求直线的倾斜角或斜率的范围-2018版高人一筹之高二数学特色训练含解析

一、选择题

1．【北京通州潞河中学2016-2017高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为0,0O， 1,0A，

1,1B， 0,1C，点D， E分别在线段OC， AB上运动，且ODBE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是（ ）.

A. 101yxxx B. 101xyyy

C. 201yxx D. 2101yxx

【答案】A

本题选择A选项.

点睛：求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程

2．【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】已知点3,0A， 3,0B，动点P满足2PAPB，则点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线

【答案】B

【解析】点P的坐标为,xy，则2222323xyxy，化简可得22516xy，所以点P的轨迹为圆，选B．

3．【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二上学期第8周周考】设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )

A. (x－1)2＋y2＝4 B. (x－1)2＋y2＝2 C. y2＝2x D. y2＝－2x

【答案】B

【解析】设圆(x－1)2＋y2＝1圆心为C，则P点的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，选B.

点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

直线的倾斜角和斜率

基础卷

一．选择题：

1．下列命题中，正确的命题是

（A）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

（B）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

（C）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率

（D）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π

2．直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的斜率为

（A）3 （B）－3 （C）33 （D）－33

3．直线y=xcosα+1 (α∈R)的倾斜角的取值范围是

（A）[0, 2] （B）[0, π) （C）[－4, 6] （D）[0, 4]∪[43,π)

4．若直线l经过原点和点(－3, －3)，则直线l的倾斜角为

（A）4 （B）54 （C）4或54 （D）－4

5．已知直线l的倾斜角为α，若cosα=－54，则直线l的斜率为

（A）43 （B）34 （C）－43 （D）－34

6．已知直线l1: y=xsinα和直线l2: y=2x+c，则直线l1与l2

（A）通过平移可以重合 （B）不可能垂直

（C）可能与x轴围成等腰直角三角形 （D）通过绕l1上某一点旋转可以重合

二．填空题：

7．经过A(a, b)和B(3a, 3b)(a≠0)两点的直线的斜率k= ，倾斜角α= .

8．要使点A(2, cos2θ), B(sin2θ, －32), (－4, －4)共线，则θ的值为 .

9．已知点P(3 2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为 .

10．若经过点A(1－t, 1+t)和点B(3, 2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 .

高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（一）

例1 直线l过点A（1，2），B（m,3），求l的斜率与倾斜角.

解：（1）先考虑此直线斜率不存在，显然m=1，此时l的倾斜角为2；

（2）若斜率存在，设此斜率为k，倾斜角为11123tan,1,mmkm此时

ⅰ）当m＞1时，k＞0,倾斜角为锐角，11arctanm.

ⅱ）当m＜1时，k＜0，倾斜角为钝角，.11arctanm

例2 平面上有相异的两点A（cosθ，sin2θ）和B（0，1），求经过A、B两点的直线的斜率及倾斜角的范围.

解：∵A、B是互异两点，

∴A、B两点横纵坐标均不相同，因此直线斜率存在且不为0，

∴),(cos0cos1sintan2角分别为直线的斜率及倾kk

0costan

)0,1[k∪]4,0(];1,0(∪).,43[

例3 直线l的斜率为k，倾斜角是α，若－1＜k＜1，则α的取值范围是 .

说明：本题考查倾斜角的范围，即0≤α＜π，可转化为已知tanα的范围求α范围，可以利用正切函数的图象解决，体现与三角函数的联系.

解：作出y=tanα（0≤α＜π）的图象.如右图：143tan,14tan

所以观察图象可知：4340或.

例4 求直线01sin3yx的倾斜角变化范围.

说明：此题中y的系数为变量sinθ，应注意对sinθ=0，sinθ≠0的分类讨论，同时考查不等式的性质、三角函数的性质.

解：（ⅰ）当sinθ=0时，倾斜角为2；

（ⅱ）当sinθ≠0时，直线斜率sin3k.

.3sin3,0sin.sin3tan得由即 .3sin3,0sin得由

所以.3tan3tan或

结合正切函数y=tanα（0≤α＜π）图象可得32223或.

第1页，共14页

直线的倾斜角与斜率练习题

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若直线l的一个方向向量为(−1,√3)，则它的倾斜角为(

)

A.

30°

B.

60°

C.

120°

D.

150°

2. 如图，直线𝑙1，𝑙2，𝑙3的斜率分别为𝑘1，𝑘2，𝑘3，则( )

A. 𝑘1<𝑘2<𝑘3

B. 𝑘1<𝑘3<𝑘2

C. 𝑘3<𝑘2<𝑘1

D. 𝑘3<𝑘1<𝑘2

3. 已知直线l与过点𝑀(−√3,√2)，𝑁(√2,−√3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是( )

A. 𝜋3 B. 2𝜋3 C. 𝜋4 D. 3𝜋4

4. 已知两点𝐴(−1,2)，𝐵(𝑚,3)，且𝑚∈[−√33−1,√3−1]，则直线AB的倾斜角𝛼的取值范围是( )

A. [𝜋6,𝜋2) B. (𝜋2,2𝜋3]

C. [𝜋6,𝜋2)⋃(𝜋2,2𝜋3] D. [𝜋6,2𝜋3]

5. 已知直线l经过𝐴(−2,−1)，𝐵(1,√3−1)两点，则直线l的倾斜角是( )

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

6. 过点𝑃(−1,2)且方向向量为𝑎⃗ =(−1,2)的直线方程为( )

A. 2𝑥+𝑦=0 B. 𝑥−2𝑦+5=0 C. 𝑥−2𝑦=0 D. 𝑥+2𝑦−5=0

7. 直线𝑥=1的倾斜角和斜率分别是( )

A. 0º，0 B. 0º，不存在 C. 45º，−1 D. 90º，不存在

8. 若𝐴(−2,3)，𝐵(3,−2)，𝐶(1,𝑚)三点共线，则m的值为( )

A. −2 B. −1 C. 0 D. 2

9. 直线l过点𝑃(−1,2)，且倾斜角为45°，则直线l的方程为( )

A. 𝑥−𝑦+1=0 B. 𝑥−𝑦−1=0 C. 𝑥−𝑦−3=0 D. 𝑥−𝑦+3=0 第2页，共14页 10. 已知𝑀(1,2)，𝑁(4,3)，直线l过点𝑃(2,−1)且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是( )

word

1 / 2 高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）

［例1］求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值X围.

选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.

解：(1)当m=2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2

(2)当m≠2时，直线l的斜率k=21m∵m＞2时，k＞0.

∴α=arctan21m,α∈（0，2），

∵当m＜2时，k＜0

∴α＝π＋arctan21m，α∈(2,π).

说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用X围.

［例2］若三点A(－2，3），B（3，－2），C（21，m）共线，求m的值.

选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.

解：∵A、B、C三点共线，

∴ｋAB＝ｋAC，.22132332m

解得m=21.

说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.

［例3］已知两点A(－1,－5),B(3,－2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.

选题意图：强化斜率公式.

解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α.

∵tan2α=ｋAB=.43)1(3)5(2

43tan1tan22

即3tan2α+8tanα－3=0，

解得tanα＝31或tanα＝－3.

∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°,

0°＜α＜45°，

∴tanα＝31. word

2 / 2 因此，直线l的斜率是31

说明：由2α的正切值确定α的X围及由α的X围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.

黄家中学高18级数学试题 [直线的倾斜角和斜率、直线方程] 2018年10月8日

班级 学号 姓名

一．选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

答案

1．下列命题正确的是

A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应

B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应

C．直线的斜率为k，则这条直线的倾斜角为arctank

D．直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα

2．已知直线l的倾斜角为，若4cos5，则直线l的斜率为

A．34

B．43 C．34 D．43

3．直线cos1yxR的倾斜角的取值范围是

A．[0, 2] B．[0, π] C．[－4, 6] D．30,44，

4．过点2,3P与1,5Q的直线PQ的倾斜角为

A．arctan2 B．arctan2 C．2arctan2 D．arctan2

5．过点2,,,4AmBm的直线的倾斜角为2arctan2，则实数m的值为

A．2 B．10 C．－8 D．0

6．下列说法中不正确的是

A．点斜式11yykxx适用于不垂直于x轴的任何直线

B．斜截式ykxb适用于不垂直于x轴的任何直线

C．两点式112121yyxxyyxx适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线

D．截距式1xyab适用于不过原点的任何直线

7．过点2,1M的直线与x、y轴分别交于P、Q，若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为

A．230xy B．250xy C．240xy D．230xy

高二数学直线的倾斜角与斜率试题

1. 过点、的直线的斜率为______________．

【答案】2.

【解析】由斜率公式得：.

【考点】直线的斜率公式.

2. 直线的倾斜角为 ．

【答案】

【解析】方程可化为斜截式，所以斜率，所以倾斜角

【考点】直线方程、直线的倾斜角与斜率

3.

直线的参数方程为 (t为参数)，则直线的倾斜角为(

)

A．40°

B．50°

C．140°

D．130°

【答案】C

【解析】,所以，故选C.

【考点】直线的参数方程

4. 直线的倾斜角的大小是 ．

【答案】

【解析】由直线方程可知其斜率为，设其倾斜角为，则，因为，所以。

【考点】直线的斜率和倾斜角。

5. 已知两点，，点在轴或轴上，若，则这样的点的个数为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当点在轴时设，因为，所以，解得；当点在轴时设，因为，所以，解得，所以满足条件的点有3个.

【考点】直线的斜率、两直线的位置关系.

6. 已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )

A． B． C．或 D．

【答案】C

【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．

【考点】直线的斜率．

7. 已知过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的倾斜角为45°，则m的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】根据倾角好斜率的关系可知，给定的过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的斜率为

，故选A.

【考点】本试题考查了直线的倾斜角的概念。

点评：解决该试题的关键是利用倾斜角与斜率的关系，得到关于m的关系式，然后求解得到结论，这是高考中重要的一个知识点，属于基础题。

8. （ ）直线的倾斜角为

A． B． C． D．

【答案】C.

【解析】因为直线的斜率为,所以此直线的倾斜角..

2018-2019学年高中数学人教A版必修二检测：课时跟踪检测（十五） 倾斜角与斜率 Word版含解析

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2018-2019学年高中数学人教A版必修二检测：课时跟踪检测（十五） 倾斜角与斜率 Word版含解析(可编辑) 2018-2019学年高中数学人教A版必修二检测：课时跟踪检测（十五） 倾斜角与斜率 Word版含解析

课时跟踪检测（十五) 倾斜角与斜率

层级一 学业水平达标

1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是（ )

A．45°,1 B．135°,－1

C．90°，不存在 D．180°，不存在

解析：选C 作出图象,故C正确．

2．给出下列说法：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°;

②若k是直线的斜率,则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( ）

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C 显然①②③正确，④错误．

3．已知直线经过点A（－2,0），B（－5,3）,则该直线的倾斜角为（ )

A．150° B．135°

C．75° D．45°

解析：选B ∵直线经过点A(－2，0)，B（－5,3),

∴其斜率k＝错误!＝－1。

设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），

则tan θ＝－1，∴θ＝135°.

4．过两点A(4,y),B(2，－3)的直线的倾斜角为45°,则y＝( )

A．－32 B。错误!

C．－1 D．1

解析：选C tan 45°＝kAB＝错误!，即错误!＝1，所以y＝－1。

5．已知直线l经过点A（1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ )

1 3.1 直线的倾斜角与斜率

一、直线的倾斜角

1.定义

当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为① ,x轴正向与直线l② 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

2.范围

当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为③ .因此,直线的倾斜角α的取值范围是④ .

3.图示

下图中各直线l的倾斜角α依次为钝角、锐角、直角、零度的角.

二、直线的斜率

1.斜率的定义

我们把一条直线的倾斜角α的⑤ 叫做这条直线的斜率.常用字母k表示,即k=⑥

.倾斜角是90°的直线⑦ 斜率.

2.过两点的直线的斜率

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是⑧ .

三、两条直线平行与垂直的判定

1.两条直线平行的判定

对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,有l1∥l2⇔⑨ .

注意:若直线l1和l2可能重合,我们得到k1=k2⇔l1∥l2或⑩ .

2.两条直线垂直的判定

如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于

;反之,如果它们的斜率之积等于 ,那么它们互相垂直,即l1⊥l2⇔ (k1,k2均存在).

2

判断题

1.当直线l与x轴垂直时,其倾斜角为90°,斜率k不存在.( )

2.直线的倾斜角α与斜率k之间是一一对应关系.( )

3.当直线的斜率小于0时,其倾斜角α的范围是90°

4.过任意两点的直线的斜率都能用斜率公式求解.( )

5.当直线与x轴平行时,其斜率不存在.( )

6.当两条直线平行时,其斜率相等.( )

7.当两条直线垂直时,其斜率之积为-1.( )

一、求直线的斜率

1.(2015北大附中月考,★☆☆)斜率为2的直线过A(3,5),B(a,7),C(-1,b)三点,则a+b=( )

A.4 B.-7 C.1 D.-1

直线斜率与倾斜角

（易错必刷32题13种题型专项训练）

题型大集合

➢直线方程求倾斜角

➢动点求斜率范围最值

➢方向向量与斜率

➢直线斜率比大小

➢斜率范围求倾斜角

➢函数值域型求倾斜角

➢直线与线段有交点求斜率范围

➢直线相交受限型求倾斜角➢斜率公式几何意义

➢截距型直线斜率

➢直线斜率倾斜角求参

➢直线倾斜角型求参数

➢综合应用

➢

题型大通关

一． 直线方程求倾斜角（共2小题）

1．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）直线tan345yx=-°+

的倾斜角为（

）

A．34°

B．56°C．124°D．

146°

2．（23-24高二上·天津南开·

期中）若直线2π

:tan

5lx=

的倾斜角为a

，则a

=

（

）．

A．0B

．2π

5C

．π

2D．不存在

二．动点求斜率最值范围（共2小题）

3．（23-24高二上·四川·期中）已知点

2

0,Am

，



3

,0Bmmm>

，则直线AB斜率的最小值为（

）

A

．1

4-

B

．1

2-

C

．1

4D

．1

24．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线l经过两点

2,Am

、

,21Bmm--

且l的倾斜角为

45o

，则m

的值为

（

）

A

．1

2B．2C．1D

．1

2-

三． 方向向量与斜率 （共2小题）

5．（23-24高二上·北京·期中）已知直线l的一个方向向量为

3,2a=-r

，则直线l的斜率为（

）

A

．3

2-

B

．2

3-

C

．2

3D

．3

2

6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）经过

2,0A

，

3,3B

两点的直线的方向向量为

1,k

，则k

的值为（

）

A．1B．2C．3D．4

四． 直线斜率比大小（共2小题）

7．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）图中的直线

123lll､､

的斜率分别为

123kkk､､

，则（

）

A．

123kkk<<

B．

312kkk<<

C．

321kkk<<

D．

132kkk<<

8．（23-24高二上·山西·开学考试）直线

1l

，

2l

，

3l

，

4l

的图象如图所示，则斜率最小的直线是（

）

A．

1l

B．

一、选择题

1．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】已知双曲线222210,0xyabab离心率为2，则其渐近线与圆22214xaya的位置关系是（ ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定

【答案】C

【解析】因为一条渐近线方程为0aybx，又离心率为2ca，所以ab，所以渐近线方程为0yx，由22214xaya知圆心,0a，半径12a，圆心到直线的距离21222aad，所以直线与圆相离，故选C.

2．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】过双曲线22221xyab右焦点F作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是

A. 1,2 B. 5,10 C. 2,10 D. 1,21

【答案】B

3．【天津市耀华中学2018届高三第一次月考】已知双曲线2221(0)4xyaa的右焦点与抛物线212yx的焦点重合，则该双曲线的离线率为 （ ） A. 95 B. 53 C. 32 D. 355

【答案】D

【解析】由题意得22233543555aae ,选D.

4．【山西省山大附中等晋豫名校2018届高三第四次调研诊断考试】已知椭圆22221xyab的左、右焦点分别为12,FF，且122FFc，点A在椭圆上， 1120AFFF， 212AFAFc，则椭圆的离心率e（ ）

A. 33 B. 312 C. 512 D. 22

【答案】C

5．设1F、2F分别为双曲线2221xyab（0a， 0b）的左、右焦点， P为双曲线右支上任一点．若212PFPF的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是（ ）．

word

1 / 11 高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版

一. 本周教学内容：

直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式

［知识点］

1. 直线的方程和方程的直线：

定义：

（1）以一个方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在直线l上。

（2）直线l上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解。

满足（1）（2）的方程f（x，y）＝0是直线l的方程，同时称直线l为方程f（x，y）＝0的直线。

2. 直线的倾斜角：

定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。

规定：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°。

X围：0°≤α＜180°

注意：（1）定义分两部分：一部分是与x轴相交，另一部分与x轴平行。

（2）与x轴相交的定义中，应理解三个地方：①x轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。

（3）应特别注意倾斜角的X围［0，π）。

（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。

3. 直线的斜率：

定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。

符号：常用k表示，即k＝tanα。

注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。

（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2022[)

调区间。

（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。

4. 过两点的直线斜率公式：

公式推导：如图，已知直线l过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），倾斜角为α，求斜率k。

y

x

O

P1 P2 y

x

O

高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析

1. 直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )

A．(3,0) B．(－3,0) C．(0，－3) D．(0,3)

【答案】D

【解析】∵l1∥l2，且l1的斜率为2，

∴l2的斜率为2，

又l2过(－1,1)，

∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，

整理即得y＝2x＋3，

令x＝0，即得P(0,3)．

故选D．

2. [2014·长春三校调研]一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )

A．m>1，且n<1 B．mn<0

C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0

【答案】B

【解析】因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.

3. [2014·南宁模拟]直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )

A．

B．

C．∪

D．∪

【答案】B

【解析】将直线方程变形为y＝－x－，

∴直线的斜率k＝－.

∵a2＋1≥1，∴0<≤1.

∴－1≤k<0，

即－1≤tanα<0.

∴π≤α

4. [2014·汕头质检]若三点A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共线，则实数m＝________.

【答案】 【解析】kAB＝＝－1，kAC＝，

∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，

∴＝－1，解得m＝.

5. 已知为椭圆：的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，的周长为8，且椭圆C与圆相切。

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证为定值．

【答案】（1） （2）= 证明详见解析．

【解析】（1）由的周长为8，可得4a=8，又由椭圆C与圆相切，可得b2=3，即可求得椭圆的方程为．

（2）设过点 的直线方程为：，设点，点，将直线方程代入椭圆中，整理可得关于x的一元二次方程，该方程由两个不等的实数根，其判别式恒大于零，求出，的表达式，由点斜式分别写出直线AE，AF的方程，然后求出点M，N的坐标，在求出点P的坐标，由两点的斜率公式求出直线 的斜率，整理即可求得=．

训练目标 理解斜率、倾斜角的几何意义，会求直线的斜率和倾斜角.

训练题型 (1)求直线的斜率；(2)求直线的倾斜角；(3)求倾斜角、斜率的范围.

解题策略 (1)理解斜率和倾斜角的几何意义，熟练掌握计算公式；(2)利用正切函数单调性确定斜率和倾斜角的范围.

一、选择题

1．与直线x＋3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为( )

A.π6 B.π3 C.2π3 D.π2

2．直线x＝π3的倾斜角等于( )

A．0 B.π3 C.π2 D．π

3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角α的取值范围是( )

A．[0，π4] B．[3π4，π)

C．[0，π4]∪(π2，π) D．[π4，π2)∪[3π4，π)

4．直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是( )

A.π6，π2∪π2，5π6 B.0，π6∪5π6，π

C.0，5π6 D.π6，5π6

5．(2016·济南一模)曲线y＝|x|与y＝kx－1有且只有一个交点，则实数k的取值范围是( )

A．－1≤k≤1 B．－1≤k≤0

C．0≤k≤1 D．k＜－1或k＞1

6．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )

A.π6，π3 B.π6，π2

C.π3，π2 D.π6，π2

7．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( ) A．0≤α＜π B．0≤α≤π4或π2＜α＜π

C．0≤α≤π4 D.π4≤α＜π2或π2＜α＜π

8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是( )

高二数学倾斜角与斜率知识点

数学是一门抽象而精确的科学，其中许多概念和知识点都与我们日常生活息息相关。在高二数学学习中，倾斜角与斜率是重要的概念之一。本文将详细介绍倾斜角与斜率的概念及其应用。

一、倾斜角的定义与性质

倾斜角，也称为斜率角，是指直线相对于水平线或者坡面的倾斜程度。在直角坐标系中，可以通过斜率来计算倾斜角。具体来说，若直线的斜率为k，则其倾斜角θ满足tanθ=k。

倾斜角具有以下性质：

1. 垂直线的倾斜角为90度或π/2弧度；水平线的倾斜角为0度或0弧度。

2. 同一条直线上的两个不同点的连线的倾斜角相等。

3. 平行的直线具有相同的倾斜角。

4. 相互垂直的两条直线的倾斜角之积为-1。

二、斜率的计算与性质

斜率描述了直线上各点间的变化率，可以理解为直线的倾斜程度。在直角坐标系中，设直线通过两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的斜率k满足k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。

斜率具有以下性质：

1. 垂直线的斜率不存在；水平线的斜率为0。

2. 同一条直线上的所有点的斜率相等。

3. 平行的直线具有相同的斜率。

4. 若直线的斜率为k，则与水平线的倾斜角θ满足tanθ=k。

三、倾斜角与斜率的应用

倾斜角和斜率在实际问题中具有广泛的应用，特别是在几何图形和物理学中。

1. 图形的倾斜角：通过计算两点的坐标可以确定直线的斜率，从而求得直线相对于水平线的倾斜角。这对于理解图形的形状和方向非常重要。

2. 道路的坡度：道路的坡度实际上就是道路的倾斜角。通过计算两个位置的高度差和水平距离，可以求得坡度，从而了解道路的陡峭程度，对工程设计和施工有着重要意义。

3. 物体的运动：对于物体在直角坐标系中的运动，可以通过斜率来描述速度的变化。倾斜角和斜率帮助我们理解物体在不同位置上的速度和方向。

总结：

倾斜角与斜率是高二数学中的重要概念，其应用广泛。倾斜角可以通过斜率来计算，用于描述直线相对于水平线的倾斜程度。斜率则是描述直线各点间变化率的指标。倾斜角与斜率在几何图形和物理学中有许多实际的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

1 同步：直线的倾斜角与斜率(★★★)

教学目标

1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念

2.理解直线的倾斜角和斜率的定义

3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率

4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角

课堂导入

3 min.

问题情景1、如何确定一条直线的位置？

问题情景2、用一个很小等腰直角的三角板，能不能画出一个很大的正方形的对角线，怎么画？

问题情景3、我们用什么样的几何量来刻画直线的方向？你想怎么样定义？

知识梳理

10 min.

1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线

在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率

2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.

当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示. 倾斜角是90的直线没有斜率

3．概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题.

关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；