2015届高考理科数学备考知识导学案13.doc

学案24 正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．自主梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l ＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．6．解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．自我检测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间距离的是( )A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.5．(2010·全国Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sinB ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .探究点一与距离有关的问题例1(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？变式迁移1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD 为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？探究点二测量高度问题例2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.变式迁移2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．探究点三三角形中最值问题例3(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？变式迁移3(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．1．解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．2．应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )A.518B.34C.32D.782．(2011·揭阳模拟)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m 3．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 ( )A.922B.924C.928 D ．9 24．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．35．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．53海里6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．7．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．8．(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．三、解答题(共38分)9．(12分)(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．10．(12分)如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？11．(14分)(2009·福建)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？答案 自我检测1．B 2.B 3.A4.40035．解 由cos ∠ADC ＝35＞0知B ＜π2，由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45，从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理得，AD sin B ＝BD sin ∠BAD， 所以AD ＝BD ·sin B sin ∠BAD＝33×5133365＝25. 课堂活动区例1 解题导引 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， ∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105° ＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．变式迁移1解如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331， 所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin B sin A ＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－24AB －385＝0，解得AB ＝35，AB ＝－11(舍)，所以AD ＝AB －BD ＝15.故此人在D 处距A 还有15千米．例2 解题导引 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β.由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD， 所以BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)， 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·tan θsin βsin (α＋β). 变式迁移2解由题意可知，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理得，CD sin ∠DBC＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.过B 作BE ⊥CD 于E ，显然当人在E 处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA ＝30°.在Rt △BED 中，又∵∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.∴BE ＝DB ·sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt △ABE 中，AB ＝BE ·tan 30°＝103(3－3)(米)． 故所求的塔高为103(3－3)米．例3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．解(1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124(m)． 因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h d .所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H (H －h )d ≤h 2H (H －h )， 当且仅当d ＝H (H －h )d， 即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d ＝555时，α－β最大．变式迁移3 解 设∠POB ＝θ，四边形面积为y ，则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ.∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.所以四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.课后练习区1．D 2.A 3.C 4.C 5.C6．30 2 km 7.0.68.7043解析如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE cos 60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.∴当t＝7043时，DE最小．9．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分)又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分)在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝AC·sin 60°sin 15°＝32＋620，…………………………………………………………(10分)所以BD＝32＋620≈0.33(km)．故B、D的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(12分) 10．解如图，连接A 1B 2，由题意知，A 1B 1＝20，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102(海里)．…………………………………………………………(2分)又∵∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝102(海里)．…………………………………………………………………(10分)因此乙船的速度大小为10220×60＝302(海里/小时)．…………………………………………………………(12分)11．解方法一 (1)依题意，有A ＝23，T 4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .(3分)当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.…………………………………………………………(5分)(2)如图，连接MP ，在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5. 设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°.由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin (60°－θ)， ∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，…………………………………………(8分)∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ) ＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)．…………………………………………(12分)∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)方法二 (1)同方法一．(2)连结MP .在△MNP 中，∠MNP ＝120°.MP ＝5，由余弦定理得，MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos ∠MNP ＝MP 2.………………………………(8分)即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22， ……………………………………………………………………………………………(10分)从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033.当且仅当MN ＝NP 时等号成立．即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)。

高三导学案 学科：数学 编号 编写人：徐淑琴 审核人 使用时间 班级： 小组：1．能掌握抛物线的的定义及画法．2．能求焦点坐标轴上，开口向左，向右，向上，向下的抛物线的标准方程。

3.能熟练的说出抛物线的几何性质 【重点难点】重点 ：抛物线的标准方程。

难点 ：抛物线的定义的理解。

【使用说明及学法指导】①先仔细阅读教材必修1-1的相关内容，完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成预习案一、知识梳理1．定义： 平面内与一定点F 和一条定直线l （F l ）的距离 的点构成的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 。

二、基础自测1．抛物线x 2＝y 的准线方程为( )A ．4x ＋1＝0B ．4y ＋1＝0C ．2x ＋1＝0D ．2y ＋1＝02．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．抛物线y ＝ax 2的准线方程是 y －2＝0，则a 的值是( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－84、以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为探究案一、合作探究探究一、抛物线定义的应用例1、设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16例2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．探究二、抛物线的几何性质例3、已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)．(1)求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．(2)求点P 到点B (－12，1)的距离与点P 到直线x ＝－12的距离之和的最小值．二、总结整理训练案一、课中训练与检测1、设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．2、已知抛物线C ：28y x =的焦点F ，准线与x 轴的交点为k ，点A 在C 上，且AK ，则△AFK 的面积为________________3、过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点 A 、B ，交其准线于点C ，若=2且|AF|=3,则此抛物线的方程为 （ ）x y A 23.2=x y B 3.2= x y C 29.2= x y D 9.2=二、课后巩固促提升 课时作业A。

【学习目标】：1.理解循环结构概念；2.能识别和理解循环结构的框图以及功能；【学习重点】：能识别和理解循环结构的框图以及功能；【学习难点】：能识别和理解循环结构的框图以及功能；【学法指导】：认真阅读导学案上的每一个字，并完成导学案的要求。

遇到问题参考课本，同学交流，师生交流。

通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

【教学过程】：一：回顾预习案1、画出顺序结构、条件结构（两种形式）的的程序框图。

请你快速阅读课本82-85页，独立完成下列问题。

2、循环结构定义：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件__________某些步骤的情况，这就是循环结构。

________ __循环体。

3、画出循环结构的程序框图（两种）直到型循环结构当型循环结构（1）直到型循环结构特征：在执行了一次循环体后，_______ _，如果 _ _就 _____ _，直到______ _。

（2）当型循环结构特征：在每次执行循环体前，_______ _ ，当 ___ __ 执行___ ___ ，否则 _____ _ 。

（3）循环结构中一定包含_ _，用于确定_____ _ 。

二讨论展示案合作探究，展示点评例1、阅读程序框图（1），输出的结果是________．例2、阅读程序框图（2）该程序运行后输出的k=__________.（1）（2）例3、阅读程序框图（3），运行相应的程序，输出的结果是__________.例4、阅读程序框图（4），则该程序框图的功能是_______ __ 。

（3）（4）三、总结提高案★达标检测: 课本20页A组2归纳总结：课后反思：。

1.3充分条件与必要条件【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。

【学习目标】1.理解必要条件、充分条件和充要条件的意义；2.能判断两个命题之间的关系.3.掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.【重点】理解必要条件、充分条件和充要条件的意义；【难点】掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.一、自主学习1.预习教材P9～ P13, 解决下列问题问题1：1. 命题“若22>+，则2x a b>”x ab（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读着：2. 命题“若0a=”ab=,则0（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读作：新知：一般地，（1）“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.我们就说,由p推出q,记作p q⇒,并且说p是q的 ,q是p的（2）若p q⇒且q p,则p是q的，反之则p是q的 ________________________.（3）若q p，且p q，则称p是q的___________________．试试：用符号“⇒”与“”填空：=；（1）22=x yx y（2）内错角相等两直线平行；（3）整数a能被6整除a的个位数字为偶数；（4）ac bc=.=a b问题2：已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p是q 的什么条件?q 又是p 的什么条件?新知：如果p q ⇔,那么p 与q 互为练习：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p 是q 的什么条件？（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行；（2）若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直.二、典型例题1、下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？哪些命题中的p 是q 的必要不充分条件？哪些命题中的p 是q 的充要条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（4）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（5）若x 为无理数，则2x 为无理数.（6）若a b >，则ac bc >（7）若5a +是无理数，则a 是无理数；（8）若5x >，则10x >（9）若x y =，则22x y =；（10）p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；（11）p ：sin sin αβ=,q ：αβ=；（12）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.（13）p ：圆心到直线的距离等于半径,q ：这条直线为圆的切线；（14）p ：0ab ≠,q ：0a ≠2、(1)"3"a =是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件（2）.若a b c 、、是常数，则“2040a b ac >-<且”是“对任意x R ∈，有20ax bx c ++>”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件（3）.一元二次方程2210ax x ++=（0a ≠）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）.A.0a <B.0a >C.1a <-D.1a >（4）.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ）A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件（5）．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件（6）.如果p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件；那么（ ）.A.p r ⇒⌝⌝B.p r ⇐⌝⌝C.p r ⇔⌝⌝D.p r ⇔（7）.b αα⊥⊥“直线a 平面，直线平面”是“直线a,b 平行”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件（8） 已知a ，b 是两个命题，如果a 是b 的充分条件，那么a ⌝是b ⌝的 条件. （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件（9）：若┐A 是┐B 的充要条件,┐C 是┐B 的充要条件,则A 为C 的（ ）条件A.充要 B 必要不充分 C 充分不必要 D 不充分不必要211122221212(,),(,)2(0)4x y P x y y px p p x x PP =>⋅=（10）.已知P 是抛物线上不同的两点，则是直线过焦点的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件3、 （1）的是若命题设命题q p a a x a x q x p ⌝⌝≤+++-≤-,0)1()12(:;134:2 必要不充分条件，求实数a 的取值范围（2）：已知关于x 的方程 (1－a)x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R).求：1>方程有两个正根的充要条件；2>方程至少有一个正根的充要条件（3）p ：关于x 的不等式22(1)0x a x a --+>的解集是R ，q ：函数2lg(2)x y a a =-是增函数.(1) 若p q ∨为真命题，求a 的取值范围.(2) 若p q ∧为真命题，求a 的取值范围.4、(1)证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.(2)已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d ＝r是直线l 与⊙O 相切的充要条件．三、当堂练习完成书10、12页练习四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后巩固1.课本第12页A 组2、3、4题2.处理练习册。

主备人：韩海涛 时间：2014.11.16学习目标：掌握等比数列前n 项和公式，能用公式解决有关问题，理解错位相减法求和的数学方法。

知识梳理1．等比数列前n 项和公式(1)公式：S n ＝⎩⎨⎧ ＝ q ≠1 q ＝1 .(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．等比数列前n 项和的一个常用性质在等比数列中，若等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝－1，且m 为偶数时，S m ＝S 2m ＝S 3m ＝0，此时S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 不成等比数列；当q ≠－1或m 为奇数时，S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等比数列．3．推导等比数列前n 项和的方法叫____________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．自主探究阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .由等比数列的通项公式可将S n 写成 S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.①①式两边同乘以q 得 qS n ＝____________________________________.②①－②，得(1－q )S n ＝____________，由此得q ≠1时，S n ＝________________，因为a n ＝____________，所以上式可化为S n ＝________________.当q ＝1时，S n ＝____________.方法二：由等比数列的定义知 a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a n a n －1＝q .当q ≠1时， a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n＝q .故S n ＝________________. 当q ＝1时，S n ＝________________.方法三：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋qS n －1＝a 1＋q (S n －a n )当q ≠1时，S n ＝________________＝________________.当q ＝1时，S n ＝________________.知识点一 等比数列前n 项和的计算例1 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .总结 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 变式训练1 在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66， a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .知识点二 利用等比数列前n 项和的性质解题例2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .总结 通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n 项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．变式训练2 等比数列的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝30，S 60＝630，求S 70的值．知识点三 错位相减法的应用例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．总结 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用这一思路和方法．变式训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．小结：1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{a n b n }的求和，其中{a n }代表等差数列，{b n }代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.巩固练习：一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．333．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( ) A.q n S n B.S n q n C.1S n q n －1 D.S n a 21qn －1 4．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．5105．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．30二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________. 7．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．8．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.三、解答题9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．。

§12.4 离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(2)若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )i i X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有性质： ①p i __≥__0，i ＝1,2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝__1__.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．如果随机变量X 的分布列为X 1 0 Ppq其中0<p <1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布． 3．超几何分布列在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率：P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N (k ＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *X1…mPC 0M ·C n －N －M C nNC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC nN为超几何分布列．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ ) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ )(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( × ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ ) 2．袋中有3个白球，5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )A ．至少取到1个白球B ．至多取到1个白球C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件，选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2. 3．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pab c其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.16B.13C.12D.23 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.4．设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X 的分布列是________． 答案X 0 1 P0.70.35.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)＝________.答案 316解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.题型一 离散型随机变量的分布列的性质 例1 设X X －1 0 1 P12 1－2qq 2 则q 等于( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22思维启迪 利用分布列的两个性质求解． 答案 C解析 由分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1∴q ＝1－22. 思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列． 解 由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 首先列表为X 0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1|1123从而由上表得两个分布列为 (1)2X ＋1的分布列2X ＋1 1 3 5 7 9 P0.20.10.10.30.3(2)|X －1|的分布列为|X －1|123P 0.10.30.30.3题型二求离散型随机变量的分布列例2日销售量(件)012 3频数159 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．思维启迪解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，只有正确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题．解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋5 20＝3 10.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝1 4；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为X 2 3P 1434思维升华求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．(1)从中任取一支，求其标价X的分布列；(2)从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的分布列．解(1)X的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的分布列为X 10203040P 14141414(2)根据题意，Y的可能取值为20,30,40，且P(Y＝20)＝1C24＝16，P (Y ＝30)＝2C 24＝13，P (Y ＝40)＝3C 24＝12.∴Y 的分布列为Y 20 30 40 P16 13 12题型三 超几何分布例3 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 思维启迪 (1)列出符合题意的关于袋中白球个数x 的方程； (2)随机变量X 服从超几何分布．解 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个． (2)X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其分布列为X 0 1 2 3 P112512512112思维升华 对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528；P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 P5211528314184分类讨论思想在概率中的应用典例：(12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记ξ＝|x －2|＋|y －x |. (1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的分布列．思维启迪 (1)根据x ，y 的取值，随机变量ξ的最大值为3，当ξ＝3时，只能x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1；(2)根据x ，y 的取值，ξ的所有取值为0,1,2,3，列举计数计算其相应的概率值即可． 规范解答解 (1)∵x ，y 可能的取值为1,2,3， ∴|x －2|≤1，|y －x |≤2，∴ξ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，ξ＝3. 因此，随机变量ξ的最大值为3.[3分]∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，∴P (ξ＝3)＝29.故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为29.[6分](2)ξ的所有取值为0,1,2,3.∵ξ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况，ξ＝1时，有x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况，ξ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况， ξ＝3时，有x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1两种情况．[8分]∴P (ξ＝0)＝19，P (ξ＝1)＝49，P (ξ＝2)＝29，P (ξ＝3)＝29.[10分]则随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P19492929[12分]温馨提醒 (1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率．(2)随机变量ξ的值是x ，y 的函数，所以要对x ，y 的取值进行分类讨论． (3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.方法与技巧1．对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率． 失误与防范掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.A 组 专项基础训练一、选择题1．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<X <52)的值为( )A.23B.34C.45D.56答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∵P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( ) A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤5答案 C解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( ) A.1220 B.2755 C.27220 D.2155 答案 C解析 由题意取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B.12C.13D.23答案 C解析 设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功，设失败率为p ，则成功率为2p .由p＋2p ＝1得p ＝13，故应选C.5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是 ( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)答案 C解析 X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，故k ＝4.二、填空题6．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝______. 答案 10解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10.7．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎨⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.8．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________.答案 16解析 相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X ＝2对应(1,1)；X ＝3对应(1,2)，(2,1)；X ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)． 所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝136＋236＋336＝16. 三、解答题9．(2013·重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与均值E (X )．解 设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知，获奖金额X从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．B 组 专项能力提升1．将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为( )A ．第一次出现的点数B ．第二次出现的点数C ．两次出现点数之和D ．两次出现相同点的种数答案 C解析 A 、B 中出现的点数虽然是随机的，但它们取值所反映的结果，都不是本题涉及试验的结果．D 中出现相同点数的种数就是6种，又不是变量．C 整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，这十一种结果，但每掷一次前，无法预见是十一种中的哪一个，故是随机变量，选C.2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．答案 45解析 设所选女生人数为x ，则x 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (x ≤1)＝P (x ＝0)＋P (x ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.3)，其表如下：则丢失的两个数据依次为________． 答案 2,5解析 由于0.20＋0.10＋0.x 5＋0.10＋0.1y ＋0.20＝1， 得0.x 5＋0.1y ＝0.40，于是两个数据分别为2,5.4. 如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝_______.答案 45 解析 P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45. 5．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X 表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率．解 (1)设袋中白球共有x 个，根据已知条件C 2x C 27＝17， 即x 2－x －6＝0，解得x ＝3，或x ＝－2(舍去)．即袋中原有白球的个数为3.(2)X 表示取球终止时所需要的次数，则X 的取值分别为1,2,3,4,5.因此，P (X ＝1)＝A 13A 17＝37，P (X ＝2)＝A 14A 13A 27＝27， P (X ＝3)＝A 24A 13A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 13A 47＝335， P (X ＝5)＝A 44A 13A 57＝135. 则随机变量X X1 2 3 4 5 P37 27 635 335 135 (3)甲取到白球的概率为P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。

题型一：()B x A y ++=ϕϖsin 型的最值问题 例1.(1)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.
①求f (x )的最小正周期； ②求f (x )在区间上的最大值和最小值．
(2)已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，
求a 和b 的值
拓展1. 已知函数f (x )＝cos (π3＋x ) cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．
题型二：可化为()x f y sin =型的值域问题
例2. 求下列函数的值域：
(1)y ＝
sin2x sin x 1－cos x
； (2)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .
拓展2. (1)求函数y ＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x
的值域
(2)求f(x)＝cos2x＋a sin x的最小值．题型三：数形结合求三角函数的值域
例3.(1)求函数f(x)＝2－sin x
2＋cos x
的值域．
(2)已知f(x)＝1
2(sin x＋cos x)－
1
2|sin x－cos x|，求f(x)的值域
拓展3.求y＝1＋sin x
3＋cos x
的值域．
我的学习总结：
（1）我对知识的总结.
（2）我对数学思想及方法的总结。

学案12函数模型及其应用导学目标： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．自主梳理1．三种增长型函数模型的图象与性质(1)指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于y＝a x的增长速度________y＝x n的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有________．(2)对数函数y＝log a x(a>1)与幂函数y＝x n (n>0)对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________．3．函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．4．函数建模的基本程序自我检测1．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( )A ．v ＝1100e xB ．v ＝100ln xC ．v ＝x 100D ．v ＝100×2x2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.513．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ( )A ．y ＝[x 10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]4．(2011·湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)探究点一一次函数、二次函数模型例1(2011·阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？变式迁移1某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？探究点二分段函数模型例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．变式迁移2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．探究点三指数函数模型例3诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)变式迁移3 (2011·商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面：(1)利用函数模型的单调性比较数的大小；(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；(3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其X 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12A.y ＝2x2C ．y ＝12(x 2－1) D ．y ＝2.61cos x2．拟定甲地到乙地通话m 分钟的电话费f (m )＝1.06×(0.5×[m ]＋1)(单位：元)，其中m >0，[m ]表示不大于m 的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m ∈[0.5,3.1]时，函数f (m )的值域是)A ．{1.06,2.12,3.18,4.24}B ．{1.06,1.59,2.12,2.65}C ．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}D ．{1.59,2.12,2.65}3．(2011·秦皇岛模拟)某商店出售A 、B 两种价格不同的商品，由于商品A 连续两次提价20%，同时商品B 连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是( )A ．多赚约6元B ．少赚约6元C ．多赚约2元D ．盈利相同4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为 ( ) A ．4 000元 B ．3 800元C ．4 200元D ．3 600元5．(2011·沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 ( )A ．18万件B ．20万件6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t ，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t.7．(2010·金华十校3月联考)有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．三、解答题(共38分)9．(12分)(2010·湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74，当m －n ≥0时，称不亏损企业；当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？10．(12分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)11．(14分)(2011·鄂州模拟)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．(1)把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？答案 自主梳理1．增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 相对平稳 y 轴 x 轴 2.(1)快于 a x >x n (2)慢于 log a x <x n a x >x n >log a x自我检测1．A [由e>2，知当x 增大时，1100e x 增大更快．]2．B [依题意，可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30 (x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．]3．B [每10个人可以推选1个，(x mod 10)>6可以再推选一个，即如果余数(x mod 10)≥7相当于给x 多加了3，所以可以多一个10出来．]4．A5．5解析 设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL ，则有0.3·⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ≤0.09，即⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ≤0.3. 估算或取对数计算，得5小时后，可以开车．课堂活动区例1 解 (1)每吨平均成本为y x (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x －48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15×(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．变式迁移1 解 (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50 －⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150 ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.答 当每辆车月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307 050.例2 解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)，∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上，可知S ＝⎩⎨⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．变式迁移2 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．例3 解题导引 指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．通常可表示为y ＝a (1＋p )x (其中a 为原来的基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解 (1)由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)×(1＋6.24%)－12f (2)×6.24%＝f (2)×(1＋3.12%)＝f (1)×(1＋3.12%)2，∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．变式迁移3 解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100；可见，细胞总数y 与时间x (小时)之间的函数关系为：y ＝100×(32)x ，x ∈N *，由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2， ∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45， ∴x >45.45.答 经过46小时，细胞总数超过1010个．课后练习区1．B [通过检验可知，y ＝log 2x 较为接近．]2．B [当0.5≤m <1时，[m ]＝0，f (m )＝1.06；当1≤m <2时，[m ]＝1，f (m )＝1.59；当2≤m <3时，[m ]＝2，f (m )＝2.12；当3≤m ≤3.1时，[m ]＝3，f (m )＝2.65.]3．B [设A 、B 两种商品的原价为a 、b ，则a (1＋20%)2＝b (1－20%)2＝23⇒a ＝23×2536，b ＝23×2516，a ＋b －46≈6元．]4．B [设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 (0<x ≤800)，(x －800)×14% (800<x ≤4 000)，11%·x (x >4 000).如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800.]5．A [利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．]6．a (1＋b ) a (1＋b )5解析 由于2009年的垃圾量为a t ，年增长率为b ，故下一年的垃圾量为a ＋ab ＝a (1＋b ) t ，同理可知2011年的垃圾量为a (1＋b )2t ，…，2014年的垃圾量为a (1＋b )5 t.7．2 500 m 2解析 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋200－x 22 ＝2 500 m 2，等号当且仅当x ＝100时成立．8．②④9．解 (1)由已知，m －n ＝92x －14－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋5x ＋74 ＝14x 2－12x －2.……………………………………………………………………………(3分)由m －n ≥0，得x 2－2x －8≥0，解得x ≤－2或x ≥4.据题意，x >0，所以x ≥4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．………………………………(6分)(2)若企业亏损最严重，则n －m 取最大值．因为n －m ＝－14x 2＋5x ＋74－92x ＋14＝－14[](x －1)2－9＝94－14(x －1)2.………………………………………………………(9分)所以当x ＝1时，n －m 取最大值94，此时m ＝92－14＝174.故当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．………………(12分)10．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N *)．…………(5分)∵f (x )＝560＋48(x ＋225x )≥560＋48·2x ·225x ＝560＋48×30＝2000.……………(10分)当且仅当x ＝225x 时，上式取等号，即x ＝15时，f (x )min ＝2 000.所以楼房应建15层．……………………………………………………………………(12分)11．解 (1)依题意有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100x －575 (x ≤10)，[100－(x －10)×3]x －575 (x >10)，……………………………………………(4分)由于y >0且x ∈N *，由⎩⎪⎨⎪⎧100x －575>0，x ≤10. 得6≤x ≤10，x ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ x >10，[100－(x －10)×3]x －575>0 得10<x ≤38，x ∈N *，所以函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －575 (x ∈N *，且6≤x ≤10)，－3x 2＋130x －575 (x ∈N *，且10<x ≤38)， 定义域为{x |6≤x ≤38，x ∈N *}．…………………………………………………………(6分)(2)当x ＝10时，y ＝100x －575 (6≤x ≤10，x ∈N *)取得最大值425元，……………(8分)当x >10时，y ＝－3x 2＋130x －575，当且仅当x ＝－1302×(－3)＝653时，y 取最大值，但x ∈N *，所以当x ＝22时，y ＝－3x 2＋130x －575 (10<x ≤38，x ∈N *)取得最大值833元．(12分)比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．……………………………(14分)。

【学习目标】1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 预 习 案1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝ ；(2)cos2α＝ ＝ －1＝1－ ；(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)． 2．半角公式：(1)sin α2＝ ； (2)cos α2＝ ； (3)tan α2＝ ＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝ ；α2＝ ；3α＝ 都适用．4．由cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝ ；sin 2α＝ ；升幂公式cos2α＝ ＝ .【预习自测】1．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )A.1＋m 2 B.1－m 2 C ．± 1＋m 2 D. 1＋m 22．设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．3．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________．4．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为________．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝ ( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45 探 究 案题型一：求 值例1.求值：(1)sin18°cos36°； (2)2cos10°－sin20°cos20°(3)sin10°·sin50°·sin70°. (4)1＋cos20°2sin20°－2sin10°·tan80°例2.（1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsin (π4＋α)＝________.(2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2<α<－π2.则cos(2α－π4)=(3)若cos(π4＋x )＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．题型二 化 简例3.（1）已知函数f (x )＝1－x 1＋x .若α∈(π2，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为________．(2)化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos2α·cos2β.(3)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x且x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，且x ≠k π＋π，k ∈Z .①化简f (x )；②是否存在x ，使得tan x 2·f (x )与1＋tan 2x 2sin x相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．题型三：证明例4.已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.拓展：(1)求证：tan2x＋1tan2x＝2(3＋cos4x) 1－cos4x(2)若tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.我的学习总结：（1）我对知识的总结.（2）我对数学思想及方法的总结。

学案14导数在研究函数中的应用0导学目标：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)若f′(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(2)若f′(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(3)若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程________的根；③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．自我检测1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数2．(2009·广东)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)3．(2011·济宁模拟)已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值4．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2011·福州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.探究点一 函数的单调性例1 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数，若能，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1 (2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点二 函数的极值例2 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 求闭区间上函数的最值例3 (2011·六安模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．分类讨论求函数的单调区间 例 (12分)(2009·辽宁)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ，a >1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：若a <5，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1. 多角度审题 (1)先求导，根据参数a 的值进行分类讨论；(2)若x 1>x 2，结论等价于f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2，若x 1<x 2，问题等价于f (x 1)＋x 1<f (x 2)＋x 2，故问题等价于y ＝f (x )＋x 是单调增函数．【答题模板】(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x ＝(x －1)(x ＋1－a )x.[2分] ①若a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)2x .故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a －1<1，而a >1，故1<a <2时，则当x ∈(a －1,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，a －1)及x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(a －1,1)上单调递减，在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增．③若a －1>1，即a >2时，同理可得f (x )在(1，a －1)上单调递减，在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增．[6分](2)证明 考虑函数g (x )＝f (x )＋x＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x .则g ′(x )＝x －(a －1)＋a －1x ≥2x ·a －1x －(a －1)＝1－(a －1－1)2.由于1<a <5，故g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而当x 1>x 2>0时，有g (x 1)－g (x 2)>0，即f (x 1)－f (x 2)＋x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[10分] 当0<x 1<x 2时，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>－1. 综上，若a <5，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[12分]【突破思维障碍】(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准；(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题．1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．2．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．4．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·大连模拟)设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b时，有 ( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )2.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2011·嘉兴模拟)若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <14．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是)A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <325．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－1D ．a <－16．(2009·辽宁)若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.7．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论：①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．8．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)求函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极值．10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．答案 自主梳理1．(1)增 增 (2)减 减 (3)增 减 2.(1)①f ′(x )>0f ′(x )<0 ②f ′(x )<0 f ′(x )>0 (2)②f ′(x )＝0③f ′(x )＝0 极大值 极小值自我检测1．C 2.D 3.C 4.C5．18解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3.但当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0，故不存在极值， ∴a ＝4，b ＝－11，f (2)＝18.课堂活动区例1 解题导引 (1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解．函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0在定义域内有解．这样就可以把问题转化为解不等式问题．(2)已知函数在某个区间上单调求参数问题，通常是解决一个恒成立问题，方法有①分离参数法，②利用二次函数中恒成立问题解决．(3)一般地，可导函数f (x )在(a ，b )上是增(或减)函数的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零．特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意“等号”是否可以取到．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立．设h (x )＝x 2－(a －2)x －a只须满足⎩⎪⎨⎪⎧h (－1)≤0h (1)≤0，解得a ≥32. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的．故函数f (x )不可能在R 上单调递减．若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立．而x 2－(a －2)x －a ≤0不可能恒成立，故函数f (x )不可能在R 上单调递增．综上可知函数f (x )不可能是R 上的单调函数．变式迁移1 解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调， 即⎩⎨⎧ －1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎨⎧ －1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23. 解得⎩⎨⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎨⎧ －5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)．例2 解题导引 本题研究函数的极值问题．利用待定系数法，由极值点的导数值为0，以及极大值、极小值，建立方程组求解．判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎨⎧ f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎨⎧ a ＝13，b ＝4故所求的函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2，x (－∞，－2) －2 (－2,2)2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数的大致图象如图，故实数k 的取值范围为(－43，283)．变式迁移2 解 (1)f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，∴⎩⎨⎧ f ′(1)＝a ＋2b ＋1＝0f ′(2)＝a 2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16.(2)f ′(x )＝－23x ＋(－x 3)＋1＝－(x －1)(x －2)3x.例3 解题导引 设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0， 可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4，又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23，即为f (x )的减区间． [－3，－2)、⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1是函数的增区间． 又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527，f (1)＝4， ∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.变式迁移3 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.课后练习区1．C 2.A 3.A 4.A 5.B6．3解析 ∵f ′(x )＝(x 2＋a x ＋1)′ ＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)′(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2， 又∵x ＝1为函数的极值，∴f ′(1)＝0.∴1＋2×1－a ＝0，即a ＝3.7．②④解析 观察函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断．8．(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，则Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0，∴m >6或m <－3.9．解 f ′(x )＝(2x ＋1x 2＋2)′＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2，由f ′(x )＝0得x ＝－2,1.………………(4分)当x ∈(－∞，－2)时f ′(x )<0，当x ∈(－2,1)时f ′(x )>0，故x ＝－2是函数的极小值点，故f (x )的极小值为f (－2)＝－12；…………………………………………………………………(8分)当x ∈(－2,1)时f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )<0，故x ＝1是函数的极大值点，所以f (x )的极大值为f (1)＝1.……………………………………………………………(12分)10．解 (1)由f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4.…………………………………………………………………(4分)(2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，所以f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.又f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92， f (－2)＝0，f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.………(12分)11．解 (1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－ 3. ①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0. 所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.…………………………………………………………(4分)于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)；由f′(x)<0，得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是(0,2)．…………………………………………………………(8分)(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.……………………(10分)由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．……………………………………………(12分)综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．………………………………………………………(14分)。