超级全能生2020届高考全国卷26省9月联考乙卷数学理试题Word版含答案

2020届福建省“超级全能生”高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（）A．12B．13C．14D．152．若钝角α满足sin3costan2cos sinααααα-=-，则tanα=（）A．226- B．26-C．227- D．27-3．若对圆221x y+=上任意一点P(x,y)，34349x y a x y-++--的取值与x、y无关,则实数a的取值范围是A．a≤-5 B．-5≤a≤5C．a≤-5或a≥5D．a≥54．已知点(1,2)是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>上一点，则其离心率的取值范围是（）A．(1,5)B．5(1,)2C．(5,)+∞ D．5(,)2+∞5．已知12,F F分别是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使1290F PF∠=o，则椭圆的离心率e的取值范围为A．2(0,]B．2[,1)2C．3(0,]D．3[,1)6．已知定义在R上的函数()f x在区间)[0+∞，上单调递增，且()1y f x=-的图象关于1x=对称，若实数a满足()()22f log a f＜，则a的取值范围是（）A．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D．()4,+∞7．如图，边长为2的正方形ABCD中，,E F分别是,BC CD的中点，现在沿,AE AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D三点重合，重合后的点记为P，则四面体P AEF-的高为A．13B．23C ．34 D ．18．已知0a >且1a ≠，函数()()2loga f x x xb =++在区间(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log a g x x b =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该几何体的表面积为( )A ．2a B 23aC ．23D ．23a10．已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ ( )A ．3B ．2C ．－2D ．－311．要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位 D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位12．若不等式1ln x m m ex+-≤+对1[,1]xe∈成立，则实数m 的取值范围是（）A．1[,)2-+∞B ．1(,]2-∞-C．1[,1]2-D．[1,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

超级全能生2016高考全国卷26省联考 数学（理科乙卷）一、选择题1.已知{y |y 2,x 1}x U ==≥-，1{x |1}1A x =≥-则U C A =（ ）A.[1/2,2]B.[2,)+∞C.[1/2,1](2,)+∞D. [1/2,1)(2,)+∞ 答案：C解析：[1/2,),(1,2]U A =+∞=2.复数z 满足zi z i=- 则z =（ ） A.12i + B.12i - C. 1＋i D. 1－i答案：B解析：设z a bi =+ 代入解得1/2a b == 3.执行如图所示的程序框图，则输出的k 为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 答案：B 解析：348log 2log 3...log 7lg 2/lg81/3S =⨯⨯⨯==4.从自然数1~9中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为（ ） A. 23 B. 13 C. 19 D. 18 答案：C解析：基本事件总数729936C C ==平均数为5的事件包括：辍选1,9;2,8,3,7;4,6共四种可能 5.如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 163 B.4 C. 3 D. 2 答案：D解析：四棱锥的直观图如图所示底面为直角梯形AA ’EC ，2()3222a aS a =+⨯= 四棱锥的高FB ，222a h ==，因此123V Sh == 6.在平面内，过定点P 的直线1mx y +=与过定点Q 的直线30x my -+=相交于点M ，则||||MP MQ ⋅的最大值为（ ）A. 102 B. 10 C. 10 D. 5 答案：D解析：查考过定点的直线系定点(0,1),(3,0)P Q - 10PQ =为定长设MQ=x ，MP=y ，则222210/2x y PQ xy xy +=≥⇒≤7.若函数f(x)同时满足以下三个性质：(1)f(x)的最小正周期为π；(2),()()04x f x f x π∀∈-+-=R ；(3)f(x)在(,)42ππ上是减函数，则f(x)的解析式可能是（ ）A.()sin 2cos 2f x x x =+B. ()sin 2f x x =C. ()tan(/8)f x x π=+D. ()cos 2f x x =答案：A解析：三个性质分别对应周期性、奇偶性和单调性 首先由单调性排除正切函数其余三个函数周期性与单调性均满足 考查()2sin(2/4)f x x π=+(/4)2sin(2/4)f x x ππ-=-正好满足性质(2)8.设x,y 满足约束条件3274x y x y a +≤⎧⎨-≤⎩且z ax y =+的最大值为4，则a ＝（ ）A. 2B. 23 C. －2 D. －4 答案：A解析：联立线性方程得交点72283,1111a ax y +-==22(214)411ax y a a +=++= 因此2280a a +-= 即a=2或－4 其中a=－4使约束条件与目标函数平行故舍去 9.若函数12(),()f x f x 满足12()()dx 0(0)aa f x f x a -⋅=>⎰，则称12(),()x f x 是区间[－a, a]上的一组Γ函数，给出下列四组函数： (1) 212(),()1f x x f x x ==+ (2) 12()cos ,()tan f x x f x x == (3) 12()21,()21f x x f x x =-=+ (4) 12()sin ,()cos f x x f x x ==其中是区间[－1/2, 1/2]上的Γ函数的组数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：C解析：对称区间上定积分为零，被积函数一定是奇函数，因此只有(2)(4)10.已知a,b 是单位向量，且夹角为60°，若向量p 满足|a b p |1/2--=，则|p|的最大值为（ ）A. 12B. 1C. 32 D. 2 答案：C解析：如图所示单位向量|a-b|=1 因此|1|p |||a b p |1/2|p |11/2-≤--=⇒≤+11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，P 为棱A ’B ’中点，点Q 在侧面DCC ’D ’内运动，若∠PBQ ＝∠PBD’，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案：C解析：考查圆锥曲线的定义，如图所示 平行于圆锥旋转轴BP 的截面截得双曲线 而侧面DCC ’D ’显然平行于旋转轴BP12.已知函数22ln (x m)()x f x x+-=，若存在[1,2]x ∈使得'()()0f x x f x ⋅+>，则实数m 的取值范围是（ ）A. (－∞, 2)B. (2, 52)C. (0, 52)D. (－∞, 52) 答案：D解析：考查导数及二次不等式22[2/2()][2ln (x m)]'()x x m x x f x x +--+-= 因此2'()()2()0f x x f x x m x⋅+=+->不等式可转化为2()10,[1,2]g x x mx x =-+>∈ 本题要求存在x ，即(1)0(2)05/2g g m >>⇒<或 若要求恒成立，则根据对称轴x=m/2的位置分类讨论当122m ≤≤时()02mg m φ>⇒∈当/21m <时(1)02g m >⇒< 当/22m >时(2)0g m φ>⇒∈ 二、填空题13.已知:p x m ≤，:|2|1q x -<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是___ 答案：[3,)+∞解析：{x |x m}P =≤ {x |1x 3}Q =<< 题设等价于Q P ⊂14.已知n 为正整数，在2(1)n x -与(1)n x +展开式中2x 项的系数相同，则n=___ 答案：2解析：4222(21)(22)(23)/24(1)/2n n C C n n n n n n =⇒---=-化简得24802n n n -=⇒=15.在等腰ABC ∆中，AB=AC ，||26AC BC +=，则ABC ∆面积的最大值为___答案：4解析：如图所示，设等腰ABC ∆底边上的高AO=h 底角α为锐角，设OC=x ，则BC=CD=2x ， 由三角形法则得26AD =224(3)ABC S hx x x ∆==- 22224(249)9()163S x x x =-=--+当24/3x =时面积S 取最大值416.设12,F F 是椭圆22:15x C y +=的两焦点，点P （异于两焦点）关于两焦点的对称点分别为12,P P ，线段PQ 的中点在椭圆C 上，则12|P Q ||P Q |+=___ 答案：45解析：特殊点法，设P(0,0)，Q(2a,0)，则P1(-2c,0),P2(2c,0) 则12|P Q ||P Q |+=2a+2c+2a-2c=4a ，而5a = 三、解答题17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，2222,*n n S a n n n N +=++∈ (1)求数列{}n a 的通项公式 (2)求数列{n(n)}n a -的前n 项和n T 解析：15/3a =当2n ≥时2112(1)2(1)2n n S a n n --+=-+-+，作差得1321n n a a n --=+，整理得13()(1)n n a n a n --=--因此{()}n a n -为首项2/3、公比1/3的等比数列因此23n n a n =+(2) 2n(n)3n n na -=2122(...)333n n n T =+++ 2311122(...)3333n n n T +=+++作差得2121112(...)33333n n n n T +=+++-因此31(1)233n n n nT =--18.某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如下：消费金额X （元） [500,1000) [1000,1500) [1500,+∞) 抽奖次数 1 2 3抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取）.第一种抽奖方式：若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元.第二种抽奖方式：抽到白球，获得奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元.(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获得奖金70元的概率(2) 若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利.解析：(1)X=2000可抽奖4次，得奖金70元，共有两种情形：抽得3红1黑；抽得1红3白 因此所求事件的概率为3113424349221C C C C P C +== (2) X=1200可抽奖2次用第一种抽奖方式，获得奖金可能为20,30,40,50,60,8024291(20)6C P C == 1143291(30)3C C P C == 23291(40)12C P C ==1142292(50)9C C P C == 1132291(60)6C C P C == 22291(80)36C P C ==随机变量的分布列随机变量 20 3040 50 60 80 P 1/61/3 1/12 2/9 1/6 1/36期望20/630/340/12100/960/680/3640E ξ=+++++= 用第二种抽奖方式，获得奖金可能为0,50,100,150,20024291(0)6C P C == 1143291(50)3C C P C == 2113422911(100)36C C C P C +== 1132291(150)6C C P C == 22291(200)36C P C ==随机变量的分布列随机变量 0 50100 150 200 P 1/61/3 11/36 1/6 1/36期望050/31100/36150/6200/36700/9E η=++++=明显第二种抽奖方式更有利。

“超级全能生”2019届高考全国卷26省9月高三联考乙卷地理试题第I卷（选择题）一、选择题下图是11月24日至26日中国局地降雪量分布图。

据此完成下面小题。

1．影响甲、乙两地降雪量差异的主导因素是A．纬度B．地形C．大气环流D．海陆位置2．该时期A．甲地土壤温度日变化较小B．乙地春小麦干旱缺水C．丙地作物受冻害最严重D．丁河段今年首次发生凌汛3．次年春季洪涝灾害最严重的可能是A．甲B．乙C．丙D．丁雪莲是新疆的著名特产，生于高山雪线附近的岩缝、石壁和冰碛砾石滩中．种子在0℃发芽．3-5℃生长．幼苗能够抵御-21℃的低温．15- 25℃生长旺盛，以天山所产最多，质亦最佳。

可作药用．也有一定的观赏价值。

1906年中国已将天山雪莲列为二级保护植物。

下图是天山自然带谱垂直分布图，据此完成下面小题。

4．影响天山南北坡自然带谱种类差异的主导因素是( )A．光照B．风向C．海拔D．坡度5．天山雪莲最可能的分布区在( ）A．高山冰雪带B．高山草甸带C．山地草甸草原带D．云杉林带6．天山雪莲人工已栽培成功，人工创造的生长环境气候和土壤的突出特点应该是( )A．冷湿B．冷干C．暖湿D．暖干橡胶坝，又称橡胶水闸，是用高强度合成纤维织物做受力骨架，内外涂敷橡胶作保护层，通过充水（气）将其充胀形成的袋式挡水坝。

坝硕可以溢流，并可根据需要调节坝高，在上游蓄水并控制上游水位，某县县城建成的橡胶坝剖面图如下图所示，其中7-9月橡胶坝水体自然外溢，据此完成下面小题。

7．根据材料，判断该县属于下列那个省区A．广东B．台湾C．山西D．云南8．在水下泥土中种荷花、水草，水中放养鱼类，主要作用是A．美化环境B．形成良性生态系统C．生产莲藕D．增加蒸腾作用9．橡胶坝水体不能起到的作用是( )A．改善局地气候B．降低热岛效应C．扩大湿地面积D．增加县城降水量建筑容积率是指项目规划建设用地范围内全部建筑面积与规划建设用地面积之比。

据此完成下面小题。

“超级全能生”2018高考全国卷26省9月联考乙卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位，复数1+=i iz ，则z 的虚部为（ ） A ．i 21 B ．i 21- C ．21 D ．21-2. 已知集合}032|{)},4(log |{22>--=-==x x x B x y x A ，则=⋂B A （ ） A ．)4,3( B ．)1,(--∞ C ．)4,(-∞ D ．)1,()4,3(--∞⋃3.设m 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程0132=++mx x 有实数根的概率为（ ） A ．65 B ．32 C ．21 D ．314. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的一段话“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”用程序框图表示如图，那么这个程序的作用是（ ）A ．求两个正数b a ,的最大公约数B ．求两个正数b a ,的最小公倍数 C.判断其中一个正数是否能被另一个正数整除 D ．判断两个正数b a ,是否相等 5. 下列说法正确的是（ ）A ．命题“若0432=--x x ，则4=x .”的否命题是“若0432=--x x ，则4≠x .”B ．0>a 是函数ax y =在定义域上单调递增的充分不必要条件C ．0043),0,(0x x x <-∞∈∃D ．若命题5003,:>∈∀n N n P ，则5003,:00≤∈∃⌝n N n p6.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤+,32,,3y x y x y x 则x y z =的取值范围为（ ）A ．),1(+∞B ．),1[+∞ C. ),2(+∞ D ．)1,0( 7. 在ABC ∆中，D ABC BC AB ,2,6,4π=∠==是AC 的中点，E 在BC 上，且BD AE ⊥，则=⋅→→BC AE （ ）A ．16B ．12 C. 8 D ．4- 8.将函数)0)(6sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移ωπ6个单位，得到函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在]4,6[ππ-上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C. 23 D ．5129.已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧∈∉+=+**12,2,N nqa N n d a a n n n （q 为非零常数），若}{n a 为等比数列，且首项为)0(≠a a ，公比为q ，则}{n a 的通项公式为（ ）A ．a a n =或1-=n n q aB ．a a n n 1)1(--= C. a a n =或a a n n 1)1(--= D ．1-=n n q a10. 已知F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的右焦点，P 是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M （O 为坐标原点）.若点F M P ,,三点共线，且MFO ∆的面积是PMO ∆的面积的3倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．6 B ．5 C.3 D ．211.已知函数||)(x a e x f x-=有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．)0,(-∞ B ．)1,0( C. ),0(e D ．),(+∞e12. 若正四棱锥ABCD P -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，则球O 的半径与正四棱锥ABCD P -内切球的半径之比为（ ） A ．13+ B ．2 C.3 D ．13-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．14.已知直线b x y +=与圆222=+y x 相交于B A ,两点，O 为坐标原点，若1-=⋅→→OB OA ，则=b ． 15.已知函数t x x x t x f ++-=2233)(23在区间),0(+∞上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是 ．16.已知数列}{},{n n b a 满足1,2,1121-===b a a ，且对任意的正整数1,2,1121-===b a a ，当q p n m +=+时，都有q p n m b a b a -=-，则)(2018120181i i i b a -∑=的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，4,4,24π=∠==ABC BC AC .（1）求角A 和ABC ∆的面积； （2）若CD 为AB 上的中线，求2CD .18. 如图1，四边形ABCD 为等腰梯形，1,2====CB DC AD AB ，将AD C ∆沿AC 折起，使得平面⊥ADC 平面ABC ，E 为AB 的中点，连接DB DE ,.（1）求证：AD BC ⊥； （2）求E 到平面BCD 的距离.19. 某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取6部进行测试，其结果如下：（1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好； （2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述6部乙种手机中随机抽取2部求这两部手机中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的概率.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 过点)1,2(，其离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线m x y l +=:与E 相交于B A ,两点，在y 轴上是否存在点C ，使A B C ∆为正三角形，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数R a x ax x g x x f ∈-==,21)(,ln )(2. （1）设)()()(x g x f x h -=，若0)1(=h ，求)(x h 的单调区间； （2）设0>>n m ，比较n m n f m f --)()(与222n m n+的大小.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆⎩⎨⎧+=+=θθsin 22,cos 22:x x C （θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点B A ,的极坐标分别为)0,1(),,1(π. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若P 为圆C 上的一动点，求22||||PB PA +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|2||12|)(-+-=x x x f . （1）求不等式3)(≥x f 的解集； （2）若)0,(11)(>+≥n m nm x f 对任意R x ∈恒成立，求n m +的最小值. 试卷答案一、选择题1-5:CDCAD 6-10:BABCC 11、12：DA二、填空题13. 8+π 14. 1± 15. )89,0( 16. 2019三、解答题17.解：（1）由4sin 24sin 4π=∠BAC ，得21sin =∠BAC ， 又AC BC <，则4π<∠BAC ，解得6π=∠BAC .所以127π=∠ACB ， 所以ABC ∆的面积)13(4127sin 42421+=⨯⨯⨯=πS . （2）设x AB =，则在ABC ∆中，由余弦定理得4cos816322πx x -+=，即016242=--x x ，解得6222+=x （舍负），62+=∴BD .在BCD ∆中，由余弦定理34164cos2222-=⋅-+=πBD BC BD BC CD . 18. 解：（1）证明：在图1中，作AB CH ⊥于H ，则23,21==AH BH ，又,3,23,1=∴=∴=CA CH BC BC AC ⊥∴， 平面⊥ADC 平面ABC ，且平面⋂ADC 平面AC ABC =， ⊥∴BC 平面ADC ，又⊂AD 平面ADC ，AD BC ⊥∴.（2）如图2，E 为AB 的中点，E ∴到平面BCD 的距离等于A 到平面BCD 距离的一半. 而平面⊥ADC 平面BCD ，所以过A 作CD AQ ⊥于Q ，又由C CD BC BC AQ =⋂⊥,则⊥AQ 平面AQ BCD ,就是A 到平面BCD 的距离.由图易得23==CH AQ . E ∴到平面BCD 的距离为43.19. 解：（1）甲的平均值5.2020)031221(61=++++--=→甲X ， 乙的平均值5.2020)5.22305.22(61=+++++--=→乙X ， 甲的方差])205.20()235.20()225.20()215.20()185.20()195.20[(612222222-+-+-+-+-+-=甲S1235=乙的方差])5.225.20()225.20()235.20()205.20()5.175.20()185.20[(612222222-+-+-+-+-+-=乙S314=因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好.（2）由题意得上述6部乙种手机中有3部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值，记它们分别是321,,A A A ，其余的为321,,a a a ， 从上述6部乙种手机中随机抽取2部的所有结果为),,(),,(),,(),,(21113121a A a A A A A A ),,(),,(3231A A a A),,(),,(),,(322212a A a A a A ),,(),,(),,(332313a A a A a A ),(),,(),,(323121a a a a a a ，共有15种， 其中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的结果为),,(),,(),,(312111a A a A a A ),,(12a A),(),,(),,(),,(),,(3323133222a A a A a A a A a A ，共有9种，所以所求概率为53159==P . 20. .解：（1）由已知得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+2222222111c b a a cb a ，解得2,2==b a . ∴椭圆E 的方程为12422=+y x . （2）把m x y +=代入E 的方程得0424322=-++m mx x ，设),(),,(2211y x B y x A ，则342,3422121-=-=+m x x m x x ， 66,0)6(82<<->-=∆m m ，222212212634342491624)(1||m m m x x x x kAB -=-⨯-⋅=-++=设AB 的中点为P ，则)3,32(,3,32221mm P m x m y m x x x P P P -∴=+=-=+=3:m x y PC --=∴，令0=x ，则)3,0(m C -， 由题意可知，||23||AB PC =222634239494m m m -⨯=+∴，解得5103±=m .符合0>∆， ∴直线l 的方程为5103±=x y . 21.解：（1）0121)1(=+-=a h ，所以2=a ， 此时x x x x x x h x x x x x h 2221121)(,0,ln )(-+=+-='>+-=，0>x ，由0)(>'x h 得10<<x ，由0)(<'x h 得1>x ， )(x h ∴的单调增区间是)1,0(，单调递减区间是),1(+∞.（2）设0),()]()([)(>---=x m x m f x f m x ϕ，则xxm x -=')(ϕ， 当),0(m x ∈时，)(,0)(x x ϕϕ∴>'在),0(m 上单调递增，0)()(,0=<∴>>m n n m ϕϕ ，即mn m n f m f m n m f n f m 1)()(,0)()]()([>--∴<---，又mn m n mn n m 12,22222<+∴>+ ，222)()(nm n n m n f m f +>--∴. 22.解：（1）把圆C 的参数方程化为普通方程为2)2()2(22=-+-y x ，即064422=+--+y x y x ，由θρθρρsin ,cos ,222===+y x y x ，得圆C 的极坐标方程为06sin 4cos 42=+--θρθρρ.（2）设B A P ,),sin 22,cos 22(θθ++的直角坐标分别为)0,1(),0,1(-，则222222)sin 22()cos 21()sin 22()cos 23(||||θθθθ+++++++=+PB PA]38,6[)4sin(1622∈++=πθ所以22||||PB PA +的取值范围为]38,6[.23.解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<+≤+-=)2(33)221(1)21(33)(x x x x x x x f ，其图象如图所示，由图可知3)(≥x f 的解集为0|{≤x x 或}2≥x .（2）由图知2311,23)(min ≤+∴=n m x f .23≤+∴mn n m ， 即2)2(2323n m mn n m +≤≤+，当且仅当n m =时等号成立， 0,>n m ，解得38≥+n m ，当且仅当n m =时等号成立故n m +的最小值为38.。

2019学年浙江全能生联考B 卷数学试卷2019.10.171.已知全集U{0，1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{0，1，3，5}，B ＝{2，3，6}，则A ∪(U ðB)＝A.{3}B.{0，1，3，4}C.{0，1，3，4，5}D.{0，1，2，3，5，6}2.已知双曲线2212y x -=的顶点到其渐近线的距离为A.3B.3C.1 3.在同一直角坐标系中，f(x)＝x a 与g(x)＝a －x 在[0，＋∞)上的图象为4.已知离散型随机变量X 的分布列为若E(X)＝2，则D(3X －1)＝A.3B.9C.12D.365.已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为A.13B.C.4D.6.已知函数f(x)＝sinx ，x ∈[0，2π)，则“f(r)≥0”是“f(x 2)≥0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设z ＝－x ＋2y ，其中x ，y 满足1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若z 的最大值为11，则实数c ＝A.21B.22C.23D.248.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AC 1，B 1C 的中点，P 为该三棱柱表面上一动点，若此三棱柱恰好有5条棱与平面PEF 平行，则动点P 的轨迹为除去E ，F 两点的A.线段B.三角形，且其所在平面平行于平面AA 1C 1CC.梯形，且其所在平面平行于平面BB 1C 1CD.平行四边形，且其所在平面平行于平面AA 1B 1B9.若直线MN 过△ABC 的重心G ，且AM mAB =，AN nAC =，其中m>0，n>0，则m ＋2n 的最小值是11 C.2D.10.设数列{a n }的前n 项积为T n ＝1－a n ，记S n ＝T 12＋T 22＋…＋T n 2，则S n －a n ＋1的取值范围为 A.11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.17,218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.57,1218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D.51,123⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11.若复数11i z i-=+(i 为虚数单位)，则|z|＝ ，z 的共轭复数z ＝ 。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。

“超级全能生”２０２０高考全国卷２４省１月联考乙卷数学（理科）答案详解１２３４５６７８９１０１１１２ＡＢＡＢＣＢＡＤＢＣＢＤ１．Ａ【解析】本题考查复数的概念与运算．由题意知ｚ＝２＋３ｉ１＋ｉ＝（２＋３ｉ）（１－ｉ）２＝５２＋１２ｉ，所以ｚ的虚部为１２，故选Ａ．【方法技巧】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ－ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ）；其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的实部为ａ、虚部为ｂ、模为在复平面内对应点为（ａ，ｂ）、共轭复数为ａ－ｂｉ．２．Ｂ【解析】本题考查不等式的解法、集合的基本运算．由题意可知集合Ａ＝ｘｘ＞{}１３，所以ＵＡ）∩Ｂ＝ｘ－３＜ｘ≤}{１３，故选Ｂ．３．Ａ【解析】本题考查等差数列的性质．由已知可得Ｓ１００＝（ａ１＋ａ３＋…＋ａ９９）＋（ａ２＋ａ４＋…＋ａ１００）＝（ａ１＋ａ３＋…＋ａ９９）＋（ａ１＋ａ３＋…＋ａ９９＋５０ｄ），所以１０＋５０ｄ＝６０，解得ｄ＝１，故选Ａ．４．Ｂ【解析】本题考查程序框图．由题意可知起始值：Ｓ＝１，ｋ＝０；第一次循环：Ｓ＝１＋ｃｏｓ（０×π）＝２，ｋ＝２；第二次循环：Ｓ＝２＋ｃｏｓ２π＝３，ｋ＝４；第三次循环：Ｓ＝３＋ｃｏｓ４π＝４，ｋ＝６；第四次循环：Ｓ＝４＋ｃｏｓ６π＝５，ｋ＝８；第五次循环：Ｓ＝５＋ｃｏｓ８π＝６，若要输出ｋ＝８，则判断框中应填入Ｓ＞５？，故选Ｂ．５．Ｃ【解析】本题考查函数的性质、指数、对数、幂函数的大小比较．因为函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且ｆ（－ｘ）＝ｌｎ（｜－ｘ｜＋２０２０）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为偶函数，且在（０，＋∞）上单调递增．故ｂ＝ｆｌｎ()１２＝ｆ（－ｌｎ２）＝ｆ（ｌｎ２）．因为５１２＞１＞ｌｎ２＞ｌｏｇ３２，所以ｃ＞ｂ＞ａ，故选Ｃ．【方法技巧】涉及函数的大小比较，首先要对函数的定义域进行正确的分类，一般情况下分为（－∞，０）和（０，＋∞），在（０，＋∞）上再分为（０，１）和（１，＋∞），偶函数的大小比较，利用偶函数满足ｆ（ｘ）＝ｆ（｜ｘ｜）的性质，转化为在（０，＋∞）上再进行比较．６．Ｂ【解析】本题考查抛物线的定义与方程、基本不等式．由题可知｜ＰＦ｜＝２＋ｐ２＝３，解得ｐ＝２，则抛物线的方程为ｙ２＝４ｘ．设点Ｍ（ｘ０，ｙ０），则｜ＭＦ｜＝ｘ０＋１．Ａ（－１，０），∴｜ＭＡ｜＝＝｜ＭＡ｜｜ＭＦ｜＝＝当ｘ０＝０时，｜ＭＡ｜｜ＭＦ｜＝１；当ｘ０＞０时，｜ＭＡ｜｜ＭＦ｜＝＝．∵ｘ０＋１ｘ０＋２≥４，∴０＜４ｘ０＋１ｘ０＋２≤１，∴１＜１＋４ｘ０＋１ｘ０＋２≤２，∴１当且仅当ｘ０＝１时取得最大值，所以｜ＭＡ｜｜ＭＦ｜的取值范围为［１，故选Ｂ．【方法技巧】涉及分式最值的计算，常常分离常数，利用基本不等式求出最值与取值范围，适当的变形是解题的关键．７．Ａ【解析】本题考查排列与组合、古典概型．由题意可知分组情况有１，１，３和１，２，２两种，其中第一种情况共有Ｃ３５·Ａ３３种不同的分配方法；第二种情况共有Ｃ２５Ｃ２３Ａ２２·Ａ３３种不同的分配方法，则所有的分配方法一共有Ｃ３５＋Ｃ２５Ｃ２３Ａ()２２·Ａ３３种，其中甲、乙在同一地区且只有甲、乙的情况为Ｃ２３Ａ３３种，则所求的概率Ｐ＝Ｃ２３Ａ３３Ｃ３５＋Ｃ２５Ｃ２３Ａ()２２·Ａ３３＝３２５，故选Ａ．８．Ｄ【解析】本题考查三角函数的平移变换、图象及性质．由图象相邻两条对称轴之间的距离为π２可得Ｔ２＝π２（Ｔ为最小正周期），则Ｔ＝π，∴Ｔ＝２πω＝π，即ω＝２．由相邻最高点与最低点的距离为＝解得Ａ＝２，∴ｙ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋φ）．将函数的图象向右平移π６个单位长度后可得ｇ（ｘ）[(＝２ｓｉｎ２ｘ－π)６＋]φ＝２ｓｉｎ２ｘ＋φ－π()３的图象．∵ｇ（ｘ）为偶函数，∴φ－π３＝ｋπ＋π２（ｋ∈Ｚ），∴φ＝ｋπ＋５π６（ｋ∈Ｚ）．∵｜φ｜＜π２，∴φ＝－π６，∴ｇ（ｘ）＝－２ｃｏｓ２ｘ，则ｇ（ｘ）在０，π(]３上的最大值为ｇπ()３＝１，故选Ｄ．【方法技巧】函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ(）Ａ＞０，ω＞０，｜φ｜＜π)２的解析式的求解，首先确定Ａ的值，再确定ω的值，最后确定φ的值，三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握．９．Ｂ【解析】本题考查导数的几何意义以及直线与圆的位置关系．∵ｆ′（ｘ）＝２２ｘ－１＋１，∴ｆ′（１）＝３，且ｆ（１）＝１，∴直线ｌ的方程为ｙ＝３ｘ－２，则圆心到直线ｌ的距离故圆ｘ２＋ｙ２＝１０上的点到直线ｌ故选Ｂ．１０．Ｃ【解析】本题考查三角恒等变换、函数的奇偶性与最值．ｆ（ｘ）＝ｅ｜ｘ｜＋２ｓｉｎ２ｘ＋π()４ｅ｜ｘ｜＋１＝ｅ｜ｘ｜＋２ｉｎｘ２ｏｓ()ｘ２ｅ｜ｘ｜＋１＝ｅ｜ｘ｜＋１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘｅ｜ｘ｜＋１＝１＋ｓｉｎ２ｘｅ｜ｘ｜＋１．因为函数ｈ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘｅ｜ｘ｜＋１为奇函数，所以ｈ（ｘ）的最大值与最小值的和为０，所以函数ｆ（ｘ）的最大值与最小值的和为２，故选Ｃ．１１．Ｂ【解析】本题考查三棱锥外接球的表面积、二面角．根据已知可得△ＡＢＤ，△ＢＤＣ为全等的等边三角形，取ＢＤ的中点Ｅ，连接ＡＥ，ＣＥ．由二面角的定义可知∠ＡＥＣ即为二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的平面角，∴∠ＡＥＣ＝１２０°．取△ＡＢＤ，△ＢＤＣ的重心分别为Ｇ１，Ｇ２，过两重心分别作两平面的垂线交于点Ｏ，则点Ｏ即为该三棱锥外接球的球心，连接Ｇ１Ｇ２，ＯＥ．在△Ｇ１Ｇ２Ｅ中，利用余弦定理可得Ｇ１Ｇ２２＝(２＋(２－２×ｃｏｓ１２０°＝１，∴Ｇ１Ｇ２＝１．根据正弦定理可得Ｇ１Ｇ２ｓｉｎ１２０°＝ＯＥ，∴ＯＥ设外接球的半径为Ｒ，则Ｒ∴该三棱锥外接球的表面积Ｓ＝４πＲ２＝２８３π，故选Ｂ．【方法技巧】求三棱锥的外接球，关键是求出底面的外心，过外心作底面的垂线，则球心在该垂线上，由此确定球心的位置，再根据几何意义，求出球的半径即可求解．１２．Ｄ【解析】本题考查函数的单调性以及不等式恒成立问题．由ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ＋４ｘ＋３可知ｆ（ｅｘ）＝ａｘ＋４ｅｘ＋３，则ｆ（２ｘ）＜ａｘ＋４ｅｘ＋３可以变形为ｆ（２ｘ）＜ｆ（ｅｘ）．当ｘ∈（０，＋∞）时，２ｘ＞１，且ｅｘ＞２ｘ，则可知函数ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递增，∴ｆ′（ｘ）＝ａｘ＋４＝ａ＋４ｘｘ≥０在（１，＋∞）上恒成立，即ａ≥－４ｘ在（１，＋∞）上恒成立．∵（－４ｘ）ｍａｘ＝－４，∴ａ≥－４，故选Ｄ．【方法技巧】根据函数的单调性来解决函数的最值问题，可以对函数的解析式进行适当的变形，把参数放到一边，变量放到另一边，根据恒成立求出参数的取值范围．１３．１２【解析】本题考查平面向量的数量积和夹角公式．∵ａ＝（３，４），∴｜ａ｜＝５．由（ａ－２ｂ）·（２ａ－ｂ）＝３３可得２ａ２－５ａ·ｂ＋２ｂ２＝３３．设向量ａ与向量ｂ的夹角为θ，则２×２５－５×５×２ｃｏｓθ＋２×２２＝３３，解得ｃｏｓθ＝１２，即向量ａ与向量ｂ夹角的余弦值为１２．１４．１【解析】本题考查二项式定理．设（１＋ａｘ）２（１＋ｘ）４＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ４＋ａ５ｘ５＋ａ６ｘ６，分别令ｘ＝１，ｘ＝－１，可得（１＋ａ）２×２４＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６，０＝ａ０－ａ１＋ａ２－ａ３＋ａ４－ａ５＋ａ６，两式相减可得（１＋ａ）２×２４＝２（ａ１＋ａ３＋ａ５），∴（１＋ａ）２×２４＝２×３２，解得ａ＝１或ａ＝－３（舍）．１５．槡１３２或槡１３３【解析】本题考查双曲线的几何性质．设双曲线的右焦点Ｆ（ｃ，０），过点Ｆ与ｘ轴垂直的弦长为２ｂ２ａ，当有且仅有三条直线满足题中条件时，有２ｂ２ａ＝３ｂ，３ｂ＞２{ａ或３ｂ＝２ａ，３ｂ＞２ｂ２ａ{，解得该双曲线的离心率ｅ１６．５－２ｎ＋５２ｎ【解析】本题考查利用数列的递推公式求数列的通项公式、错位相减法求数列的前ｎ项和．ａｎ＋１＝（ｎ＋１）ａｎ２ｎ＋ａｎ·２ｎ＋１可以变形为１ａｎ＋１＝２ｎ＋ａｎ·２ｎ＋１（ｎ＋１）ａｎ，∴ｎ＋１ａｎ＋１＝２ｎａｎ＋２ｎ＋１，即ｎ＋１２ｎ＋１ａｎ＋１－ｎ２ｎａｎ＝１，∴数列ｎ２ｎａ{}ｎ是首项为１，公差为１的等差数列，则ｎ２ｎａｎ＝ｎ，∴ａｎ＝１２ｎ，则Ｔｎ＝３２＋５２２＋…＋２ｎ＋１２ｎ，１２Ｔｎ＝３２２＋５２３＋…＋２ｎ＋１２ｎ＋１，两式相减可得Ｔｎ＝５－２ｎ＋５２ｎ．【方法技巧】根据数列的递推公式求数列的通项，首先对递推公式进行适当的变形，不是等差数列与等比数列的变为等差数列与等比数列，利用等差数列或等比数列的通项公式求出数列的通项，再求出数列的前ｎ项和即可．１７．【名师指导】本题考查余弦定理、三角形的面积公式，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想．（Ⅰ）利用余弦定理建立方程，求出ｃｏｓＣ的值即可求解；（Ⅱ）由余弦定理求出线段ＡＣ的长及角Ｄ的大小，再利用三角形的面积公式建立方程，即可求出ＤＥ的长．解：（Ⅰ）在△ＡＢＤ中，由余弦定理可得ＢＤ２＝ＡＢ２＋ＡＤ２－２ＡＢ·ＡＤ·ｃｏｓＡ＝５－４ｃｏｓπ３＝３．（２分）在△ＢＣＤ中，由余弦定理可得ＢＤ２＝ＢＣ２＋ＣＤ２－２ＢＣ·ＣＤ·ｃｏｓＣ＝２－２ｃｏｓＣ＝３，（４分）∴ｃｏｓＣ＝－１２，而Ｃ∈（０，π），∴Ｃ＝２π３．（６分）（Ⅱ）在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中，由余弦定理可得ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２－２ＡＢ·ＢＣ·ｃｏｓＢ＝２－２ｃｏｓＢ，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２－２ＡＤ·ＣＤ·ｃｏｓＤ＝５－４ｃｏｓＤ．（９分）由（Ⅰ）可得Ｂ＋Ｄ＝π，故ｃｏｓＤ＝－ｃｏｓＢ．∵２－２ｃｏｓＢ＝５＋４ｃｏｓＢ，∴ｃｏｓＢ＝－１２，即Ｂ＝２π３，故ＡＣＤ＝π３．（１１分）由三角形的面积公式可得Ｓ△ＡＣＤ＝１２ＡＣ·ＤＥ＝１２ＡＤ·ＣＤ·ｓｉｎπ３，故ＤＥ＝１．（１２分）１８．【名师指导】本题考查空间线面垂直的判定、二面角，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想．（Ⅰ）根据线面垂直，可以证明ＢＣ⊥平面ＭＤＣ，再证明ＭＣ⊥平面ＡＤＭ即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解．解：（Ⅰ）证明：已知ＢＣ⊥ＤＭ，ＢＣ⊥ＤＣ，ＤＭ∩ＤＣ＝Ｄ，∴ＢＣ⊥平面ＭＤＣ．又ＭＣ 平面ＭＤＣ，∴ＢＣ⊥ＭＣ．（２分）∵ＡＤ∥ＢＣ，∴ＡＤ⊥ＭＣ．又ＭＣ⊥ＭＡ，（４分）且ＡＤ∩ＭＡ＝Ａ，∴ＭＣ⊥平面ＡＤＭ．（６分）（Ⅱ）如图所示，过点Ｍ作ＭＯ⊥平面ＡＢＣＤ，交ＤＣ于点Ｏ，在底面ＡＢＣＤ中，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，以Ｏ为坐标原点，以ＯＥ，ＯＣ，ＯＭ所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ，则Ｍ（０，０，２），Ａ（２，－２，０），Ｃ（０，２，０），Ｂ（２，２，０）．（８分）设平面ＭＢＣ的法向量ｍ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１）．∵→ＭＢ＝（２，２，－２），→ＭＣ＝（０，２，－２），则→ＭＢ·ｍ＝０，→ＭＣ·ｍ{＝０ ２ｘ１＋２ｙ１－２ｚ１＝０，２ｙ１－２ｚ１＝０{，令ｙ１＝１，则ｍ＝（０，１，１）．设平面ＭＡＢ的法向量ｎ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）．∵→ＭＡ＝（２，－２，－２），则→ＭＢ·ｎ＝０，→ＭＡ·ｎ{＝０ ２ｘ２＋２ｙ２－２ｚ２＝０，２ｘ２－２ｙ２－２ｚ２＝０{，令ｘ２＝１，则ｎ＝（１，０，１）．（１０分）设二面角Ａ－ＭＢ－Ｃ的平面角为θ，则ｃｏｓθ＝ｍ·ｎ｜ｍ｜｜ｎ｜＝１２．（１１分）由图可知二面角Ａ－ＭＢ－Ｃ的平面角为钝角，故二面角Ａ－ＭＢ－Ｃ的余弦值为－１２．（１２分）１９．【名师指导】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想．（Ⅰ）根据题意列出方程，即可求出曲线Ｃ的轨迹方程；（Ⅱ）把直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理、弦长公式及点到直线的距离，求出四边形ＭＡＮＢ的面积表达式，再求出其最大值．解：（Ⅰ）设点Ｐ（ｘ，ｙ），则｜ＰＦ｜（２分）整理得ｘ２＋ｙ２＝１，即曲线Ｃ的轨迹方程为ｘ２４＋ｙ２＝１．（４分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２＝１，则Ｍ（２，０），Ｎ（０，１）．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），联立ｘ２４＋ｙ２＝１，ｙ＝１２ｘ＋{ｍ可得ｘ２＋２ｍｘ＋２ｍ２－２＝０，则Δ＝（２ｍ）２－４（２ｍ２－２）＝４（２－ｍ２）＞０，所以ｘ１＋ｘ２＝－２ｍ，ｘ１ｘ２＝２ｍ２－２，（６分）｜ＡＢ｜｜ｘ１－ｘ２｜点Ｍ，Ｎ到直线ｌ的距离分别为ｄ１ｄ２．由－１＜ｍ＜１可知ｄ１＋ｄ２（８分）所以四边形ＭＡＮＢ的面积Ｓ＝１２（ｄ１＋ｄ２）｜ＡＢ｜＝当且仅当ｍ＝０时，四边形ＭＡＮＢ面积取得最大值为（１２分）２０．【名师指导】本题考查函数与方程、导数在研究函数中的应用，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想．（Ⅰ）对函数求导，并对参数ａ的取值范围分两种情况讨论，从而确定函数ｆ（ｘ）的单调区间；（Ⅱ）对函数ｇ（ｘ）求导，可知导函数ｇ′（ｘ）在（０，＋∞）内有唯一零点ｘ０，根据图象可知ｇ（ｘ０）＜０，从而可得１ｘ０－ｘ０－２ｌｎｘ０＜０，再构造函数，即可求解实数ａ的取值范围．解：（Ⅰ）函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），且ｆ′（ｘ）＝－１ｘ２＋（ａ－１）＋１ｘ＝（ａ－１）ｘ２＋ｘ－１ｘ２，令ｈ（ｘ）＝（ａ－１）ｘ２＋ｘ－１．（２分）①当ａ＝１时，可知函数ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递增，在（０，１）上单调递减；（３分）②当ａ＞１时，Δ＝４ａ－３＞０，可知ｈ（ｘ）＝０有两个解，即ｘ１，２可知ｆ（ｘ）在(上单调递减，在)＋∞上单调递增．（５分）综上可知，当ａ＝１时，函数ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递增，在（０，１）上单调递减；当ａ＞１时，函数ｆ（ｘ）在(上单调递减，在()＋∞上单调递增．（６分）（Ⅱ）由函数ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ａ－ａ－ｌｎｘ有两个不同的零点可知函数ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－ａ－１ｘ＝０在（０，＋∞）上有唯一解ｘ０，所以当ｘ∈（０，ｘ０）时，ｇ′（ｘ）＜０，函数ｇ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（ｘ０，＋∞）时，ｇ′（ｘ）＞０，函数ｇ（ｘ）单调递增，故ｇ（ｘ０）＜０．根据ｅｘ０－ａ＝１ｘ０可知ａ＝ｘ０＋ｌｎｘ０，（８分）代入ｇ（ｘ０）＜０可得１ｘ０－（ｘ０＋ｌｎｘ０）－ｌｎｘ０＜０，化简可得１ｘ０－ｘ０－２ｌｎｘ０＜０．（９分）令φ（ｘ）＝１ｘ－ｘ－２ｌｎｘ，则φ′（ｘ）＝－１ｘ２－１－２ｘ＜０，可知φ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递减．由φ（ｘ０）＜０＝φ（１），可得ｘ０＞１，故ａ＝ｘ０＋ｌｎｘ０＞１，所以实数ａ的取值范围为（１，＋∞）．（１２分）２１．【名师指导】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查考生的运算求解能力和数据处理能力，考查数学建模思想．（Ⅰ）列出２×２列联表，求出观测值Ｋ２的值与表中数据比较判断，即可得出结论；（Ⅱ）分别求出东线和西线的数学期望，比较判断即可．解：（Ⅰ）根据已知数据得到如下２×２列联表：４０岁以上４０岁及４０岁以下合计想去逛新商场１０００１０００２０００不想去逛新商场２５００５００３０００合计３５００１５００５０００根据列联表中的数据，可得Ｋ２＝５０００×（１０００×５００－１０００×２５００）２２０００×３０００×３５００×１５００≈６３４．９２１＞１０．８２８，所以有９９．９％的把握认为想去逛新商场与年龄有关．（４分）（Ⅱ）设东线耽误的时间为Ｘ，则Ｘ的可能取值为１００，９０，８０，７０，３０，２０，１０，０，（５分）可知Ｐ（Ｘ＝１００）＝１６×１２×１３＝１３６；Ｐ（Ｘ＝９０）＝１６×１３×１－()１２＝１３６；Ｐ（Ｘ＝８０）＝１６×１－()１３×１２＝１１８；Ｐ（Ｘ＝７０）＝１６×１－()１３×１－()１２＝１１８；Ｐ（Ｘ＝３０）＝１－()１６×１２×１３＝５３６；Ｐ（Ｘ＝２０）＝１－()１６×１３×１－()１２＝５３６；Ｐ（Ｘ＝１０）＝１－()１６×１－()１３×１２＝５１８；Ｐ（Ｘ＝０）＝１－()１６×１－()１３×１－()１２＝５１８，（７分）则东线耽误时间Ｘ的分布列为Ｘ１００９０８０７０３０２０１００Ｐ１３６１３６１１８１１８５３６５３６５１８５１８数学期望Ｅ（Ｘ）＝１００×１３６＋９０×１３６＋８０×１１８＋７０×１１８＋３０×５３６＋２０×５３６＋１０×５１８＋０×５１８＝７０３≈２３．３．（９分）设西线堵车次数为Ｙ，则满足Ｙ～Ｂ４，()１４，所以Ｅ（２０Ｙ）＝２０×４×１４＝２０．（１１分）因为２０＜２３．３，所以走西线可以更快到达新商场．（１２分）２２．【名师指导】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想．（Ⅰ）先把直线ｌ的参数方程与曲线Ｃ的极坐标方程化为普通方程，再联立，求出交点坐标，利用弦长公式即可得出结论；（Ⅱ）把直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，再利用参数的几何意义即可得出结论．解：（Ⅰ）曲线Ｃ的极坐标方程可化为ρ＝８ｃｏｓθ２ｓｉｎ２θ，即ρ２ｓｉｎ２θ＝４ρｃｏｓθ，化为直角坐标方程为ｙ２＝４ｘ．当α＝π４时，直线ｌ的参数方程为ｘ＝１ｔ，ｙ＝１＋槡２２{ｔ（ｔ为参数），化为普通方程为ｙ＝ｘ，（３分）代入ｙ２＝４ｘ可得直线ｌ与曲线Ｃ的交点坐标为（０，０），（４，４），故直线ｌ被曲线Ｃ截得的弦长为＝（５分）（Ⅱ）把ｘ＝１＋ｔｃｏｓα，ｙ＝１＋ｔｓｉｎ{(α其中ｔ为参数，０≤α≤π)２，代入ｙ２＝４ｘ可得ｔ２ｓｉｎ２α＋（２ｓｉｎα－４ｃｏｓα）ｔ－３＝０，由条件可得α≠０，且Δ＝（２ｓｉｎα－４ｃｏｓα）２＋１２ｓｉｎ２α＞０恒成立．设Ａ，Ｂ两点对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ｔ１ｔ２＝－３ｓｉｎ２α＜０，∴｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜＝３ｓｉｎ２α＝９，（７分）∴ｓｉｎα又０≤α≤π２，∴ｓｉｎαｃｏｓα（９分）∴直线ｌ的斜率ｋ＝ｔａｎα（１０分）２３．【名师指导】本题考查绝对值不等式的解法、基本不等式的应用，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查分类与整合思想．（Ⅰ）根据ｘ的取值范围去掉绝对值符号，分别求解不等式的解集，再取并集即可；（Ⅱ）先根据绝对值不等式的性质及已知条件求出ｘ的取值范围，再利用函数的性质即可得出结论．解：（Ⅰ）当ｍ＝２时，不等式ｆ（ｘ）＜４即为２｜ｘ＋１｜＋｜ｘ－２｜＜４．①当ｘ＜－１时，不等式可化为－２（ｘ＋１）－（ｘ－２）＜４，解得ｘ＞－４３，故－４３＜ｘ＜－１；（２分）②当－１≤ｘ≤２时，不等式可化为２（ｘ＋１）－（ｘ－２）＜４，解得ｘ＜０，故－１≤ｘ＜０；③当ｘ＞２时，不等式可化为２（ｘ＋１）＋（ｘ－２）＜４，解得ｘ＜４３，无解．（４分）综上可知，原不等式的解集为－４３，()０．（５分）（Ⅱ）当ｍ＝１时，ｆ（ｘ）＝｜ｘ＋１｜＋｜ｘ－２｜≥｜（ｘ＋１）－（ｘ－２）｜＝３，当且仅当（ｘ＋１）（ｘ－２）≤０，即－１≤ｘ≤２时取等号．因为ｇ（ｘ）＝（ｘ＋２）＋９ｘ＋２－２，且当－１≤ｘ≤２时，１≤ｘ＋２≤４，（８分）令ｔ＝ｘ＋２（１≤ｔ≤４），易得ｙ＝ｔ＋９ｔ－２在［１，３］上单调递减，在［３，４］上单调递增．当ｔ＝３时，ｙ＝４；当ｔ＝１时，ｙ＝８；当ｔ＝４时，ｙ＝１７４，故ｇ（ｘ）的值域为［４，８］．（１０分）。

2024年高考真题汇编数学（新课标卷+全国卷）目录2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}--D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i -- B.1i -+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞B.[1,0]-C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f > B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知1i z =--，则z =（）A.0B.1C.D.22.已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5.已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A.221164x y +=（0y >）B.221168x y +=（0y >）C.221164y x +=（0y >）D.221168y x +=（0y >）6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A.1- B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.12B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（）A.()f x 与()g x 有相同零点B.()f x 与()g x 有相同最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10.抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A.l 与A 相切B.当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C.当||2PB =时，PA AB ⊥D.满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11.设函数32()231f x x ax =-+，则（）A.当1a >时，()f x 有三个零点B.当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C.存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=+，则sin()αβ+=_______.14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．（1）求A ．（2）若2a =，sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16.已知函数3()e x f x ax a =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17.如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =．（1）证明：EF PD ⊥；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求22,x y ；（2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；（3）设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设5i z =+，则()i z z +=（）A.10iB.2iC.10D.2-2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A.{}1,4,9 B.{}3,4,9C.{}1,2,3 D.{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.237.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+ B.1- C.32D.19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A.“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B.“3x =-”是“//a b”的必要条件C.“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D.“1x =-+”是“//a b”的充分条件10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.212.已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间262450乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818.记n S为数列{}n a的前n项和，且434n nS a=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）设1(1)nn nb na-=-，求数列{}n b的前n项和为n T．19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD，4,2AD AB BC EF====，ED FB==M为AD的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3C.{}3,4 D.{}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（）A.-iB.1C.-1D.23.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A.2- B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.236.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.32C.12D.8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C.D.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.32D.1原10题略10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．13.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.16.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.A 【解析】【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.【答案】2.C 【解析】【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.【答案】3.D 【解析】【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.【答案】4.A 【解析】【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.【答案】5.B 【解析】【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.【答案】6.B【解析】【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()2021e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.【答案】7.C【解析】【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx∈上函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C【答案】8.B【解析】【详解】因为当3x<时()f x x=，所以(1)1,(2)2f f==，又因为()(1)(2)f x f x f x>-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f>+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f>+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.二、多项选择题【答案】9.BC 【解析】【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．【答案】10.ACD 【解析】【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.【答案】11.ABD 【解析】【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于B24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.三、填空题【答案】12.32【解析】【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：32【答案】13.ln 2【解析】【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 2【答案】14.12【解析】【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.四、解答题【答案】15.（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ==，又因为sin C B =，即cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a c b c +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得2338c =，所以c =【答案】16.（1）由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.（2）法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，352AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d ，则1255352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，1255=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k ----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.【答案】17.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（2）如图所示，过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，2DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．【答案】18.（1）0b =时，()ln 2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，（2）()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .（3）因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【答案】19.（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.C 【解析】【详解】若1i z =--，则z ==.故选：C.【答案】2.B 【解析】【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.【答案】3.B 【解析】【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.【答案】4.C 【解析】【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.【答案】5.A 【解析】【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 【答案】6.D 【解析】【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.【答案】7.B 【解析】【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D ==可知111131662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -=++=，解得433h =，如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则()=B A C U( ) A.2{-，}3B ．2{-，2，}3C ．2{-，1-，0，3}D ．2{-，1-，0，2，}3 2．若α为第四象限角，则( ) A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin20α>D ．sin20α<3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( ) A 5B 25C 35D 456．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=．若155121022k k k a a a +++++⋯+=-，则(k = )A ．2B ．3C ．4D ．57．如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为( )A ．EB ．FC ．GD ．H8．设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．329．设函数()|21||21|f x ln x ln x =+--，则()(f x )A ．是偶函数，且在1(2，)+∞单调递增B ．是奇函数，且在1(2-，1)2单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)-∞-单调递减10．已知ABC ∆93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) A 3B ．32C ．1D 3 11．若2233x y x y ---<-，则( )A ．(1)0ln y x -+>B ．(1)0ln y x -+<C ．||0ln x y ->D ．||0ln x y -<12．01-周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12n a a a ⋯⋯满足{0i a ∈，1}(1i =，2，)⋯，且存在正整数m ，使得(1i m i a a i +==，2，)⋯成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2)i m i a a i +==⋯的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的01-序列12n a a a ⋯⋯，11()(1mi i k i C k a a k m +===∑，2，⋯，1)m -是描述其性质的重要指标.下列周期为5的01-序列中，满足()()4,3,2,151=≤k k C 的序列是( ) A ．11010⋯B ．11011⋯C ．10001⋯D ．11001⋯二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

“超级全能生”2018高考全国卷26省9月联考乙卷（A ）理科数学解析1.D【解析】因为{}{}4 ,1A x x Bx x =<=<-或，所以{}134A B x x x ⋂=<-<<或，故选D.2.C 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====---+-，所以z 的虚部为25-，故选C.3.D 【解析】选项A 中，命题的否命题应为“若2340x x --≠，则4x ≠”，所以A 不正确； 选项B 中，如当a =2时，2y x =在定义域上不单调，充分性不成立，所以B 不正确；选项C 中，因为(),0 ,34xxx ∈-∞>恒成立，所以C 不正确；选项D 中，全称命题的否命题是特称命题，所以D 是正确的，故选D.4.B 【解析】此框图的功能就是求两个正数a ，b 的最大公约数，故选B ．5.C 【解析】由sin =C C ，得tan =C (0π)∈C ，，∴π3=C ． ∵222222cos =+-=+-c a b ab C a b ab ，∴22222()0-=+-=-c ab a b ab a b ≥． ∴2c ab ≥．又()ab b a ab b a c 32222-+=-+=，∴2223()3=+-ab a b c c ≤．即22()4+a b c ≤．又0+>a b ，0>c ，∴2+a b c ≤，故选C ．【一题多解】（另外也可由正弦定理和辅助角公式得π2 2[sin()1]6+-=+-a b c c A ， ∵2π03<<A ，∴ππ5π666<+<A ，∴πsin()16+A ≤．即20+-a b c ≤．∴2+a b c ≤， 故选C ．6.A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()()4,0,0,0 ,0,6 ,2,3A B C D .设()0,E b ，因为A E B D ⊥，所以0AE BD ⋅=，即()()4,2,30b -⋅=，所以83b =，所以880,,4,33E AE ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以16AE BC ⋅=，故选A.7.C 【解析】对于学生甲，只得到名画“竹”的选法有232C 6=种．第二种情况是除了“竹”，还得一幅画的选法有1232C A 6=种．由分类加法计数原理得所有选法中名画“竹”只能送给甲的情况共有6612+=种．又四幅画发给三个人每人至少一幅的情况共有2343C A 36=种，所以所求概率为121363P ==，故选C ． 8.B 【解析】如图所示的正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，由已知的三个视图还原的立体图形有两种，一种是由此正方体切去三棱锥1-A A BD 得到的，此时该几何体的表面积为116223221822=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯=+S 另一种是由正方体切去三棱锥1-A A BD 和111-C CB D 得到的，则这个几何体的表面积为1111622322322122222=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯=+S ，故选B ．9．D 【解析】如图所示，∵OP 是直径，∴OM ⊥PF ．又3=MFO PMO S S △△，∴FM = 3MP ． 又焦点F 到双曲线的渐近线=by x a的距离为b ，∴FM = b ．又OF = c ，∴OM = a ．又213OM PM MF MF MF =⋅=⋅，即2213=a b ，∴223=b a ，即双曲线C 的离心率2==e ，故选D ．10．A 【解析】正四棱锥-P ABCD 外接球的球心为正方形ABCD 的中心O ，则正四棱锥P -ABCD 的高就是球O 的半径，则球O 的体积为43π，故选A ．11．A 【解析】由AP ＝1．知动点P 在以A 为圆心，1为半径的圆上．又M 是PC 的中点．取AC 的中点D ，连接MD ，BD ，则1122==MD AP ，∴动点M 在以D 为圆心，12为半径的圆上．则问题转化为求点B 到圆D 上一点距离的最小值，即21-BD ，又BD 是正△ABC的中线，∴32=⋅=BD ，∴BM 的最小值为15322-=，故选A.12.B 【解析】()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=4sin 2cos sin πωωωx x x x f ，又π≥2T ，T =ωπ2，ω>21，所以121<<ω，由()x f 的任何一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间()ππ4,3，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥++-≤+,442,432ππωπππππωππk k 得16741234+≤≤+k k ω（Z k ∈），当0=k ，16741≤≤ω，显然不符合题意；当1=k ，1611127≤≤ω，符合题意；当2=k ，16151211≤≤ω，符合题意；当3=k ，161945≤≤ω，显然不符合题意，综上，ω的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡161512111611127，，，故选B.13．1【解析】∵92⎛⎫+ ⎪⎝⎭a x x 的通项公式为99 31992--+⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭rr r r r rr a T C x C a xx ．当639=-r ，即1=r 时，则有919=C ，解得1=a ．14．[1,+∞)【解析】作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，yz x =表示可行域内的点与点（0,0）连线的斜率，由图可得1k ≥.15．1【解析】圆M：222((0++=<<x y r r ，由椭圆方程22182+=x y 得其上顶点P (0．∵0<<r P 作圆M 的两条切线的斜率存在．不妨令,PA PB 的直线方程为=+y kxM (到此直线0-=kx y 的距离等于半径r，即=r ．化简得222(2)420--+-=r k k r ．∴22212-⋅==-PA PBr k k r． 16.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32【解析】显然0>b ，x b x a x b x x b a x b a x x +<<-⇔<-⇔<-，即m i nm a x )(x b x a x b x +<<-）（，令()x b x x f -=[]()2,1∈x ，则()012/>+=x b x f ，所以()x f 在[]2,1上单调递增，所以()()222max b f x f -==；令()xbx x g +=[]()2,1∈x ，则()()()22/1xb x b x x b x g -+=-=，令()0/=x g ，得b x =，当时，，即42≥≥b b ()x g 在[]2,1上单调递减，()()222m in b g x g +==，显然2222bb ->+成立，所以4≥b ；当时，，即101≤<≤b b ()x g 在[]2,1上单调递增，()()b g x g +==11min ，所以221bb ->+，所以132≤<b ；当时，，即4121<<<<b b ()x g 在[]b ,1上单调递减，在[]2，b 上单调递增，()()b b g x g2m i n==，所以222bb ->，即()0442>-+b b ，所以222->b ，2812->b ，所以41<<b .综上，32>b . 17.解：（Ⅰ）设数列{a n }的前n 项和为S n . 当n =1时，a 1=14(a 1+1)2,∴a 1=1,⋯⋯⋯⋯⋯1分当n ≥2时，4S n = (a n + 1)2，∴4S n−1= (a n−1+ 1)2，两式相减得4a n =a n 2+ 2a n −a n−12− 2a n−1，即 （a n +a n -1）（a n -a n -1-2）=0，⋯⋯⋯⋯⋯4分又a n ＞0，∴a n -a n -1=2,∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，即a n =2n -1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 （Ⅱ）∵b n = (2n − 1)⋅ 2n ，∴T n = 1 × 21+ 3 × 22+ 5 × 23+⋯ + 2n − 1 × 2n , ①2T n = 1 × 22+ 3 × 23+ 5 × 24+⋯ + 2n − 3 × 2n + 2n − 1 × 2n +1, ②⋯⋯8分 ①-②得-T n =2+2（22+23+…+2n ）-（2n -1）×2n +1=2-8+2n +2-（2n -1）×2n +1 =-6+2n +1（2-2n +1）=-6+2n +1（3-2n ）, ∴T n = 6 + 2n +1(2n − 3)．⋯⋯⋯⋯⋯12分18.解：（Ⅰ）证明：在图1中，作CH ⊥AB 于H ，则21=BH ,AH ＝32，又1=BC ,∴CH ＝3，∴CA ＝3，∴AC ⊥BC ,∵平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC ⋂平面ABC=AC ，∴BC ⊥平面ADC ， 又AD ADC ⊂平面，∴BC ⊥AD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(Ⅱ)取AC 中点F ，连接DF ，FE ，易得F A ，FE ，FD 两两垂直，以F A ，FE ，FD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，E (0,12,0)，D (0,0,12)，B (-3,1,0)，C (-3,0,0).∴DE →＝(0,12,-12)，BC →＝(0,-1,0)，CD →＝(3,0,12),设m →=(x,y,z)为平面BCD 的法向量，则⎩⎨⎧m →⋅BC →=0m →⋅CD →=0,即⎩⎨⎧y=03x+z=0, 取x =1,则m →=(1,0,－3)．设直线DE 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ=|cos<m →,DE →>|=6,∴直线DE 与平面BCD 所成的角的正弦值为6． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分19．解：(Ⅰ)甲的平均值X 甲＝16(-1-2+1+2+3+0)+20=20.5,乙的平均值X 乙＝16(-2-2.5+0+3+2+2.5)+20=20.5．甲的方差S 2甲＝16[(20.5-19)2+(20.5-18)2+(20.5-21)2+(20.5-22)2+(20.5-23)2+(20.5-20)2]=3512．乙的方差S 2乙=16[(20.5-18)2+(20.5-17.5)2+(20.5-20)2+(20.5-23)2+(20.5-22)2+(20.5-22.5)2]=143．因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(Ⅱ)6部乙种手机供电时间不小于20小时的有4部，小于20小时的有2部，所以X 的可能取值为2，3，4,则P (X ＝2)=C 24C 22C 46=25, P (X ＝3)=C 34C 12C 46=815, P (X ＝4)=C 44C 46=115,故X 的分布列为所以EX ＝2×25+3×815+4×115＝83．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分20．解：(Ⅰ)由已知得 2a 2+1b 2= 1c a = 22a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =2． ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(Ⅱ)把y=x+m 代入E 的方程得 3x 2+4mx+2m 2-4=0,设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1+x 2=－4m 3，x 1x 2=2m 2−43，∆=8(6-m 2)>0，-6<m<6，|AB |=1+k2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2⋅16m 29− 4 ×2m 2−43=436−m 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分设AB 的中点为P ，则x P =x 1+x 22=－2m 3，y p=m+x p =m 3，∴P(−2m 3,m3)，∴PC:y=-x -m3，令x =0，则C (0，－m3)，由题意可知，PC =∴4m 29+4m 29=3×43 6−m 2,解得m=±310．符合∆>0,∴直线l 的方程为y=x ±310．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.解：（Ⅰ）( )1ln (0)f x a x x '=++>， 由( )0f x '>，得1e a x -->，由( )0f x '<，得10e a x --<<，∴()f x 在1(0,e )a --上单调递减，在1(e )a --+∞上单调递增. ································ 3分 ∴1111min 1( )(e )e (ln e )e ea a a a f x f a --------==+=-=-.∴0a =. ··················································································································· 5分 （Ⅱ）证明：当0,0a x >>时，由（Ⅰ）知1( )(ln )ln ln e f x x a x ax x x x x =+=+>≥-，即1()ef x >-.∵()e x x g x =，则1( )(0)e xxg x x -'=>，·································································· 8分 由( )0g x '>，得01x <<，由( )0g x '<，得1x >， ∴()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. ∴1( )(1)eg x g ≤=，∴[]112( )( )( )( )e e e g x f x g x f x -=+-<+=，即2( )( )eg x f x -<. ·························· 12分 22．解：(Ⅰ)把圆C 的参数方程化为普通方程为(x -2)2+(y -2)2=2，即x 2+y 2-4x -4y +6=0， 由x 2+y 2=ρ2，x =ρcos θ，y =ρsin θ，得圆C 的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(Ⅱ)设P (2+2cos θ，2+2sin θ)，A ，B 的直角坐标分别为(-1，0)，(1，0)， 则|P A |2+|PB |2=(3+2cos θ)2+(2+2sin θ)2+(1+2cos θ)2+(2+2sin θ)2 =22+16sin(θ+π4)∈[6，38]，所以|P A |2+|PB |2的取值范围为[6，38]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分23．解：(Ⅰ) f (x )＝ −3x + 3(x ≤12)x + 1(12<x ≤ 2)3x − 3(x > 2),其图象如图所示，由图可知f (x )≥3的解集为{x |x ≤0或x ≥2}． ⋯⋯⋯⋯5分(Ⅱ)由图知f (x )min =32，∴1m ＋1n ≤32．∴m+n mn ≤32,即m +n ≤32mn ≤32(m+n 2)2，当且仅当m =n 时等号成立，∵m,n >0，解得m +n ≥83,当且仅当m =n 时等号成立，故m ＋n 的最小值为83．⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分。