人教版九年级数学上册第二十四章：圆单元试题(有答案)

人教版九年级数学 上册 第二十四章 圆 单元测试题（含答案）一、选择题1、如图,在☉O 中,弦的条数是( )A.2B.3C.4D.以上均不正确2、☉O 过点B,C,圆心O 在等腰直角△ABC 内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则☉O 的半径为( )A.√10B.2√3C.√13D.3√2 3、一圆形玻璃被打碎后,其中四块碎片如图所示,若选择其中一块碎片带到商店,配制与原来大小一样的圆形玻璃,选择的是( )A.①B.②C.③D.④ 4、下列语句中,正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等; ②平分弦的直径垂直于弦; ③长度相等的两条弧是等弧;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5、如图,☉C 过原点O,且与两坐标轴分别交于点A 、B,点A 的坐标为(0,4),点M 是第三象限内OB⏜上一点,∠BMO=120°,则☉C 的半径为( )A.4B.5C.6D.26、在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=50°,如图所示,I是△ABC的内心,延长AI交△ABC的外接圆于点D,则∠ICD的度数是( )A.50°B.55°C.60°D.65°7、边心距为2的等边三角形的边长是( )A.4B.4√3C.2√3D.28、如图,把正六边形各边按同一方向延长,使延长的线段长与原正六边形的边长相等,顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形,那么AB∶A'B'的值是( )A.1∶2B.1∶√2C.√2∶√3D.1∶√39、已知△ABC中,AC=3,CB=4,以点C为圆心,r为半径作圆,如果点A、点B只有一个点在圆内,那么半径r的取值范围是( )A.r>3B.r≥4C.3<r≤4D.3≤r≤410、正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3二、填空题11、如图,△ABC为等边三角形,AB=2.若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB 长度的最小值为.12、如图,为了拧开一个边长为a的正六边形螺帽,扳手张开b=30 mm时正好把螺帽嵌进,则螺帽的边长a为mm.13、如图,点B,O,O',C,D在一条直线上,BC是半圆O的直径,OD是半圆O'的直径,两半圆相交于点A,连接AB,AO',若∠BAO'=67.2°,则∠AO'C=度.14、如图,在Rt△A BC中,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,∠BCD=40°,则∠A=.15、如图所示,三圆同心于O,AB=4 cm,CD⊥AB于O,则图中阴影部分的面积为cm2.16、下图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm.17、如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为.18、如图,已知AB是☉O的直径,PA=PB,∠P=60°,则CD⏜所对的圆心角等于度.19、如图,AB是☉O的一条弦,点C是☉O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与☉O交于G、H两点.若☉O的半径为7,则GE+FH的最大值为.20、如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.三、解答题21、如图,已知AB是☉O的直径,C为AB延长线上的一点,CE交☉O于点D,且CD=OA.求证:∠C=13∠AOE.22、“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”此问题的实质就是解决下面的问题:“如果CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,那么直径CD的长为多少寸?”请你求出CD的长.23、如图,AB 为☉O 的直径,D 为AC⏜的中点,连接OD 交弦AC 于点F,过点D 作DE∥AC,交BA 的延长线于点E.(1)求证:DE 是☉O 的切线;(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE 的面积.24、如图,正方形ABCD 的外接圆为☉O,点P 在劣弧CD⏜上(不与C 点重合). (1)求∠BPC 的度数;(2)若☉O 的半径为8,求正方形ABCD 的边长.25、如图,已知等腰直角三角形ABC,点P 是斜边BC 上一点(不与B,C 重合),PE 是△ABP 的外接圆☉O 的直径.(1)求证:△APE 是等腰直角三角形; (2)若☉O 的直径为2,求PC 2+PB 2的值.参考答案一、1.答案 C 在☉O 中,有弦AB 、弦DB 、弦CB 、弦CD,共4条弦.故选C.2.答案 C 过A 作AD⊥BC 于点D,由题意可知AD 必过点O,连接OB.∵△ABC 是等腰直角三角形,AD⊥BC,BC=6,∴BD=CD=AD=3,∴OD=AD -OA=2.在Rt△OBD 中,根据勾股定理,得OB=√BD 2+OD 2=√32+22=√13.故选C.3、答案 B 第②块有一段完整的弧,可在这段弧上任作两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,它们的交点即为圆心,进而可得半径.故选B.4、答案 A ①同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故本选项错误;②被平分的弦是直径时不成立,故此选项错误;③能重合的弧是等弧,而长度相等的弧不一定能够重合,故此选项错误;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴,此选项正确.故正确的有1个,选A.5、答案 A 如图,连接OC.∵∠AOB=90°,∴AB 为☉C 的直径, ∵A(0,4),∴OA=4. ∵∠BMO=120°,∴∠BAO=180°-120°=60°. ∵AC=OC,∠BAO=60°, ∴△AOC 是等边三角形, ∴☉C 的半径=OA=4.故选A.6、答案 C 在△ABC 中,∠BAC=180°-∠ACB -∠ABC=180°-50°-60°=70°,又∵I 是△ABC 的内心,∴∠BCD=∠BAD=12∠BAC=35°,∠BCI=12∠ACB=25°, ∴∠BCD+∠BCI=35°+25°=60°,即∠ICD=60°,故选C.7、答案 B 如图所示,∵△ABC 是等边三角形,边心距OD=2,∴∠OBD=30°,∴OB=4,在Rt△OBD 中,由勾股定理可得BD=2√3.∵OD 为边心距,∴BC=2BD=4√3.故选B.8、答案 D ∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠A'CB'=60°,设AB=BC=a,又延长的线段长与原正六边形的边长相等,所以A'C=2a,易知∠A'B'C=90°,所以B'C=a,由勾股定理可得A'B'=√(2a)2-a 2=√3a,∴AB∶A'B'=a∶√3a=1∶√3.故选D.9、答案 C 当点A 在圆内时,点A 到点C 的距离小于圆的半径,即r>3;点B 在圆上或圆外时,点B 到圆心的距离不小于圆的半径,即r≤4,故3<r≤4.故选C.10、答案 A 如图,△ABC 是等边三角形,AD 是高,点O 是其外接圆的圆心,由等边三角形三线合一的性质得点O 在AD 上,并且点O 还是它的内切圆的圆心. ∵AD⊥BC,∠1=∠2=30°,∴BO=2OD,又OA=OB,∴AD=3OD, ∴AD∶OA∶OD=3∶2∶1,故选A.二、 11、答案2√33解析 ∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=2. ∵∠PAB=∠ACP,∠PAC+∠PAB=60°, ∴∠PAC+∠ACP=60°, ∴∠APC=120°.当PB⊥AC 时,PB 长度最小,延长BP 交AC 于点D,如图所示.此时PA=PC,AD=CD=12AC=1,∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=12∠ABC=30°. 由勾股定理得PD=√33,BD=√3.∴PB=BD -PD=√3-√33=2√33.12、答案 10√3解析 设正多边形ABCDEF 的中心是O,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO 是菱形,∴AC⊥OB,∠BAM=30°,∴AB=2BM,AM=CM=15.在Rt△ABM 中,BM 2+AM 2=AB 2,即BM 2+152=(2BM)2,解得BM=5√3(舍负),∴a=AB=2BM=10√3(mm).13、答案 89.6解析 连接OA,∵OA=OB,∴∠BAO=∠B,∴∠AOO'=2∠B. ∵O'A=O'O,∴∠O'AO=∠AOO'=2∠B.∵∠BAO'=∠BAO+∠O'AO=67.2°,∴∠B=22.4°, ∴∠AO'C=∠B+∠BAO'=89.6°.14、答案 20°解析 ∵CB=CD,∴∠B=∠CDB.∵∠B+∠CDB+∠BCD=180°,∠BCD=40°,∴∠B=12×(180°-∠BCD)=12×(180°-40°)=70°. ∵∠ACB=90°, ∴∠A=90°-∠B=20°. 15、答案 π解析 S 阴影=14S 大圆=14π(4÷2)2=π(cm 2).16、答案 50解析 设符合条件的圆为☉O,由题意知,圆心O 在对称轴l 上,且点A 、B 都在☉O 上.设OC=xmm,则OD=(70-x)mm,由OA=OB,得OC 2+AC 2=OD 2+BD 2,即x 2+302=(70-x)2+402,解得x=40,∴OA=√AC 2+OC 2=√302+402=50 mm,即能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm.17、答案 5解析 连接OC,∵AB 为☉O 的直径,AB⊥CD,∴CE=DE=12CD=12×6=3,设☉O 的半径为x,则OC=x,OE=OB-BE=x-1.在Rt△OCE 中,OC 2=OE 2+CE 2,∴x 2=(x-1)2+32,解得x=5, ∴☉O 的半径为5.18、答案 60解析 连接OC,OD,∵PA=PB,∠P=60°,∴△PAB 是等边三角形, ∴∠A=∠B=60°,∵OA=OC=OD=OB,∴△COA,△DOB 是等边三角形,∴∠COA=∠DOB=60°,∴∠COD=180°-∠COA -∠DOB=60°.故CD⏜所对的圆心角等于60°.19、答案 10.5解析 连接OA 、OB,根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=60°,所以△AOB 为等边三角形.因为☉O 的半径为7,所以AB=7.因为点E 、F 分别为AC 、BC 的中点,所以EF=12AB=3.5.当GH 为☉O 的直径时,GE+FH 取得最大值,最大值为14-3.5=10.5.20、答案 √5解析 如图所示,作AB 、AC 的垂直平分线,交于点O,则点O 为△ABC 外接圆圆心,连接AO,AO 为外接圆半径.在Rt△AOD 中,AO=√AD 2+OD 2=√22+12=√5,所以能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是√5.三、21、证明 如图,连接OD,∵OD=OA,CD=OA,∴OD=CD, ∴∠COD=∠C.∵∠ODE 是△OCD 的外角, ∴∠ODE=∠COD+∠C=2∠C. ∵OD=OE,∴∠CEO=∠ODE=2∠C.∵∠AOE 是△OCE 的外角,∴∠AOE=∠C+∠CEO=3∠C. ∴∠C=13∠AOE.22、解析 设直径CD 的长为2x 寸,则半径OC=x 寸, ∵CD 为☉O 的直径,弦AB⊥CD 于E,AB=10寸, ∴AE=BE=12AB=12×10=5(寸),连接OB,则OB=x 寸,根据勾股定理得x 2=52+(x-1)2, 解得x=13,∴CD=2x=2×13=26(寸). 答:CD 的长为26寸.23、解析 (1)证明:∵D 为AC⏜的中点,∴OD⊥AC. ∵AC∥DE,∴OD⊥DE, ∴DE 是☉O 的切线. (2)如图,∵D 为AC⏜的中点, ∴OD⊥AC,AF=CF. ∵AC∥DE,且OA=AE, ∴F 为OD 的中点,即OF=FD. 在△AFO 和△CFD 中,{AF =CF,∠AFO =∠CFD,OF =DF,∴△AFO≌△CFD(SAS),∴S△AFO=S△CFD,∴S四边形ACDE=S△ODE.在Rt△ODE中,OD=OA=AE=4,∴OE=8,∴DE=√OE2-OD2=4√3,∴S四边形ACDE =S△ODE=12×OD·DE=12×4×4√3=8√3.24、解析(1)如图,连接OB,OC.∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOC=90°,∴∠BPC=12∠BOC=45°.(2)如图,过点O作OE⊥BC于点E,∵OB=OC,∠BOC=90°,∴∠OBE=45°,∵OE⊥BC,∴OE=BE,∵OE2+BE2=OB2,∴BE=√OB 22=√642=4√2,∴BC=2BE=2×4√2=8√2,即正方形ABCD的边长为8√2.25、解析(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠C=∠ABC=45°,∴∠AEP=∠ABP=45°,∵PE是☉O的直径,∴∠PAE=90°,∴∠APE=∠AEP=45°,∴AP=AE,∴△APE是等腰直角三角形.(2)∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,又AC=AB,AP=AE,∴△CAP≌△BAE,∴∠ACP=∠ABE=45°,PC=EB,∴∠PBE=∠ABC+∠ABE=90°,∴PC2+PB2=BE2+PB2=PE2=22=4.。

人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共32分)1．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( )A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆心上D．点在圆上或圆内2．如图1，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为( )图1A．35°B．45°C．55°D．65°3．已知圆锥的底面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是( )A．18π cm2B．27π cm2C．18 cm2D．27 cm24．一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )A．12 mm B．12 3 mmC．6 mm D．6 3 mm5．如图2，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC＝4，则图中阴影部分的面积是( )图2A．2＋πB．2＋2π C．4＋πD．2＋4π6．如图3，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为( )图3A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°7．如图4，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )图4A ．6B ．8C ．5 2D ．5 38．如图5，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，有下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10.上述结论中正确的个数是( )图5A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每题5分，共35分)9．已知正方形ABCD 的边长为1，以点A 为圆心，2为半径作⊙A ，则点C 在________(填“圆内”“圆外”或“圆上”)．10．如图6所示，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米．图611.如图7，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，C 是AB ︵上的一点，∠P ＝40°，则∠ACB 的度数为________．图712．如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD 交BE 于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________．图813．如图9，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A ，B ，C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长为________．图914．如图10，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，BC ＝2，O ，H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为________．图1015．如图11，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：图11(1)当d＝3时，m＝________；(2)当m＝2时，d的取值范围是________．三、解答题(共33分)16．(10分)如图12，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．图1217．(10分)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，连接CE交并延长⊙O于点D.(1)如图13①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图13②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图1318．(13分)如图14，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC ＝6 3，DE＝3.求：(1)⊙O的半径；(2)弦AC的长；(3)阴影部分的面积．图141．D 2.C 3．A 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C 9．圆上10.134 11．110°12．8 13．4π 14．π [15．(1)1 (2)1＜d ＜316．解：(1)∵A(0，6)，N(0，2)，∴AN ＝4. ∵∠ABN ＝30°，∠ANB ＝90°， ∴AB ＝2AN ＝8，∴由勾股定理，得NB ＝AB 2－AN 2＝4 3，∴B(4 3，2)．(2)证明：连接MC ，NC ，如图． ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN ＝90°， ∴∠NCB ＝90°.在Rt △NCB 中，∵D 为NB 的中点， ∴CD ＝12NB ＝ND ，∴∠CND ＝∠NCD.∵MC ＝MN ，∴∠MCN ＝∠MNC. 又∵∠MNC ＋∠CND ＝90°， ∴∠MCN ＋∠NCD ＝90°， 即MC ⊥CD.∴直线CD 是⊙M 的切线．17．解：(1)如图①，连接AC，∵AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°.∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABT＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°.(2)如图②，连接AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°.∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°. 18．解：(1)∵半径OD⊥BC，∴CE＝BE. ∵BC＝6 3，∴CE＝3 3.设OC＝x，在Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2，即x2＝(3 3)2＋(x－3)2，∴x＝6.即⊙O的半径为6.(2)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，AB ＝12. 又∵BC ＝6 3， ∴AC 2＝AB 2－BC 2＝36， ∴AC ＝6.(3)∵OA ＝OC ＝AC ＝6， ∴∠AOC ＝60°.∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △OAC ＝60×π×62360－12×6×6×32＝6π－9 3.人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(8)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1. 下列说法错误的是( C )A. 半圆是弧B. 半径相等的圆是等圆C. 过圆心的线段是直径D. 直径是弦2. 如图24－1，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( B )A. 25°B. 50°C. 60°D. 80°图24－1 图24－2 图24－33. 如图24－2，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B＝50°，则∠A的度数为( C )A. 80°B. 60°C. 40°D. 50°4. 如图24－3，四边形ABCD为圆内接四边形，∠A＝85°，∠B ＝105°，则∠C的度数为( C )A. 115°B. 75°C. 95°D. 无法确定5. 一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为( A )A. 6 cmB. 12 cmC. 2 cmD. 6 cm6. 已知⊙O的直径为12 cm，圆心到直线l的距离5 cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为( A )A . 2个B . 1个C . 0个D . 不确定7. 如图24－4，AC 是⊙O 的直径，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，若∠BAC ＝44°，则∠AOD 等于( D )A. 22°B. 44°C. 66°D. 88°图24－4 图24－5 图24－6图24－78. 如图24－5，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点H ，∠AOC ＝60°，OH ＝1，则⊙O 的半径为( B )A . 3B . 2C . 3D . 49. 如图24－6，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知⌒AB ，错误!的度数别为88°，32°，则∠P 的度数为( B )A . 26°B . 28°C . 30°D . 32°10. 如图24－7，在 ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝60°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是( A )A. 3 3－2π3B. 3 3－π3C. 4 3－2π3D. 4 3－π3二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11. 已知点P与⊙O在同一平面内，⊙O的半径为4 cm，OP＝5 cm，则点P与⊙O的位置关系为点P在⊙O外.12. 一个正n边形的中心角等于18°，那么n＝20 .13. 如图24－8，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝35°，则∠COD ＝35° .图24－8 图24－9 图24－1014. 如图24－9，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交.15. 已知如图24－10，PA，PB切⊙O于A，B两点，MN切⊙O 于点C，交PB于点N.若PA＝7.5 cm，则△PMN的周长是15 cm.16. 圆锥的底面半径是4 cm，母线长是5 cm，则圆锥的侧面积等于20πcm2.三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)17. 如图24－11，点A，B，C，D，E，F分别在⊙O上，AC＝BD，CE＝DF，连接AE，BF.△ACE与△BDF全等吗？为什么？图24－11解：△ACE 与△BDF 全等.理由如下.∵AC ＝BD ，CE ＝DF ，∴错误!=错误!, 错误!=错误!, 错误!=错误!.∴AE ＝BF.在△ACE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,,BF AE DF CE BD AC ∴△ACE ≌△BDF(SSS).18. 如图24－12，在⊙O 中，弦AB 与弦AC 相等，AD 是⊙O 的直径. 求证：BD ＝CD .图24－12证明：∵AB ＝AC ，∴⌒AB ＝错误!. ∴∠ADB ＝∠ADC.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠B ＝∠C ＝90°.∴∠BAD ＝∠DAC. ∴错误!＝错误!. ∴BD ＝CD.19. 如图24－13，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB＝12，CD＝2. 求⊙O的半径长.图24－13解：如答图24－1，连接AO.∵半径OC⊥弦AB，∴AD＝BD.∵AB＝12，答图24－1∴AD＝BD＝6.设⊙O的半径为R，∵CD＝2，∴OD＝R－2.在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(R－2)2＋62.∴R＝10.∴⊙O 的半径长为10.四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20.图24－14如图24－14，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，若AB ＝10，求BD 的长.解：如答图24－2，连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°.答图24－2∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠DCA ＝∠BCD.∴错误!＝错误!. ∴AD ＝BD.∴在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝22AB ＝22×10＝5 2.21.图24－15如图24－15，已知⊙O 的周长等于6π cm ，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的边心距OP 的长.解：如答图24－3，连接OB ，OC. 设正六边形的边长为R ，则⊙O 的半径为R.由题意，得2πR ＝6π.∴R ＝3(cm ).则∠POC ＝360°6×12＝30°，PC ＝12OC ＝32(cm).答图24－3在Rt △OPC 中，边心距OP ＝OC 2－PC 2＝3 32(cm).22. 如图24－16，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 和AC 相切于点P . 求证：BP 平分∠ABC .图24－16证明：如答图24－4，连接OP.∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC.又∵BC⊥AC，∴OP∥BC.∴∠OPB＝∠PBC.∵OP＝OB，答图24－4∴∠OPB＝∠OBP.∴∠PBC＝∠OBP.∴BP平分∠ABC.五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 如图24－17，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8 cm，P是直径AB上的任意一点.(1)求错误!的长；(2)求阴影部分的面积.图24－17解：(1)如答图24－5，连接OC ，OD.依题意，得∠COD ＝180°3＝60°.又∵OC ＝OD ，∴△COD 是等边三角形.∴OC ＝OD ＝8 cm .∴错误!的长为错误!＝错误!π(cm).答图24－5(2)∵∠OCD ＝∠POC ＝60°，∴CD ∥AB.∴S △PCD ＝S △OCD .∴S 阴影＝S 扇形COD ＝60π×82360＝323π(cm 2).24. 如图24－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O 在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若CD＝1，求图中阴影部分的面积.(结果保留π)图24－18(1)证明：连接DE，OD，如答图24－6.∵BC与⊙O相切于点D，∴∠ODB＝90°.∵AC⊥BC，∴∠ACD＝90°.∴OD∥AC.∴∠ODA＝∠CAD.又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠OAD＝∠CAD.∴AD平分∠BAC.答图24－6(2)解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵BC 与⊙O 相切于点D ，∴∠ODB ＝90°. ∴∠BOD ＝45°.∴OD ＝BD.设BD ＝x ，则OD ＝OA ＝x ，OB ＝2x ，∴BC ＝AC ＝x ＋1.∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴2(x ＋1)2＝(2x ＋x)2.解得x ＝ 2. ∴BD ＝OD ＝ 2.∴图中阴影部分的面积＝S △BOD －S 扇形DOE ＝12×2×2－45·π(2)2360＝1－π4.25. 如图24－19，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心作圆，⊙O 经过A ，C 两点且与BC 边交于点E ，点D 为错误!的中点，连接AD 交线段EO 于点F ，若AB ＝BF .(1)求证：AB 是⊙O 的切线；图24－19 (2)若CF ＝4，DF ＝10，求⊙O 的半径r.(1)证明：如答图24－7，连接OA ，OD.∵点D 为错误!的中点，∴OD ⊥BC.∴∠EOD ＝90°.∵AB ＝BF ，OA ＝OD ，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D.而∠BFA＝∠OFD，∠OFD＋∠D＝90°，答图24－7∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠BFA＝90°，即∠OAB＝90°.∴OA⊥AB. ∴AB是⊙O的切线.(2)解：∵OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝10，在Rt△DOF中，OD2＋OF2＝DF2，即r2＋(4－r)2＝(10)2. 解得r1＝3，r2＝1(不符题意，舍去). ∴半径r＝3人教版九年级数学上册《圆》培优检测试题（含答案）一．选择题1．如图，△ABC内接于⊙O中，AB＝AC，＝60°，则∠B＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．216°B．270°C．288°D．300°3．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A．10 B．8 C．5 D．35．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD＝130°，那么∠B的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π8．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A． cm B．3cm C． cm D．2cm9．下列说法正确的个数（）①近似数32.6×102精确到十分位：②在，，﹣||中，最小的数是③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个纯角”⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点A．1 B．2 C．3D．410．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC与圆O相切于点D，AB经过圆心O，且与圆交于点E，连接BD，若AC＝3CD＝3，则BD的长为（）A．3 B．2C．D．2二．填空题11．如图，⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，CD＝8，则弦AC的长为．12．如图，直尺三角尺都和⊙O相切，∠A＝60°，点B是切点，且AB＝8c m，则⊙O的半径为cm．13．如图，正五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O，则的长为．14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部面积是．15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．16．如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC 于点E，AD平分∠CAB交BM于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为BM的中点时，BC的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，则过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为．三．解答题18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）证明：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的长．19．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点．PA切⊙O于点A．连接OP交⊙O于点D，作AB上OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC＝9，AB＝6，求图中阴影部分的面积．20．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．（1）求证：点D为的中点；（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．23．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线；（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．24．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．（1）求证：CE＝AE；（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝，AB＝，则DE的长为．参考答案一．选择题1．解：∵AB＝AC，＝60°，∴∠B＝∠C，∠A＝30°，∴∠B＝（180°﹣30°）＝75°；故选：D．2．解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，圆锥的底面圆的半径＝＝3，根据题意得2π×3＝，解得n＝216．即该圆锥侧面展开图的圆心角为216°．故选：A．3．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠C＝∠BAC＝30°，∴∠ADB＝∠C＝30°，故选：B．4．解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，∴OC2＝PC2+OP2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．5．解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝6，∵∠B ＝60°，E 为BC 的中点，∴CE ＝BE ＝3＝CF ，△ABC 是等边三角形，AB ∥CD ，∵∠B ＝60°，∴∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，由勾股定理得：AE ＝＝3，∴S △AEB ＝S △AEC ＝×6×3×＝4.5＝S △AFC ，∴阴影部分的面积S ＝S △AEC +S △AFC ﹣S 扇形CEF ＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π， 故选：A ．6．解：∵∠BOD ＝130°，∴∠AOD ＝50°，又∵AC ∥OD ，∴∠A ＝∠AOD ＝50°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°，∴∠B ＝90°﹣50°＝40°．故选：B ．7．解：∵在▱ABCD 中，∠A ＝2∠B ，∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵∠C ＝∠A ＝120°，⊙C 的半径为3，∴图中阴影部分的面积是：＝3π，故选：C．8．解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠PAO＝90°，在直角△APO中，OA＝＝2，∵AB⊥OP，∴AD＝BD，∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠PAO＝90°，∵∠AOP＝∠DOA，∴△APO∽△DAO，∴＝，即＝，解得：AD＝3（cm），∴BD＝3cm．故选：B．9．解：①近似数32.6×102精确到十位，故本说法错误；②在，，﹣||中，最小的数是﹣（﹣2）2，故本说法错误；③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+，故本说法错误；④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中至少有两个纯角”，故本说法错误；⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点，故本说法正确；故选：A．10．解：连接OD，如图，∵AC与圆O相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ODA＝90°，∵∠C＝90°，∴OD∥BC，∵＝＝3，∴AO＝2OB，∴AO＝2OD，∴sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC＝×3＝3，在Rt△BCD中，BD＝＝＝2．故选：B．二．填空题11．解：如图，连接OA，并反向延长OA交CD于点E，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，即∠CEO＝90°，∵CD＝8，∴CE＝DE＝CD＝4，连接OC，则OC＝OA＝5，在Rt△OCE中，OE＝＝＝3，∴AE＝AO+OE＝8，则AC＝．故答案为：4．12．解：设圆O与直尺相切于B点，连接OE、OA、OB，设三角尺与⊙O的切点为E，∵AC、AB都是⊙O的切线，切点分别是E、B，∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC，∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，∴∠OAB＝×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16cm，由勾股定理得：OB＝＝＝8（cm），即⊙O的半径是8cm．故答案是：8．13．解：如图，连接OA，OE．∵ABCDE是正五边形，∴∠AOE＝＝72°，∴的长＝＝，故答案为．14．解：作OD⊥AB于D，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB＝60°，BD＝AD，则OD＝OA×cos∠AOD＝3×＝，AD＝OA×sin∠AOD，∴AB＝2AD＝3，∴图中阴影部面积＝﹣×3×＝3π﹣，故答案为：3π﹣．15．解：∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∵BO＝CO，∴AB＝2OD＝2×2＝4，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝90°，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，∵EA⊥BD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝4，∴DC＝AD＝4，∴BC＝＝＝4．故答案为：4．16．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵＝，∴∠CBM＝∠ABM，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，故答为135．（2）如图作MH⊥AB于M，连接AM，OM，OM交AC于F．∵AB是直径，∴∠AMB＝90°∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴MA＝MD，∵DM＝DB，∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，∵AB＝2，∴x2+4x2＝40，∴x＝2（负根已经舍弃），∴AM＝2，BM＝4，∵•AM•BM＝•AB•MH，∴MH＝＝，∴OH＝＝＝，∴OM ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴BC ＝2OF ，∵∠OHM ＝∠OFA ＝90°，∠AOF ＝∠MOH ，OA ＝OM ，∴△OAF ≌△OMH （AAS ），∴OF ＝OH ＝，∴BC ＝2OF ＝故答案为．17．解：过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，∵四边形OAA 1B 是菱形，∴OA ＝AA 1＝1，∠A 1AC ＝∠AOB ＝60°，∴A 1C ＝，AC ＝，∴OC ＝OA +AC ＝，在Rt △OA 1C 中，OA 1＝＝，∵∠OA 2C ＝∠B 1A 2O ＝30°，∠A 3A 2O ＝120°，∴∠A 3A 2B 1＝90°，∴∠A 2B 1A 3＝60°，∴B 1A 3＝2，A 2A 3＝3，∴OA 3＝OB 1+B 1A 3＝3＝（）3∴菱形OA 2A 3B 2的边长＝3＝（）2， 设B 1A 3的中点为O 1，连接O 1A 2，O 1B 2，于是求得，O 1A 2＝O 1B 2＝O 1B 1＝＝（）1，∴过点B 1，B 2，A 2的圆的圆心坐标为O 1（0，2），∵菱形OA 3A 4B 3的边长为3＝（）3，∴OA 4＝9＝（）4， 设B 2A 4的中点为O 2，连接O 2A 3，O 2B 3，同理可得，O 2A 3＝O 2B 3＝O 2B 2＝3＝（）2，∴过点B 2，B 3，A 3的圆的圆心坐标为O 2（﹣3，3），…以此类推，菱形菱形OA 2019A 2020B 2019的边长为（）2019，OA 2020＝（）2020， 设B 2018A 2020的中点为O 2018，连接O 2018A 2019，O 2018B 2019，求得，O 2018A 2019＝O 2018B 2019＝O 2018B 2018＝（）2018， ∴点O 2018是过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心， ∵2018÷12＝168…2，∴点O 2018在射线OB 2上，则点O 2018的坐标为（﹣（）2018，（）2019），即过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为（﹣（）2018，（）2019），故答案为：（﹣（）2018，（）2019）．三．解答题18．（1）证明：如图1，连接OD ，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BE，AD，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴A B＝3AE，CE＝4AE，∴＝2，∴，∵∠DFC＝∠AEB＝90°，∴DF∥BE，∴△DFC∽△BEC，∵CF＝6，∴DF＝3，∵AB是直径，∴AD⊥BC，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝∠ADC＝90°，∠DAF＝∠FDC，∴△ADF∽△DCF，∴，∴DF2＝AF•FC，∴，∴AF＝3．19．（1）证明：连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC＝BC，∴OP垂直平分AB，∴AP＝BP，∵OA＝OB，OP＝OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO＝∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∵∠PBO ＝∠BCO ＝90°，∴∠PBC +∠OBC ＝∠OBC +∠BOC ＝90°，∴∠PBC ＝∠BOC ，∴△PBC ∽△BOC ，∴＝∴OC ＝＝＝3，∴在Rt △OCB 中，OB ＝＝＝6，tan ∠COB ＝＝＝，∴∠COB ＝60°，∴S △OPB ＝×OP ×BC ＝×（9+3）×3＝18，S 扇DOB ＝＝6π，∴S 阴影＝S △OPB ﹣S 扇DOB ＝18﹣6π．20．解：（1）证明：∵AB 、CD 是⊙O 的两条直径，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠ODB ＝∠OBD ，∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝∠ODB ＝∠OBD ，即∠ABD ＝∠CAB ；（2）连接BC ．∵AB 是⊙O 的两条直径，∴∠ACB ＝90°，∵CE 为⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°，∵B 是OE 的中点，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝4，∴OB＝4，即⊙O的半径为4．21．（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵＝，∴∠BOD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝5，∴PC+PD的最小值为5．22．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．23．（1）证明：连接FO，∵CN＝AC，∴∠CAN＝∠CNA，∵AC∥ME，∴∠CAN＝∠MFN，∵∠CAN＝∠FNM，∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，∵CD⊥AB，∴∠HAN+∠HNA＝90°，∵AO＝FO，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，∴EM是圆O的切线；（2）解：连接OC，∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，∵CA＝CN，∴NH＝a，∴AN＝＝＝a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，解得：r＝，∴圆O的直径为25；（3）∵CH＝DH＝12，∴CD＝24，∵AC：CD＝5：8，∴CN＝AC＝15，∴DN＝24﹣15＝9，∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，∴△FND∽△CNA，∴，∵AN＝3，∴，∴FN＝．24．证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，∵∠ABE＝∠ACE∴∠CAD＝∠ACE∴CE＝AE（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；理由如下：如图，连接OE∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE∴△AOE≌△EOC（SSS）∴∠AOE＝∠COE，∵∠ABC＝60°∴∠AOC＝120°∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC∴△AOE，△COE都是等边三角形∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，∴四边形AOCE是菱形故答案为：60°②如图，过点C作CN⊥AD于N，∵AE＝，AB＝，∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD ∴AN＝DN在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，∴EN＝∴AN＝AE+EN＝＝DN∴DE＝DN+EN＝故答案为：。

人教版九年级上册数学单元练习题：第二十四章圆（含解析答案）一．选择题1．如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．40°B．50°C．65°D．25°2．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2 C．3D．43．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：25．下列说法中，正确的是（）A．正n边形有n条对称轴B．相等的圆心角所所对的弦相等C．三角形的外心到三条边的距离相等D．同一个平面上的三个点确定一个圆6．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C．D．7．如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠BAO的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC ＝3，则BC的长为（）A．5B．3C．2D．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．35°C．25°D．15°11．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，D G相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝2cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，则线段BC所扫过的面积为（）A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．5πcm2二．填空题13．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．14．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．15．如图，△ABC是圆O的内接三角形，则∠ABC﹣∠OAC＝．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝．17．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为c m．18．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是．三．解答题19．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC 交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC．（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，①求证：AC＝CF；②若AD＝1，求线段FG的长．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，点C在⊙O上，AC与OB交点D，点E在OB 的延长线上，且CE＝DE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当∠A＝30°，OA＝6时，则CD的长为．21．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D，AB交OC于E，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝，CE＝3．①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．24．如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为10π，求∠AOP度数及x的值．（2）若线段PQ的长为10，求这时x的值．参考答案一．选择题1．解：连接OD，∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A+∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C+∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故选：A．2．解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．3．解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．4．解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴点O在AH上，∴OH＝r，连接OB，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．5．解：A、正n边形有n条对称轴，故本选项正确；B、如图，圆心角相等，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项错误；C、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三角形三边的距离相等，故本选项错误；D、在同一直线上的三个点不能作一个圆，故本选项错误；故选：A．6．解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．7．解：连接OA，∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5．∴MN＝5﹣3＝2故选：A．8．解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，OC过O，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，即∠AOB＝2∠AOC，∵∠ABC＝20°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠AOB＝40°+40°＝80°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝50°，故选：C．9．解：连接OB，作OD⊥BC于点D．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠OBD＝∠ABC﹣∠ABO＝120°﹣90°＝30°，在直角△OBD中，BD＝OB•cos30°＝3×＝，则BC＝2BD＝3．故选：B．10．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：C．11．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG ＝∠BCH ＝30°时，PE +PF ＝4．故选：A ．12．解：∵∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝2cm ，∴AB ＝cm ，如图，由旋转知，∠BAB 1＝∠CAC 1＝90°，△ABC ≌△AB 1C 1，则线段BC 所扫过的面积S ＝+﹣S △ABC ﹣＝﹣＝﹣＝π（cm 2），故选：A ．二．填空题（共6小题）13．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．14．解：连接OC 交AB 于E ．∵C 是的中点，∴OC ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∵∠BAO ＝20°，∴∠AOE ＝70°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝55°，∴∠CAB ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝35°，故答案为35°．15．解：作直径AD ，连接CD ，如图所示：∵AD 是圆O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∴∠OAC +∠D ＝90°，∵∠ABC +∠D ＝180°，∴∠ABC ﹣∠OAC ＝180°﹣90°＝90°；故答案为：90°．16．解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C＝∠D＝90°，∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB＝30°，∴AB＝AD÷cos30°＝4，∴AC＝AB•cos60°＝2，故答案为2．17．解：连接OA，∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，∴OD＝10﹣4＝6cm，在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB＝2AD＝16cm．故答案为16．18．解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，∴此直线恒过点（1，﹣1）．过点D作DH⊥x轴于点H，∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝．∵OB＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝2．故答案为：2．三．解答题（共6小题）19．（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵EO⊥AB，∴∠OGB+∠B＝90°，∵EG＝EC，∴∠ECG＝∠EGC，∵∠EGC＝∠OGB，∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是圆O的切线；（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，∴∠AOC＝45°，∵EO⊥AB，∴∠COF＝45°，∴＝，∴AC＝CF；②解：作CM⊥OE于M，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，∴∠FGC＝67.5°，∵∠COF＝45°，OC＝OF，∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，∴∠GFC＝∠FGC，∴CF＝CG，∴FM＝GM，∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，∴CD＝DM，在Rt△ACD和Rt△FCM中∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），∴FM＝AD＝1，∴FG＝2FM＝2．20．（1）证明：如图连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝∠ADO，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△AOD中，∵OA＝6，∠A＝30°，∴OD＝，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∠COA＝120°，∠DOC＝30°，∴∠DOC＝∠OCD＝30°，∴CD＝OD＝2．故答案为：2．21．（1）证明：在AD上截取AP＝AB，连结PB，如图，∵△DBC为等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，DB＝CB，∵∠BAC＝120°∴∠BAC+BDC＝180°，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠BAP＝∠DCB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴∠ABP＝60°，BP＝BA，∴∠DBC﹣∠PBC＝∠ABP﹣∠PBC，即∠DBP＝∠CBA，∴△DBP≌△CBA（SAS），∴PD＝AC，∴AD＝DP+AP＝AC+AB＝9．（2）当点E、F为直线MN与两圆的交点时，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．证明：连结ME、NF，如图，由（1）的结论得EA+EB＝ME，FC+FD＝FN，∴AE+EB+EF+FC+FD＝ME+EF+FN，∴当点M、E、F、N共线时，ME+EF+FN的值最小，此时点E、F为直线MN与两圆的交点．22．解：（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）①设OE＝x，∵OC＝OA，∴OA＝x+3，由于AE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理可知：x2+（x+3）2＝17，∴x2+3x﹣4＝0，∴x＝1，∴OC＝x+3＝4，∴⊙O的半径为4，；②S＝＝4π，扇形OACS＝×4×4＝8，△AOC∴图中阴影部分的面积＝4π﹣8．23．（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．24．解：（1）如图1，由＝10π，解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠BOQ，∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝∴OQ＝∴x＝；（2）分三种情况：①如图2，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为②如图3，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH＝k，QH＝k．在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10+k）2，整理得：k2+5k﹣75＝0，解得k＝（舍弃）或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝，此时x的值为﹣+5③如图4，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为．综上所述，满足条件的x的值为或﹣+5或．人教版九年级数学上册第23章旋转单元练习卷含答案(1)一、选择题1. 下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2．在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．下列图形中不能由一个图形通过旋转而构成的是( )A B C D3．下列运动形式属于旋转的是（）A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪4．如图是扬州“三菱”电梯的标志，它可以看作是由菱形通过旋转得到的，每次旋转了（）A．60°B．90°C．120°D．150°5. 若点P(－m，m－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m满足()A. m＞3B. 0＜m≤3C. m＜0D. m＜0或m＞36．如图，是用围棋子摆出的图案(围棋子的位置用有序数对表示，如点A在(5，1))，如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是( )A．黑(3，3)，白(3，1) B．黑(3，1)，白(3，3)C．黑(1，5)，白(5，5) D．黑(3，2)，白(3，3)7．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）A．（1，1）B．（2，0）C．（0，1）D．（3，1）8. 如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°.四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是()A. △ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后与△ADB重合B.△ACB以点A为旋转中心，顺时针旋转270°后与△DAC重合C. 沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D. 沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合9．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（）A．7 B．6 C．D．510．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（）A．B．C．2 D．不能确定二、填空题11. 钟表分针的运动可以看作是一种旋转现象，经过40分钟分针旋转了°. 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，点B，C旋转后的对应点分别是点D和E，连接BD，则∠BDE的度数是．13．如图，线段AB的端点A、B分别在x轴和y轴上，且A（2，0），B（0，4），将线段AB绕坐标原点O逆时针旋转90°得线段A'B'，设线段AB'的中点为C，则点C的坐标是．14．如图，大圆的面积为4π，大圆的两条直径互相垂直，则图中阴影部分的面积的和为____．15. 如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°后到△A′B′C′的位置，若∠B′＝45°，∠C′＝60°，则∠B′AC＝.16．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为．17.如图，在△ABC中、∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是BC的中点，将△ABC绕点O 旋转得△A'B'C',则在旋转过程中点A，C'两点间的最大距离是__________.18．如图，正方形ABCD，将正方形AEFG绕点A旋转，连接DF，点M是DF的中点，连接CM，若AB＝4，AE＝1，则线段CM的最大值为．三、解答题19．如图，△ABC为等边三角形，△AP′B旋转后能与△APC重合，那么：（1）指出旋转中心；（2）求旋转角的度数；（3）求∠PAP′的度数．20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；直接写出点B2的坐标；（3）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并直接写出B3的坐标．21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第二象限内有横、纵坐标均为整数的A，B两点，点B(－2，3)，点A的横坐标为－2，且OA ＝ 5.(1)直接写出A点的坐标，并连接AB，AO，BO；(2)画出△OAB关于点O成中心对称的图形△OA1B1，并写出点A1，B1的坐标(点A1，B1的对应点分别为A，B)；(3)将△OAB逆时针旋转90°得到△O1A2B2，画出△O1A2B2.22．如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，F 为BC 延长线上一点，CE ＝CF.(1)△DCF 可以看成是△BCE 绕点C 旋转某个角度得到的吗？(2)若∠CEB ＝60°，求∠EFD 的度数．23．如图①，△ABC 和△AEF 都为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，连接EC 、BF ，点D 为BF 的中点，连接CD ．(1)如图①，当点E 落在AB 边上时，请判断线段EC 与DC 的数量关系，并证明你的结论；(2)将△AEF 绕点A 顺时针旋转n °（n ＜180），如图②，请判断线段EC 与DC 的数量关系，并证明你的结论；(3)若AC ＝2，点P 为BC 中点，动点Q 满足PQ ＝，如图③，将线段AQ 绕点A 逆时针旋转90°到线段AM ，连 PM ，则线段PM 的最小值为 .F EDC B A FEDC B A MQ CA图① 图② 图③参考答案一、1. B 2. C 3. C 4. C 5. C 6. B 7. C 8. B 9. C. 10 B.二、11. 240 12. 35° 13.（-1,0）14.π15. 45°16.( 32，0) 17. 18. 2．三、19.（1）∵△AP′B旋转后能与△APC重合，∴旋转中心是点A；（2）旋转角是∠BAC=60°；（3）由（2）得：∠P′AP=∠BAC=60°．20.解：（1）△A1B1C1如图所示．（2）△AB2C2如图所示，点B2（4，﹣4）．（3）△A3B3C3如图所示，B3的坐标（﹣4，﹣4）．21. 解：(1)∵点A的横坐标为－2，且OA＝，∴A(－2，1).(2)A1(2，－1)，B1(2，－3).图略.(3)略22.解：(1)△DCF可以看成是△BCE绕点C顺时针旋转90°而得到的(2)∵∠CEB＝60°.∴∠CFD＝60°，∵∠DCF＝90°，CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∠EFD＝∠CFD－∠CFE ＝60°－45°＝15°23.（1）EC =DC ,(2) EC =DC（3）-.人教版九年级数学上册《圆》培优检测试题（含答案）一．选择题1．如图，△ABC内接于⊙O中，AB＝AC，＝60°，则∠B＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．216°B．270°C．288°D．300°3．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A．10 B．8 C．5 D．35．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD＝130°，那么∠B的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π8．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A． cm B．3cm C． cm D．2cm9．下列说法正确的个数（）①近似数32.6×102精确到十分位：②在，，﹣||中，最小的数是③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个纯角”⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点A．1 B．2 C．3D．410．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC与圆O相切于点D，AB经过圆心O，且与圆交于点E，连接BD，若AC＝3CD＝3，则BD的长为（）A．3 B．2C．D．2二．填空题11．如图，⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，CD＝8，则弦AC的长为．12．如图，直尺三角尺都和⊙O相切，∠A＝60°，点B是切点，且AB＝8c m，则⊙O的半径为cm．13．如图，正五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O，则的长为．14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部面积是．15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．16．如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC 于点E，AD平分∠CAB交BM于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为BM的中点时，BC的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，则过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为．三．解答题18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）证明：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的长．19．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点．PA切⊙O于点A．连接OP交⊙O于点D，作AB上OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC＝9，AB＝6，求图中阴影部分的面积．20．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．（1）求证：点D为的中点；（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．23．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线；（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．24．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．（1）求证：CE＝AE；（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝，AB＝，则DE的长为．参考答案一．选择题1．解：∵AB＝AC，＝60°，∴∠B＝∠C，∠A＝30°，∴∠B＝（180°﹣30°）＝75°；故选：D．2．解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，圆锥的底面圆的半径＝＝3，根据题意得2π×3＝，解得n＝216．即该圆锥侧面展开图的圆心角为216°．故选：A．3．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠C＝∠BAC＝30°，∴∠ADB＝∠C＝30°，故选：B．4．解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，∴OC2＝PC2+OP2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．5．解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝6，∵∠B ＝60°，E 为BC 的中点，∴CE ＝BE ＝3＝CF ，△ABC 是等边三角形，AB ∥CD ，∵∠B ＝60°，∴∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，由勾股定理得：AE ＝＝3，∴S △AEB ＝S △AEC ＝×6×3×＝4.5＝S △AFC ，∴阴影部分的面积S ＝S △AEC +S △AFC ﹣S 扇形CEF ＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π， 故选：A ．6．解：∵∠BOD ＝130°，∴∠AOD ＝50°，又∵AC ∥OD ，∴∠A ＝∠AOD ＝50°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°，∴∠B ＝90°﹣50°＝40°．故选：B ．7．解：∵在▱ABCD 中，∠A ＝2∠B ，∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵∠C ＝∠A ＝120°，⊙C 的半径为3，∴图中阴影部分的面积是：＝3π，故选：C．8．解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠PAO＝90°，在直角△APO中，OA＝＝2，∵AB⊥OP，∴AD＝BD，∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠PAO＝90°，∵∠AOP＝∠DOA，∴△APO∽△DAO，∴＝，即＝，解得：AD＝3（cm），∴BD＝3cm．故选：B．9．解：①近似数32.6×102精确到十位，故本说法错误；②在，，﹣||中，最小的数是﹣（﹣2）2，故本说法错误；③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+，故本说法错误；④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中至少有两个纯角”，故本说法错误；⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点，故本说法正确；故选：A．10．解：连接OD，如图，∵AC与圆O相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ODA＝90°，∵∠C＝90°，∴OD∥BC，∵＝＝3，∴AO＝2OB，∴AO＝2OD，∴sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC＝×3＝3，在Rt△BCD中，BD＝＝＝2．故选：B．二．填空题11．解：如图，连接OA，并反向延长OA交CD于点E，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，即∠CEO＝90°，∵CD＝8，∴CE＝DE＝CD＝4，连接OC，则OC＝OA＝5，在Rt△OCE中，OE＝＝＝3，∴AE＝AO+OE＝8，则AC＝．故答案为：4．12．解：设圆O与直尺相切于B点，连接OE、OA、OB，设三角尺与⊙O的切点为E，∵AC、AB都是⊙O的切线，切点分别是E、B，∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC，∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，∴∠OAB＝×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16cm，由勾股定理得：OB＝＝＝8（cm），即⊙O的半径是8cm．故答案是：8．13．解：如图，连接OA，OE．∵ABCDE是正五边形，∴∠AOE＝＝72°，∴的长＝＝，故答案为．14．解：作OD⊥AB于D，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB＝60°，BD＝AD，则OD＝OA×cos∠AOD＝3×＝，AD＝OA×sin∠AOD，∴AB＝2AD＝3，∴图中阴影部面积＝﹣×3×＝3π﹣，故答案为：3π﹣．15．解：∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∵BO＝CO，∴AB＝2OD＝2×2＝4，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝90°，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，∵EA⊥BD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝4，∴DC＝AD＝4，∴BC＝＝＝4．故答案为：4．16．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵＝，∴∠CBM＝∠ABM，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，故答为135．（2）如图作MH⊥AB于M，连接AM，OM，OM交AC于F．∵AB是直径，∴∠AMB＝90°∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴MA＝MD，∵DM＝DB，∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，∵AB＝2，∴x2+4x2＝40，∴x＝2（负根已经舍弃），∴AM＝2，BM＝4，∵•AM•BM＝•AB•MH，∴MH＝＝，∴OH＝＝＝，∴OM ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴BC ＝2OF ，∵∠OHM ＝∠OFA ＝90°，∠AOF ＝∠MOH ，OA ＝OM ，∴△OAF ≌△OMH （AAS ），∴OF ＝OH ＝，∴BC ＝2OF ＝故答案为．17．解：过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，∵四边形OAA 1B 是菱形，∴OA ＝AA 1＝1，∠A 1AC ＝∠AOB ＝60°，∴A 1C ＝，AC ＝，∴OC ＝OA +AC ＝，在Rt △OA 1C 中，OA 1＝＝，∵∠OA 2C ＝∠B 1A 2O ＝30°，∠A 3A 2O ＝120°，∴∠A 3A 2B 1＝90°，∴∠A 2B 1A 3＝60°，∴B 1A 3＝2，A 2A 3＝3，∴OA 3＝OB 1+B 1A 3＝3＝（）3∴菱形OA 2A 3B 2的边长＝3＝（）2， 设B 1A 3的中点为O 1，连接O 1A 2，O 1B 2，于是求得，O 1A 2＝O 1B 2＝O 1B 1＝＝（）1，∴过点B 1，B 2，A 2的圆的圆心坐标为O 1（0，2），∵菱形OA 3A 4B 3的边长为3＝（）3，∴OA 4＝9＝（）4， 设B 2A 4的中点为O 2，连接O 2A 3，O 2B 3，同理可得，O 2A 3＝O 2B 3＝O 2B 2＝3＝（）2，∴过点B 2，B 3，A 3的圆的圆心坐标为O 2（﹣3，3），…以此类推，菱形菱形OA 2019A 2020B 2019的边长为（）2019，OA 2020＝（）2020， 设B 2018A 2020的中点为O 2018，连接O 2018A 2019，O 2018B 2019，求得，O 2018A 2019＝O 2018B 2019＝O 2018B 2018＝（）2018， ∴点O 2018是过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心， ∵2018÷12＝168…2，∴点O 2018在射线OB 2上，则点O 2018的坐标为（﹣（）2018，（）2019），即过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为（﹣（）2018，（）2019），故答案为：（﹣（）2018，（）2019）．三．解答题18．（1）证明：如图1，连接OD ，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BE，AD，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴A B＝3AE，CE＝4AE，∴＝2，∴，∵∠DFC＝∠AEB＝90°，∴DF∥BE，∴△DFC∽△BEC，∵CF＝6，∴DF＝3，∵AB是直径，∴AD⊥BC，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝∠ADC＝90°，∠DAF＝∠FDC，∴△ADF∽△DCF，∴，∴DF2＝AF•FC，∴，∴AF＝3．19．（1）证明：连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC＝BC，∴OP垂直平分AB，∴AP＝BP，∵OA＝OB，OP＝OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO＝∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∵∠PBO ＝∠BCO ＝90°，∴∠PBC +∠OBC ＝∠OBC +∠BOC ＝90°，∴∠PBC ＝∠BOC ，∴△PBC ∽△BOC ，∴＝∴OC ＝＝＝3，∴在Rt △OCB 中，OB ＝＝＝6，tan ∠COB ＝＝＝，∴∠COB ＝60°，∴S △OPB ＝×OP ×BC ＝×（9+3）×3＝18，S 扇DOB ＝＝6π，∴S 阴影＝S △OPB ﹣S 扇DOB ＝18﹣6π．20．解：（1）证明：∵AB 、CD 是⊙O 的两条直径，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠ODB ＝∠OBD ，∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝∠ODB ＝∠OBD ，即∠ABD ＝∠CAB ；（2）连接BC ．∵AB 是⊙O 的两条直径，∴∠ACB ＝90°，∵CE 为⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°，∵B 是OE 的中点，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝4，∴OB＝4，即⊙O的半径为4．21．（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵＝，∴∠BOD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝5，∴PC+PD的最小值为5．22．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，。

圆单元检测题1.如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( )A. 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 6 cm第1题图 第2题图2.如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论一定错误的是( )A. CE ＝DEB. AE ＝OEC. BC ︵＝BD ︵D. △OCE ≌△ODE3.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为( )A. 3B. 3C. 2 3D. 4第3题图4.已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为( )A. 2 5 cmB. 4 5 cmC. 2 5 cm 或4 5 cmD. 2 3 cm 或4 3 cm5.如图，半圆O 的直径AB ＝10 cm ，弦AC ＝6 cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为( )A. 4 5 cmB. 3 5 cmC. 5 5 cmD. 4 cm第5题图 第6题图6.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a )(a ＞3)，半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是( )A. 4B. 3＋ 2C. 3 2D. 3＋ 37.如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，D 是⊙O 上一点，若∠ADB ＝28°，则∠AOC 的度数为( )A. 14°B. 28°C. 56°D. 84°第1题图 第2题图 第3题图8.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO ＝45°，则∠B 的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°9.如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为( )A. 25°B. 50°C. 60°D. 30°10.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC ＝40°，则∠A 的度数为( )A. 80°B. 100°C. 110°D. 130°第4题图 第5题图11.如图，在⊙O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知：⊙O 半径为52，tan ∠ABC ＝34，则CQ 的最大值是( ) A. 5 B. 154 C. 253 D. 20312.如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，且∠AOB ＝70°，则∠C ＝________度．第6题图 第7题图13.如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是________.14.如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45°，则sin C 的值为( )A.22 B. 2－22 C.2＋22 D. 2415.在△ABC 的外接圆⊙O 中，△ABC 的外角平分线CD 交⊙O 于点D ，F 为AD ︵上一点，且AF ︵＝BC ︵，连接DF ，并延长DF 交BA 的延长线于点E .(1)判断DB 与DA 的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCD ≌△AFD ；(3)若∠ACM ＝120°，⊙O 的半径为5，DC ＝6，求DE 的长．参考答案1. B 【解析】如解图，连接OA ，∵OC ⊥AB ，由垂径定理得：AC ＝BC ＝3 cm ，在Rt △AOC 中，AC ＝3 cm ，OA ＝5 cm ，由勾股定理得OC ＝4 cm.第1题解图 第3题解图 2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径且AB ⊥CD ，∴CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，即选项A 、C均正确，不符合题意；易知△OCE ≌△ODE ，即选项D 正确，不符合题意；而由已知不能判定AE ＝OE ，即选项B 不正确，符合题意．3. C 【解析】设OA 交BC 于点D ，如解图，∵OB ＝OA ，∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OB ＝OA ＝2.∵AB ＝AC ＝2，∴AB ︵＝AC ︵，∴OA ⊥BC ，∠ODB ＝90°，BC ＝2BD ，在Rt △ODB 中，∠DOB ＝60°，∴∠OBD ＝30°，OD ＝12OB ＝1，∴BD ＝OB 2－OD 2＝22－12＝3，∴BC ＝2 3.4. C 【解析】存在两种情况，如解图①，连接AC 、OA ，∵CD 是直径，AB ⊥CD ，∴AM ＝12AB ＝4 cm ，OA ＝5 cm ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝3 cm ，∴CM ＝OC －OM ＝2 cm ，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝2 5 cm ；如解图②，连接AC 、OA ，依题意，AM ＝4 cm ，CM ＝8 cm ，则AC ＝AM 2＋CM 2＝4 5 cm.∴AC 的长为2 5 cm 或4 5 cm.第4题解图 第5题解图5. A 【解析】连接BC 、OD 、OC ，如解图，则OD 、BC 交于点E .由于AD 平分∠BAC ，∴CD ︵＝BD ︵，∴OD ⊥BC .又半圆O 的直径AB ＝10 cm ，弦AC ＝6 cm ，∴BC ＝8 cm ，∴BE ＝4 cm.又∵OB ＝5 cm ，∴OE ＝3 cm ，∴ED ＝5－3＝2 cm.连接BD ，在Rt △BED 中，BD ＝DE 2＋BE 2＝2 5 cm ，又∵∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB 2－BD 2＝4 5 cm.6. B 【解析】作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ，连接PB ，如解图， ∵⊙P 的圆心坐标是(3，a )，∴OC＝3，PC ＝a ，把x ＝3代入y ＝x 得y ＝3，∴D 点坐标为(3，3)，∴CD ＝3，∴△OCD 为等腰直角三角形，∴△PED 也为等腰直角三角形，∵PE ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝12×42＝22，在Rt △PBE 中，PB ＝3，∴PE ＝32－（22）2＝1，∴PD ＝2PE ＝2，∴a ＝3＋2.第6题解图7. C 【解析】根据垂径定理得：CA ︵＝BA ︵，由圆周角定理得∠AOC ＝2∠ADB ＝56°.8. D 【解析】如解图，连接OA ，∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠OAC ＝45°，∴∠AOC ＝90°，∴∠B ＝12∠AOC ＝45°. 第2题解图 第4题解图9. A 【解析】∵AC ∥OB ，∴∠OCA ＝∠BOC ＝50°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝50°. ∴∠AOC ＝180°－50°－50°＝80°，∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝80°＋50°＝130°.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝12(180°－130°)＝25°. 10. D 【解析】如解图，连接OC 、OA ，∵∠OBC ＝40°，OB ＝OC ，∴∠OCB ＝40°，∴∠BOC ＝180°－40°－40°＝100°，根据圆周角定理，∠BCA ＝12∠BOA ，∠CBA ＝12∠COA ，∠BAC ＝180°－∠BCA －∠CBA ＝180°－12(∠BOA ＋∠COA )＝180°－12∠BOC ＝180°－50°＝130°.11. D 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，又∵tan ∠ABC ＝34，AB ＝2×52＝5，∴AC ＝3，BC ＝4，∴tan ∠A ＝43.∵∠P ＝∠A ，∴tan ∠P ＝43.∵∠PCQ ＝90°，∴CQ ＝PC ·tan ∠P ＝43PC .又∵PC 的最大值为5，∴CQ 的最大值为43×5＝203. 【难点突破】确定当PC 为⊙O 的直径时CQ 达到最大值是问题的难点，突破此难点的方法是通过CQ ＝PC ·tan ∠P 将问题转化为考虑PC 在什么时候达到最大的问题，从而使问题得到解决，而解决问题的关键是根据同弧所对圆周角相等，则tan ∠P ＝tan ∠A ＝43. 12. 35 【解析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠C ＝12∠AOB ＝35°.13. 255【解析】由圆周角定理可知∠ABC ＝∠AED ，在Rt △ABC 中，由题知AB ＝2，BC ＝AB 2＋AC 2＝5，cos ∠ABC ＝25＝255，∴∠AED 的余弦值是255.14. B 【解析】如解图，连接AB ，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则AC＝2，OD ＝BD ＝22，AD ＝AO －OD ＝1－22＝2－22， ∴在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB ＝AD 2＋BD 2＝（2－22）2＋（22）2＝2－2，∴sin C ＝AB AC ＝2－22.第1题解图2. (1)解：DB ＝DA ，························ (1分)理由：∵CD 平分∠ACM ，∴∠MCD ＝∠ACD ，∵∠ACD 和∠ABD 都是AD ︵所对的圆周角，∴∠ACD ＝∠ABD ，∴∠MCD ＝∠ABD ，又∵∠MCD ＝∠BAD ，(圆内接四边形的一个外角等于它的内对角)，∴∠BAD ＝∠ABD ，∴DB ＝DA . ··················(3分)第2题解图(2)证明：连接AF ，如解图．∵∠BAD ＝∠ABD ，∴AD ︵＝BD ︵，∵AF ︵＝BC ︵，∴DF ︵＝CD ︵，AF ＝BC ，∴DF ＝DC ，在△BCD 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD BC ＝AF DC ＝DF，∴△BCD ≌△AFD (SSS)．··················(6分)(3)解：∵∠ACM ＝120°，∴∠MCD ＝∠ACD ＝60°，∴∠ABD ＝∠BAD ＝∠ACD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，如解图，连接DO 并延长与AB 交于点G ，则∠ADO ＝30°，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，∴AD ＝2DH ＝2OD ·cos30°＝53，∵∠ADF ＋∠DAF ＝∠AFE ＝∠ACD ＝60°，∠ADE ＋∠E ＝∠BAD ＝60°， ∴∠DAF ＝∠E ，∵∠ADF ＝∠EDA ，∴△ADF ∽△EDA ，∴DA DE ＝DF DA ，∴DE ＝DA 2DF， ∵DF ＝DC ＝6，DA ＝53，∴DE ＝252.··················(9分)。

人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试题第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50° C．40° D．20°2．如图,BC是半圆O的直径,D,E是弧BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°3．下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图,△ABC是圆O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°5.如图1，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF .若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是( )图1A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°6 如图2，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB ︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )图2A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°7 如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC ＝124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为( )图3A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°8 如图4，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )图4A ．6B ．8C ．5 2D ．5 39 如图5，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )图5A ．6πB ．3 3π C．2 3π D．2π10 如图6，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )图6A ．π B．2π C ．2 2π D．4π第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为________．12．如图10，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝43°，点P 在线段OB 上运动．设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是________．图1013．如图11是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为50 dm ，此时汽油桶内液面宽度AB ＝40 dm ，现在从进油孔处倒油，当液面AB ＝48 dm 时，液面上升了________dm .图1114．如图12，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片OAB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合(粘连部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是________．图1215．已知直线y ＝kx(k ≠0)经过点(12，－5)，将直线向上平移m(m ＞0)个单位长度，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交(点O 为坐标原点)，则m 的取值范围为________． 16．如图13，正方形ABCD 的边长为4 cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过点A 作半圆的切线，与半圆相切于点F ，与DC 相交于点E ，则△ADE 的面积为________cm 2.图13三、解答题(共52分)17．(5分)如图14，A 是半径为3的⊙O 上的点，尺规作图：作⊙O 的内接正六边形ABCDEF.图1418．(5分)如图15，P 是⊙O 外的一点，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，C 是AB ︵上的任意一点，过点C 的切线分别交PA ，PB 于点D ，E.若PA ＝4，求△PED 的周长．图1519．(5分)如图16所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于点E ，已知AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长．图1620．(5分)如图17，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 并延长至点F ，使得DF ＝BD ，连接CF ，BE. 求证：(1)DB ＝DE ； (2)直线CF 为⊙O 的切线．图1721．(7分)如图18，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，F 是AB ︵的中点，连接CF ，EF. (1)请直接写出：∠CFE ＝________°；(2)求证：EF ＝CF ；(3)若⊙O 的半径为5，求CF ︵的长．图1822．(7分)如图19，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝2. (1)如图(a )，将△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得△A ′B ′C. ①求点B 旋转经过的路径长；②连接BB ′，求线段BB ′的长．(2)如图(b )，过点C 作AC 的垂线与AB 的延长线交于点D ，将△ACD 绕点C 顺时针旋转90°得△A ′CD ′.在图(b )中画出线段AD 绕点C 旋转所形成的图形(用阴影表示)，并求出该图形的面积．图1923．(8分)先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图20(a)，A，B，C，D均为⊙O上的点，则有∠C＝∠D.小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB的同侧，则有∠D＞∠E.请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1)如图(b)，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C 的坐标为(3，0)．①在图(b)中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB＝∠ADB，则点D的坐标为________．(2)如图(c)，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，其中m＞n＞0.P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，求此时点P的坐标．图2024．(10分)如图21①至图③，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c.阅读理解：(1)如图①，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB＝c时，⊙O恰好自转1周．(2)如图②，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°，⊙O在点B处自转n360周．实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若AB＝2c，则⊙O自转________周；若AB＝l，则⊙O自转________周．在阅读理解的(2)中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转________周；若∠ABC＝60°，则⊙O 在点B 处自转________周．(2)如图③，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝12c.⊙O 从⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A －B －C 滚动到⊙O 4的位置，⊙O 自转________周． 拓展联想：(1)如图④，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由． (2)如图⑤，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接写出⊙O 自转的周数．图21答案1-10 BCAAB BCBAB 11．30°或150° 12．43°≤x ≤90° 13．8或22 14．6 2 15．0＜m ＜13216．617．解：首先连接OA ，然后以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，F 两点，再分别以点B ，F 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于C ，E 两点，再以点E 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于点D ，连接AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA ，则正六边形ABCDEF 即为所求．18．解：∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ， ∴PA ＝PB ＝4.∵过点C 的切线分别交PA ，PB 于点D ，E ， ∴DC ＝DA ，EC ＝EB ，∴△PED 的周长＝PD ＋DE ＋PE ＝PD ＋DC ＋EC ＋PE ＝PD ＋DA ＋EB ＋PE ＝PA ＋PB ＝4＋ 4＝8. 19．解：∵AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∴OA ＝12×(6＋2)＝4(cm)，∴OE ＝4－2＝2(cm)．如图，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，可得∠OFE ＝90°，即△OEF 为直角三角形． ∵∠CEA ＝30°， ∴OF ＝12OE ＝1 cm.连接OC ，在Rt △COF 中，根据勾股定理可得CF ＝OC 2－OF 2＝42－12＝15(cm)． ∴CD ＝2CF ＝215 cm.20．证明：(1)∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠BAE ＝∠CAE ，∠EBA ＝∠EBC . ∵∠BED ＝∠BAE ＋∠EBA ，∠DBE ＝∠EBC ＋∠DBC ，∠DBC ＝∠CAE ， ∴∠BED ＝∠DBE ， ∴DB ＝DE . (2)如图，连接CD .由(1)知∠DAB ＝∠DAC ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴BD ＝CD . ∵BD ＝DF ， ∴CD ＝BD ＝DF ，∴∠DBC ＝∠BCD ，∠DCF ＝∠F .又∵∠DBC ＋∠BCD ＋∠DCF ＋∠F ＝180°， ∴∠BCD ＋∠DCF ＝90°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ， ∴直线CF 是⊙O 的切线． 21．解：(1)72(2)证明：∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴AE ＝BC ， ∴AE ︵＝BC ︵. ∵F 是AB ︵的中点， ∴AF ︵＝BF ︵， ∴AE ︵＋AF ︵＝BC ︵＋BF ︵，即EF ︵＝CF ︵，∴EF ＝CF .(3)∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝AE ︵，∴AB ︵的长＝BC ︵的长＝15×2πr ＝2π， ∴BF ︵的长＝12AB ︵的长＝π， ∴CF ︵的长＝BF ︵的长＋BC ︵的长＝3π.22．解：(1)①∵AC ＝2，∠B ＝90°，∠A ＝30°，∴BC ＝1，∴点B 旋转的路径长为13×2π×1＝23π. ②如图(a)所示，连接BB ′，交A ′C 于点E .在△BCB ′中，CB ＝CB ′，∠BCB ′＝120°，A ′C ⊥BB ′，∴BE ＝32，∴BB ′＝2BE ＝ 3. (2)如图(b)所示．∵S 1＝S 2，∴S 2＋S 4＝S 1＋S 4＝14π(AC 2－BC 2)＝14π×(22－12)＝34π. 在Rt △ACD 中，CD ＝2 33，S 3＝S 扇形CED ′－S △CED ′＝16π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2 332－12×2 33×1＝29π－33， ∴S 2＋S 3＋S 4＝34π＋29π－33＝3536π－33. 23．解：(1)①如图(a)所示．②(7，0)(2)由阅读材料可知，当以AB 为弦的圆与x 轴正半轴相切，切点为P 时，∠APB 达到最大值．如图(b)，过圆心C 作CD ⊥y 轴于点D ，连接CP ，CB .∵点A 的坐标为(0，m )，点B 的坐标为(0，n )，∴点D 的坐标是(0，m ＋n 2)， 即BC ＝PC ＝m ＋n2.在Rt △BCD 中，BC ＝m ＋n 2，BD ＝m －n 2， 则CD ＝BC 2－BD 2＝mn ，则OP ＝CD ＝mn .故点P 的坐标是(mn ，0)．24．解：实践应用(1)2 l c 16 13(2)54拓展联想(1)⊙O 自转了(l c ＋1)周．理由：∵△ABC 的周长为l ，∴⊙O 在三边上自转了l c周．又∵三角形的外角和是360°，∴在三个顶点处，⊙O 自转了360360＝1(周)． ∴⊙O 共自转了(l c＋1)周． (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫l c ＋1周．。

第二十四章圆单元检测题一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中,正确的是( )A.过圆心的线段叫直径B.长度相等的两条弧是等弧C.与半径垂直的直线是圆的切线D.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形2.已知☉O的半径为6,圆心O到直线l的距离为7,则直线l与☉O的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.无法确定3.(2023自贡)如图所示,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是( )第3题图A.41°B.45°C.49°D.59°4.圆锥的底面圆的半径r=3,高h=4,则圆锥的侧面积是( )A.10πB.15πC.30πD.45π5.如图所示,☉O的直径为10,弦AB的长为6,P为弦AB上的动点,则线段OP的取值范围是( )第5题图A.3<OP<5B.3≤OP≤5C.4<OP<5D.4≤OP≤56.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,F是CD上一点,且DF=BC,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°7.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,若☉O的半径OC为2,则弦BC的长为( )第7题图A.4B.23C.338.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为( )2 B.22-22 D.2-29.(2022娄底改编)如图所示,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC 的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是( )第9题图3π18 B.3183π9 D.3910.(2022广大附中一模)如图所示,点A,B 的坐标分别为A(2,0), B(0,2),点C 为坐标平面内一点,BC=1,点M 为线段AC 的中点,连接OM,则OM 的最大值为( )2+1 B.2+12C.22+1D.22-12二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.11.用反证法证明命题:“已知△ABC,AB=AC,求证:∠B<90°.”第一步应先假设 .12.如图所示,C为AB的中点,CN⊥OB于点N,CD⊥OA于点M,CD=4 cm,则CN= cm.13.已知圆心角为120°的扇形的面积为12π cm2,则扇形的弧长是 cm.14.如图所示,☉O的半径为1,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B.连接OA,OB,AB,PO,若∠APB=60°,则△PAB的周长为 .第14题图15.小明很喜欢钻研问题,一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示),让小明求瓦片所在圆的半径,小明连接瓦片弧线两端AB,量得AB的中点C到AB的距离CD=1.6 cm,AB=6.4 cm,则求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm.第15题图三、解答题(一):本大题3小题,第16题10分,第17,18题各7分,共24分.16.(1)(2022湘潭节选)如图所示,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,AD.若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.(2)如图所示,扇形OAB的圆心角为120°,半径OA为6 cm.若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.17.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB=AD,∠C=110°,若点E在AD 上,求∠E的度数.18.(2022珠海一模改编)如图所示,已知AB是☉O的直径,直线CD是☉O的切线,过点A作AD⊥CD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E.当AB=2BE,且CE=3时,求AD的长.四、解答题(二):本大题3小题,每小题9分,共27分.19.(原创)综合与实践素材:一张三角形纸板.操作:如图(1)所示,将一块三角形纸板ABC,准备裁剪成一个面积最大的圆形,已知∠C=90°,BC=3,AC=4.如图(2)所示,作△ABC的内切圆☉O,切点分别为D,E,G,连接OG,OD,OE.解决问题:请求出裁剪出的最大圆形面积.20.(2022眉山改编)如图所示,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,CD 与☉O相切于点C,过点B作BD⊥DC,连接AC,BC.(1)求证:BC平分∠ABD;(2)若BC=23,AB=4,求阴影部分的面积.21.(2022新疆节选)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,点D在☉O上,AC=CD,连接AD,延长DB交过点C的切线于点E.求证:(1)∠ABC=∠CAD;(2)BE⊥CE.五、解答题(三):本大题2小题,每小题12分,共24分.22.(2022金华)综合探究如图(1)所示,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:作法如图(2)所示.1.作直径AF.2.以F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N.3.连接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN是正三角形吗?请说明理由;(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.23.(2022宁波)综合运用如图(1)所示,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在BC上,AD交BC 于点E,点F在AE上,满足∠AFB-∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于点G,BE=FG,连接BD,DG.设∠ACB=α.(1)用含α的代数式表示∠BFD;(2)求证:△BDE≌△FDG;(3)如图(2)所示,若AD为☉O的直径,当AB的长为2时,求AC的长.答案：一、选择题1.D2.A3.C4.B5.D6.B7.B8.B9.A 10.B二、填空题11.∠B≥90°　12.2　13.4π　14.33　15.4三、解答题(一)16.(1)解:∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°.∵AB是☉O的直径,AD=3,∴∠ADB=90°.∴AB=6.∴☉O的半径为3.(2)如图所示,设圆锥底面圆的半径为r,所以2πr=4π,解得r=2,在Rt△OHC中,HC=2,OC=6,所以OH=OC2-H C2=42(cm).17.解:如图所示,连接BD,∵∠C+∠BAD=180°,∠C=110°,∴∠BAD=180°-110°=70°.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.×(180°-70°)=55°.∴∠ABD=12∵四边形ABDE是☉O的内接四边形,∴∠E+∠ABD=180°.∴∠E=180°-55°=125°.18.解:如图所示,连接OC,∵直线CD为☉O的切线,∴∠OCE=90°.∵AB=2BO,AB=2BE,∴BO=BE=CO.设BO=BE=CO=x,∴OE=2x.在Rt△OCE中,根据勾股定理,得OC2+CE2=OE2,即x2+(3)2=(2x)2.∴x=1.∴AE=3,∠E=30°.∴AD=32.四、解答题(二)19.解:∵∠C=90°,BC=3,AC=4,OG=OE=OD,∴AB=32+42=5.∴S △ABC =12AC×BC=12AC×OG+12BC×OE+12AB×OD=12OG×C △ABC ,即12AC×BC=12OG×C △ABC .∴12×3×4=12×OG×(3+4+5),解得OG=1,∴裁剪出的最大圆形面积为π×12=π.20.(1)证明:连接OC,如图所示,∵CD 与☉O 相切于点C,OC 为半径,∴OC ⊥CD.∵BD ⊥CD,∴OC ∥BD.∴∠OCB=∠DBC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠DBC=∠OBC.∴BC 平分∠ABD.(2)解:如图所示,作CE ⊥AO 于点E,∵AB是直径,AB=4,∴∠ACB=90°,OA=OC=2.在Rt△ABC中,AC=AB2-B C2=42-(23)2=2,∴AO=CO=AC=2.∴△AOC是等边三角形.∴∠AOC=60°.∵CE⊥OA,∴OE=12OA=1.∴CE=3.∴阴影部分的面积S=60×π×22360-12×2×3=2π3-3.21.证明:(1)∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC.∵∠ABC=∠ADC,∴∠ABC=∠CAD.(2)如图所示,连接OC,∵CE与☉O相切于点C,∴∠OCE=90°.∵四边形ADBC是圆内接四边形,∴∠CAD+∠DBC=180°.∵∠DBC+∠CBE=180°,∴∠CAD=∠CBE.∵∠ABC=∠CAD,∴∠CBE=∠ABC.∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC.∴∠OCB=∠CBE.∴OC∥BE.∴∠E=180°-∠OCE=90°.∴BE⊥CE.五、解答题(三)22.解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC=(5-2)×180°=108°,5即∠ABC=108°.(2)△AMN是正三角形.理由如下:如图所示,连接ON,NF,由题意,得FN=ON=OF,∴△FON是等边三角形.∴∠NFA=60°.∴NMA=60°.同理,得∠ANM=60°,∴∠MAN=60°.∴△MAN是正三角形.(3)∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°.×2=144°,∵∠AOD=360°5∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°.∵360°÷24°=15,∴n的值是15.23.(1)解:∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α,①又∵∠AFB+∠BFD=180°,②②-①,得2∠BFD=180°-α,.∴∠BFD=90°-α2,(2)证明:由(1),得∠BFD=90°-α2∵∠ADB=∠ACB=α,.∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°-α2∴∠BFD=∠FBD.∴DB=DF.∵FG∥AC,∴∠CAD=∠DFG.∵∠CAD=∠DBE,∴∠DFG=∠DBE.在△BDE 和△FDG 中,{DB =DF ,∠DBE =∠DFG ,BE =FG ,∴△BDE ≌△FDG(SAS).(3)解:∵△BDE ≌△FDG,∴∠FDG=∠BDE=α,DE=DG.∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α.∵DE=DG,∴∠DGE=12(180°-∠FDG)=90°-α2.∴∠DBG=180°-∠BDG-∠DGE=90°-3α2.∵AD 是☉O 的直径,∴∠ABD=90°.∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=3α2.∴AC 与AB 所对的圆心角度数之比为3∶2.∴AC 与AB 的长度之比为3∶2.∵AB =2,∴AC =3.。

第二十四章 圆一、填空题(每题3分，共18分)1．如图24－Z －1所示，在⊙O 中，若∠A ＝60°，AB ＝3 cm ，则OB ＝________ cm.图24－Z －12．如图24－Z －2，AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝130°，则∠D ＝________°.图24－Z －23．如图24－Z －3所示，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米．图24－Z －34.如图24－Z －4，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，C 是AB ︵上的一点，∠P ＝40°，则∠ACB 的度数为________．图24－Z－45．如图24－Z－5，把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是________cm(结果保留根号)．图24－Z－56.如图24－Z－6，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长为________．图24－Z－6二、选择题(每题4分，共32分)7．如图24－Z－7，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为()图24－Z－7A．40°B．50°C．80°D．100°8．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定9．如图24－Z－8，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD ＝50°，则∠AOC的度数为()图24－Z －8A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°10．一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为( ) A.8π15 B.4π15 C.16π15 D.π211．已知圆锥的底面积为9π cm 2，母线长为6 cm ，则圆锥的侧面积是( ) A ．18π cm 2 B ．27π cm 2 C ．18 cm 2 D ．27 cm 212．一元钱硬币的直径约为24 mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )A ．12 mmB ．12 3 mmC ．6 mmD ．6 3 mm13．如图24－Z －9，半圆的直径BC 恰与等腰直角三角形ABC 的一条直角边完全重合，若BC ＝4，则图中阴影部分的面积是( )图24－Z －9A ．2＋πB ．2＋2πC ．4＋πD ．2＋4π12.如图24－Z －10，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( )图24－Z －10A.252π B ．13π C ．25π D ．25 2 三、解答题(共50分)15．(10分)如图24－Z －11，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°.求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .图24－Z －1116．(12分)如图24－Z －12，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点M 在⊙O 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB .(1)若CD ＝16，BE ＝4，求⊙O 的直径；(2)若∠M＝∠D，求∠D的度数．图24－Z－1217．(12分)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图24－Z－13①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图24－Z－1318．(16分)如图24－Z －14，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E .(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连接CD ，求证：∠A ＝2∠CDE ； (3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求BD ︵的长．图24－Z －14教师详解详析【作者说卷】本试卷的重点是圆的基本概念、与圆有关的位置关系及应用．难点是如何构建垂径定理模型解决问题，切线的判定与性质的综合应用，亮点是既注重解决生活中的实际问题，又培养学生认真读题的习惯.1.32．25 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝130°， ∴∠BOC ＝180°－∠AOC ＝50°， ∴∠D ＝12∠BOC ＝25°.故答案为25. 3.134[解析] 如图所示，设该圆的半径为x 厘米，已知弦长为6厘米，根据垂径定理，得AB ＝3厘米．根据勾股定理，得OA 2－OB 2＝AB 2，即x 2－(x －2)2＝32，解得x ＝134.4．110° [解析] 如图所示，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是切线， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－40°＝ 140°， ∴∠ADB ＝70°.又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB ＝180°－∠ADB ＝180°－70°＝110°.5．2 3 [解析] 设圆锥的底面圆半径为r cm ，高为h cm ，则2πr ＝4π，r ＝2，根据勾股定理，得h ＝16－4＝2 3.故答案是2 3.6．4π [解析] lCD ︵＝120π×1180＝2π3，lDE ︵＝120π×2180＝4π3，lEF ︵＝120π×3180＝2π，所以曲线CDEF 的长＝2π3＋4π3＋2π＝4π.7．D8．A [解析] ∵⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为2， 又∵3＞2，即d ＜r ，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交．9．C [解析] ∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°. ∵∠BCD ＝50°，∴∠OCB ＝40°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝40°， ∴∠AOC ＝2∠OBC ＝80°.故选C .10．A [解析] 根据扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝48π×4360＝8π15.故选A .11．A [解析] 因为圆锥的底面积为9π cm 2，所以圆锥的底面圆的半径为3 cm ，圆锥的底面周长为6π cm ，根据扇形面积公式得S ＝12lR ＝12×6π×6＝18π(cm 2)．12．A [解析] 如图，已知圆的半径r 为12 mm ，△OBC 是等边三角形，所以BC ＝12 mm ，所以正六边形的边长最大不超过12 mm .故选A .13．A [解析] 如图，连接DO.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠CBA ＝45°，∴∠DOC ＝90°.利用分割的方法，得到阴影部分的面积等于三角形BOD 的面积加扇形COD 的面积，所以阴影部分的面积＝12×2×2＋90360π×22＝2＋π.14．A [解析] 如图，连接BD ，B ′D.∵AB ＝5，AD ＝12， ∴BD ＝52＋122＝13， ∴BB′︵的长l ＝90×π×13180＝132π.∵BB″︵的长l′＝90×π×12180＝6π，∴点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是132π＋6π＝252π.故选A .15．证明：∵AB ︵＝AC ︵， ∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形． ∵∠ACB ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝CA ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.16．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD ＝16，∴DE ＝12CD ＝8.∵BE ＝4，∴OE ＝OB －BE ＝OD －4.在Rt △OED 中，OE 2＋DE 2＝OD 2， 即(OD －4)2＋82＝OD 2，解得OD ＝10. ∴⊙O 的直径是20. (2)∵弦CD ⊥AB ， ∴∠OED ＝90°， ∴∠EOD ＋∠D ＝90°.∵∠M ＝∠D ，∠EOD ＝2∠M ，∴∠EOD ＋∠D ＝2∠M ＋∠D ＝3∠D ＝90°， ∴∠D ＝30°.17．解：(1)如图①，连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线， ∴AT ⊥AB ，即∠TAB ＝90°.∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABT＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°.(2)如图②，连接AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°. ∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.18．解：(1)证明：连接OD，BD.∵AB是以BC为直径的半圆O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ，即∠ABO ＝∠ADO ＝90°.又∵OD 是半圆O 的半径，∴AD 是半圆O 的切线．(2)证明：由(1)知∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ＝∠DOC. ∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°，∴∠BDO ＝∠CDE.∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO ，∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE.(3)∵∠CDE ＝27°，∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°.∵OB ＝2，∴BD ︵的长＝126×π×2180＝75π.。

人教版九年级上册数学单元练习题：第二十四章圆（含解析答案）一．选择题1．如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．40°B．50°C．65°D．25°2．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2 C．3D．43．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：25．下列说法中，正确的是（）A．正n边形有n条对称轴B．相等的圆心角所所对的弦相等C．三角形的外心到三条边的距离相等D．同一个平面上的三个点确定一个圆6．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C．D．7．如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠BAO的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则BC的长为（）A．5B．3C．2D．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．35°C．25°D．15°11．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，D G相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝2cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，则线段BC所扫过的面积为（）A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．5πcm2二．填空题13．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC 于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．14．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是．15．如图，△ABC是圆O的内接三角形，则∠ABC﹣∠OAC＝．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝．17．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为c m．18．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB 的最短长度是．三．解答题19．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O 交于点F，连接EC，且EG＝EC．（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，①求证：AC＝CF；②若AD＝1，求线段FG的长．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，点C在⊙O上，AC与OB交点D，点E在OB的延长线上，且CE＝DE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当∠A＝30°，OA＝6时，则CD的长为．21．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D，AB交OC于E，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝，CE＝3．①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．24．如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为10π，求∠AOP度数及x的值．（2）若线段PQ的长为10，求这时x的值．参考答案一．选择题1．解：连接OD，∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A+∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C+∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故选：A．2．解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．3．解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．4．解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴点O在AH上，∴OH＝r，连接OB，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．5．解：A、正n边形有n条对称轴，故本选项正确；B、如图，圆心角相等，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项错误；C、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三角形三边的距离相等，故本选项错误；D、在同一直线上的三个点不能作一个圆，故本选项错误；故选：A．6．解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．7．解：连接OA，∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5．∴MN＝5﹣3＝2故选：A．8．解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，OC过O，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，即∠AOB＝2∠AOC，∵∠ABC＝20°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠AOB＝40°+40°＝80°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝50°，故选：C．9．解：连接OB，作OD⊥BC于点D．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠OBD＝∠ABC﹣∠ABO＝120°﹣90°＝30°，在直角△OBD中，BD＝OB•cos30°＝3×＝，则BC＝2BD＝3．故选：B．10．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：C．11．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG ＝∠BCH ＝30°时，PE +PF ＝4．故选：A ．12．解：∵∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝2cm ，∴AB ＝cm ，如图，由旋转知，∠BAB 1＝∠CAC 1＝90°，△ABC ≌△AB 1C 1，则线段BC 所扫过的面积S ＝+﹣S △ABC ﹣＝﹣＝﹣＝π（cm 2），故选：A ．二．填空题（共6小题）13．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．14．解：连接OC 交AB 于E ．∵C 是的中点，∴OC ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∵∠BAO ＝20°，∴∠AOE ＝70°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝55°，∴∠CAB ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝35°，故答案为35°．15．解：作直径AD ，连接CD ，如图所示：∵AD 是圆O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∴∠OAC +∠D ＝90°，∵∠ABC +∠D ＝180°，∴∠ABC ﹣∠OAC ＝180°﹣90°＝90°；故答案为：90°．16．解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C＝∠D＝90°，∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB＝30°，∴AB＝AD÷cos30°＝4，∴AC＝AB•cos60°＝2，故答案为2．17．解：连接OA，∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，∴OD＝10﹣4＝6cm，在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB＝2AD＝16cm．故答案为16．18．解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，∴此直线恒过点（1，﹣1）．过点D作DH⊥x轴于点H，∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝．∵OB＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝2．故答案为：2．三．解答题（共6小题）19．（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵EO⊥AB，∴∠OGB+∠B＝90°，∵EG＝EC，∴∠ECG＝∠EGC，∵∠EGC＝∠OGB，∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是圆O的切线；（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，∴∠AOC＝45°，∵EO⊥AB，∴∠COF＝45°，∴＝，∴AC＝CF；②解：作CM⊥OE于M，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，∴∠FGC＝67.5°，∵∠COF＝45°，OC＝OF，∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，∴∠GFC＝∠FGC，∴CF＝CG，∴FM＝GM，∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，∴CD＝DM，在Rt△ACD和Rt△FCM中∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），∴FM＝AD＝1，∴FG＝2FM＝2．20．（1）证明：如图连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝∠ADO，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△AOD中，∵OA＝6，∠A＝30°，∴OD＝，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∠COA＝120°，∠DOC＝30°，∴∠DOC＝∠OCD＝30°，∴CD＝OD＝2．故答案为：2．21．（1）证明：在AD上截取AP＝AB，连结PB，如图，∵△DBC为等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，DB＝CB，∵∠BAC＝120°∴∠BAC+BDC＝180°，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠BAP＝∠DCB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴∠ABP＝60°，BP＝BA，∴∠DBC﹣∠PBC＝∠ABP﹣∠PBC，即∠DBP＝∠CBA，∴△DBP≌△CBA（SAS），∴PD＝AC，∴AD＝DP+AP＝AC+AB＝9．（2）当点E、F为直线MN与两圆的交点时，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．证明：连结ME、NF，如图，由（1）的结论得EA+EB＝ME，FC+FD＝FN，∴AE+EB+EF+FC+FD＝ME+EF+FN，∴当点M、E、F、N共线时，ME+EF+FN的值最小，此时点E、F为直线MN与两圆的交点．22．解：（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）①设OE＝x，∵OC＝OA，∴OA＝x+3，由于AE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理可知：x2+（x+3）2＝17，∴x2+3x﹣4＝0，∴x＝1，∴OC＝x+3＝4，∴⊙O的半径为4，；②S＝＝4π，扇形OACS＝×4×4＝8，△AOC∴图中阴影部分的面积＝4π﹣8．23．（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．24．解：（1）如图1，由＝10π，解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠BOQ，∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝∴OQ＝∴x＝；（2）分三种情况：①如图2，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为②如图3，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH＝k，QH＝k．在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10+k）2，整理得：k2+5k﹣75＝0，解得k＝（舍弃）或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝，此时x的值为﹣+5③如图4，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为．综上所述，满足条件的x的值为或﹣+5或．。

一、选择题1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，过B ，C 两点的O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交O 于点F ．连接BF ，CF ，若135EDC ∠=︒，2AE =，4BE =，则CF 的值为（ ）．A 10B ．2C ．23D ．3A解析：A【分析】 由四边形BCDE 内接于⊙O 知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC ，由EF 是⊙O 的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE ，再根据四边形BECF 是⊙O 的内接四边形知∠AEC=∠BFC ，从而证△ACE ≌△BCF 得AE=BF ，根据Rt △ECF 是等腰直角三角形知EF 2=20，继而可得答案．【详解】∵四边形BCDE 内接于O ，且135EDC ∠=︒， ∴18045EFC ABC EDC ︒∠=∠=-∠=︒，∵90ACB ∠=︒， ∴ABC 是等腰三角形，∴AC BC =，又∵EF 是O 的直径， ∴90EBF ECF ACB ∠=∠=∠=︒，∴BCF ACE ∠=∠，∵四边形BECF 是O 的内接四边形，∴AEC BFC ∠=∠，∴()ACE BFC ASA ≅△△，∴AE BF =，Rt BEF △中，22222224220EF BF BE BE AE =+=+=+=，Rt ECF △中，45EFC ∠=︒，∴CE CF =，∴2222220CE CF CF EF+===，∴210CF=，∴10CF=，故选:A．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．2．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°C解析：C【分析】根据切线的性质得到OB⊥AB，OC⊥AC，求出∠BOC，分点P在优弧BC上、点P在劣弧BC上两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．【详解】解：∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠OBA＝90°，∠OCA＝90°∵∠A＝50°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，如图，当点P在优弧BPC上时，∠BPC＝12∠BOC＝65°，当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理是解题的关键．3．点P到圆上各点的最大距离为10cm，最小距离为6cm，则此圆的半径为（）A．8cm B．5cm或3cm C．8cm或2cm D．3cm C解析：C【分析】分析题意，本题应分两种情况讨论：（1）点P 在圆内；（2）点P 在圆外；根据“一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上”可知，点P 到圆的最大距离与最小距离的和或差即是圆的直径，进而即可得出半径的长．【详解】当点P 在圆内时，圆的直径是10+6=16cm ，所以半径是8cm ．当点P 在圆外时，圆的直径是10-6=4cm ，所以半径是2cm ．故选C ．【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟知一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解题的关键．4．已知正方形的边长a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则::R r a =（ ） A ．2:1:2 B ．2:1:1 C ．2:1:1 D ．2:2:4A 解析：A【分析】经过圆心O 作正方形一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．连接OA ，则在直角△OAC 中，∠AOC=45°．OC 是边心距r ，OA 即半径R ，进而即可求解【详解】如图：作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形 在中心的直角三角形的角为360°÷4÷2=45°，∴内切圆的半径为2a ，外接圆的半径为22a ， ∴::R r a =22a ：2a ：a=2:1:2 故选A【点睛】本题主要考查正多边形的外接圆与内切圆的半径，掌握相关概念，作出图形，是解题的关键．5．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（ ）A ．60°B ．68°C ．70°D ．72°D解析：D【分析】 连接OA ，则OA=OB ，可得∠OBA=∠OAB ，再结合∠OBA=18°即可求得∠AOB=144°，再根据圆周角的性质即可求得∠C=72°．【详解】解：如图，连接OA ，∵点O 为ABC 的外心，∴OA=OB ，∴∠OBA=∠OAB ，又∵∠OBA=18°，∴∠OAB=∠OBA=18°，∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=144°，∴∠C=12∠AOB=72°， 故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，熟练掌握相关定义及性质是解决本题的关键． 6．如图，A ，B ，C 三点在O 上，若120ACB ∠=︒，则AOB ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．90︒C ．100︒D ．120︒D解析：D【分析】 在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，根据圆内接四边形的性质计算可得∠D ，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，∵四边形ADBC 是⊙O 的内接四边形，∴∠D+∠ACB=180°，∵120ACB ∠=︒∴∠D=60°∴∠AOB=120°，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．在下列命题中，正确的是( )A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．经过三点确定一个圆D ．三角形的外心一定在三角形的外部B 解析：B【分析】根据命题的“真”“假”进行判断即可．【详解】解：A 、弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；B 、半圆是弧，说法正确，符合题意；C 、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；D 、三角形的外心不一定在三角形的外部，原说法错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．8．已知AB 是经过圆心O 的直线，P 为O 上的任意一点，则点P 关于直线AB 的对称点P '与O 的位置关系是（ ） A ．点P '在⊙○内 B ．点P '在O 外 C ．点P '在O 上 D ．无法确定C解析：C【分析】圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解．【详解】解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为：在⊙O上，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解．9．如图，AB是⊙的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝35°，则∠D的度数是（）A．65°B．55°C．60°D．70°D解析：D【分析】连结BC，则由已知可以求得∠BCD与∠CBD的度数，最后由三角形的内角和定理可以得到∠D的度数．【详解】解：如图，连结BC，则由弦切角定理可知：∠ABC=∠ACE=35°，∵DB与⊙O相切，∴∠CBD=90°-∠ABC=90°-35°=55°，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=180°-∠ACE-∠90°=55°，∴∠D=180°-∠BCD-∠CBD=70°，故选D ．【点睛】本题考查圆的应用，灵活运用直线与圆相切的性质求解是解题关键．10．在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=14，则S3-S4的值是( )A ．294πB ．234πC ．114πD ．54πD 解析：D【分析】根据AB 和AC 的长和圆的面积公式可求得S 1+S 3，S 2+S 4的值，然后再两值相减即可得出结论．【详解】解：∵AB=4，AC=2，∴S 1+S 3=2π，S 2+S 4=2π， ∴（S 1+S 3）﹣（S 2+S 4）=（S 1﹣S 2）+（S 3﹣S 4）=32π ∵S 1-S 2=14π， ∴S 3-S 4= 32π﹣14π= 54π， 故选：D ．【点睛】 本题考查了圆的面积，正确表示出S 1+S 3，S 2+S 4的值是解答的关键．二、填空题11．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，对角线AC 是O 的直径，2AB =，45ADB ∠=︒，则O 的半径长为_______．【分析】先根据圆周角定理可得再根据等腰直角三角形的判定与性质勾股定理可得由此即可得【详解】是的直径是等腰直角三角形则的半径长为故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理等腰直角三角形的判定与性质勾股定理2【分析】先根据圆周角定理可得90,45ABC ACB ADB ∠=︒∠=∠=︒，再根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得22AC =【详解】 AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，45ADB ∠=︒，45ACB ADB ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∴是等腰直角三角形，2BC AB ==，AC ∴==则O 的半径长为12AC =【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．12．将面积为3πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为_____cm ．1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm 底面圆的半径为rcm ∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面扇形的圆心角是120 解析：1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm ，底面圆的半径为rcm ，∵面积为3πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°， ∴2120360R π⨯＝3π， 解得：R ＝3，由题意可得：2πr ＝1203180π⨯， 解得：r ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出母线长是解题关键．13．如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是____________．【分析】连接DO 交AC 于点F 由垂径定理得F 是AC 中点再由中位线定理得接着证明得到DF=CB 就可以求出OF 的长就得到BC 的长最后用勾股定理求出AC 的长【详解】解：如图连接DO 交AC 于点F ∵D 是的中点∴ 解析：42【分析】连接DO ，交AC 于点F ，由垂径定理得F 是AC 中点，再由中位线定理得12OF BC =，接着证明()EFD ECB AAS ≅，得到DF=CB ，就可以求出OF 的长，就得到BC 的长，最后用勾股定理求出AC 的长．【详解】解：如图，连接DO ，交AC 于点F ，∵D 是AC 的中点，∴OD AC ⊥，AF CF =，∴90DFE ∠=︒，∵OA OB =，AF CF =，∴12OF BC =， ∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=︒，在EFD △和ECB 中，90DFE BCE DEF BECDE BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()EFD ECB AAS ≅，∴DF BC =， ∴12OF DF =，∵3OD =，∴1OF =，∴2BC =，在Rt ABC 中，2242AC AB BC =-=． 故答案是：42．【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理．14．如图，A 是半径为1的O 外一点，2OA =，AB 是O 的切线，点B 是切点，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为________．【分析】连接OCOB 易证△OAB 为等边三角形由BC ∥OA得S △OCB ＝S △ACB 把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积【详解】连接OCOB ∵是的切线∴OB ⊥AB 在Rt △OBA 中∵OB=1OA=2∴∠解析：6π【分析】连接OC ，OB ，易证△OAB 为等边三角形，由BC ∥OA ，得S △OCB ＝S △ACB ，把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积．【详解】连接OC ，OB∵AB 是O 的切线∴OB ⊥AB 在Rt △OBA 中∵OB=1，OA=2∴∠AOB=60°又∵//BC OA∴∠OBC=60°∵OB=OC∴△OAB 为等边三角形又∵BC ∥OA ∴S △OCB ＝S △ACB∴S 阴＝S 扇形OBC =2601360π⨯⨯ =6π故答案为：6【点睛】本题考查扇形面积的求解，将不规则图形转化成规则的扇形是解题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠BOE=54°，则∠C=______．18°【分析】连接OD利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到∠BOE=3∠C即可解决问题【详解】连接OD∵CD=OA=OD∴∠C=∠DOC∴∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C∵OD=O解析：18°．【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到∠BOE=3∠C，即可解决问题．【详解】连接OD，∵CD=OA=OD，∴∠C=∠DOC，∴∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C，∵OD=OE，∴∠E=∠EDO=2∠C，∴∠EOB=∠C+∠E=3∠C=54°，∴∠C=18°，故答案为：18°．【点睛】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．16．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm，母线长为10cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2（结果保留π）50π【分析】首先求得圆锥的底面周长然后利用扇形的面积公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π则圆锥的侧面积是：×10π×10＝50π（cm2）故答案是：50π【点睛】本题主要考查解析：50π【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π，则圆锥的侧面积是：12×10π×10＝50π（cm2）．故答案是：50π．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P 是AB的中点，则OP的最小值是____．【分析】作点A关于y轴的对称点C连接BC由题意可得若OP取最小值则BC也为最小因此可根据圆外的点到圆上的距离为最小只需过圆心即可求解【详解】解：作点A关于y轴的对称点C连接BC如图所示：∴点O为AC解析：5 2【分析】作点A关于y轴的对称点C，连接BC，由题意可得12OP BC，若OP取最小值，则BC也为最小，因此可根据圆外的点到圆上的距离为最小只需过圆心即可求解．【详解】解：作点A关于y轴的对称点C，连接BC，如图所示：∴点O 为AC 的中点，∵点P 为AB 的中点， ∴12OP BC =，//OP BC ， 当OP 取最小值，则BC 也取最小值，∵()8,0A ，OB=3，∴OA=OC=8，当点C 、O 、B 三点共线时，BC 的长为最小，即为：835BC =-=， ∴52OP =，即OP 的最小值为52； 故答案为52． 【点睛】本题主要考查圆的最值问题，关键是根据三角形的中位线得到线段的最值问题，然后根据点与圆的位置关系进行求解即可．18．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm ，弧长是12πcm 2，那么这个圆锥的高是________cm ．参考答案8【分析】设圆锥的底面半径为利用圆锥的侧面展开图为一个扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长圆的周长公式计算出然后利用勾股定理计算出圆锥的高【详解】解：设圆锥底面圆的半径为则有∴圆锥的高为故答案是：【 解析：8【分析】设圆锥的底面半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一个扇形、这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长、圆的周长公式计算出r ，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，则有，212r ππ=6r =∴221068cm -=．故答案是：8【点睛】本题考查了平面图形与立体图形之间的互相转化、求圆锥的底面半径、圆的周长公式以及勾股定理等相关知识，能够利用“扇形的弧长等于圆锥底面的周长”求得圆锥的底面半径是解题的关键．19．如图，AB 是O 的直径，O 交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则下列结论正确的有______（填序号） ①AD BC ⊥；②EDA B ∠=∠；③12OA AC =；④DE 是O 的切线． ①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°可得①进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB 连接OD 然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解【详解】解：∵是的直径∴∠ADB=90°∴AD ⊥BC 故① 解析：①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°，可得①，进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB ，连接OD ，然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解．【详解】解：∵AB 是O 的直径， ∴∠ADB=90°，∴AD ⊥BC ，故①正确；∵点D 是BC 的中点，∴AC=AB ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠B=∠C ，∠CAD=∠BAD ，∵DE ⊥AC ，∠CDA=90°，∴∠EDA+∠EAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴EDA C ∠=∠，∴EDA B ∠=∠，故②正确；∵12OA AB =， ∴12OA AC =，故③正确； 连接OD ，如图所示：∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO，∴∠ADO=∠EAD，∴∠ADO+∠EDA=90°，∴ED是⊙O的切线，故④正确；∴正确的有①②③④；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．20．如图，△ABC内接于O，∠BAC=45°，AD⊥BC于D， BD=6，DC=4，则AD的长是_____．12【分析】连接OAOBOC过点O作OE⊥AD于EOF⊥BC于F根据圆周角定理得到∠BOC=90°再根据等腰直角三角形的性质计算求出OB再由DF=BD-BF得出DF然后等腰直角三角形的性质求出OF根解析：12【分析】连接OA、OB、OC过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，再根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB，再由DF=BD-BF得出DF，然后等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，再根据AD=AE+OF得到答案．【详解】解：∵BD=6，DC=4，∴BC=BD+DC=10∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，∴2522==OB BC 连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，∴BF=FC=5，∴DF=BD-BF=1，∵∠BOC=90°，BF=FC∴OF=12BC=5， ∵AD ⊥BC ，OE ⊥AD ，OF ⊥BC ，∴四边形OFDE 为矩形，∴OE=DF=1，DE=OF=5，在Rt △AOE 中，227,=-=AE OA OE∴AD=AE+DE=12．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题21．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD CE =．（1）求证：BE ＝CE ；（2）若∠B ＝50°，求∠AOC 的度数．解析：（1）见解析；（2）20°【分析】（1）根据∠AOD=∠BOE 可知AD BE ，再由AD CE =即可得出结论；（2）先根据等腰三角形的性质求出∠BOE 的度数，再由BE=CE 可得出∠BOE=∠COE ，根据补角的定义即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵∠AOD=∠BOE ，∴AD BE ．∵AD CE =，∴BE CE =，∴BE=CE ；（2）∵∠B=50°，OB=OE ，∴∠BOE=180°-50°-50°=80°．∵由（1）知，BE=CE ，∴∠COE=∠BOE=80°，∴∠AOC=180°-80°-80°=20°．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键． 22．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上，若50AOD ．（1）求DEB ∠的度数：（2）若3OC =，5OA =，①求弦AB 的长；②求劣弧AB 的长．解析：（1）25°；（2）①8；②25π9【分析】 （1）根据垂径定理和圆周角定理求解即可；（2）①根据勾股定理和垂径定理求解即可；②先求出100AOB ∠=︒，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：（1）∵⊥OD AB ，∴AD BD =， ∴11502522DEB AOD ∠=∠=⨯︒=︒； （2）①∵3OC =，5OA =，⊥OD AB ，∴4AC ==，∴AB=2AC=8；②∵50AOD ，AD BD =，∴100AOB ∠=︒， ∵5OA =，∴弧AB 的长π1005π25π1801809n r ⨯===． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，以及弧长公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．23．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和C ，给出如下定义：如果C 的半径为r ，C 外一点P 到C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做C 的“离心点”． （1）当C 的半径为1时，①在点())1231,0,2,2P P P ⎛- ⎝⎭中，C 的“离心点”是_____________； ②点P(m ，n)在直线3y x =-+上，且点P 是O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围； （2） C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线132y x =-+与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ．如果线段AB 上的所有点都是C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围． 解析：（1）①23,P P ；②12m ≤≤；（2）圆心C 的纵坐标满足34y <≤或11y -≤<-【分析】(1) ①分别计算123OP OP OP ，，的长，判断P 到C 的切线长是否小于或等于2r ，即可解题；②设(),3P m m -+，根据题意，当过点P 的切线长为2时，OP=5，列出相应的一元二次方程，解方程即可；(2) 分类讨论，当C 在y 轴的正半轴上时，当点C 在y 轴的负半轴上时，当圆C 与直线112y x =-+相切时，画出相应的图形，结合全等三角形的判定与性质解题． 【详解】①())1231,0,2,2P P P ⎛- ⎝⎭1231,2,OP OP OP ===所以点1P 不在圆上，不符合题意；因为过点2P 的切线长为==2<所以2P 是圆的离心点因为过3P 的切线长为5122=-==所以3P 是离心点；故答案为23,P P ；②如图设(),3P m m -+当过点P 的切线长为2时，OP=5，所以22(3)5m m +-+=解得m=1或m=2观察图像得12m ≤≤（2）如图2，当C 在y 轴的正半轴上时，经过点B(1，0)，A(2，0)当AC=25，点A 是离心点，此时C(0，4)；观察图像知圆的纵坐标满足34y <≤，线段AB 上所有的点都是离心点；如图3，当点C 在y 轴的负半轴上时，5BC =B 是离心点，此时C(0， 125-)如图4，当圆C 与直线112y x =-+相切时，设切点为N ， 如图，由题意得CNB AOB ∆≅∆5CB NB ==，()0,15C ∴-，观察图像得当圆C 的纵坐标满足12515y -≤<-，线段AB 上的所有点都是离心点； 综上所述,圆C 的纵坐标满足34y <≤或12515y -≤<-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线等知识，是重要考点，难度中等，掌握相关知识是解题关键．24．第十届亚运会在广东召开，有三名运动员分别下榻在A 、B 、C 三个宾馆，三个宾馆由三条道路相连，如图所示．（1）为建一个公共活动场地P 到三个宾馆的距离相等．请用尺规作图方法作出点P ，使得点P 落在△ABC 内部．保留作图痕迹，不要求写作法．（2）如果ACB α∠=，那么APB ∠=______．解析：（1）作两边的垂直平分线，交点即为所求，见解析；（2）2α．【分析】（1）分别作三角形两条边的垂直平分线，两条直线的交点即为所求；（2）根据（1）的作法，可以确定点P 是△ABC 的外接圆的圆心，再根据圆周角定理即可确定∠APB 是∠ACB 的2倍，即可求得结论．【详解】解：（1）如图所示，点P 即为所求（2）由（1）可知PA=PB=PC，所以点A、B、C在以P为圆心，PA为半径的圆上，即A、B、C三点共圆，∴∠APB与∠ACB是AB所对的圆心角和圆周角，∴∠APB=2∠ACB，又∵ACBα∠=，∴∠APB=2α．故答案为：2α．【点睛】本题考查垂直平分线的作法和定义，三角形外心定义、三角形外接圆、圆周角定理，难度中等．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）求证：NE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为52，AC=6，求BN的长．解析：（1）见解析；（2）4．【分析】（1）连接DN,根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质证得ON⊥NE即可证明；（2）连接ON，先根据直角三角形的性质求得AB=10，再由勾股定理可求BC=8，最后由等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图：连接DN∵∠ACB=90°，D为斜边的中点，∴CD=DA=DB=1AB，2∴∠BCD=∠B，∵OC=ON，∴∠BCD=∠ONC，∴∠ONC=∠B，∴ON//AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为OO的切线;（2）如图：连接ON∵⊙O的半径为52∴CD=5∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD=CD=AD=5，∴AB=10，∵AC=6∴BC=22=8106∵CD为直径∴∠CND=90°，且BD=CD∴BN=NC=4．【点睛】本题主要考查圆的切线判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质等知识点，掌握圆的切线判定和性质是解答本题的关键．26．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD ，点O 是CD 的圆心，E 为 CD 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD=300m ，EF=50m ，求这段弯路的半径．解析：这段弯路的半径为250米．【分析】设这段弯路的半径为R 米，可得50OFOE EF R ．由垂径定理得 11300150()22CF CD m ．由勾股定理可得222OC CF OF =+，解得 R 的值．【详解】解：连接OC ．设这段弯路的半径为R 米则50OF OE EF ROE CD ⊥ 11300150()22CF CD m ．根据勾股定理，得222OC CF OF =+即()22215050R R =+-解之，得250R =所以这段弯路的半径为250米．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．27．如图，ABC 内接于O ，60BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点．BC ，AB 边上的高AE ，CF 相交于点H ．试证明：（1）FAH CAO ∠=∠；（2）四边形AHDO 是菱形．解析：（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）连接AD ，根据题意易得,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，则有∠DAE=∠ODA ，∠DAO=∠ODA ，然后根据角的等量关系可求解；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，由题意易得AC=2AM ，AC=2AF ，进而可证△AFH ≌△AMO ，然后可得四边形AHDO 是平行四边形，最后问题可证．【详解】证明：（1）连接AD ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，∵AE ⊥BC ，∴AE ∥OD ，∴∠DAE=∠ODA ，∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ODA ，∴∠BAD-∠DAE=∠CAD-∠DAO ，∴∠FAH=∠CAO ；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AC=2AM ，∵CF ⊥AB ，∠BAC=60°，∴AC=2AF ，∴AF=AM ，∵∠AFH=∠AMO=90°，∠FAH=∠OAM，∴△AFH≌△AMO（ASA），∴AH=AO，∵OA=OD，∴AH//CD，∴四边形AHDO是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AHDO是菱形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理及菱形的判定，熟练掌握圆周角定理、垂径定理及菱形的判定是解题的关键．28．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，CE＝2，求CB的长．解析：（1）见解析；（2）8【分析】（1）连接OD交BC于H，证出OD∥AE，得出OD⊥EF，即可得出结论；（2）证四边形CEDH是矩形，得HD＝CE＝2，由三角形中位线定理得OH＝12AC＝3，则OB＝OD＝OH＋HD＝5，得AB＝2OB＝10，由勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：连接OD交BC于H，如图所示：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠HCE＝90°，又∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，由（1）得：OD⊥EF，∴∠HDE＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴HD＝CE＝2，∴∠CHD＝90°，∴∠OHB＝90°，∴OD⊥BC，∴OH平分BC，∴OH是△ABC的中位线，∴OH＝1AC＝3，2∴OB＝OD＝OH+HD＝5，∴AB＝2OB＝10，∴CB2-＝8．AC【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；解题的关键是掌握切线的判定与性质和圆周角定理．。