BD-C 1平面角的正切值3）二面角A 1-BD-C 1平面角的余弦值DB 1图1AOA 1 CBD 1 C 1O 11）2）易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2，故所求二面角的大小为-πarctan 2.3）在图1中，∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cos ∠A 1OC 1=31，那么所求二面角的大小为arccos 31.2、 垂面法 通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法..例2、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392， 求二面角βα--l 的大小.如图5，分别作PA ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，则易知 l ⊥平面PAB ，设l ∩平面PAB=C ，连接PC ，则l ⊥PC. 分别在Rt △PAC 、Rt △PBC 中，PC=3392，PA=4，PB=3，则AC=332，BC=335. 因为P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为直径，设PC=2R ，二面角βα--l 的大小为θ. 分别在△PAB 、△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2·AC ·BCcos θ=PA 2+PB 2-2·PA ·PBcos(θπ-)， 则可解得cos θ=21-，θ=120o ，二面角βα--l 的大小为120o . 练习：⊿ABC 中,AB ⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE 垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC, 求二面角E-BD-C 的大小?P图5βαlCBA3πPPABC2 三垂线法例3 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥。