2008年全国初中数学竞赛预赛试题(3月23日)

2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数x ，y 满足42423x x-=，423y y +=，则444y x +的值为（ ）。

A 、7 B 、1132+ C 、7132+ D 、5 ［答］A解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得212444311344x ++⨯⨯+==，2114311322y -++⨯-+==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x++-=-+=2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。

A 、512B 、49C 、1736D 、12 ［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736p =3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。

A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。

4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数满足，则的值为（）．（A）7 （B）（C）（D）5【答】（A）解：因为，≥0，由已知条件得，，所以 7．另解：由已知得：，显然，以为根的一元二次方程为，所以故＝2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．（A）（B）（C）（D）【答】（C）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知＝＞0，即＞4.通过枚举知，满足条件的有17对. 故.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条【答】（B）解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A 的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（）．（A）（B）1 （C）（D）a【答】（B）解：如图，连接OE，OA，OB．设，则．又因为，所以≌，于是．另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B 上，由所以5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种【答】（D）解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是．【答】，或．解：由，得，依题意有解得，，或．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则．②由①，②可得，所以．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．【答】9．解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB．又，所以，所以．因此9．另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交AE于点N.则所以.又，所以四边形是等腰梯形，即9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．【答】．解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则，所以．因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此，所以，故．另解：＝（这里）所以，由△ADE∽△ABC，得，即10．关于x，y的方程的所有正整数解为．【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设，则，同上可知，a，b都是偶数．设，则，所以，c，d都是偶数．设，则，于是＝，其中s，t都是偶数．所以≤．所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是＝289，从而＝7．于是因此另解：因为则有又y正整数，所以令因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由知的个位数只能是1和1或6和6；当的个位数是1和1时，则的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与的十位数字为3矛盾。

2008年全国初中数学竞赛江西决赛试卷一、选择题（每小题7分，共42分）1. 从分数组则有（）A. x+2y+3z=0B. 7x+5y+2z=0C. 9x+6y+3z=0D. 10x+7y+z=05. 如图1，将正三角形的每条边四等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，则图中的菱形个数为（）[图1]A. 15B. 18C. 21D. 246. 某人将2 008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数与，结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则+=（）A. 40B. 50C. 60D. 70二、填空题（每小题7分，共28分）7. 设（x+）（y+）=9,则x+y=.8. 一本书共有61页，顺次编号为1，2…61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（即形如的两位数被当成了两位数），结果得到的总和是2 008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是.9. 如图2，在边长为1的正三角形ABC中，由两条含120°圆心角的弓形弧，及边BC所围成的（火炬形）阴影部分的面积是.图2三、解答题（本题3小题，共70分）11. （20分）设a为整数,使得关于x的方程ax2-（a+5）x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.12. （25分）如图3，在四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD 的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K.求证：K是线段MN的中点.13. （25分）120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？。

城郊初中八年级上数学竞赛试题一、填空题：每小题4分，共80分。

1、使等式x x x =-成立的的值是 。

2，P （3、—2）关于y=1对称点的Q （ ， ）。

3、如果点A （3，a ）是点B （3，4）关于y 轴的对称点，那么a 的值是 。

4、如图1，正方形ABCD 的边长为1cm ，以对角线AC 为边长再作一个正方形，则正方形ACEF 的面积是 2cm .5、已知四个命题：①1是1的平方根，②负数没有立方根，③无限小数不一定是无理数，一定没有意义；其中正确的命题有 个。

6、已知72π⎡--⎢⎣，，，其中无理数有 个。

7、若A 的算术平方根是 。

8、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，G 是三角形的底角平分线交点，那么图中例行全等的三角形的对数是 对。

9、足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 场。

10、若方程组4101,43x y k x y k x y +=+⎧<+<⎨+=⎩的解满足则的取值范围是 。

11、如图3，在一个正方体的两个面上画两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于 。

12、某班级共48人，春游时到杭州西湖划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金 元。

13、正三角形△ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有 个。

（图1）F E D C B A （图2）FG E D C B A（图3）(图5）14、若61m m -表示一个数，则整数可取值的个数是 个。

15、已知x 和y 满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式22312x xy y ++的值是 。

16、方程550x x -+-=的解的个数为 个。

17、如图4，△ABC 为等边三角形，且BM=CN ，AM 与BN 相交于点P ，则∠APN= .18、已知有如下一组,x y z 和的单项式： 3232242323117 8 3 9 9 0.325x z x y x yz xy z x zy zy xyz y z xz y z --，，，，，，，，，我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看x 的次幂，规定x 幂次高的单项式排在x 幂次低的单项式的前面；再先看y 的次幂，规定y 幂次高的单项式排在y 幂次低的单项式的前面；再先看z 的次幂，规定z 幂次高的单项式排在z 幂次低的单项式的前面。

2008年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷（3月16日上午9∶00～11∶00）一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分．每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里）（1）若11=-m m，则mm +1的值等于（ ）．（A ）25 （B ）25-（C ）5- （D ）5（2）甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以每小时a 千米的速度行走，另一半时间以每小时b 千米的速度行走；而乙用每小时a 千米的速度走了一半的路程，另一半的路程以每小时b 千米的速度行走（a ，b 均大于0且b a ≠）．则（ ）．（A ）甲先到达B 地 （B ）乙先到达B 地 （C ）甲乙同时到达B 地 （D ）甲乙谁先到达B 地不确定（3）如图，已知□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，EF 与对角线AC 交于点P ．若ba EBAE =，nm FDAF =（a 、b 、m 、n 均为正数），则PCAP 的值为（ ）．（A ）bman am + （B ）bman bn +C（C ）bman am am ++ （D ）bnbm an bn ++（4）如图，在△ABC 中，已知︒=∠45BAC ，若BC AD ⊥于点D ，且2=BD ，3=CD ，则△ABC 的面积为（ ）． （A ）25 （B ）5 （C ）215 （D ）15（5）一项“过关游戏”规定：在第n 关要掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于43n，则算过关，否则，不算过关．现有下列说法：①过第一关是必然事件； ②过第二关的概率为3635；③可以过第四关； ④过第五关的概率大于0. 其中，正确说法的个数为（ ）．（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分．把答案填在题中横线上）（6）若关于x 的函数a x a x a y 4)14()3(2+---=的图象与坐标轴有两个交点，则a 的值为 . （7）如图，在△ABC 中，已知︒=∠40B ，︒=∠30BAD ，若CD AB =，则ACD ∠的大小为 （度）.（8）如图，有五个圆顺次相外切，且又都与直线a 、b 相切，如果其中最小圆与最 大圆的直径分别为18和32，那么⊙3O 的直径为 .（9）已知四个实数d c b a ,,,，且d c b a ≠≠,．若四个关系式：22=+ac a ，22=+bc b ，第（8）题图第（7）题图ABDC 第（4）题图ABDC42=+ac c ，42=+ad d同时成立，则d c b a 2326+++的值等于 .（10）已知n m ,都是正整数，若301≤≤≤n m ，且mn 能被21整除，则满足条件的数对),(n m 共有 个.三、解答题（本大题共3小题，每小题满分20分，共60分）（11）（本小题满分20分）已知b a 、为实数，且322=++b ab a ，若22b ab a +-的最大值是m ，最小值是n ，求n m +的值．（12）（本小题满分20分）如图，在△ABC 中，已知BC AC =， 20=∠C ，E D 、分别为边AC BC 、上的点，若 20=∠CAD ， 30=∠CBE ，求ADE ∠的大小．CBDAE已知n 个正整数n x x x ,,,21 满足200821=+++n x x x ，求这n 个正整数乘积nx x x 21的最大值．（13）（本小题满分20分）2008年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分） （1）若11=-m m，则mm+1的值等于（ D ）．（A ） 25 （B ） 25-（C ） 5- （D ）5 【解】∵11=-m m ，∴11>+=m m，即0>m ，m m =．∴5414)1()1(22=+=+-=+m mm m，∴51=+m m ．（2）甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以每小时a 千米的速度行走，另一半时间以每小时b 千米的速度行走；而乙用每小时a 千米的速度走了一半的路程，另一半的路程以每小时b 千米的速度行走（a ，b 均大于0且b a ≠）．则（ A ）．（A ）甲先到达B 地 （B ）乙先到达B 地 （C ）甲乙同时到达B 地 （D ）甲乙谁先到达B 地不确定 【解】由已知，设A 、B 两地相距s 千米，则甲走完全程所用的时间为ba s +2，乙走完全程所用的时间为abb a s bs as 2)(22+=+．∵0)(2)()(2])(4[2)(222<+--=++-=+-+b a ab b a s b a ab b a ab s abb a s ba s （b a ≠）．∴甲所用的时间少，甲先到达B 地．（3）如图，已知□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，EF 与对角线AC 交于点P ．若ba EB AE =，nm FDAF =（a 、b 、m 、n 均为正数），则PCAP 的值为（ C ）．（A ）bman am + （B ）bman bn +（C ）bman am am ++ （D ）bnbm an bn ++【解】延长FE 、CB 交于点G .∵□ABCD 中，BC AD //， ∴△AEF ∽△BEG ，有ba BGAF BEAE ==，即△AFP ∽△CGP ，有PCAP CGAF =.∵FD AF BG AD BG BC BG CG ++=+=+=. 由nm FDAF =，得AFmn FD =.∴bman am am AFm n AF AF ab AFPCAP ++=++=.（4）如图，在△ABC 中，已知︒=∠45BAC ，若BC AD ⊥于点D ，且2=BD ，3=CD ，则△ABC 的面积为（ D ）． （A ）25 （B ） 5 （C ）215 （D ）15【解】如图，过点C 作AB CE ⊥于点E ，则△BCE ∽△BAD ，∴ADCE ABBC =.若设h AD =，则由2=BD ，3=CD ，∴在Rt △ABD 中，2224hADBDAB +=+=，在Rt △ACD 中，2229hAD CDAC +=+=.又∵在Rt △ACE 中，由︒=∠45BAC ， 得BAC AC CE ∠⋅=sin ，∴2292⋅+=h CE .而5=+=CD BD BC ，∴hh h2294522⋅+=+，即0363724=+-h h .解得1=h 或6=h (负值舍去). 当1=h 时, 得BAC ∠为钝角，舍去，∴6=h . ∴S △ABC 15652121=⨯⨯=⋅=h BC .（5）一项“过关游戏”规定：在第n 关要掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于43n，则算过关，否则，不算过关. 现有下列说法：①过第一关是必然事件； ②过第二关的概率为3635；③可以过第四关； ④过第五关的概率大于0.AEBDC其中，正确说法的个数为（ B ）．（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 【解】要过第一关，点数需大于43，显然，抛掷一颗骰子一次至少有1点，故①对；要过第二关，点数之和需大于49，即点数之和至少是3．而抛掷两次的点数之和至少为2，因此，不能过第二关的只有一种可能：就是两次抛掷的点数均为1，即两次抛掷的36种可能结果中，有35种结果可以过第二关.所以，过第二关的概率为3635，故②对；要过第四关，点数之和需大于4120434=，若每次抛出的点数均为6，则点数之和412024>，所以第四关是可以通过的，故③对；要过第五关，点数之和需大于435，显然是不可能的，所以，过第5关是不可能事件，概率为0，说法④错．综上①②③正确.二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，满分30分．)（6）若关于x 的函数a x a x a y 4)14()3(2+---=的图象与坐标轴有两个交点，则a 的值为 3，0或401-.【解】当03=-a ，即3=a 时，原函数变为1211+-=x y ，其图象与坐标轴有两个交点. 当03≠-a ，即3≠a 时，原函数为二次函数，其图象与y 轴一定有一个交点)4,0(a ，若此交点不是原点，由已知，其图象与x 轴只能有一个交点，所以)3(16)14(2=---=∆a a a ，解得401-=a ；若此交点是原点，则0=a ，此时函数为x x y +-=23，其图象必与x 轴有两个不同的交点.综上可知a 的值为3，0或401-.（7）如图，在△ABC 中，已知︒=∠40B ，︒=∠30BAD ，若CD AB =，则ACD ∠的大小为 40°（度）.【解】如图，将△ABD 沿AD 所在直线对折，使点B 落在点E 位置，得△AED ，AE 与CD 交于点O . ∵△AED ≌△ABD ，∴︒=∠=∠301BAD ，︒=∠=∠402B . 由4∠为△ABD 的一个外角，得︒=∠+∠=∠704B BAD . ∴在△ADE 中，︒=∠+∠+∠-︒=∠40)421(1803. ∴32∠=∠,有OE OD =.又∵AE 为AB 沿AD 对折得到，有AB AE =， 已知CD AB =，∴AE CD =.∴OE AE OD CD -=-.即OA OC =.∴5∠=∠ACD . ∵在△ABC 中，︒=∠+∠+∠+∠+∠18051ACD BAD B ， ∴︒=︒-︒-︒-︒=∠40)303040180(21ACD .（8）如图，有五个圆顺次相外切，且又都与直线a 、b 相切，如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32，那么⊙3O 的直径为 24 .【解】如图，设五个圆⊙1O ，⊙2O ，⊙3O ，⊙4O ，⊙5O 的半径分别为1r ，2r ，3r ，4r ，5r .过点1O 、2O 、3O 作直线a 的垂线，垂足分别为1A ，2A ，3A .连接1O 3O ，显然圆心2O 在1O 3O 上，作2211A O B O ⊥于点1B ，3322A O B O ⊥于点2B ，则△121B O O ∽△232B O O . ∴23123221B O B O O O O O =, 即23123221r r r r r r r r --=++，可得2312r r r r =同理，3423r r r r =，4534r r r r =.设kr r =12，有12kr r =,123r k r =,134r k r =,145r k r =.∵92181==r ,162325==r ,∴342=k ，∴123=r . ∴⊙3O 的直径为24.（9）已知四个实数d c b a ,,,，且d c b a ≠≠,．若四个关系式：22=+ac a ，22=+bc b ，42=+ac c ，42=+ad d同时成立，则d c b a 2326+++的值等于 0 .12【解】由022)()(22=-=+-+bc b ac a ，044)()(22=-=+-+ad d ac c ，得0))((=++-c b a b a ，0))((=++-d c a d c ．因为d c b a ≠≠,，所以0=++c b a ，0=++d c a ．可得)(c a d b +-==． 又642)()(22=+=+++ac c ac a ，242)()(22-=-=+-+ac c ac a ， 得6±=+c a ，2))((-=+-c a c a ． 当6=+c a 时，得36-=-c a ．解得362,36==c a ． 当6-=+c a 时，得36=-c a ．解得362,36-=-=c a ．所以，02)(4364362326=-=+-+=++=+++c a c a c a b c a d c b a ．（10）已知n m ,都是正整数，若301≤≤≤n m ，且mn 能被21整除，则满足条件的数对),(n m 共有多少 57 个． 【解】因为正整数n m ,满足mn 能被21整除，且301≤≤≤n m ，若21=m ，则30,,22,21 =n ．满足条件的数对),(n m 有10个． 若21≠m ，当21=n 时，20,,2,1 =m ．满足条件的数对),(n m 有20个． 当21≠n 时，因为7321⨯=，①如果b n a m 7,3==，其中b a ,都是正整数，且3,7≠≠b a ， 得30731≤≤≤b a ．1=b 时，2,1=a ；2=b 时，4,3,2,1=a ；4=b 时，9,8,6,5,4,3,2,1=a ．满足条件的数对),(n m 有14842=++个．②如果b n a m 3,7==，其中b a ,都是正整数，且7,3≠≠b a ， 得30371≤≤≤b a ．3=b ，4时，a 的值均为1；5=b ，6，8，9时，a 的值均为1，2； 10=b 时，a 的值为1，2，4．满足条件的数对),(n m 有1332412=+⨯+⨯个．综上，满足条件的数对),(n m 共有5713142010=+++个． 三、解答题（本大题共3小题，每小题满分20分，共60分）（11）已知b a 、为实数，且322=++b ab a ，若22b ab a +-的最大值是m ，最小值是n ，求n m +的值．【解】设k b ab a =+-22，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++.,32222k b ab a b ab a 得23k ab -=． ………………………………5分于是 29233)()(222k k ab b ab a b a -=-+=+++=+，而 2)(b a +≥0，有29k -≥0，所以 k ≤9． ………………………………10分 这样29k b a -±=+，23k ab -=，实数b a 、可以看作是一元二次方程023292=-+-k x k x的两个根． ……15分判别式233234292-=-⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∆k k k ≥0， 所以 k ≥1， 有1≤k ≤9．所以22b ab a +-的最大值是9=m ，最小值1=n ，10=+n m ． ………………………………20分（12）如图，在△ABC 中，已知BC AC =， 20=∠C ，E D 、分别为边AC BC 、上的点，若， 20=∠CAD 30=∠CBE ，求ADE ∠的大小． 【解】如图，过点D 作DG ∥BA ，交AC 于点G ，连接BG 与AD 交于点H ，则GHDH BH AH BG AD ===,,．∵在△ABC 中，BC AC =， 20=∠C ， ∴ 80=∠=∠CBA CAB ．有 602080=-=∠-∠=∠CAD CAB HAB ．CB D A EGF H∴△ABH 、△GDH 均为正三角形． ………………………5分 ∵在△ABE 中，由 503080=-=∠-∠=∠CBE CBA EBA ， 得 505080180180=--=∠-∠-=∠EBA CAB AEB ． ∴EBA AEB ∠=∠．有AE AB =．∴AH AE =． ① ………………………………10分 过点D 作DF ∥BE ，交AC 于点F ，则△GDF ∽△ABE ．有DG FG =． ∴DH FG =． ②①＋②，得AD DH AH FG AE =+=+． ③ 又∵在△ABC 中，由 20=∠=∠C CAD ，得CD AD =． 而由CG CD =，可得FG CF CG AD +==． ④∴比较③、④，可得CF AE =． ………………………………15分 综上，有△AED ≌△CFD ．得CDF ADE ∠=∠． ∵AFD ∠为△CFD 的一个外角， 50=∠=∠AEB AFD ， ∴ 302050=-=∠-∠=∠C AFD CDF ．∴ 30=∠ADE ． ……………………………… 20分 （13）已知n 个正整数n x x x ,,,21 满足200821=+++n x x x ，求这n 个正整数乘积nx x x 21的最大值．【解】 设n x x x 21的最大值为M ，由于200821=+++n x x x ，显然M 中的每一个i x 均大于1，n i ,,2,1 =． 若其中有i x ≥4，可将i x 分成2-i x 和2两个数，考察它们的乘积，有 )4(422)2(-+=-=⨯-i i i i x x x x ≥i x ，这样所有大于或等于4的正整数i x 分成2-i x 和2两个数后，其和不变，但使得乘积变大． ………………………5分于是，在最大值n x x x M 21=中不可能出现大于或等于4的正整数， 故 2=i x 或3=i x ，这就是说M 可以写成q p 32⋅的形式． ……………10分 又因为33222+=++， 但2332<，即在乘积中用2个3替代3个2可使乘积增大，所以 p ≤2． …………………15分 又2266832008++⨯=，所以668232⋅=M …………………20分。

2008年天津市高中数学联赛预赛2008年高中数学联赛天津赛区预赛于2008年9月21日举行，共有五千多名中学生参加此次预赛，并从中选拔出九百多名学生参加于10月12日举行的全国高中数学联赛.天津赛区预赛所涉及的知识范围基本参照现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，但在方法的要求上有所提高. 主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力. 试卷包括6道选择题，6道填空题和3道解答题，全卷满分150分，考试时间为两小时.天津赛区预赛的命题工作由学会负责，组织工作由科协五学科竞赛管理委员会办公室负责，阅卷及报送参加全国高中数学联赛的名单由各区县教研室具体实施.2008年高中数学联合竞赛天津地区预赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确结论的代号填在对应题号的表格内） 1. 已知二次函数()232f x x x =-+，则方程()()0ff x =不同实数根的数目为（ ）.()1A ()2B ()3C ()4D2. 抛物线21y ax bx =++的参数,a b 满足2384a ab b +=，则当,a b 变动时，抛物线的顶点一定在（ ）上.()A 抛物线 ()B 双曲线 ()C 圆或椭圆 ()D 直线3. 如右图，已知,,L M N 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，,D E 分别是,BC AB 上的点，并满足,AD CE 均平分ABC ∆的周长，,P Q 分别是,D E 关于,L N 的对称点，PQ 与LM 交于点F ，若AB AC >，则AF 一定过ABC ∆的（ ）.()A 内心 ()B 外心 ()C 重心 ()D 垂心4. 若方程()2400,1xa x a a +-=>≠的所有根为12,,,k u u u ，其中k 为正整数，方程()()log 2200,1a x x a a +-=>≠的所有根为12,,,l v v v ，其中l 为正整数，则1212k lu u u v v v k l ++++++++ 的值为（ ）.()14A ()12B ()1C ()2D5. 考虑集合{}1,2,,10S = 的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，则“好子集”的数目有（ ）个.()631A ()633B ()635C ()637D6. 设不定方程222100x y z xyz ++-+=的正整数解(),,x y z 中满足,,x y z 均大于2008的不同解的数目为k ，则k 满足（ ）.()0A k = ()12008B k ≤≤ ()2008C k >，但k 是有限的数 ()D k 是无穷大二、填空题：（本大题共6小题，每小题9分，共54分． 请将答案写在题中横线上） 7. 函数()()()[]s i n 45,0,90s i n 60x fx x x +︒=∈︒︒+︒，则()f x 的最大值与最小值的乘积为 . 8. 若方程2009200810zz ++=有模为1的根，则所有模为1的根的和为 .9. 考虑44⨯的正方形方格表中的25个格点，则通过至少3个格点的不同直线的数目为 . 10. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则2008120082009k k =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑的值是 . 11. 已知长方体1111ABCD A BC D -满足12,3,251AA AD AB ===，平面1A BD 分别与11111,,CC C B C D 交于点,,L M N ，则四面体1C L M N 的体积为 .12. 已知半径为R 的圆O 外一条直线l ，O 在l 上的投影为H ，OH d =，OH 与圆O 交于点,,C D CH DH >. 设,P Q 为l 上的点，,P Q 在H 的同侧，且,,PH a QH b a b ==>，圆O 中有2008条平行于l 的弦()1,2,,2008i i AB i = ，且这2008条弦与CD 的交点均分CD ，则()20082222112008i i i i i PA PB QA QB =+++∑的值为（用,,,a b d R 表述） .三、 解答题（本大题共3小题,共60分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 13. 已知锐角ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点分别为,,D E F ，在,,EF FD DE 的延长线上分别取点,,P Q R ，若AP BQ CR ==，证明PQR ∆的外心为ABC ∆的垂心.14. 已知数列12,,,,n a a a 满足：()()221212151,1,21n n n n a a a a n n a +-+===≥-，求n a 的通项公式.15. 有10个选手1210,,,A A A ，他们的积分分别为9,8,7,6,5,4,3,2,1,0，名次分别为第1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负. 若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得1分，负者得0分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得2分，负者得0分，全部比赛结束后计算每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是允许的）.参考答案一、选择题 1. 因为()()()()2224323233226103ff x x x x x x x x x=-+--++=-+-，所以有()()2123,433310,0,3,2x x x x x x x ±--+====，因此原方程有4个不同实根. 故选D 。

2008年八年级数学竞赛模拟试卷(新星)班级： 姓名： 得分：一、选择题（每小题5分，共30分） 1、已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ）A 、N M >B 、N M =C 、N M <D 、无法确定2、下列名人中：①比尔∙盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）A 、①④⑦B 、②④⑧C 、②⑥⑧D 、②⑤⑥3、甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（ ）A 、1场B 、2场C 、3场D 、4场4、张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案。

此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）A 、500元B 、600元C 、700元D 、800元5、将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上,然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上不同．．数的个数的最小值和最大值分别是（ ）A 、7，9B 、6，9C 、7，10D 、6，106、已知12310,,,...,x x x x 都是正整数，12101210......x x x x x x +++=，且其中一个取得最大值，则1210...x x x +++的值等于( )A 、19B 、20C 、21D 、22二、填空题（每小题5分，共30分） 7、对正实数b a ,作定义b a ab b a +-=*，若444=*x ，则x 的值是 。

8、已知22560x xy y --=，则yx的值为 。

9、设平方数2y 是11个相继整数的平方和，则自然数y 的最小值是 。

2008年广东省初中数学竞赛初赛试题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案说明：1．本卷考试时间为60分钟，共30小题，每小题4分，满分120分。

以下每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入答题栏里。

不填、多填或错填都得0分。

2．答卷前，考生必须将自己的姓名、考号、学校按要求填写在密封线左边的空格内。

3．答题可用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔按各题要求答在试卷上，但不能用铅笔或红笔，解答书写时不要超过装订线。

4．考试结束时，将试卷交回，草稿纸不用上交。

1．22(3)9x m x m --+=是一个多项式的平方，则（ ）A ．6B ．12C ．6或0D ．0或1522．若31(1)a a ≤-，则化简后为（ ）A ．1)1a a --（ B ．(1)1a a -- C ．1)1a a --（ D ．)1a a --（1 3．已知2222()8 ()12 a b a b a b +=-=+，，则的值为（ ） A ．10 B ．8 C ．20 D ．44．关于x 的方程22(81)8 kx k x k k ++=-有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A ．116k >-B ．1016k k ≥-≠且C ．116k =-D ．1016k k >-≠且 5．已知a b c 、、为ABC 的三边，且关于x 的一元二次方程2)2()()0c b x b a x a b -+-+-=（有两个相等的实根，则这个三角形是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．不等边三角形 6．已知：三个数a b c 、、的积为负数，和为正数，且a b c ab ac bc x a b c ab ac bc=+++++，则321ax bx cx +++的值为（ ）A ．0B ．1C ． 2D ．－1 7．若实数a b 、满足等式2273 73,b aa ab b a b=-=-+，则代数式之值为（ ）A ．237-B ．237C ．2327-或D ．2327或8．若α为锐角，且cos α=0.6，则（ ）A ．030α︒<<︒B ．3045α︒<<︒C ．4560α︒<<︒D ．6090α︒<<︒9．如果222(0)22x a a x x x a a ax x a ax x -=-≠≠-+-++2，，那么=（ ） A ．2a B ．2x C ．2a - D ．2x - 10．如图，AD ∥BC ，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4，若在边DC 上有一点P ， 使△PAD 和△PBC 相似，则这样的点P 存在的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．化简：22(1)(1)a a +--=（ ）A ．2B ．4C ．4aD ．222a +12．如图，点A 在平行四边形的对角线上，试判断12S S ，之间的大小关系（ ） A ．12S S = B ．12S S > C ．12S S < D ．无法确定13．如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB=2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ ） A ．2 B ．1 C ．1.5 D ．0.514．如图，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ：OE ：OF=（ ） A ．::a b c B ．111::a b cC ．cosA:cosB:cosCD ．sinA:sinB:sinC15．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8，BC=10，则tan ∠EFC 的值为（ ）A ．34B ．43C ．35D ．4516．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截成 三等分，则图中四边形EFGH 的面积为（ ） A ．24cm B ．223cm C ．233cm D ．243cm17．某商店经销一批衬衣，每件进价为a 元，零售价比进价高%m ，后因市场变化，该商店把零售价调整为原来零售价的%n 出售，那么调整后每件衬衣的零售价是（ ）A ．(1%)(1%)a m n +-元B ．%(1%)am n -元C ．(1%)%a m n +元D ．(1%%)a m n +元 18．三人同行，有两个性别相同的概率是（ ） A ．1 B ．0 C ．13 D ．23第10题A DCB第12题A S 1S 2第14题OF ED CBA 第15题F ED CBA第16题H GF ECBA 第19题YXP 4(P 3)P 2P 1OB P A O ECDB A第13题19．如图，将边长为1的正方形OAPB 沿轴正方向连续翻转2008次， 点P 依次落在点12342007P P P P P ，，，，，的位置，则20072007P x =的横坐标（ ）A ．2001B ．2004C ．2007D ．201020．已知1231235x x x y y y ，，的平均数为，，，的平均数为7，则 11223323 23 23x y x y x y +++，，的平均数为（ ） A ．31 B ．313 C ．935D ．17 21．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD于F ，则PE+PF 等于（ ）A ．75B ．125C ．135D ．14522．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线l 上 取一点P ，使得∠APB=30°，则满足条件的点P 的个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．不存在23．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形， 设△AFC 的面积为S ，则（ ）A ．S=2B ．S=2.4C ．S=4D ．S 与BE 长度有关 24．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面 一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是（ ） A ．2π B ．42 C ．43 D ．525．正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个26．在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文26个字母a b c z ，，，，，（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格），当明码对应的序号x 为奇数时，密码对应的序号12x y +=；当明码对应的序号x 为偶数时，密码对应的序号132xy =+． 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 N o p q r s t u v w x y z 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 2223242526按上述规定，将明码“love ”译成密码是（ ）A ．gauqB ．shxcC ．sdriD ．love第21题PFE DCBA第22题lPC BA第23题GF E DCB A 第24题AP27．将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A ＇，则点A ＇的坐标是（ ）A ．(23 2)，B ．（4，－2）C ．(232-，）D ．223-（，）28．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于M （0，2），N （0，8）两点，则点P 的坐标是（ ） A ．（5，3） B ．（3，5） C ．（5，4） D ．（4， 5） 29．如图所示，二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1212 21 01x x x x <<-<<，其中-，，下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a b -<；④284b a ac +>A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 30．观察下列三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … …则第50行的最后一个数是（ ）A ．1225B ．1260C ．1270D ．1275参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 CBADCBACDCCABCA题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案CCACABBABCBCDCD第28题ONM Q PY X第29题-2-1021Y X。