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三角形的证明复习课

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人教版八年级上册 12.2 三角形全等的判定 复习课课件 (共38张PPT)

人教版八年级上册 12.2 三角形全等的判定 复习课课件 (共38张PPT)

B
证明：连接AD， ∵AC=DC
∴∠CAD= ∠CDA
同理， ∠BAD= ∠BDA
∴ ∠BAC= ∠BDC
∵ AC=DC
∠A= ∠D
AB=DB
∴△ABC≌ △DBC（SAS）
A C
如图所示，
△ABC≌△DBC ，那么 B 边边边定理得证。
三角形的判定定理四
D
在两个三角形中，
如果有三条边相等，
AC=DC
求证：OE=OF 证明 在△AOB和△COD中
E
A
B
OB=OD
∠AOB=∠COD
O
OA=OC ∴△AOB≌△COD （SAS） ∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） D 在△BOE和△DOF中
∠B=∠D
C F
OB=OD ∠BOE=∠COF ∴△BOE≌△DOF （ASA） ∴OE=OF （全等三角形的对应边相等）
1、如右图：已知，∠ABE=∠CBD, ∠BCE=∠DBA,EC=AD 求证：AB=BE,BC=DB
2、如右图：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC， EO=OF 求证：△AEB≌△DFC
全等三角形的判定（三）
AAS（角角边定理）
定理的引入:
如图在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，
那么这两个三角形全 等。
AB=DB
△ABC≌ △DBC（SSS）
BC=BC
例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。
说出下列判断成立的理由： （1）△ABC≌△CDA A
D
（2）∠B=∠D
解（1）在△ABC和△CDA中 B
C
AB=CD（已知）
BC=DA（已知）
AC=CA（公共边）

初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思

北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。

通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。

八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。

在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。

具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。

二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。

本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

九年级数学《相似三角形判定-复习课》教案

九年级数学《相似三角形判定-复习课》教案

22.1.2 相似三角形判定复习课一、学习目标1、熟练掌握三角形相似的判定方法，理解各判定方法之间的区别与联系。

2、能够从题目的条件和结论出发，选取合适的判定方法解决三角形相似问题。

二、教学过程尝试教学六环模式教师活动学生活动设计意图备注复习导入复习引入：1.如图1，在□ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E,与DC交于点F，则图中相似三角形共有（）A 3对B 4对C 5对D 6对FEAB GDC2.要判定△ABC∽△A'B'C',已知条件AB BC=A B B C，，，，(1)还要添加条件____或____.(2)若∠A=∠A′，可添加条件____学生完成，回顾相似三角形判定方法。

帮助学生回忆相似三角形的几种判定方法。

以简单的选择、判断题复习相关知识点。

目标展示：1、熟练掌握三角形相似的判定方法，理解各判定方法之间的区别与联系。

2、能够从题目的条件和结论出发，选取合适的判定方法解决三角形相似问题。

学生熟悉学习目标学生按照学习目标复习知识点。

帮助学生梳理知识要点。

学教新课自学指导：1 你能记得多少种判定三角形相似的方法？2 三角形相似的基本图形是有哪些？根据自学指导的思考题，回顾知识要点。

以相似三角形的基本图形为主线回顾知识点。

从形的角度帮助学生更好地理解知识点。

议探交流尝试练习：学生完成尝试练习１、２两题。

议探交流：组内相互交流，先对议，再互议。

教师适时巡堂，深入小组，进行个别指导。

学生独立自主完成学生相互交流，师徒互教，组内互教，小组展示小组展示：归纳总结：１D,E分别为△ABC的AB, AC上的点,且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_____组，（选择其中一组并加以证明。

）变式：D,E分别为△ABC的AB, AC上的点，若AB=10，AC=8，AD=5，当AE=_____△ADE与△ABC相似。

各组内定代表，师友共同抢答，展示各自的结论，其他同学适时补充纠正。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课教学设计

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课教学设计
-三角形的基本性质和判定方法的理解与应用。
-三角形证明方法的掌握，尤其是几何证明和代数证明的综合运用。
-能够运用三角形的相关定理解决实际问题，如计算面积、求解角度等。
2.教学难点：
-理解并灵活运用三角形证明中的逻辑推理过程。
-将实际问题转化为数学模型，运用三角形知识进行解决。
-对不同类型题目中三角形性质的识别和应用。
-布置一次家庭作业，让学生在家中寻找含有三角形的物体，并运用所学知识进行分析和解释，培养学生的观察能力和实践能力。
5.反思与总结：
-要求学生针对本次作业的完成情况，进行自我反思，总结在三角形证明方面的优点和不足，为后续学习制定合理的计划。
-教师对学生的作业进行批改和评价，给予针对性的指导和建议，帮助学生提高。
-逐步引导学生掌握三角形的判定方法，并运用到具体题目中。
-介绍三角形证明方法，结合具体例题，讲解证明步骤和技巧。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成小组，每组选择一个三角形证明的例题进行讨论。
-学生在讨论过程中，互相分享解题思路，共同探讨证明方法。
2.教学目标：
-培养学生的合作意识和团队精神，提高交流表达能力。
-让学生通过讨论，加深对三角形证明方法的理解，提高解题能力。
（四）课堂练习
1.教学内容：
-设计不同难度和类型的三角形证明题目，让学生在课堂上进行练习。
-针对学生的解答，给予及时的反馈和指导，帮助学生纠正错误，巩固知识点。
2.教学过程：
-学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解题过程。
-对典型错误进行剖析，引导学生找出错误原因，提高解题技巧。
-完成课后拓展阅读，了解三角形在数学竞赛中的应用，拓宽知识视野。

三角形的外角及常见结论的证明复习课件人教版八年级上册

三角形的外角及常见结论的证明复习课件人教版八年级上册

4、如图，已知△ABC中，∠A沿着EF翻折到∠A’,
解：因为∠ADC是△ABD的外角. 说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
（1）位置关系：相邻和不相邻.
外角大于不相邻的任何一个内角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80ห้องสมุดไป่ตู้.
探究1：三角形外角的性质 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC
＿＿36＿0°＿.
B
A
C
1
P
N3
2M
F
D
E
2 .如图，D 是△ABC 的BC边上一点,∠B =∠BAD, ∠ADC =80°， ∠BAC =70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 在△ABC中： 2
.
80 ° ∠ACD = ∠A +∠B.
∠C=180º-40º-70º=70°. 1、如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =＿＿＿＿.
6、如图所示，已知△ABC ，∠CBD和∠BCE的角平分
60 ° 1 请用三种不同的方法证明该结论！
如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC ∠1+ ∠2+ ∠3=？
∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°.
A
70°
40°
80°
B
D
C
课堂 小结

三角形全等的判定定理(复习课)

三角形全等的判定定理(复习课)

三角形全等的判定定理（复习课）教学目标全面复习全等三角形及有关性质，掌握三角形全等的判定的四个方法。

能综合运用各种判定方法来证明线段和角相等。

掌握常规的作辅助线的方法。

教学重点综合运用各种判定方法来证明线段和角相等.教学难点常规的作辅助线的方法。

教学方法观察、比较、合作、交流、探索.教学过程一、基础知识复习1、三角形三边关系定理；三角形的内角和以及三角形的外角和的性质。

2、全等三角形的性质；全等三角形对应元素的寻找方法；3、全等三角形的判定（四种方法）。

注意有边边角和角角角是不能用的。

二、讲解新课1、三角形全等的判定定理，实质上只需要三个条件，注意至少有一个条件是边，就能判定两个三角形全等；2、判定两个三角形全等在几何证时中常常不是结论，而通常是通过证明两个三角形全等，证明两条线段相等或两个角相等，这恰是判定两个三角形全等的目的所在课前练习：1、下列说法中，不正确的是（）（A）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（B）面积相等的两个直角三角形全等（C）有一边相等的两个等边三角形全等（D）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。

2、如图，在∆ABC中，AB=AC，D、E、F依次是各边的中点，AD、BE、CF相交于G，那么图中的全等三角形共有（）（A）5对（B）6对（C）7对（D）8对3、已知：如图，∆ABC中，∠C=90︒,，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB=6CM，则∆DEB的周长为（）（A）4 （B）6 （C）10 （D）以上全不对三、巩固与提高1、例题解析例1 已知：如图，在∆ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC 于E，AD与BE相交于H ，且BH=AC ，求∠HCD 的度数。

AB C D EH例 2、已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BD例3、如图，在∆ABC 中∠ACB=90︒，∠BAC=30︒，AD 、CE 分别为∆ABC 的角平分线，AD 、CE 交于点F ，求证：EF=DF A B DCE 1 22、课堂小结3、布置作业 P84 第6题课后反思：。

北师大版九年级上册数学《相似三角形判定定理的证明》图形的相似研讨说课复习课件

定理 两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，∠ B = ∠ B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D
作BC的平行线，交AC于点E，则


∠1=∠B，∠2=∠C， = ，
AE A'C'
∴ AE =A'C'. 而 ∠ A=∠ A'，
∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
B′
C′
A
D
B
1
2
E
C
知识讲解
定理 三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
AB
BC
AC
=
=
A'B' B'C' A'C'
A′
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
又∵∠EDC=∠FDB，
∴∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
实例讲解
1.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝
8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，
A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
证明：∵
∴
AB
6 1

AB 18 3
D．两边成比例且有一角相等的三角形都相似

全等三角形的判定复习课(优质课件)


AC=BC
∠BCE=∠DCA
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS)
∴ BE=AD
A C
E D
巩固提高
练习3. 如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？
为什么？
解：AC=AD 理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB
C
3
在△ABC和△ABD中 AB=AB
A D
E
C
B F
典例分析
例2：已知 AC=DB, ∠1=∠2. 试说明: ∠A=∠D.
解：在△ABC和△DCB中 AC=DB ∠1=∠2 BC=CB
∴ △ABC≌△DCB （SAS） ∴ ∠A=∠D
A
B
1
D
2
C
典例分析
例3：如图，AB=AD，∠E=∠C，∠BAD=∠EAC，
试说明△ABC≌△ADE.
自我检测
1. 如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为
已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种
情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知： EG∥AF ,
,
.
求证：
.
A
E
B
G
D
C F
自我检测
2. 如图，AB∥A′B′，AC∥A′C′，且BB′=CC′你能说明AC=A′C′的理由吗？
C′ B B′
C
A A′
谢谢！
E
A
F
B
C
D
巩固提高
练习2. 已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直
线上.试说明：BE=AD.

北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习

即“等角对等边”．
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知

初二数学《三角形的有关证明复习》课时教案

初二数学《三角形的有关证明复习》课时教案【课题】《三角形的有关证明复习》【课型】复习【教学目标】1.了解三角形全等的识别方法和三角形全等的性质，能够证明与等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线相关的性质定理和判定定理.2.理解互逆命题、互逆定理，体会反证法的含义.3.能够利用尺规作图作等腰三角形、直角三角形、已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线.【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。

【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。

）知识回顾（15分钟）【课堂梳理】知识点一全等三角形1.判断三角形全等的方法：①（三个公理）______、______、_____、②（一个定理）_____.2.全等三角形的性质：①线段相等：对应边相等、对应边上的_______、对应中线、______相等.②角相等：相等.注：利用全等三角形证明线段或角相等知识点二等腰三角形3.等腰三角形性质：①定理： .(等边对等角）②推论： .（三线合一）4.等腰三角形的判断方法：①定义： .②定理： .(等角对等边）知识点三等边三角形5.等边三角形概念： .6.等边三角形的性质：①等边三角形的三条边______.（边）②等边三角形的三个内角都等于______.（角）7.等边三角形的判定：①______相等的三角形是等边三角形.②三个角相等的三角形是 .③有一个角等于____的等腰三角形是等边三角形.注：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.知识点四直角三角形8.直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角 .②直角三角形两条直角边的平方和等于 .③在直角三角形中，如果有一个锐角等于____，那么它所对的直角边等于斜边的 .9.直角三角形的判定：①有两个角的三角形是直角三角形.②如果三角形两边的平方和等于，那么这个三角形为直角三角形.10.直角三角形全等的判定方法：（HL） . 注：（HL）只适用于直角三角形.知识点五线段垂直平分线11.段垂直平分线的定理： .12.线段垂直平分线的逆定理： .13.三角形垂直平分线定理： .知识点六角平分线14.角平分线的定理： .15.角平分线的逆定理： .16.三角形角平分线定理： .注：若一个点到三角形三边以及到三角形三个顶点的距离相等，这个点一定为三角形三边垂直平分线与三个内角角平分线的交点.（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。

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三角形的有关证明
复习课
在本章中你学到了什么？
通过探 索,猜想, 计算和证 明得到定 理 全等三角形 与等腰三角形,等边三角形有关的结论 与直角三角形有关的结论
命题的逆命题及其真假
线段的垂直平分线
角的平分线
学习目标：
1、会判定两个三角形全等 2、会用等腰三角形、等边三角形 直角三角形的性质和判定进行证明。 3、会用反证法证明命题的成立. 4、会用线段垂直平分线、角平分线 定理及其结论解决问题。 重点：探索证明的思路和方法； 难点：准确地表达推理证明过程。
已知：如图，在等边三角形ABC的三边上分 别取点D，E，F，使得AD=BF=CE. 求证：△DEF是等边三角形。
A
D E B
F
C
知识点三、与直角三角形有关的定理
1、直角三角形的 两锐角互余。 2、有两个锐角 互余 的三角形是直角三角形。 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边 的 一半 ； 4 、勾股定理：直角三角形两条直角边 的平方和等 于 斜边 的平方。 5、 斜边 和 一直角边 对应相等的两个直角三角 形全等。( HL) 如果三角形两边的平方和 等于第三边的平方，那么 6、勾股定理的逆定理：
A E C
3.如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平
分线交BC于点D，DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交
于G.
求证：EG＝EC.
知识点六：角平分线
定理：角平分线上的点到这个角的两边距
离相等.
A
D ∵ OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E. 1 P ∴ PD=PE. O 2
我思考,我进步
求证：等腰三角形的底角必为锐角。
已知：△ABC中，AB=AC。
求证：∠B. ∠ C均为锐角
A
B
C
知识点五：线段垂直平分线
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. M P ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上 A B C 的点到这条线段两个端点距离 N 相等). 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上. 如上图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距 离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
1
2、如图6，已知：∠A＝90°， AB=BD，
ED⊥BC于 D. 求证：AE＝ED
图6
提示：找两个全等三角形，需连结BE.
知识点一：等腰三角形的性质定理
性质：1、等腰三角形的
底边上的高 两个底角 相等，即等边对 等角 底边上的中线 顶角平分线 2、等腰三角形的 、 、
互相重合；即“三线合一” 3、等腰三角形两底角的平分线 相等 ，两腰上的中 线 相等 ,两腰上的高 相等 ；
怎么证明几何命题？
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(可以由“因”导“果” 综合法或者由“果”逆推“因”分析法); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地 写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
说明：本题的解题关键是证明AF＝CE，∠A＝∠ C，易错点 是将AE与CF直接作为对应边，而错误地写为 ：
（ ？ ）
又因为AD∥BC ，
（ ？ ）
例2已知：如图3，
△ABC≌△A1B1C1，AD、A1D1分 别是△ABC和△A1B1C1的高. 求证：AD=A1D1
证明：∵△ABC≌△A1B1C1（已知） ∴AB=A1B1，∠B=∠B1（全等三角形的对应边、对应角相 等） 图3 ∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的高（已知） ∴∠ADB=∠A1D1B1= 90°. 在△ABC和△A1B1C1中 全等三角形对应边上的中线 ∠B=∠B1（已证） 角平分线呢？ ∠ADB=∠A1D1B1（已证） AB=A1B（已证） ∴△ABC≌△A1B1C（AAS） ∴AD=A1D1（全等三角形的对应边相等）
[ 解析 ] 结论是 CD ＝ AD ＋ BC ，可考 虑用“截长补短法”中的“截长”，即 在 CD 上截取 CF ＝ CB ，只要再证 DF ＝ DA 即可，这就转化为证明两线段相等 的问题，从而达到简化问题的目的．
图S1－8
证明：在CD上截取CF＝BC，如图S1－9， 在△FCE与△BCE中， ∴△FCE≌△BCE(SAS)， ∴∠2＝∠1. ∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°. 又∠ADE＝∠CDE， ∴∠DCE＋∠CDE＝90°， 图S1－9
C
逆定理
在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的平分线上.
E B
如图, ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
定理: 三角形的三条角平分线相交于一点，且
1、如下图,在△ ABC中， ∠ ACB=900， ∠A=300，CD ⊥AB于点D,试着推导出BD与 AD的数量关系。
2、如图，已知∠ACB=∠BDA=900,要使 △ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请 你选择其中的一个加以证明。
C D
A
B
知识点四、反证法
反证法的步骤是什么？
第一步是假设命题结论不成立； 第二步是推导，从假设出发，经过推理 得出与定义、基本事实、已有的定理或 者已知条件相矛盾的结果。 第三步是下结论，得出假设命题不成立 是错误的，即所求证命题成立。
这点到三角形三边的距离相等。 如图,∵AN,CM,BO分别是△ABC的角平分线 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC, A ∴AN,BO,CM交于P点, PD=PE=PF.
D M
P N
E
O F
B
C
1 、如图 S1 － 8 ， AD∥BC ，点 E 在线段 AB 上， ∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB. 求证：CD＝AD＋BC.
∴∠2＋△FDE与△ADE中， ∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA. ∵CD＝DF+CF，∴CD＝AD+BC.
2、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=900，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。 A （1） 已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD。
知识点一：全等三角形
包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：
解题 中常 用的 4种 方法
1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 不包括其它形 4.ASA； 状的三角形 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件： HL.
例1
如图2，AE＝CF， AD∥BC，AD＝CB， 求证：
分析：本题利用边角边公理证明两个三角形全 等.由题目已知只要证明AF＝CE，∠A＝∠C
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角
对 等边 。
已知:如图,点D,E在△ABC的边BC上， AD=AE,AB=AC. 求证:BD=CE.
A
B
D F E
C
知识点二、等边三角形性质和判定定理
性质定理：等边三角形的三条边都相等，
三个角 都相等，并且每个角都等于 60 ° 判定定理： ；
一个角等于 的 为等 边三角形。 60° 等腰三角形 三个内角都为 的三角形是等边 60° 三角形。
数学家苏步青说： 学习数学要多做习题，边做边思 索。 先知其然，然后知其所以然。
E
C D
D C
B
3、如图所示，AB∥CD，∠B=90º ， E是BC的中点，DE平分∠ADC，求 证：AE平分∠DAB。
E
A
B
1、等腰三角形的性质和判定定理 2、等边三角形的性质和判定定理 3、直角三角形的性质和判定定理 4、反证法的步骤 5、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 6、角平分线的性质定理及逆定理
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并 且这一点到三个顶点的距离相等.
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平
a
c
A
b
分线,
∴c,a,b相交于一点P,且 PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平 分线相交于一点,并且这一点到三 个顶点的距离相等).
B
P
C
1 如图 S1 － 1 ，在△ ABC 中， DE 垂 直 平 分 AC 交 AB 于 E ， ∠ A ＝ 30° ， 50° ∠ACB＝80°，则∠BCE＝________. D 2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平 分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等 于50,求BC的长. B