简单复合函数的求导法则

∆y ∆u ′ = lim ⋅ lim = yu ⋅ u′x， ∆u → 0 ∆ u ∆x → 0 ∆ x
即
y′ = y′ ⋅ u′ . x u x
y = sin 2 x 的导数 分析： 分析： (sin x)′ = cos x ⇒ (sin 2 x)′ = cos 2 x ?
例1：求 ：
解1：y ′x = ( s i n 2 x ) ′ = ( 2 s i n x c o s x ) ′ ：
y =u ,
m
u = a + bx .
n
y = sin u,
1 u = 1− x
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① y x = y =[(3x− 2) ]' = (9x −12x + 4) =18x −12
'
'
2
问题： 如何求 y = (3 x − 2 ) 2 的导数？
2 '
② 其实， =(3x −2) 是一个复合函数， y
证 设变量 x 有增量 ∆x，相应地变量 u 有 ， 增量 ∆u， 从而 y 有增量 ∆ y. 由于 u 可导 ， ， 可导，
所以 lim ∆u = 0.
∆x → 0
∆y ∆y ∆u = lim ∆y ⋅ lim ∆u lim = lim ⋅ ∆x → 0 ∆ u ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ u ∆ x
2
由 y=u
′ yu =
2
与 u = 3 x − 2复合而成.
2u
=
6 x − 4 ; u′x =
′ x y = y = yu ⋅ u ′
' ' x
3 ;
' x
′ x 分析三个函数解析式以及导数 yu , u ′ , y
之间的关系:
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复合函数的求导法则
定理 均可导， 设函数 y = f (u)， u = ϕ (x) 均可导， ， 也可导. 则复合函数 y = f (ϕ (x)) 也可导 且
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练习1 练习
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y = sin 2 x； (2) y = 3 x + x + 1；
2
y = sin u ,
y = u,
y = cos u ,
u = 2x
u = 3x 2 + x + 1
u = sin x
(3) y = cos(sin x)； (4) y = (a + bx n ) m； 1 (5) y = sin(1 − ). x
y' =
x cos x − x sin x 2x
cos x sin 2 x
y'= −
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二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对 于 函 数 y = f (ϕ ( x )), 令 u = ϕ ( x ), 若 y = f ( u ) 是 中 间 变 量 u的 函 数 ， u = ϕ ( x ) 是 自 变 量 x的 函 数 ， 则 称 y = f (ϕ ( x )) 是 自 变 量 x 的 复 合 函 数 .
1)
2)
(u ( x) ± v( x)) ' = u '( x) ± v '( x)
(u ( x) ⋅ v( x)) ' = u '( x)v( x) + u ( x)v '( x)
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
3) ′ u ( x) u '( x)v( x) − u ( x)v '( x) = v( x) v 2 ( x)
作 业
课本P51页习题2-5第1,2题
例1 求下列函数的导数 1 （） y = (2 + 5 x)10 1 x
【解析】
(2)
y = sin 3 x + sin x3
例1 求下列函数的导数 1 （） y = (2 + 5 x)10 1 x (2) y = sin 3 x + sin x3
解：(2)y′=(sin3x+sinx3)′ =(sin3x)′+(sinx3)′ =3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′ =3sin2xcosx+3x2cosx3.
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课前练习：
1 1 1. y = x( x + + 2 ), 求y '； x x x x 2. y = x − sin cos , 求y '； 2 2
2
1 y ' = 2x + 2 x
2
1 y ' = 1 − cos x 2
3. y = x cos(− x), 求y '；
1 4. y = , 求 y '； sin x
′ x 或 x y′ = yu ⋅ u′， y′ = f ′(u) ⋅φ′(x) x
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 因变量对自变量求导, 量求导,乘以中间变量对自变量求导. 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则 注意： )
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
1 2 u = 1 2 (1 − x 2 ) 也在心中运算 .
′ yu = ( u )′ =
这样可以直接写出下式
y′ = x
1 2 (1 − x 2 )
⋅ (1 − x )′ x =
2
−x 1 − x2
.
练习3 练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f ′(x). 解
f ′( x ) = cos x 2 ⋅ ( x 2 )′ x = 2 x cos x 2
y′ u = ( u 2 )′ = 2u ,
所以
Байду номын сангаас
u′ = (sin x )′ = cos x . x
′ y′x = yu ⋅ u′x = 2u ⋅ cos x = 2 sin x cos x .
例3 解
设 y = 1 − x 2 , 求 y ′.
记在脑子中. 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中
例2 求曲线y = 3 (3 x 2 + 1)在点（ ，4）处的切线方程。 13
【解析】
自学课本：P50，例3
复习检测
复习检测
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作 业 课本P51页习题2-5第3,5题
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= 2 (cos x cos x − sin x sin x ) = 2 cos 2 x
解2： y = sin 2 x 可由y=sinu,u=2x复合而成 ：
′ yu = cos u , u ′ = 2 x
′ x ∴yu.u′ = 2cosu = 2cos2x ′ ′ ′ ∴yx = yu ⋅ux =2cos2x
简单复合函数的 求导法则
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知识回顾
1、导数公式表
函数 导函数
y = c(c是常数）
y = xα (α为实数）
y = a x (a > 0, a ≠ 1)
y′ = 0
y ′ = α x α −1
y′ = a x ln a
y=e
x
y′ = e x
y′ = 1 x ln a 1 y′ = x
练习2 练习2 解
设 y = (2x + 1)5，求 y ′.
把 2x + 1 看成中间变量 u， ， 将 y = (2x + 1)5 看成是由 复合而成， y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 由于
y′ u = ( u )′ = 5u ,
5 4
u′ = ( 2 x + 1)′ = 2. x
y = log a x (a > 0, a ≠ 1)
y = ln x
y = sin x
Title
y′ = cos x
y′ = − sin x
y′ = 1 cos 2 x
1 sin 2 x
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y = cos x
y = tan x
y = cot x
y′ = −
2.导数的四则运算法则： 设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
y′x = y′ ⋅ u′ = 5u 4 ⋅ 2 = 10( 2 x + 1)4 . 所以 u x
例2 解
设 y = sin2 x，求 y ′. ， 这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利
用乘法的导数公式，这里， 用乘法的导数公式，这里， 我们用复合函数求导法. 我们用复合函数求导法 复合而成. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成 而