2012高考数学分类汇编-不等式选讲

1.福建23.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-。 （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若R c b a ∈,,，且

m c

b

a =++31211，求证：932≥++c

b a 。

【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，

∴0m m x m >⇒-<< (2)0111

f x x m

+≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知

1111,,,23a b c R a b

c

++=∈,由柯西不等式得 11123(23)(

)

23a b c a b c a b

c ++++++

+2

9≥+=

【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想

2.湖南10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 【答案】14x x ⎧

⎫

>

⎨⎬⎩⎭

【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧

-<-⎪⎪

⎪

=--≤≤⎨⎪

>⎪

⎪⎩

得()f x 0>的解集

为14x x ⎧

⎫>

⎨⎬⎩

⎭

. 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. 3.江苏D ．[选修4 - 5：不等式选讲] （2012年江苏省10分）已知实数x ，y 满足：

11|||2|3

6

x y x y +<

-<

，，求证：5||18

y <

．

【答案】证明：∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-， 由题设11|||2|3

6

x y x y +<

-<

，，∴1153||=366

y <

+。∴5||18

y <

。

【考点】绝对值不等式的基本知识。

【解析】根据绝对值不等式的性质求证。

4江西15.（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x -1|+|2x +1|≤6的解集为___________。 15.（2）33|22x x ⎧

⎫

∈-

≤≤

⎨⎬⎩⎭

R 【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想.

原不等式可化为1,212216,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---≤⎩.①或11,2221216,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩②或1,221216,x x x ⎧≥⎪

⎨

⎪-++≤⎩

③ 由①得312

2

x -

≤≤-

；由②得112

2

x -

<<

；由③得

132

2

x ≤≤

,

综上，得原不等式的解集为33|2

2x x ⎧⎫

∈-

≤≤

⎨⎬⎩

⎭

R . 【点评】不等式的求解除了用分类讨论法外，还可以利用绝对值的几何意义——数轴来求解；后者有时用起来会事半功倍.体现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等式.来年需要注意绝对值不等式公式,a b a b a b a c c b +≤+-≤-+-的转化应用.

5辽宁24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知()()=+1f x ax a R ∈，不等式()3f x ≤的解集为{}-21x x ≤≤ （1）求a 的值 （2）若()-22x f x f k ⎛⎫

≤

⎪⎝⎭

恒成立，求k 的取值范围 【命题意图】本主要考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的意义，是容易题. 【解析】（1）由+13ax ≤得-42ax ≤≤，又()3f x ≤的解集为{}-21x x ≤≤，所以 当0a ≤时，不合题意 当>0a 时，42-x a a

≤≤

，得=2a …5分

（2）记()()=-22x h x f x f ⎛⎫

⎪⎝⎭，则()1,-11=-4-3,-1<<-21-1,-2

x h x x x x ⎧

⎪≤⎪

⎪⎨⎪

⎪

≥⎪⎩，

所以()1h x ≤，因此1k ≥ ……10分 6陕西15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】42≤≤-a

【解析】|||1|3x a x -+-≤表示在数轴上，a 到1的距离小于等于3，即31≤-a ， 则42≤≤-a 7新课标（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲

已知函数()2f x x a x =++-

（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥

2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323

x x x ≥⎧⇔⎨

-+-≥⎩

1x ⇔≤或4x ≥

（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立

24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立

22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立 30a ⇔-≤≤