第3章 连续线性算子与连续线性泛函
本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1 连续线性算子与有界线性算子
在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵
111212122212
n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ??? 对n E 中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算
抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){}
,y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。
若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+?∈ （2）()()(),T x Tx
F x D T ααα=?∈∈
称T 为线性算子。对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。
例 3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。
例3.2 [],x C a b ?∈，定义()()t
a
Tx t x d ττ=
?
由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。若令
()()[](),b
a
f x x d x C a b ττ
=?∈?
则f 是[],C a b 上的线性泛函。
[定义3.2] 设,X Y 是两个赋范线性空间，:T X X →是线性算子，称T 在x 点连续的，是指若{},n n x X x x ∈→，则()n Tx Tx n →→∞；若T 在X 上每一点都连续，则称T 在X 上连续；称T 是有界的，是指T 将X 中的有界集映成Y 中有界集。
[定理3.1] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性算子，若T 在某一点()0x D T ∈ 连续，则T 在()D T 上连续。
证明：对()x D T ?∈，设{}()n x D T ?，且()n x x n →→∞，于是
()00n x x x x n -+→→∞，由假设T 在0x 点连续，所以当n →∞时，有
()000n n T x x x Tx Tx Tx Tx -+=-+→
因此，n Tx Tx →，即T 在x 点连续。由x 的任意性可知，T 在()D T 上连续。 定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T 连续等价于若n x θ→（X 中零元）
，则n Tx θ→（Y 中零元）。 例3.3 若T 是n 维赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 在
X 上连续。
证明：在X 中取一组基{}12,,,n e e e ，设
()()1
1,2,3,n
m m j j j x x e X
m ==∈=∑
且()m x m θ→→∞，即()0m x m →→∞，则
()()
()1
2
210n
m j j x m =??→→∞????
∑
从而()()()01,2,3,m
j x j n m →=→∞ 。于是
()
()
()11
1
max 0
n
n
m m m j
j j
j
j n
j j Tx x
Te x Te
m ≤≤===
≤→→∞∑∑
因此，()m Tx m θ→→∞，即T 在x θ=处连续，进而T 在X 上每点连续。
[定理3.2] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性映射，
则T 有界的充分必要条件是：存在常数0M >，使不等式成立，即
()(
)T x M x
x
D T
≤∈ 证明：必要性。因T 有界，所以T 将D 中的闭单位球(){}
11B x x θ=≤映成
Y 中的有界集，即像集()1TB θ是Y 中的有界集。记(){}1sup :M Tx x B θ=∈，此
时，对每个
()()1,,
x
x D T x B x
θθ∈≠∈，由M 的定义有
x T M x ??≤ ? ???
……………………（3.1） 即Tx M x ≤，而当x θ=时，不等式（3.1）变成等式。故()x D T ?∈有 T x M x
≤ 充分性。设A 是()D T 的任一有界集，则存在常数1M 使()1x M x A ≤?∈。 由()()
Tx M x x D T ≤∈知
()1Ty M y MM y A ≤≤∈
故TA 有界。证毕。
[定理3.3] 设,X Y 是两个赋范线性空间，T 是从X 的子空间D 到Y 中的线性映射，则T 是连续的充要条件是T 是有界的。
证明：充分性。设T 有界，则存在常数0M >，使对一切
(),
x D T T x
M x ∈≤，从而对(){}(),n n x x n x D T ?→→∞?有
()()0
n n n Tx Tx T x x M x x n -=-≤-→→∞
即()n Tx Tx n →→∞。所以，T 是连续的。
必要性。若T 连续但T 是无界的，那么对每个n N ∈，必存在()n x D T ∈，使n n Tx n x >，令n n n
x y n x =
，那么()1
0n y n n =→→∞，即n y θ→，由T 的连
续性，()n Ty n θ→→∞，但是另一方面，1n n
n n n
n x Tx Ty n x n x =
>=，引出矛盾，故T 有界。
定理 3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用
(),L X Y 表示X 到Y 的有界线性算子组成的集合。
例3.1 ，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。
例3.4 考察定义在区间[]0,1上的连续可微函数全体，记作[]10,1C ，其中范数定义为()01
max t x x t ≤≤=，不难证明，微分算子
d
dt
是把[]10,1C 映入[]0,1C 中的线性算子。
取函数列{}sin n t π，显然，sin 1n t π=，但
()sin cos d
n t n n t n n dt
ππππ==→∞→∞ 因此，微分算子是无界的。
[定义3.3] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是从X 到Y 的有界线性算子，对一切x X ∈，满足Tx M x ≤的正数M 的下确界，称为算子T 的范数，记作T 。
由定义可知，对一切x X ∈，都有Tx T x ≤。
[定理3.4] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是从X 到Y 的有界线性算子，则有
1
1
sup sup sup
x X
x X
x X
x x x Tx T Tx Tx x
θ
∈∈∈=≤≠=== 证明：由Tx T x ≤，易得
1
s u p x X
x T Tx ∈==……………………………………（3.2）
根据T 的定义，对于任给的0ε>，存在非零0x X ∈，使
()00Tx T x ε≥-
令0
x x x '=，则有()0
Tx T ε'≥-，因此 ()1
1
sup sup x X
x X
x x T Tx Tx ε∈∈=≤-≤≤
令0ε→得 1
1
sup sup x X
x X
x x T Tx Tx ∈∈=≤≤≤……………………（3.3）
由式（3.2）和式（3.3），便得
1
1
sup sup x X
x X
x x T Tx Tx ∈∈=≤==
而sup
x X
x Tx
T x
θ
∈≠=，由定义易知。 例3.5 在[]1
,L a b 上定义算子T 如下
()()()[]()1
,
,x
a
Tf x f t dt f L a b =?∈?
（1）把T 视为[]1,L a b 到[],C a b 的算子，求T ； （2）把T 视为[]1,L a b 到[]1,L a b 的算子，求T 。
解：算子T 的线性是显然的，下面分别求T 。
（1）设T ：[][]1,,L a b C a b →，任取[]1,f L a b ∈，由于[],Tf C a b ∈，从而
()(
)()
m a x m a x
x
a a x b
a x b
T f T f x f t d t
≤≤≤≤==
? ()()max x
b a
a
a x
b f t dt f t dt f ≤≤≤≤=??
故T 是有界的，并且1T ≤。另一方面，取()[]01
,,f t t a b b a
=
∈-，并且 ()001
1b
b
a
a f f t dt dt
b a
===-??
于是
01
1
1sup max 1x
b a a a x b
f T Tf Tf dt dt b a b a ≤≤==≥===--?
? 故1T =。
（2）设T ：[][]1
1,,L a b L a b →，任取[]1,f L a b ∈，由于[]1,Tf L a b ∈，从而
()()()b
x b x a
a
a a T f f t d t d x
f
t d t d x
=≤?
?
??
()()()b b
a
a
f t dt dx b a f ≤=-??
因此，T 是有界的，并且T b a ≤-；另一方面，对任何使得1
a b n
+
<的自然数n ，
作函数()1,,10,,n n x a a n f x x a b n ??
?∈+???
?
?
?=?
???∈+ ????
?
显然[],n f L a b ∈,且()1b
n n a
f f t dt =
=?
，而
()b
x
n n
a
a
Tf f t dt dx =??
()11110a b a x a
a a
a n n
n x a dx ndt dt dx ++
+
+
=-++??
?
?
11122b a b a n n n
=
+--=-- 所以，又有sup n T Tf b a ≥=-
因此，T b a =-。
此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，
他们的算子范数未必相同。
一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。
例3.6 设(),K s t 在[][],,a b a b ?上连续，定义算子T ：[][],,C a b C a b →为
()()(),b
a
Tx s K s t x t dt =?
则[][](),,,T L C a b C a b ∈，且
(){}max
,:b a
T K s t dt a s b ≤≤≤?
证明：由于
()()()max ,b
a
a s b
Tx s K s t x t dt ≤≤=?
()()max ,max b
a a s
b a s b
K s t dt x t ≤≤≤≤≤?
(){}max
,:b
a K s t dt a s
b x =≤≤?
故结论成立。
事实上，还可以进一步证明
(){}max
,:b a
T K s t dt a s b =≤≤?
由于证明要用到实分析知识，这里从略。
例 3.7 已知实矩阵()
ij
n m
A a ?=，定义:m n T R R →为Tx Ax =，则
(),m
n
T L R R ∈，且1211n m
ij i j T a ==??≤ ???
∑∑。 证明： 122
11
n m ij j i j Tx Ax a x ==????
??== ?
??????
∑∑ 1
2
22111n m m ij j i j j a x ===??
????≤?? ???????????∑∑∑ 12
211n
m
ij i j a x ==??= ???
∑∑ 故 12
211n
m
ij i j T a ==??≤ ???
∑∑ 对于赋范线性空间X 上的线性泛函f ，我们总视f 为X 到数域F 所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。对于赋范线性空间X 上的线性泛函f ，由于()()f x F x X ∈?∈，所以
(
)()f x f x =，因而f
的范数就是()1
x X
x f sup f x ∈==。
对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。
[定理3.5] 设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则：
（1）f 是连续的充要条件是f 的零空间()(){}
0,N f x f x x X ==∈是X 的闭子空间；
（2）非零线性泛函f 是不连续的充要条件是()N f 在X 中稠密。 证明：（1）必要性：设f 是X 上的线性泛函，又设
{}()(),n n x N f x x n ?→→∞，由f 的连续性可得()()lim 0n n f x f x →∞
==。因此，()x N f ∈，所以()N f 是X 的闭子空间。
充分性：设()N f 是闭集，如果f 不是有界线性泛函，则对每个自然数n ，必有,1,n n x X x ∈=使得()n f x n >。
令()()1
1n n n x x y f x f x =
-，则()0n f y =，即()n y N f ∈，并且 ()()()()11110n n n n x x y n f x f x n
f x -
=-=<→→∞ 即()
1
1n x y f x →
。但是，()111x f f x ??= ? ??
?，从而()()1
1x N f f x ?。这和()N f 是闭集矛盾。因此，f 是有界的。
（2）必要性：设f 是连续的，由定理3.1知f 在x θ=点不连续，从而存在
{}(),n n x X x n θ?→→∞，但()00n f x ε≥>，对x X ?∈，显然有
()
()
()n n f x x x N f f x -
∈ 并且()()()n
n f x x x x n f x -→→∞，所以()N f 在X 中稠密。
充分性：假设f 是连续的，由()N f 在X 中稠密可知，对x X ?∈，存在
{}()n x N f ?，使()n x x n →→∞，从而
()()lim 0n n f x f x →∞
==
这与假设f 非零矛盾。证毕。
我们现在考虑由赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的有界线性算子的全体
(),L X Y 的性质。
对任意()12,,,,T T T L X Y F α∈∈，规定
()()()()()()1212,T T x T x T x T x Tx αα+=+=
显然，12T T +及T α都是线性算子，称12T T +为1T 与2T 的和，T α为α与T 的积，易验证(),L X Y 按这两种运算是一个线性空间，不仅如此，对每个有界线性算子
(),T L X Y ∈，算子范数T 还满足三个条件：
（1）1
sup 0x X
x T Tx ∈==≥，若0T =，则对一切,0x X Tx ∈=，即T θ=；
（2）1
1
sup sup x X
x X
x x T Tx Tx T αααα∈∈=====；
（3）121212121
1
1
sup sup sup x X
x X
x X
x x x T T T x T x T x T x T T ∈∈∈===+=+≤+=+。
因此，(),L X Y 是一个赋范线性空间，我们称其为有界线性算子空间，简称线性算子空间。
一般说来，(),L X Y 不一定是完备的，但是我们有如下的定理： [定理3.6] 设Y 是完备的赋范线性空间，则(),L X Y 是完备的。 证明：如果设{}(),n T L X Y ?为一Cauchy 列，即
()0n m T T n -→→∞
则对x X ?∈，必有
()()()()()0,n m n m n m T x T x T T x T T x n m -=-≤-→→∞
这说明(){}
n T x 是Y 中的Cauchy 列，由Y 的完备性，在Y 中存在惟一的一个元，记为()T x 使得()()()n T x T x n →→∞。
于是，T 就是从X 到Y 的一个算子，其线性可由()n T x 的线性推得。 又由于
()0,n m n m T T T T n m -≤-→→∞
因而知数列{}n T 收敛，即有数β使得sup n n
T β=，由此推得
()()lim sup n n n n
Tx T x T x x
x X β→∞
=≤=?∈
故T 为有界线性算子，即(),T L X Y ∈。
由于()0,n m T T n m -→→∞，故对0ε?>，存在自然数0N ，使得0
,m n N >时，有n m T T ε-<。于是,1x X x ?∈≤有()()n m T x T x x εε-≤≤。
固定x ，令m →∞，可得出()(),,1n m T x T x x X x ε-≤?∈≤。
又由于(),T L X Y ∈，因而有()(),n T T L X Y -∈，且由以上不等式可推出
()0n m T T n N ε
-≤>
即()0n T T n -→→∞，所以空间(),L X Y 是完备的。证毕。
注：赋范线性空间X 上的有界线性泛函全体按前面所引入的运算与所规定的范数
()
1
sup x X
x f f x ∈==
构成一个Banach 空间，称之为X 的共轭空间，记作*X 。
习题3.1
1.设(),T L X Y ∈，证明：(){}:Ker T x Tx θ==是X 的闭子空间。
2.设()(),,,T L X Y S L Y Z ∈∈，证明：复合算子():,ST X Z L X Z →∈满足
ST S T ≤。
3.[]0,1X Y C ==，定义:T X Y →为()()()[]1
,0,1Tx t t x s ds t =?∈?
及
:S X Y →为()()()[],0,1Sx t tx t t =?∈。
（1）问T 与S 可交换吗？（即ST TS =是否成立？） （2）求,,S T TS 及ST 。
4.设X 为所有有界数列组成的线性空间，范数为
{}()1
sup i
i
i x a x a ≥==
给定无穷矩阵()
ij T t =，满足1
sup
ij
i
j t
∞
=<∞∑，定义算子:T X X →为Tx y =，其中
{}{},i i x a y b ==，且1
i ij j j b t a ∞
==∑
证明：(),T L X X ∈，且1
sup
ij
i
j T t
∞
==∑。
5.设,n m X R Y R ==，在,X Y 上定义范数
()1211
,,,n
n i
n i x x x x x x R ===∈∑ ()1211
,,,m
m i
n i y y y y y y R ===∈∑
矩阵()
ij
m n
A a ?=定义算子为y Tx Ax ==
证明：11
max
m
ij
j n i i
T a
≤≤==∑。
6.设
:f R R →连续且可加，即对任意12,x x R ∈有
()()()1212f x x f x f x +==，证明：f 必为(),f x x x R λ=?∈，其中R λ∈为常数。
7. 设X 和Y 都是Banach 空间，(),T X Y ∈且是满射，证明：对X 中任意稠密子集E ，成立()T E Y =。
8.设X 是Banach 空间，(),T X X ∈，且1T ≤，定义
n n
T T T T =
为T 的n 次复合，0
T I =为单位算子，证明算子级数0
n
n T
∞
=∑在(),T X X ∈中收敛，
且n T θ→（零算子）()n →∞。
3.2 共鸣定理及其应用
许多数学问题的研究都涉及有界线性算子列的收敛性与一致有界问题，
Banach-Steinhaus 定理对这一问题给出了回答。
[定义 3.4] 设()(),,1,2,3,n T T L X Y n ∈= 称{}n T 一致收敛于T ，是指
()0n T T n -→→∞，即在算子范数意义下收敛，记为()n T T n →→∞；称{}n T 强
收敛于T ，是指对()()(),0n x X T x T x n ?∈-→→∞，记为()S n T T n ??→→∞。
由定义易知，()()S
n n T T n T T n →→∞???→→∞。但是，反之不成立。例
如，()2212,,,,,n X Y l x l ξξξ===∈ ，定义()()12,,n n n T x ξξ++= ，则
()S
n T n θ??→→∞，但是，若记
()0,0,,0,1,0,i i e ↑
= 第项
则11n n T e e +=，故
111
sup 1n n n n x T T x T e e +==≥==
所以对任意自然数n ，有1n T =，即1n T θ-=，故()n T n θ→→∞不成立。
容易证明，有界线性算子列{}n T 一致收敛于有界线性算子T 的充要条件是
{}n T 在X 的单位球上一致收敛于T 。
[定义3.5] 设X 是一个度量空间，A X ?，称A 是X 中的稀疏集，是指A 在X 中的任何一个非空开集中均不稠密。又称X 是第一纲的，是指X 可表示成至多可列个稀疏集的并，不是第一纲的度量空间称为第二纲的。
例3.8 X =有理数集，定义度量()1212,r r r r ρ=-，则X 是第一纲的，因为
{}1
n n X r ∞
== ，而单点集{}n r 是X 中的稀疏集。
下面是关于完备度量空间的一个重要定理，即Baire 纲定理，它是证明共鸣定理的关键。
[定理3.7] 设X 是完备的度量空间，则X 是第二纲的。
证明：用反证法。若存在一列稀疏集{}n A 使1
n n X A ∞
==
，任取一个闭球
()(){}0000:,r B x x x x r ρ=≤，由于1A 在开球()00r B x 中不稠密，从而可取一个闭球()()11101r B x r <<，满足()()()1101110,r r r A B x B x B x =?? ；又2A 在开球()11r B x 中
不稠密，同理，取闭球()222102r B x r ?
?<< ???
，满足()()()2212221,r r r A B x B x B x =?? ，按上述过程一直进行下去，可得出闭球列(){}
n r n B x 满足如下条件：
（1）()()()012012r r r B x B x B x ??? ； （2）()()1,2,3,n r n n B x A n =?= ； （3）10n r n
<<
。 由条件（3）知，()n r n B x 的直径()()
()2
0n r n d B x n n
≤→→∞，由闭球套定理，存在x X ∈，且
(){}1
n
r n
n B x x ∞
== ，但是从条件（2）中又有()1
n
r n
n B x ∞==? ，矛盾，故
X 是第二纲的。证毕。
应用上述定理来证明共鸣定理。
[定理3.8]（共鸣定理） 设X 是banach 空间，Y 是赋范线性空间，算子簇
{}():,T L X Y λλ∈∧?，若对任意x X ∈，满足
sup T x λλ∈∧
<+∞
那么
sup T λλ∈∧
<+∞
证明：定义X 上的泛函()p x 为()sup p x T x λλ∈∧
=，则[]:0,p X →+∞且容易
验证()p x 满足
()()()()()(),p x x p x p x p x p x F ααα''+≤+=∈
记 (){}
():1,2,3,n A x X p x n n =∈≤=
则1
n n X A ∞
==
。
首先证n A 是闭集。设(),k n k x A x x k ∈→→∞，对每个λ∈∧，因T λ是连续的，所以()0k T x T x k λλ-→→∞，更有k T x T x λλ→，又()k k T x p x n λ≤≤，故
T x n λ≤，即(),n p x n x A ≤∈。因X 是完备的，由定理3.7，必存在自然数0n ，
使0n A 不是稀疏集，从而存在开球()()0000r B x r >使0n A 在()00r B x 中稠密，0n A 是闭的，所以()000n r A x ?。对任一(){}1:1x B x x θ∈=≤，注意到
()000000,r x r x x r x B x +-∈
则
()()000000,p x r x n p x r x n +≤-≤ ()()()000002p r x p x r x p x r x ≤++-+ ()()000002p x r x p x r x n =++-≤
所以()00n p x r ≤
。对每个()00
,n
T x p x r λλ∈∧≤≤，即 (){}
10
sup :n T T x x B r λλθ=∈≤
进一步有
sup n T x r λλ∈∧
≤
<+∞ 证毕。
上述共鸣定理说明，对每个{},:x X T x λλ∈∈∧有界，则{}:T λλ∈∧有界。这蕴含算子簇每点有界，可推出在单位球上一致有界。因此，共鸣定理又称一致有界原理。
一致有界原理解决了关于算子列的强收敛的有关问题，如算子列满足什么条件时是强收敛的？(),L X Y 在强收敛意义下是否完备？下面几个定理回答了这些问题。
[定理3.9] 设X 是Banach 空间，Y 是赋范线性空间，{}(),n T L X Y ?，若对于每个,lim n n x X T x →∞
∈在Y 中存在，定义线性算子:T X Y →为lim n n Tx T x →∞
=，则
(),T L X Y ∈，且{}n T 有界。
证明：由lim n n T x →∞
在Y 中存在，知n sup T n
x <+∞。据定理3.8知，存在常数
0M >，使n sup T n
M <，故
n n T lim T sup T n n x x x M x →∞??=≤≤ ???
即(),T L X Y ∈。证毕。
[定理3.10] 设X 是赋范线性空间，Y 是Banach 空间，{}(),n T L X Y ?，如果满足下列条件：
（1）{}n T 是有界数列；
（2）在X 中某一稠密子集G 中每个元素{},n x T x 收敛。 则{}n T 强收敛于某一有界线性算子T ，且lim n n T T →∞
≤。
证明：因{}n T 有界，故存在0M >，使对一切1,2,3,,n n T M =≤ 。任取
x X ∈，注意到G 在X 中稠密，故对于任给0ε>，存在y G ∈，使x y M ε-<。
由条件（2）可知，{}n T y 收敛，故存在自然数N ，使对一切n N ≥以及任意自然数p 有
3n p n T y T y ε+-<
于是
n p n n p n p n p n n n T x T x T x T y T y T y T y T x ++++-≤-+-+-
333M M M M
εε
εε≤++=
故{}n T x 是Cauchy 列，由于Y 是完备的，故{}n T x 收敛。令()lim n n Tx T x x X →∞
=∈，
则T 是定义在X 上而值域包含在Y 中的线性算子。再由
()()lim lim lim n n n
n n n Tx T x T x T x →∞
→∞
→∞
=≤≤
可知T 有界，且
lim n n T T →∞
≤
证毕。
本章3.1节定理3.6证明了当Y 是Banach 空间时，(),L X Y 依算子范数是完备的。现在我们可以证明当,X Y 都是完备时，(),L X Y 对于算子列的强收敛也是完备的。
[定理3.11] 设Y X ,都是Banach 空间，则L （X ，Y ）在强收敛意义下是完备的。
证明：设{}n T x ()(),1,2,3L X Y n ?= 是给定算子列，对每个{},n x X T x ∈是Cauchy 列，故{}n T x 有界，再由一致有界原理可推知{}n T x 有界。注意到Y 是Banach 空间，故对每个{},n x X T x ∈收敛。因此，{}n T 满足定理3.10的条件（1）和条件（2），故{}n T 强收敛于某一有界线性算子T (),L X Y ∈。
下面介绍几个关于共鸣定理应用的例子。
例3.9（Fourier 级数的发散问题）存在以2π为周期的连续函数，其Fourier 级数再给定点发散。
证明：用2C π表示定义在(),-∞+∞上以2π为周期的连续函数全体，赋予范数
()02max t x x t π
≤≤=
那么，2C π是一个Banach 空间。对每个2x C π∈，其前n+1项Fourier 级数的部分和为
()()01
,cos sin 2n
n k k k a S x t a kt b kt ==++∑
()()1
,n
K s t x s ds π
ππ
-
=
? 这里， (
)()()1s i n 2,12s i n 2n n s t K s t s t ????+- ???????=
??-????
令t=0,即()()()()2
1
,0,0,,0n n
n
S x K s x s ds S x C π
πππ
-
=?是到R 的有界线性泛函，且可计算其范数为
1sin 21
12sin 2n n s S ds s
π
π
π-????+ ???
????=
? 注意到
1sin 21
12sin 2n n s S ds s π
π
π
-
????+ ???
????=
? 1s i n 21
22s i n
22
s n s ds s s
π
π
π
-
????+
???????=
? ()
sin 211222
s n ds s π
π
π
-
+≥
?
()21
1
sin n d n πμ
μπμ
+=
→∞→∞?
所以sup ,n n
S =+∞从而由共鸣定理，必存在某个周期为2π的连续函数02x C π∈，
使极限()lim ,0n n S x →∞
不存在，这意味着()0x t 的Fourier 级数在t=0点发散。同理，
对每一固定点0t ，也必存在02t x C π∈，其Fourier 级数在0t t =点发散。证毕。
例 3.10（Lagrange 插值公式的发散性定理） 给定区间[0，1]内插入点
()()()1,1,2,3,n k
t k n n ≤≤= 构成三角矩阵H 为
(1)1(2)(2)12()()()12000000n n n n t t t t t t ????????????????
那么必存在()[0,1]x t C ∈，使其与插值点相应的n 次插值Lagrange 多项式
()()()()
()()1n
n n k k k T x t x t C t ==∑
其中
()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()
11
1
1
1
1
n n n k k
n n
k
n
n
n
n n n n
n k
k
k k
k k
n
t t t t t t t t C t t t t t t t t t --+----=----
当n →∞时，不一致收敛于()x t 。
证明：在[0,1]C 上定义算子序列:[0,1][0,1]n T C C →为
()()()
()
()()1[]n
n n n k k k T x t x t C t ==∑
通过计算得出
[]
()()0,11
max n
n n k t k T C t ∈==∑ ()1,2,3,n =
从而{}n T 时有界线性算子序列，在函数逼近论中已经知道
n T ()1,2,3,n = 因此，sup ,n n
T =+∞于是由共鸣定理必存在0[0,1]x C ∈，使()0n T x 不收敛于0x ，
即()()0n T x t 不一致收敛于()0x t 。证毕。
例3.11(机械求积公式的收敛性) 在积分近似计算中，通常我们考虑形如
()()0
n
b
k
k
a
k x t dt A x t =≈∑? ()0
1n a t
t t b ≤<<<≤
的求积公式，例如矩形公式，梯形公式就是类似的公式，由于只用一个公式不能保证足够的精确度，故需考虑机械求积公式系列
()()()
()
n
b
n n k k
a
k x t dt A x t =≈∑?
（3.4） 其中 ()()()
01,0,1,2,n n n n a t t t b n ≤<<<≤=
需讨论的使在什么条件下，当n →∞时，式（3.4）误差趋向于0，这就是机械求积公式的收敛性问题。
现证明，机械求积公式（3.4）对于每一个连续函数[0,1]x C ∈都收敛，即
()()()
()0
n
b
n n k k a
k A x t x t dt =→∑? ()n →∞ （3.5）
当且仅当以下两个条件成立：
（1） 存在常数M>0，使
()()00,1,2,;n
n k k A M n =≤=∑
（2）
公式（3.5）对于每个多项式函数都是收敛的。
证明：考虑Banach 空间[,]C a b 上的线性泛函
()()()
()
0,(0,1,2,)n
n n n k k k f x A x t n ===∑
对于每个[,]x C a b ∈，
()()
()
()
()0
0n
n n n n n k k
k k k f x A x t A x ==??
=≤ ???
∑∑ 因此，()0
n
n n k
k f A =≤
∑。
另一方面，对于每个()1,2,n n = ，取[,]a b 上连续函数()0x t ，使得1n x =且
()
()
()sgn n n n k k x t A = ()1,2,,k n =
于是
()()0
n
n n n n k k f f x A =≥=∑
所以
()0
n
n n k k f A ==∑ (1,2
,)n = 由条件（2）若()x t 是多项式函数结论成立，又由于多项式全体是[0,1]C 的稠
密子集，由定理3.10，对每一个[0,1]x C ∈，公式（3.5）成立。
注：本例中条件（2），多项式集合可用[0,1]C 中稠密子集来代替，如果逐段线性函数集合来代替，结论仍然成立。
习题3.2
1.设X 是Banach 空间，Y 是赋范线性空间，()(),1,2,3,,n T L X Y n ∈= 若
sup n n
T =+∞，证明：存在n x X ∈，使得0sup n n
T x =+∞。
2.设X 是Banach 空间，Y 是赋范线性空间，()(),1,2,3,,n T L X Y n ∈= 如果
{},n x X T x
?∈是Y 中的Cauchy 列，则{}n T 是有界的。 3.设X 为多项式全体构成的集合，按通常的函数加法与数乘运算成为一个线性空
间，又对任意()01,n n x t a at a t X =+++∈ 定义
{}01max ,,n x a a a =
(1)证明X 是一个赋范线性空间；
(2)证明X 不完备；
(3)取Y R =,定义算子列01K n T x a a a =+++ (1,2,)
k = 证明k T 是有界线性算子，且对任意x X ∈，成立sup ,k k
T x <+∞但是sup k k
T x =+∞
4．给定数列{}n β，若满足对任意收敛数列{}n α，级数
1
n n
n αβ
∞
=∑收敛，证明：级
数
1
n
n β
∞
=<+∞∑。
5．给定数列n α，若对任意()1
12,,x t t l =∈ ，级数1
n n
n t
α∞
=∑收敛，证明：sup n n
α<+∞。
3.3 Hahn-Banach 定理
已知X 是n 维赋范线性空间，在X 中取一组基{}1,2,n e e e ，设()1,2,,n a a a 是一组数，当1
n i i
i x x e X ==
∈∑，定义1
()n
i i
i f x x e ==∑，易知，f 是X 上的线性泛函，记
(),1,2,,i i a f e i n == ，
当1
n
i i i x x e ==
∑时，由f 的线
性可得
这告诉我们n 维赋范线性空间上的线性泛函与数组()1,2,,n a a a 一一对应，而且有具体的泛函表达式，本章3.1节例3.1告诉我们，有限维赋范线性空间上的任何线性泛函都是连续的，因此，对于有限维赋范线性空间上的连续线性泛函的情况，我们已经有了一个基本了解。那么，我们自然要问：任何一个无限维赋范线性空间上是否一定有非零连续线性泛函呢？如果有，是否足够多？本节将从线性泛函的延拓入手，讨论这个问题。
【定义 3.6】若X 是实线性空间，称:p X R →为次可加正齐次泛函，如果满足：
（1）()()();p x y p x p y +≤+ （2）()()(0,,)p x p x x y X ααα=≥∈.
注：这里所给出的“次可加，正齐次泛函”对我们并不陌生，实际上，在赋范线性空间中，元x 的范数x 就是这种泛函，一般说来，它未必是“加法”的或“齐次”的。
【定理3.12】（Hahn-Banach 定理）设X 是实线性空间，:p X R →是次可加正齐次泛函。
M X ?是一子空间，f 是M 上定义的一个实线性泛函，且()()()f m p m m M ≤∈，那么存在X 上的实线性泛函F ，满足：
（1）()()();F m f m m M =∈ （2）()()()F x p x x X ≤∈.
证明：我们仅来证明一种特殊情况，当X 比M 仅多一维，此时，
X 可表示为{}0:,X x m x m M R αα==+∈∈
这里0x X M ∈-。
定义X 上的线性泛函F 为
0()()()F x F m x f m C αα=+=+
C 是一个待选择的常数。由于f 是M 上的线性泛函，那么F 是X 上的线性泛函，
1
1
()()n n
i i i i
i i f x x f e a x ====∑∑
泛函分析中的概念和命题 赋范空间，算子，泛函 定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个 范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间. 定理：M 是赋范线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得： M x x y ∈?->-,1||||ε 定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则 1.* X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ? 定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间， 可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10， 不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理 设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若： (1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+ (2)()()() 为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()() 为对称泛函，则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足： 1．()()()X x x p x f ∈?≤0
第3章连续线性算子与连续线性泛函 本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景, 尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。 3.1连续线性算子与有界线性算子 在线性代数中，我们曾遇到过把一个”维向量空间E"映射到另一个加维向 量空间E"的运算，就是借助于川行”列的矩阵 对F中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。 [定义3?1]由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间丫中的映射T 称为算子，D称为算子了的定义域，记为D(r),为称像集｛y|y = 7k,xeD(7')｝为算子的值域，记作T(D)或77)。 若算子T满足： (1)T(x+y) = Tx+Ty e￡)(T)) (2)T(ax) = (/rx(V 泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定 们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。 Chp.1 距离线性空间 SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理 有序集的定义： （1）若a在b之先，则b便不在a之先。 （2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。 这种先后关系记作 良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。 良序集的超限归纳法： （1）为真，这里是A中最先的元素。 2）对一切,为真，则亦真 那么对一切皆真。 选择公理 设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有 部分有序 称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质： 例如X中包换关系 在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序 其中完全有序的C：。 例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。 佐恩引理 设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋线性空间。 SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基 线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。 线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。 线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。 线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N 如果,则称M与N是代数互补的线性流形。 于是有下述定理： 定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式 x=m+n, m∈M,n∈N. 定理2.2 若，则dimX=dimM+dimN Hamel基的定义： 设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果 （1）H是线性无关的。 （2）H成的线性流形是整个空间。 则有Hamel基和线性无关子集的关系： 定理2.3 设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得 推论任何非零线性空间必有Hamel基 由定理2.3，可有 定理2.4 设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。 SS3 距离空间（度量空间），距离线性空间 定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d(x,y)的空间即为距离空间，记为 第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+- 4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则 泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此 第二章 线性算子与线性泛函 第一节 有界线性算子 一、线性算子 本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。 定义： 若一个映射:T X Y →满足 ()(,,,)T x y Tx Ty x y X αβαβαβ+=+∈∈K ， 则称T 为从X 到Y 的线性算子。 容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：( )i i i i i i T x Tx αα=∑∑。 命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立： （1）任给子空间A X ?与子空间B Y ?，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。特别， (0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的 核或零空间）。 （2）若向量组{}i x X ?线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且 dim A <∞，则dim dim TA A <。 （3）T 是单射(){0}N T ?=。 说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。 对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。若,:T S X Y →是线性算子， ,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为 ()(). (2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈ 若:R Y Z →是另一个算子，则由 ()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈ 定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质： 11(), ()(); R T S RT RS R R T RT R T +=+?? +=+?分配律 设X 是一个非空集，K 是复（或实）数域。如果下列条件满足，便称X 为一复（或实）线性空间 （1）X 是一加法交换群，即对任意的x,y 之和，适合称为记做y x y x u X U X ,,,+=∈?∈ y x y x K x K x x x x x x x x ax u X X K x a X x a K x x x x X x X x x x X x X z y x z y x x y y x βααβαβαβααββαθθθθ+=+∈?∈?+=+=?=?=∈??∈?∈=+∈?∈?+=+∈?∈?++=+++=+)() ,,())(3.2(1)2.2()(1.2,u ,,)2(-,,,)4.1(,,)3.1())(2.1(1.1;;'）（）（的数乘，适合 对称为计做）（即的数乘运算，与中的数定义了数域为记使得对对唯一的） （）（ 线性同构 Ty Tx y x T X X T X X βαβα+=+?→?)(2)1(:,1 1）（在上的即他是一对一的并且是它既是单射又是满射，都是线性空间，设 线性子空间 为线性子空间一个线性空间，则称上的加法与数乘还构成依若设E X E X E ? 线性流形 {}为线性流形则称使得及线性子空间若设E E X E 000000E x x x x E E X X x ∈+?+=?∈??线性相关 ，否则称为线性无关的 ，使得不全为存在称为线性相关的，如果一组向量0....0......1111=++∈∈n n n n x x K X x x λλλλ 线性基 中向量的线性组合 都是而且任意的， 中的向量是线性无关的向量组，即中的一个极大线性无关是若A A X A X x ∈ 维数 线性空间中的线性基的元素个数（势） 线性包 {}{}{}A x K A x x y A x i i i n n ∈∈∈+=∈λαλααλλ称为中的向量族，线性组合是是一个指标集， 设,....X A 11 线性和与直接和 {}21212121,E E E E E E y E x y x X E +∈∈+的线性和，记，为的子空间， 是设 准范数 第3章 连续线性算子与连续线性泛函 本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。 3.1 连续线性算子与有界线性算子 在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵 1112 121 22 212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 对n E 中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。 [定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射 T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){} ,y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。 若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+?∈ （2）()()(),T x Tx F x D T ααα=?∈∈ 称T 为线性算子。对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。特别地，如 泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 泛函分析和偏微分方程的广义求解 1历史和背景 1.1泛函分析简介 1.1.1什么是泛函分析 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1.1.2赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。 泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。 1. 希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的 连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 2. 巴拿赫空间 一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。 对于每个实数p，如果p ≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p 次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 1.1.3主要结果和定理 泛函分析的主要定理包括： 1. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。 1.1.4产生的历史、特点和内容 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/a93525720.html, 一个线性算子的特征向量空间 作者：金亚东徐森林 来源：《江苏理工学院学报》2015年第02期 摘要：线性算子A=（x）=[（t2-1）x′]′，当λ=n（n+1）时，λ为A的本（特）征值，它相应的本（特）征向量为Legendre多项式，且特征向量空间是1维的；当λ≠n（n+1）时，λ 不为A的本（特）征值。 关键词：线性算子，特征向量空间，Legendre多项式 中图分类号：O21文献标识码：A文章编号：2095-7394（2015）02-0005-05 0 引言 泛函分析是现代数学中的一门较新的数学分支。它起源于数学物理中的变分问题、边值问题，概括了经典数学分析、函数论中的某些重要概念、问题和成果，又受到量子物理学、现代工程技术和现代力学的有力推动。它综合地应用分析的、代数的和几何的观点和方法去研究分析数学、现代物理及现代工程技术提出的许多问题。随着泛函分析本身不断地深入发展，现在它已经成为一门内容丰富、方法系统体系完整、应用广泛的独立分支。同时泛函分析的概念和方法已渗透到现代纯粹数学和应用数学、理论物理和现代工程技术理论的许多分支，例如：微分方程、概率论、计算方法、量子场论、统计物理学、抽象调和分析、现代控制理论、微分几何等方面。现在，泛函分析对纯粹数学和应用数学产生了重大的影响。 泛函分析可分为线性泛函分析和非线性泛函分析两大部分。由于线性问题比较容易研究，因此，线性泛函分析要比非线性泛函分析成熟的多。而线性算子和线性泛函是泛函分析研究的基本对象。 1 定义与定理 定义1 设Λ是实数或复数域，X和Y为Λ域上的两个线性空间，D是X的线性子空间，T是D到Y的一个映照，对x∈D，设x经T映照后的像为Tx或T（x）。如果对任何x、 y∈D以及数α、β∈Λ， 有T（αx+βy）=αTx+βTy成立，就称T为线性算子，称D为T的定义域，也记为D （T）。[1] 定义2 设X是线性空间，λ是一个数，T是XX的线性算子。如果有X中非零向量x∈D （T），使得T（x）=λx，则称λ是T的特征值（或本征值），而x为T（相应于特征值λ）的特征向量（或本征向量）。[2] 《泛函分析》读书笔记 Reading Notes about Functional Analysis 崔继峰 所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程，是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是48学时（粗略估计）。由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。我本着这样态度写该笔记：1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略）2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。 一、泛函分析的产生 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 一、设) ,(y x d 为空间 X 上的距离，试证：) ,(1) ,(),(~x y d x y d x y d += 也是X 上的距离。 证明：显然 ,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =?=?=0),(0),(~ 。 再者， ),(~) ,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=； 最后，由 t t t +- =+11 11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 ) ,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++ ++=+++≤+= ),(~),(~) ,(1) ,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤ 。 二 、设 1p ≥，1()()(, ,,)i n n p n x l ξξ=∈， ,2,1=n ，1(, ,,)p i x l ξξ=∈，则 n →∞时， 1()1(,)0p p n n i i i d x x ξξ∞ =? ?=-→ ??? ∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2, i =； )2(0ε?>， 存在 0N >，使得 ()1 p n i i N ξε∞ =+<∑ 对任何自然数n 成立。 必要性证明：由1 () 1(,)0p p n n i i i d x x ξξ∞ =??=-→ ??? ∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =。 由 1(,,,)p i x l ξξ=∈可知， ε?>，存在 10 N >，使得 11 ()2 p p i i N εξ∞ =+<∑ ，并且 1 n N >时， () 1 ()2 p n p i i i εξξ∞=-<∑。 由此可得， 11 111() ()1 1 1p p p p p p n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞ ∞∞=+=+=+?????? ?≤-+< ? ? ??????? ∑ ∑∑对1n N >成立。 对于 11,2, n N =，存在20N >， 2()1 p n p i i N ξε∞ =+<∑ 。取 {}12max ,N N N =，则 ()1 p n p i i N ξ ε∞ =+<∑ 对任何自然数n 成立。 充分性证明：由条件可知， 0ε?>，存在0K >，使得 ()1 ()2p n p i i K ε ξ ∞ =+<∑ 对任何自然数 n 成立，并且 1 ()2 p p i i K εξ∞ =+<∑ 。 由 ()n i i ξ ξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1 K p n p i i i ξ ξε=-<∑，并且 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)． 《泛函分析》教学大纲 Functional Analysis 课程编号： 适用专业：数学与应用数学 总学时数：学分： 一、本课程简介 《泛函分析》是现代数学中的的主要数学分支之一,它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法,来研究数学中的许多问题,它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题,形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法.通过这一课程,能使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用,掌握泛函分析中主要的基本概念和重要的基本理论,学会用代数、分析和拓扑综合处理问题的新方法,弄清有限维空间与无穷维空间的差别,学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法,该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础. 二、本课程与其他课程的关系 《泛函分析》、《抽象代数》、《拓扑学》是现代数学的重要课程,它综合了分析、代数和拓扑的研究方法,因此学生最好有数学分析、线性代数、空间解析几何及点集拓扑学的基础. 三、教学内容、学时安排和基本要求 本课程主要是线性泛函分析的基本理论,重点介绍距离空间和赋范空间的基础,Banach空间最重要的定理,如Hahn-Banach保范延拓定理、逆算子定理、一致有界原理和Riesz表示定理等. 本课程学时为54学时. (一)度量空间(12学时) 1、具体内容 度量空间的基本概念,度量空间中开集、闭集、完备性与可分性、连续映照的概念、距离空间中列紧集、紧集上连续映照的性质、不动点定理. 2、基本要求 (1)正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念. (2)理解并掌握度量空间中的内点,极限点,开集闭集,闭包等. (3)理解并掌握列紧集及紧集的概念,紧集、列紧集上的连续映射的性质. (5)熟练掌握压缩映照原理及其应用. 3、重点、难点 重点：度量空间的紧性、不动点定理. 难点：具体度量空间上紧性的判别、压缩映射的构造及不动点定理的具体应用. (二)赋范线性空间(10学时) 1、具体内容 赋范空间的定义,范数的等价性,有限维赋范空间, Schauder基等. 2、基本要求 (1)理解线性空间和范数的概念以及相关的例子. (2)掌握范数的等价性及判别方法. (3)掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质. (4)线性连续泛函与Hahn-Banach保范延扩定理. 3、重点、难点 重点：有限维赋范空间的性质和Hahn-Banach保范延扩定理. 难点：Hahn-Banach保范延扩定理及其推论的应用. (三) 有界线性算子(10学时) 1、具体内容 第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=泛函分析答案
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第二章 线性算子与线性泛函
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