2013学年虹口区初三数学期终调研试卷(含详细答案)
- 格式:doc
- 大小:678.55 KB
- 文档页数:6
虹口区2023学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学 练习卷(满分150分,考试时间100分钟) 2024.4注意:1.本练习卷含三个大题,共25题.答题时,请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本练习卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]1.下列各数中,无理数是A .211; B .3.14159; CD ..1.2. 2.如果关于x 的一元二次方程220x x m −+=有实数根,那么实数m 的取值范围是A .m >1;B .m <1;C .m ≥1;D .m ≤1.3.已知二次函数2(4)y x =−−,如果函数值y 随自变量x 的增大而减小,那么x 的取值范围是A .x ≥4;B .x ≤4;C .x ≥-4;D .x ≤-4.5.如图1,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边BC 和AD 上,BE =2,AF=6,如果AE ∥CF ,那么△ABE 的面积为A .6;B .8;C .10;D .12.6.在□ABCD 中,BC =5,S □ABCD =20.如果以顶点C 为圆心,BC 为半径作⊙C ,那么⊙C 与边AD 所在直线的公共点的个数是A .3个;B .2个;C .1个;D .0个.二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7= ▲ .8.分解因式:229a b −= ▲ .9.不等式52x +≤3(2)x +的解集是 ▲ .10.函数y =的定义域是 ▲ . 11.将抛物线2(2)1y x =−+先向右平移3个单位,再向下平移4个单位后,所得到的新抛物线的表达式为 ▲ .① ② C D O 图6 BA 1 A 12.在一个不透明袋子中,装有2个红球和一些白球,这些球除颜色外其他都一样.如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.25,那么白球的个数是 ▲ .13.某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况,随机抽取40名学生,调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图(图2),那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有 ▲ 名.14.一根蜡烛长30厘米,点燃后匀速燃烧,经过50分钟其长度恰为原长的一半.在燃烧的过程中,如果设蜡烛的长为y (厘米),燃烧的时间为t (分钟),那么y 关于t 的函数解析式为 ▲ (不写定义域).15.如图3,已知正六边形螺帽的边长是4cm ,那么与该螺帽匹配的扳手的开口a 为 ▲ cm . 16.如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BC =2AD ,点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点,联结AC ,设a AB =,AC =b ,那么用向量a 、b 表示向量EF = ▲ .17.如图5□ABCD 中,AB =7,BC =8,sin B =45.点P 在边AB 上,AP =2,以点P 为圆心,AP 为半径作⊙P .点Q 在边BC 上,以点Q 为圆心,CQ 为半径作⊙Q .如果⊙P 和⊙Q 外切,那么CQ 的长为 ▲ .18.如图6,在扇形AOB 中,∠AOB =105°,OA =8,点C 在半径OA 上,将△BOC 沿着BC 翻折,点O 的对称点D 恰好落在弧AB 上,再将弧AD 沿着CD 翻折至弧A 1D (点A 1是点A 的对称点),那么OA 1的长为 ▲ .三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.(本题满分10分)先化简,再求值:22214(1)33m m m m m −+÷−++,其中m =2.20.(本题满分10分)解方程组:2226,20.x y x xy y −=⎧⎨−−=⎩B图4 AD EF C 图2时间/小时 1.0 1.5 2.0 2.5 3 (每组包括最小值,不包括最大值) 人数 2 4 8 10 3.5 0 6 12图3 B 图5 A P C D图9 C A B D E21.(本题满分10分,第(1)小题6分,第(2)小题4分)如图7,一次函数图像与反比例函数图像相交于点A (m ,2)和点B (2,-4),与y 轴交 于点C .点D (-1,n )在反比例函数图像上,过点D 作x 轴的垂线交一次函数图像于点E .(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△CDE 的面积.22. (本题满分10分)根据以下素材,完成探索任务.探究斜坡上两车之间距离素材1 图8①是某高架入口的横断面示意图.高架路面用BM 表示,地面用AN 表示,斜坡用AB 表示.已知BM ∥AN ,高架路面BM 离地面的距离BH 为25米,斜坡AB 长为65米.素材2 如图8②,矩形ECKG 为一辆大巴车的侧面示意图, CK 长为10米,EC 长为3.5米.如图8③,该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上,矩形ECKG 的顶点K 与点B 重合,点B 与指示路牌底端P 点之间的距离BP 为 6.5米,且BP ⊥BM .小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶,小张的眼睛到斜坡的距离FD 为1米.问题解决任务一 如图8①,求斜坡AB 的坡比. 任务二 如图8③,当小张正好可以看到整个指示路牌(即P 、E 、F 在同一条直线上)时,试求小张距大巴车尾EC 的距离CD .23.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)如图9,在Rt △ABC 中,∠C =90°,延长CB 至点D ,使得DB=CB ,过点A 、D 分别作AE ∥BC ,DE ∥BA ,AE 与DE 相交于点E ,联结BE . (1)求证:BE ⊥CD ;(2)联结AD 交BE 于点F ,联结CE 交AD 于点G .如果∠FBA =∠ADB ,求证:23AG AB =.图7O y C B x A D E 图8① M A B H N C K图8② G E图8③ P B CD EFM G (K )图10②图10① A B D C E P F 图10②备用图 A B D C 24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分)新定义:已知抛物线2y ax bx c =++(其中abc ≠0),我们把抛物线2y cx ax b =++称为2y ax bx c =++的“轮换抛物线”.例如:抛物线y =2x 2+3x +1的“轮换抛物线”为y =x 2+2x +3. 已知抛物线C 1:24(45)y mx m x m =+−+的“轮换抛物线”为C 2,抛物线C 1、C 2与y 轴分别交于点E 、F ,点E 在点F 的上方,抛物线C 2的顶点为P .(1)如果点E 的坐标为(0,1),求抛物线C 2的表达式;(2)设抛物线C 2的对称轴与直线38y x =+相交于点Q ,如果四边形PQEF 为平行四边形,求点E 的坐标;(3)已知点M (-4,n )在抛物线C 2上,点N 坐标为(-2,172−),当△PMN ∽△PEF 时,求m 的值.25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)①小题5分,第(2)②小题5分)在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 在射线DA 上,点F 在射线AB 上,联结CE 、DF 相 交于点P ,∠EPF =∠ABC .(1)如图10①,如果AB=CD ,点E 、F 分别在边AD 、AB 上.求证:AF DF DE CE=; (2)如图10②,如果AD ⊥CD ,AB =5,BC =10,cos ∠ABC =35.在射线DA 的下方,以 DE 为直径作半圆O ,半圆O 与CE 的另一个交点为点G .设DF 与弧EG 的交点为Q .①当DE =6时,求EG 和AF 的长;②当点Q 为弧EG备用图O y x。
期中检测题本检测题满分:120分,时间:120分钟一、选择题(每小题3分,共36分)1. 已知二次函数y =a (x +1)2b (a ≠0)有最小值1,则a 、b 的大小关系为( )A.a >bB.a <bC.a =bD.不能确定2.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B. C.D.3. (河南中考)在平面直角坐标系中,将抛物线y =x 24先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的表达式是( ) A.y =(x +2)2+2B.y =(x 2)2 2C.y =(x 2)2+2D.y =(x +2)2 24.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )5.已知抛物线的顶点坐标是,则和的值分别是( ) A.2,4 B. C.2,D.,06.若2121003m x x m -++=是关于x 的一元二次方程,则的值应为( ) A. B. C. D.无法确定 7.方程2(2)9x -=的解是( )A .125,1x x ==-B .125,1x x =-=C .1211,7x x ==-D .1211,7x x =-=8.若(0)n n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根,则m n +的值为( ) A . B .C .D .9.定义:如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )A .a c =B .a b =C .b c =D .a b c == 10.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A B C D11.已知点A 的坐标为()a b ,,O 为坐标原点,连接OA ,将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得线段1OA ,则点的坐标为( )A.()a b -,B.()a b -,C.()b a -,D.()b a -, 12.当代数式532++x x 的值为7时,代数式2932-+x x 的值为( )二、填空题(每小题3分,共24分) 13.对于二次函数, 已知当由1增加到2时,函数值减少3,则常数的值是 .14.将抛物线3)3(22+-=x y 向右平移2个单位后,再向下平移5个单位,所得抛物线的顶点坐标为_______.15.(湖北襄阳中考)某一型号飞机着陆后滑行的距离y (单位:m )与滑行时间x (单位:s )之间的函数表达式是y =60x 1.5x 2,该型号飞机着陆后需滑行 m 才能停下来. 16.如果,那么的关系是________.17.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根,那么k 的取值范围为_____________. 18.方程062=--x x 的解是__________________.19.如图所示,边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ,过点O的直线分别交AD BC ,于点E F ,,则阴影部分的面积是 .第19题图B第24题图20.若(是关于的一元二次方程,则的值是________.三、解答题(共60分)21.(8分)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?22.(8分)(2012·杭州中考)当k分别取1,1,2时,函数y=(k1)x24x+5k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.23.(8分)把抛物线向左平移2个单位,同时向下平移1个单位后,恰好与抛物线重合.请求出的值,并画出函数的示意图.24.(8分)在长为,宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.25.(8分)已知抛物线与轴有两个不同的交点.(1)求的取值范围;(2)抛物线与轴的两交点间的距离为2,求的值.26.(8分)若关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.27.(12分)将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC=∠B1A1C=30°)按图①的方式放置,固定三角板A1B1C,然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图②所示的位置,AB与A1C交于点E,AC与A1B1交于点F,AB与A1B1交于点O.(1)求证:△BCE≌△B1CF.(2)当旋转角等于30°时,AB与A1B1垂直吗?请说明理由.期中检测题参考答案1. A 解析:∵ 二次函数y =a (x +1)2b (a ≠0)有最小值1,∴ a >0且x =1时,b =1.∴ a >0,b = 1. ∴ a >b .2.C 解析:由函数图象可知,所以.3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”,将抛物线y =x 2-4先向右平移2个单位得y =(x -2)2-4,再向上平移2个单位得y =(x -2)2-4+2=(x -2)2-2.4.C 解析:当时,二次函数图象开口向下,一次函数图象经过第二、四象限,此时C ,D 符合.又由二次函数图象的对称轴在轴左侧, 所以,即,只有C 符合.同理可讨论当时的情况.5.B 解析: 抛物线的顶点坐标是(),,,解得.6.C 解析:由题意,得212m -=,解得32m =.故选C. 7.A 解析:∵2(2)9x -=,∴23x -=±, ∴125,1x x ==-.故选A.8.D 解析:将x n =代入方程得220n mn n ++=,所以20n m n ++=(). ∵0n ≠,∴20n m ++=,∴2m n +=-.故选D. 9.A 解析:依题意,得联立得2()4a c ac += ,∴ 2()0a c -=,∴ a c =.故选.10.A 解析:选项B 是轴对称图形但不是中心对称图形,选项C 是中心对称图形但不是轴 对称图形,选项 D 既不是轴对称图形又不是中心对称图形. 11.C 解析:画图可得点的坐标为()b a -,.12.A 解析: 当2357x x ++=时,232x x +=,所以代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.故选. 13. 解析:因为当时,, 当时,,所以.14.(5,-2)15. 600 解析:y =60x 1.5x 2= 1.5(x 20)2+600,当x =20时,y 最大值=600,则该型号飞机着陆时需滑行600 m 才能停下来.16.解析:原方程可化为[]24()50x y -+=,∴.17.1k <- 解析:∵ =224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+<,∴ 1k <-. 18.123,2x x ==- 解析:.方程有两个不等的实数根即19.1 解析:△绕点旋转180°后与△,所以阴影部分的面积等于正方形面积的,即1.20 解析:由得或.21. 解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人, 由题意,得1+x +(1+x )x =64, 即解得=7,=-9(舍去).答:每轮传染中平均一个人传染了7个人. (2)7×64=448(人). 答:又有448人被传染.22.分析:先求出当k 分别取1,1,2时对应的函数,再根据函数的性质讨论最大值. 解:(1)当k =1时,函数y =4x +4为一次函数,无最值.(2)当k =2时,函数y =x 24x +3为开口向上的二次函数,无最大值. (3)当k =1时,函数y =2x 24x +6=(x +1)2+8为开口向下的二次函数,对称轴为直线x =1,顶点坐标为(,8),所以当x =1时,y 最大值=8.综上所述,只有当k =1时,函数y =(1)x 24x +5k 有最大值,且最大值为8.点拨:本题考查一次函数和二次函数的基本性质,熟知函数的性质是求最值的关键.23.解:将整理得.因为抛物线向左平移2个单位,再向下平移1个单位得,所以将向右平移2个单位, 再向上平移1个单位即得,故,所以.示意图如图所示.24. 解:设所截去小正方形的边长为.由题意得,2108480%108x ⨯-=⨯⨯. 解得 122, 2x x ==-. 经检验,12x =符合题意,22x =-不符合题意,舍去. ∴ 2x =. 答:所截去小正方形的边长为.25. 解:(1)∵ 抛物线与轴有两个不同的交点,∴ >0,即解得c <.(2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为,∵ 两交点间的距离为2, ∴ .由题意,得,解得,∴,.26. 分析:(1)根据已知一元二次方程的根的情况,得到根的判别式Δ≥0,据此列出关于k 的不等式[-(2k +1)]2-4(k 2+2k )≥0,通过解该不等式即可求得k 的取值范围; (2)假设存在实数k 使得x 1•x 2--≥0成立,利用根与系数的关系可以求得x 1+x 2=2k +1,x 1•x 2=k 2+2k ,然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式3x 1•x 2-(x 1+x 2)2≥0,通过解不等式可以求得k 的值. 解:(1)∵ 原方程有两个实数根,∴ [-(2k +1)]2-4(k 2+2k )≥0,∴ 4k 2+4k +1-4k 2-8k ≥0,∴ 1-4k ≥0,∴ k ≤.∴ 当k ≤时,原方程有两个实数根. (2)假设存在实数k 使得x 1•x 2--≥0成立.∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=2k+1,x1•x2=k2+2k.由x1•x2--≥0,得3x1•x2-(x1+x2)2≥0.∴ 3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,整理得-(k-1)2≥0,∴只有当k=1时,上式才能成立.又由(1)知k≤,∴不存在实数k使得x1•x2--≥0成立.27.(1)证明:在△和△中,∠,,∠,∴△≌△.(2)解:当∠时,.理由如下:∵∠,∴∠.∴∠,∴∠.∵∠,∴∠,∴.。
沪教版九年级第一学期数学期中考试(一) 一、单选题(本大题共6题,每题4分,共24分)1.若23a b =,则32a b a b -+的值是( ) A .75 B .23 C .125 D .0 【答案】D【解析】解:设23a b k ==, ∴a=2k ,b=3k ,∴32a b a b-+=322323k k k k ⨯-⨯+=0, 故选D.2.已知3cos sin 80A ︒><,则锐角A 的取值范围是( ) A .6080A ︒︒<<B .3080A ︒︒<<C .1060A ︒︒<<D .1030A ︒︒<< 【答案】D【解析】∵3cos30,sin 80cos10︒=︒=︒,锐角的余弦值随角度的增大而减小, ∴1030A ︒<<︒,故选:D .3.如图:已知////AD BE CF ,且4,5,4AB BC EF ===,则DE =( )A .5B .3C .3. 2D .4【答案】C【解析】解:∵AD ∥BE ∥CF∴AB DE BC EF= ∵AB=4,BC=5,EF=4∴454DE ∴DE=3.2故选C4.如图,为安全起见,萌萌拟加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB 的长为3m ,点D 、B 、C 在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD 的长是( )A .2B .23C .32D .33【答案】C【解析】 试题分析:根据AB=3m ,∠ABC=45°可得:322∠D=30°可得:AD=2AC=2×3222m . 5.下列条件中,能使ABC DEF ∽△△成立的是( )A .∠C =98°,∠E =98°,AC DE BC DF=; B .AB =1,AC =1.5,BC =2,EF =8,DE =10,FD =6C .∠A =∠F =90°,AC =5,BC =13,DF =10,EF =26;D .∠B =35°,BC =10,BC 上的高AG =7;∠E =35°,EF =5,EF 上的高DH =3.5【答案】D【解析】A 、若△ABC~△DEF ,则AC DF =BC EF,故本选项错误; B 、若△ABC~△DEE ,则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6,故本选项错误; C 、若△ABC~△DEF ,∠A =90°,则∠D =90°,故本选项错误;D 、BC AG ==2EF DH且∠AGC =∠BHF =90°,因此△AGC ∽△BHF ,所以∠C =∠F ,而∠B =∠E =35°,因此可判断相似,故本选项正确;所以D 选项是正确的.6.如图,在矩形ABCD 中,E 是AD 边的中点,BE AC ⊥,垂足为点F ,连接DF ,有下列五个结论:①AEF CAB ∆∆∽;②CF 2AF =;③DF DC =;④1tan 2CAD ∠=;⑤:1:4ABF BCDF S S ∆=四边形.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4 【答案】D【解析】分析: ①四边形ABCD 是矩形,BE ⊥AC ,则∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB ,于是△AEF ∽△CAB ; ②由1122AE AD BC ==,又AD ∥BC ,所以12AE AF BC FC ==,故可得CF=2AE ; ③过D 作DM ∥BE 交AC 于N ,得到四边形BMDE 是平行四边形,求出12BM DE BC ==,得到CN=NF ,根据线段的垂直平分线的性质可得结论; ④设AE=a ,AB=b ,则AD=2a ,由△BAE ∽△ADC ,得出2b a =,进而得出22tan 2CD b a CAD AD a ∠====; ⑤由AE ∥BC ,推出12AE EF BC BF ==,设S △AEF =S △DEF =m ,推出S △ABF =2m ,S △BFC =4m ,S 矩形ABCD =12m ,S 矩形BCDF =8m ,推出S △ABF :S 四边形BCDF =1:4,故⑤正确解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,∠ABC=90°,AD=BC ,∵BE ⊥AC 于点F ,∴∠EAC=∠ACB ,∠ABC=∠AFE=90°,∴△AEF ∽△CAB ,故①正确;∵AD ∥BC ,∴△AEF ∽△CBF ,∴AE AF =BC CF, ∵AE=12AD=12BC , ∴12AF CF =, ∴CF=2AF ,故②正确;如图,过D 作DM ∥BE 交AC 于N ,∵DE ∥BM ,BE ∥DM ,∴四边形BMDE 是平行四边形,∴BM=DE=12BC , ∴BM=CM ,∴CN=NF , ∵BE ⊥AC 于点F ,DM ∥BE ,∴DN ⊥CF ,∴DM 垂直平分CF ,∴DF=DC ,故③正确; 设AE=a ,AB=b ,则AD=2a ,由△BAE ∽△ADC ,有AB AD AE DC =,即2b a a b =, 所以,2a , ∴22tan 222CD b a CAD AD a a ∠====,故④错误; //AE BC , 12AE EF BC BF ∴==, 设AEF DEF S S m ==,2ABF S m ∆∴=,4BFC Sm =,12ABCD S m =矩形,8BCDF S m =四边形, :1:4ABF BCDF S S ∴=四边形故⑤正确;二、填空题(本大题共12题,每题4分,共48分)7.计算:(2a -)b -12(64a -)b (_____________________) 【答案】a b -+【解析】 232a b a b --+ =a b -+故答案为:a b -+8.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =6,cosB =23,则BC 的长为_____. 【答案】4【解析】∵∠C=90°,AB=6,∴2cos 3BC B AB ==, ∴BC =23AB =4. 9.已知点D 是线段AB 的黄金分割点,且线段AD 的长为2厘米,则最短线段BD 的长是______厘米.【答案】-1 【解析】试题分析:因为点D 是线段AB 的黄金分割点,切BD <AD所以512AD BD AB AD -== 因为AD 的长为2厘米所以代入解得51BD =-10.如图,在ABC 中,点D 在BA 的延长线上,满足32AD AB =,点E 是BC 的中点,联结DE 交AC 于点F ,则:AF CF __________.【解析】解:如图,过点A 作AG ∥BC,交ED 于点G,∵AG ∥BC∴△AGF ∽△CEF,△DAG ∽△DBE .∴AG AD BE BD = ,AF AG CF EC=. ∵32AD AB =. ∴25AG AD AD BE BD AD AB ===+. ∵点E 是BC 的中点. ∴BE=EC .∴25AG AG ECBE ==. ∴2=5AF AG CF EC =. 即::AF CF =2:5.故答案为:2:511.如果在比例尺为1:1 000 000的地图上,A 、B 两地的图上距离是3.4cm ,那么A 、B 两地的实际距离是____km .【答案】34【解析】根据题意,13.434000001000000÷=厘米=34千米. 即实际距离是34千米.故答案为:34.12.如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m 的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点距离相距6m ,与树相距15m,则树的高度为_________m.【答案】7【解析】设树的高度为x m,由相似可得6157262x+==,解得7x=,所以树的高度为7m13.如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,则△ABC的边长为__________.【答案】9【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,AB=BC;∴CD=BC-BD=AB-3;∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°,∴∠ADB+∠EDC=120°,∴∠DAB=∠EDC,又∵∠B=∠C=60°,∴△ABD∽△DCE;∴AB BD CD CE=,即323ABAB-=;解得AB=9.故答案为9.14.已知在△ABC中,点M、N分别是边AB、AC的中点,如果AB a=,AC b=,那么向量MN=______(结果用a、b表示).【答案】1122b a - 【解析】 ∵M 、N 是△ABC 的边AB 和AC 的中点,AB a =,AC b =, ∴11,22AM a AN b == , . ∵ MN AN AM =- ,∴ 1122MN AN AM b a =-=-. 15.如图,已知在ABC 中,点,D E 分别是边,AB AC 上的点,//,,DE BC CD BE 交于点F ,如果:3:5AE EC =那么:EF BF =_________ .【答案】3:8【解析】∵//DE BC∴AED ACB ∠=∠且ADE ABC =∠∠∴ADE ABC △△∽∴AE DE AC BC= ∵35AE EC = ∴38AE AE AC AE EC ==+ ∴3=8DE AE BC AC = ∵//DE BC∴DEF FBC ∠=∠又∵DFE BFC ∠=∠∴DEF CBF ∽△△∴3=8EF DE BF BC = 故答案为:3:8.16.如图,ABC ∆中,AB AC =,AD BC ⊥于D 点,DE AB ⊥于点E ,BF AC ⊥于点F ,3cm DE =,则BF =__________cm .【答案】6【解析】∵AB=AC ,∴∠C =∠ABC ,又∵AD ⊥BC 于 D 点,∴ BD=DC=12BC , 又 DE ⊥AB ,BF ⊥AC ,∴∠BED=∠CFB=90°, ∴△BED ∽△CFB ,∴DE :BF=BD :BC=1:2,∴BF=2DE=2×3=6cm , 故答案为:6.17.如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ,飞机上的测量人员在C 处测得A ,B 两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH 为1200米,且点H ,A ,B 在同一水平直线上,则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号).【答案】()120031 【解析】 由于CD//HB ,CAH ACD 45∠∠∴==,B BCD 30∠∠==,在Rt ACH 中,CAH 45∠∴=,AH CH 1200∴==米,在Rt HCB ,CH tan B HB∠=, CH 1200HB 12003(tan B tan303∠∴====米), ()AB HB HA 120031200120031∴=-=-=-米, 故答案为()120031-. 18.如图,在矩形纸片ABCD 中,AB =6,BC =10,点E 在CD 上,将△BCE 沿BE 折叠,点C 恰落在边AD 上的点F 处,点G 在AF 上,将△ABG 沿BG 折叠,点A 恰落在线段BF 上的点H 处,有下列结论:①∠EBG =45°;②S △ABG =32S △FGH ;③△DEF ∽△ABG ;④AG+DF =FG .其中正确的是_____.(把所有正确结论的序号都选上)【答案】①②④.【解析】分析:利用折叠性质得∠CBE=∠FBE ,∠ABG=∠FBG ,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH ,则可得到∠EBG=12∠ABC ,于是可对①进行判断;在Rt △ABF 中利用勾股定理计算出AF=8,则DF=AD-AF=2,设AG=x ,则GH=x ,GF=8-x ,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到x 2+42=(8-x )2,解得x=3,所以AG=3,GF=5,于是可对②④进行判断;接着证明△ABF ∽△DFE ,利用相似比得到43DE AF DF AB ==,而623AB AG ==,所以AB DE AG DF≠,所以△DEF 与△ABG 不相似,于是可对③进行判断. 解:∵△BCE 沿BE 折叠,点C 恰落在边AD 上的点F 处;点G 在AF 上,将△ABG 沿BG 折叠,点A 恰落在线段BF 上的点H 处,∴∠CBE =∠FBE ,∠ABG =∠FBG ,BF =BC =10,BH =BA =6,AG =GH ,∴∠EBG =∠EBF+∠FBG =12∠CBF+12∠ABF =12∠ABC =45°,所以①正确; 在Rt △ABF 中,AF =22BF AB -=22106-=8,∴DF =AD ﹣AF =10﹣8=2,设AG =x ,则GH =x ,GF =8﹣x ,HF =BF ﹣BH =10﹣6=4,在Rt △GFH 中,∵GH 2+HF 2=GF 2,∴x 2+42=(8﹣x )2,解得x =3,∴GF =5,∴AG+DF =FG =5,所以④正确;∵△BCE 沿BE 折叠,点C 恰落在边AD 上的点F 处,∴∠BFE =∠C =90°,∴∠EFD +∠AFB =90°,而∠AFB +∠ABF =90°,∴∠ABF =∠EFD ,∴△ABF ∽△DFE ,∴AB DF =AF DE, ∴DE DF =AF AB =86=43, 而AB AG =63=2, ∴AB AG ≠DE DF , ∴△DEF 与△ABG 不相似;所以③错误.∵S △ABG =12×6×3=9,S △GHF =12×3×4=6, ∴S △ABG =32S △FGH ,所以②正确. 故答案是:①②④.三、解答题(本大题共7题,19-22每题10分,23-24每题12分,25题14分,共78分)19.计算:()222tan 4521cos30cos 60sin 602sin 451︒--︒+︒+︒︒- 【答案】23+ 【解析】原式=32112212⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⨯- =21231+-++=23+20.如图,MN 经过∆ABC 的顶点A ,MN ∥BC ,AM=AN ,MC 交AB 于D ,NB 交AC 于E .(1)求证:DE ∥BC ;(2)联结DE ,如果DE=1,BC=3,求MN 的长.【答案】(1)见解析;(2)3【解析】(1)证明:∵MN BC ∥,∴AM AD BC DB =,AN AE BC EC =. ∵AM AN ∥,∴AE AD EC DB =. ∴DE BC ∥.(2)∵DE BC ∥,1DE =,3BC =.∴13DE AD AE BC AB AC === ∴12AD AEDB EC,∴12AN AE BC EC ==. ∴32AN = ∵AM AN =,∴3MN =.21.如图,为了将货物装入大型的集装箱卡车,需要利用传送带AB 将货物从地面传送到高1.8米(即BD=1.8米)的操作平台BC 上.已知传送带AB 与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°. (1)求传送带AB 的长度; (2)因实际需要,现在操作平台和传送带进行改造,如图中虚线所示,操作平台加高0.2米(即BF=0.2米),传送带与地面所成斜坡的坡度i=1:2.求改造后传送带EF 的长度.(精确到0.1米)(参考数值:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,2≈1.41,5≈2.24)【答案】(1)3米;(2)4.5米.【解析】(1)在直角△ABD 中,∵∠ADB=90°,∠BAD=37°,BD=1.8米,∴AB=BD sin 37︒≈1.80.60=3(米). 答:传送带AB 的长度约为3米;(2)∵DF=BD+BF=1.8+0.2=2米,斜坡EF 的坡度i=1:2,∴DF 1=DE 2, ∴DE=2DF=4米,∴EF=2222DE DF =42++=25≈4.5(米).答:改造后传送带EF 的长度约为4.5米.22.如图,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于D ,E 是AC 的中点,DE 的延长线与BC 的延长线交于点F .(1)求证:FD BD FC DC=; (2)若54BC FC =,求BD DC 的值.【答案】(1)详见解析;(2)32BD DC = 【解析】分析: (1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ,推出∠EDC =∠ECD ,求出∠FDC =∠B ,根据∠F =∠F ,证△FBD ∽△FDC 即可;(2)根据已知和三角形面积公式得出54BDC FDC S S ∆∆=,94BDF FDC S S ∆∆=,根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出294BDF FDC S BD S DC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭,即可求出BD DC . (1)证明:CD AB ⊥,90ADC ∴∠=︒,E 是AC 的中点,DE EC ∴=,EDC ECD ∴∠=∠,90ACB ∠=︒,90BDC ∠=︒,90ECD DCB ∴∠+∠=︒,90DCB B ∠+∠=︒,ECD B ∴∠=∠,∴FDC B ∠=∠,F F ∠=∠,FBD FDC ∴∆∆∽,FD BD FC DC∴=. (2)54BC FC =,54BDC FDC S S ∆∆∴=,94BDF FDC S S ∆∆∴=, FBD FDC ∆∽,294BDF FDC S BD S DC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭, 32BD DC ∴=. 23.如图,矩形ABCD 中,点E 、F 分别在边AB 、AD 上,且//EF BD ,3AD AF =,CF 交BD 于G ,设AB a =,AD b =.(1)用a 、b 表示:EF = ;(2)在原图中作出向量FC 分别在a 、b 方向上的分向量,并分别用a 、b 表示(写出结论,不要求写作法).FC 在a 方向上的分向量是 ;FC 在b 方向上的分向量是 .【答案】(1)1133b a -;(2)a ,23b . 【解析】(1)//EF BD , ∴13AE AF AB AD ==, AB a =,AD b =,∴13AF b =,13AE a =,EF EA AF =+, ∴1133EF b a =-.(2)作FH ⊥BC 交BC 于点H ,如图所示:向量FC 分别在a 、b 方向上的分向量分别为FH a =,23FD b =.24.如图,点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点,连接CP 并延长,交AD 于点E ,交BA 的延长线于点F .(1)求证:2PC PE PF =;(2)若菱形边长为8,2PE =,6EF =,求FB 的长.【答案】(1)见解析;(2) 16=FB .【解析】(1)证明:四边形ABCD 是菱形,DC DA ∴=,ADP CDP ∠=∠,//DC AB ,又DP 是公共边,DAP DCP ∴∆≅∆,PA PC ∴=,DAP DCP ∠=∠,由//DC FA 得,F DCP ∠=∠,F DAP ∴∠=∠,又EPA APF ∠=∠AEP FAP ∴∆∆∽,∴PA:PF=PE :PA ,2PA PE PF ∴=2PC PE PF ∴=.(2)2PE =,6EF =,8PF ∴=,2PC PE PF =,216PC ∴=,4PC ∴= //DC FB∴FB PF DC PC =, 又8DC =,∴884FB = 16FB ∴=.25.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E ,F 分别在边AB ,AD 上,且∠ECF =45°,CF 的延长线交BA 的延长线于点G ,CE 的延长线交DA 的延长线于点H ,连接AC ,EF .,GH .(1)填空:∠AHC ∠ACG ;(填“>”或“<”或“=”)(2)线段AC ,AG ,AH 什么关系?请说明理由;(3)设AE =m ,①△AGH 的面积S 有变化吗?如果变化.请求出S 与m 的函数关系式;如果不变化,请求出定值.②请直接写出使△CGH 是等腰三角形的m 值.【答案】(1)=;(2)结论:AC 2=AG •AH .理由见解析;(3)①△AGH 的面积不变.②m的值为83或2或8﹣2. 【解析】分析:(1)证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,即可推出∠AHC=∠ACG;(2)结论:AC2=AG•AH.只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题;(3)①△AGH的面积不变.理由三角形的面积公式计算即可;②分三种情形分别求解即可解决问题.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB=CD=DA=4,∠D=∠DAB=90°∠DAC=∠BAC=45°,∴AC=224+4=42,∵∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,∴∠AHC=∠ACG.故答案为=.(2)结论:AC2=AG•AH.理由:∵∠AHC=∠ACG,∠CAH=∠CAG=135°,∴△AHC∽△ACG,∴AH AC AC AG=,∴AC2=AG•AH.(3)①△AGH的面积不变.理由:∵S△AGH=12•AH•AG=12AC2=12×(42)2=16.∴△AGH的面积为16.②如图1中,当GC=GH时,易证△AHG≌△BGC,可得AG=BC=4,AH=BG=8,∵BC∥AH,∴12 BC BEAH AE==,∴AE=23AB=83.如图2中,当CH=HG时,易证AH=BC=4,∵BC∥AH,∴BE BCAE AH=1,∴AE=BE=2.如图3中,当CG=CH时,易证∠ECB=∠DCF=22.5.在BC上取一点M,使得BM=BE,∴∠BME=∠BEM=45°,∵∠BME=∠MCE+∠MEC,∴∠MCE=∠MEC=22.5°,∴CM=EM,设BM=BE=m,则CM=EM2m,∴m+2m=4,∴m=4(2﹣1),∴AE=4﹣4(2﹣1)=8﹣42,8 3或2或8﹣.综上所述,满足条件的m的值为。
期中检测题(本检测题满分:120分,时间:120分钟)一、选择题(每小题2分,共24分)(新添)1.(2013·上海中考)下列式子中,属于最简二次根式的是( )A.(新添)2.(2013·武汉中考)则x 的取值范围是( )A.1x <B.1x ≥C.1x -≤D.1x <-(新添)3.(2013的结果是( )A. B. C. 4.已知:则与的关系为( )5.下列二次根式中,化简后能与2合并的是( )A.21B . C. D .6.2121003m x x m -++=是关于x 的一元二次方程,则的值应为( ) A.m =2 B.23m = C.32m = D.无法确定7.方程2(2)9x -=的解是( )A.125,1x x ==-B.125,1x x =-=C.1211,7x x ==-D.1211,7x x =-=8.若(0)n n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根,则m n +的值为( )A .B .C .D .9.定义:如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )A .a c =B .a b =C .b c =D .a b c == 10.下列说法中正确的是( )A.两个直角三角形相似B.两个等腰三角形相似C.两个等边三角形相似D.两个锐角三角形相似 11.如图,在梯形中,∥,对角线相交于点若,则的值为( )A.B. C.D.12.当代数式532++x x 的值为7时,代数式2932-+x x 的值为( )二、填空题(每小题3分,共18分)(新添)13.(2013·安徽中考)在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 .(新添)14.(2013·广东中考)若实数,a b满足20a +=,则2a b=_____________.15.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根,则k 的取值范围为_____________. 16.方程062=--x x 的解是__________________.17. 若432z y x ==(均不为0),则z zy x -+2的值为 .18.在△ABC 中,,,,另一个与它相似的△的最短边长为45 cm ,则△的周长为________.三、解答题(共78分)19.(8分)先化简,再求值:231839x x ---,其中3x =. 20.(8分)有一道练习题是:对于式子2a简,后求值,其中a =小明的解法如下:2a2a 2(2)a a --=2a +=2.小明的解法对吗?如果不对,请改正.21.(8分)已知x 、y 为实数,且1y =, 求x y +的值.22.(8分)要焊接如图所示的钢架,大约需要多少米钢材(精 确到)?23.(10分)若关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0,求m 的值是多少?A BDC2 m1 m4 m第22题图24.(10分)如果,求()z xy 的值.25.(12分) 如图,在梯形中,∥,∠°,且对角线,试问: (1)△与△相似吗?请说明理由; (2)若,,请求出的长.26.(14分)如图,在△中,∠90°,,,点从出发,沿以2㎝的速度向移动,点从出发,以的速度向移动,若分别从同时出发,设运动时间为,当为何值时,△与△相似?CQ 第26题图期中检测题参考答案1.B 解析:因为113393,20454525,333⨯==⨯=⨯===⨯,所以A ,C ,D 项都不是最简二次根式.2.B 解析:1x -有意义的条件是10x -≥,解这个不等式,得1x ≥,所以正确选项为B.3.B 解析:1489433333-=-=.4.A 解析:∵ ,∴5.A 解析:因为2255512.052202221,,,====不能化简,所以只有A 项化简后能与2合并.6.C 解析:由题意得,212m -=,解得32m =.故选C. 7.A 解析:∵ 2(2)9x -=,∴ 23x -=±,∴ 125,1x x ==-.故选A.8.D 解析:将x n =代入方程得220n mn n ++=,∵ 0n ≠,∴ 20n m ++=, ∴ 2m n +=-.故选D.9.A 解析:依题意得,联立得2()4a c ac += ,∴ 2()0a c -=,∴a c =.故选.10.C11.B 解析:在梯形中,∥,对角线相交于点,知△∽△,所以12.A 解析: 当2357x x ++=时,即232x x +=,∴ 代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.故选.13.13x ≤ 解析:要使13x -在实数范围内有意义,需满足130x -≥,解得13x ≤.14.1 解析:因为240a b +-,且20a +≥40b -,所以20,40a b +=-=,所以2,4a b =-=.把2,4a b =-=代入2a b 中,得22(2)4144a b -===.15.1k <- 解析:∵ 224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+<,∴ 1k <-.16.123,2x x ==- 解析:.方程有两个不等的实数根即17.1 解析:设()0432≠===m m zy x ,所以所以.144622=-+=-+mm m m z z y x18.195 cm 解析:因为△ABC ∽△,所以.又因为在△ABC 中,边最短,所以,所以,所以△的周长为19.解:)3)(3(1833918332-+--=---x x x x x =33)3)(3()3(3+=-+-x x x x . 当时,原式10103103= 20.解:小明的解法不对.改正如下:由题意得,22a =<,∴ 应有2(2)(2)2a a a -=--=-+.∴ 2244a a a --+=22(2)a a --=2(2)a a --+=32a -=322-.21.解:由题意,得20090x -≥,且20090x -≥.∴ 2009x =,∴ 1y =.∴2010x y +=.22.解:由勾股定理得22224220AD BD +=+=.222221BD CD +=+.∴ 所需钢材长度为555.答:要焊接一个如原题图所示的钢架,大约需要 长的钢材.23.解:由题意得即当1m =-时,012)1(22=-++-m x x m 的常数项为 24.解:原方程可化为,∴ ,∴ 2()(6)zxy -=-136.25.解:(1)∵ ,∴ ∠90°. 又∠90°,∴ ∠∠.又∵∥,∴ ∠∠.∴ △∽△.(2)∵ △∽△,∴又,,∴ . 26.解:(1)当∥时,△∽△,即CA CQ CB CP =,即1216216tt =-, 解得.(2)当CBCQCA CP =时,△∽△,即1612216tt =-,解得1164. 故当为或1164时,△与△相似.。
上海市虹口区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1.下列图形一定是相似图形的是()A .两个矩形B .两个等腰三角形C .两个直角三角形D .两个正方形2.下列各组中的四条线段(单位:厘米)成比例线段的是()A .1、2、3、4B .2、3、4、6C .4、5、5、6D .1、2、5、203.如图:在ABC V 中,点D 、E 分别在AB 、AC 上,根据下列给定的条件,不能判断DE 与BC 平行的是()A .AD AEDB EC=B .AD AEAB AC=C .AD ABAE AC=D .DE AEBC AC=4.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,4BC =,2AC =,则tan A 等于()A .12B .2C D 5.已知a 、b 、c 都是非零向量.下列条件中,不能判定a ∥b的是()A .|a |=|b |B .a 3=b C .a ∥c ,b ∥c D .a 2=c ,b 2=-c6.如图,在ABCD 中,点E 是边AD 的中点,EC 交对角线BD 于点F ,如果3DEF S =V ,那么ABCD 的面积为()A .6B .12C .24D .36二、填空题7.已知:5:2x y =,那么():x y y +=.8.已知线段4a =厘米,9c =厘米,那么线段a 和c 的比例中项是厘米.9.已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP BP >),如果2AB =,那么AP 的长为.10.已知两个相似三角形的相似比是4:9,那么它们对应的角平分线之比是.11.若向量a与单位向量e 的方向相反,且2a = ,则a =.(用e 表示)12.计算:()13242a ab --=.13.如图,已知AB CD EF ∥∥,若6,3,2AC CE DF ===,则BD 的长为.14.在ABC V 中,90C ∠=︒,如果3BC =,2tan 3A =,那么AC =.15.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,D 是ABC V 的重心,若2CD =,则AB =.16.如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,3,6AD BC ==,点E 、F 分别在AB DC 、上,EF BC ∥,如果:1:2AE EB =,则EF =.17.如图所示,在正方形网格上有6个斜三角形,①△ABC ,②△BCD ,③△BDE ,④△BFG ,⑤△FGH ,⑥△EFK ,在②~⑥中,与三角形①相似的有(填序号)18.如图,矩形ABCD 中,M 、N 分别是边AB 、BC 上的点,将矩形ABCD 沿直线MN 翻折后,点B 落在边AD 上的点E 处,如果4AB =,6AD =,AE =,那么CN 的长为.三、解答题19.已知0234x y z==≠,且5210x y z +-=,求x 、y 、z 值.20.如图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥,且:3:2AB CD =,点E 是边CD 的中点,联结BE交对角线AC 于点F ,若AB a=,AD b = .(1)直接用a 、b 表示DC = ;AC = ;AF =;(2)求作BF 在BA、BC 方向上的分向量.(不要求写作法,但要保留作图痕迹,并指出所作图中表示结论的分向量)21.如图:AD ∥EG ∥BC ,EG 分别交AB ,DB ,AC 于点E ,F ,G ,已知AD =5,BC =10,AE =9,AB =12.求EG ,FG 的长.22.已知:如图,ABC V 中,90BAC ∠=︒,点E 是边AC 上的一点,且ABE C ∠=∠,3AB =,4AC =.(1)求BE 的长;(2)作ED BC ⊥于D ,求EBC ∠的正弦值.23.如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 是边AD 的中点,连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ,交AC 于点G.(1)若FD =2,13ED BC =,求线段DC 的长;(2)求证:EF·GB =BF·GE.24.学习了相似三角形知识后,小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度.已知三角形纸板的斜边长为0.5米,较短的直角边长为0.3米.(1)小丽先调整自己的位置至点P ,将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A 、B 、C (如图①),斜边AB 平行于地面MN (点M 、P 、E 、N 在一直线上),且点D 在边AC (较长直角边)的延长线上,此时测得边AB 距离地面的高度EF 为1.5米,小丽与古树的距离AF 为16米,求古树的高度DE ;(2)为了尝试不同的思路,小丽又向前移动自己的位置至点Q ,将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A B C '''、、(如图②),使直角边B C ''(较短直角边)平行于地面MN (点M 、Q 、E 、N 在一直线上),点D 在斜边B A ''的延长线上,且测得此时边B C ''距离地面的高度依然是1.5米,那么小丽向前移动了多少米?25.如图,正方形ABCD 中,6AB =,E 是边BC 上一点(点E 不与点B 、C 重合),点F 在CD 的延长线上,且BE DF =,联结EF ,分别交AD 、AC 于点M 、N .(1)已知1MD =,求BE 的长;(2)求证:22EF EM FN =⋅;(3)当AMN 是等腰三角形时,求MMN S 的值.。
上海虹口区2024年初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷(满分150分,考试时间100分钟)注意:1.本练习卷含三个大题,共25题.答题时,请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本练习卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]1.下列各数中,无理数是()A.211B.3.14159C.D.1.22.关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根,则实数m 的取值范围是()A.1m < B.1m £ C.m 1≥ D.1m >3.已知二次函数()24y x =--,如果函数值y 随自变量x 的增大而减小,那么x 的取值范围是()A .4x ≥ B.4x ≤ C.4x ≥- D.4x ≤-4.下列事件中,必然事件是()A.随机购买一张电影票,座位号恰好是偶数B.抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后反面朝上C.在只装有2个黄球和3个白球的盒子中,摸出一个球是红球D.在平面内画一个三角形,该三角形的内角和等于180︒5.如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边BC 和AD 上,2BE =,6AF =,如果AE CF ,那么ABE 的面积为()A.6B.8C.10D.126.在ABCD Y 中,5BC =,20ABCD S = .如果以顶点C 为圆心,BC 为半径作C ,那么C 与边AD 所在直线的公共点的个数是()A.3个B.2个C.1个D.0个.二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7.38-=___.8.分解因式:229a b -=_______.9.解不等式:()5232x x +≤+,的解集为________.10.函数1y x =+的定义域是11.将抛物线()221y x =-+先向右平移3个单位,再向下平移4个单位后,所得到的新抛物线的表达式为________.12.在一个不透明袋子中,装有2个红球和一些白球,这些球除颜色外其他都一样,如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.25,那么白球的个数是________.13.某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况,随机抽取40名学生,调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图,那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名.14.一根蜡烛长30厘米,点燃后匀速燃烧,经过50分钟其长度恰为原长的一半.在燃烧的过程中,如果设蜡烛的长为y (厘米),燃烧的时间为t (分钟),那么y 关于t 的函数解析式为________(不写定义域).15.如图,正六边形螺帽的边长是4cm ,那么这个扳手的开口a 的值是______.16.如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,2BC AD =,点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点,连接AC ,设AB a =,AC b =,那么用向量a 、b 表示向量EF = ________.17.如图,在ABCD Y 中,7AB =,8BC =,4sin 5B =.点P 在边AB 上,2AP =,以点P 为圆心,AP 为半径作P .点Q 在边BC 上,以点Q 为圆心,CQ 为半径作Q .如果P 和Q 外切,那么CQ 的长为________.18.如图,在扇形AOB 中,105AOB ∠=︒,8OA =,点C 在半径OA 上,将BOC 沿着BC 翻折,点O 的对称点D 恰好落在弧AB 上,再将弧AD 沿着CD 翻折至弧1A D (点1A 是点A 的对称点),那么1OA 的长为________.三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.先化简,再求值:22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭,其中m =20.解方程组:222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩21.如图,一次函数图像在反比例函数图像相交于点(),2A m 和点()2,4B -,与y 轴交于点C .点()1,D n -在反比例函数图像上,过点D 作x 轴的垂线交一次函数图像于点E.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求CDE 的面积.22.根据以下素材,完成探索任务.探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图.高架路面用BM 表示,地面用AN 表示,斜坡用AB 表示.已知BM AN ∥,高架路面BM 离地面的距离BH 为25米,斜坡AB 长为65米.素材2如图②,矩形ECKG 为一辆大巴车的侧面示意图,CK 长为10米,EC 长为3.5米.如图③,该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上,矩形ECKG 的顶点K 与点B 重合,点B 与指示路牌底端P 点之间的距离BP 为6.5米,且BP BM ⊥.小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶,小张的眼睛到斜坡的距离FD 为1米.问题解决任务一如图①,求斜坡AB 的坡比.任务二如图③,当小张正好可以看到整个指示路牌(即P 、E 、F 在同一条直线上)时,试求小张距大巴车尾EC 的距离CD .23.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,延长CB 至点D ,使得DB CB =,过点A 、D 分别作AE BC ∥,DE BA ∥,AE 与DE 相交于点E ,连接BE .(1)求证:BE CD ⊥;(2)连接AD 交BE 于点F ,连接CE 交AD 于点G .如果FBA ADB ∠=∠,求证:23AG AB =.24.新定义:已知抛物线2y ax bx c =++(其中0abc ≠),我们把抛物线2y cx ax b =++称为2y ax bx c =++的“轮换抛物线”.例如:抛物线2231y x x =++的“轮换抛物线”为223y x x =++.已知抛物线1C :()2445y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为2C ,抛物线1C 、2C 与y 轴分别交于点E 、F ,点E 在点F 的上方,抛物线2C 的顶点为P .(1)如果点E 的坐标为()0,1,求抛物线2C 的表达式;(2)设抛物线2C 的对称轴与直线38y x =+相交于点Q ,如果四边形PQEF 为平行四边形,求点E 的坐标;(3)已知点()4,M n -在抛物线2C 上,点N 坐标为12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭,当PMN PEF △∽△时,求m 的值.25.在梯形ABCD 中,AD BC ∥,点E 在射线DA 上,点F 在射线AB 上,连接CE 、DF 相交于点P ,EPF ABC ∠=∠.(1)如图①,如果AB CD =,点E 、F 分别在边AD 、AB 上.求证:AF DFDE CE=;(2)如图②,如果AD CD ⊥,5AB =,10BC =,3cos 5ABC ∠=.在射线DA 的下方,以DE 为直径作半圆O ,半圆O 与CE 的另一个交点为点G .设DF 与弧EG 的交点为Q .①当6DE =时,求EG 和AF 的长;②当点Q 为弧EG 的中点时,求AF 的长.虹口区2024年初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷含答案(满分150分,考试时间100分钟)注意:1.本练习卷含三个大题,共25题.答题时,请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本练习卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]1.下列各数中,无理数是()A.211B.3.14159C.D.1.2【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用,熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键.根据无理数的定义(无理数是指无限不循环小数)判断即可.【详解】解:A 、211是分数,不是无理数,故本选项错误;B 、3.14159是小数,不是无理数,故本选项错误;C是无理数,故本选项正确;D 、1.2是循环小数,不是无理数,故本选项错误;故选C .2.关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根,则实数m 的取值范围是()A.1m < B.1m £ C.m 1≥ D.1m >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系,列代数式求解即可.【详解】解:一元二次方程220x x m -+=无实数根,则判别式()224240b ac m ∆=-=--<解得1m >,故选:D .【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系,解题的关键是掌握相关基础知识,一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的判别式24b ac ∆=-,当0∆>时有两个不相等的实数根,当Δ0=时,有两个相等的实数根,当Δ0<时,无实数根.3.已知二次函数()24y x =--,如果函数值y 随自变量x 的增大而减小,那么x 的取值范围是()A.4x ≥B.4x ≤ C.4x ≥- D.4x ≤-【答案】A 【解析】【分析】本题考查二次函数的性质,熟练掌握二次函数的增减性是解题关键.根据二次函数()24y x =--,可得()24y x =--函数图象开口向下,对称轴为4x =,函数值y 随自变量x 的增大而减小,则4x ≥,得以解答.【详解】解:二次函数()24y x =--,10-< ,∴()24y x =--函数图象开口向下,对称轴为4x =,∴4x ≥时,函数值y 随自变量x 的增大而减小,故选:A .4.下列事件中,必然事件是()A.随机购买一张电影票,座位号恰好是偶数B.抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后反面朝上C.在只装有2个黄球和3个白球的盒子中,摸出一个球是红球D.在平面内画一个三角形,该三角形的内角和等于180︒【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.根据事件发生的可能性大小判断.【详解】解:A 、随机购买一张电影票,座位号是偶数,是随机事件;B 、抛掷一枚质地均匀的硬币,反面朝下,是随机事件;C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中,摸出一个球是红球,是不可能事件;D 、在平面内画一个三角形,该三角形的内角和等于180︒,是必然事件;故选D .5.如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边BC 和AD 上,2BE =,6AF =,如果AE CF ,那么ABE 的面积为()A.6B.8C.10D.12【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质,平行四边形的性质与判定,先根据正方形的性质得到90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥,,,进而证明四边形AECF 是平行四边形,得到6AF CE ==,则8AB BC BE CE ==+=,最后根据三角形面积计算公式求解即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是正方形,∴90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥,,,∵AE CF ,∴四边形AECF 是平行四边形,∴6AF CE ==,∴8AB BC BE CE ==+=,∴1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△,故选:B .6.在ABCD Y 中,5BC =,20ABCD S = .如果以顶点C 为圆心,BC 为半径作C ,那么C 与边AD 所在直线的公共点的个数是()A.3个B.2个C.1个D.0个.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积,直线与圆的位置关系d 、r 法则,熟练掌握法则是解题的关键.根据面积公式计算点C 到AD 的距离d ,比较d 与半径BC 的大小判断即可.【详解】解:如图,∵在平行四边形ABCD 中,5BC =,20ABCD S = ,设点C 到AD 的距离为d ,∴点C 到AD 的距离2054d =÷=,45BC<=∴直线AD 与圆C 相交,即有2个交点,故选:B .二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7.=___.【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义,求数a 的立方根,也就是求一个数x ,使得x 3=a ,则x 就是a 的立方根.【详解】∵(-2)3=-8,∴2-,故答案为:-28.分解因式:229a b -=_______.【答案】()()33a b a b +-【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解.【详解】解:229a b -=()()33a b a b +-故答案为:()()33a b a b +-.【点睛】本题考查了因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.9.解不等式:()5232x x +≤+,的解集为________.【答案】2x ≤【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式;按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解.【详解】解:()5232x x +≤+去括号,5263+≤+x x移项,5362x x -≤-合并同类项,24x ≤化系数为1,2x ≤故答案为:2x ≤.10.函数y =的定义域是【答案】>【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围,根据二次根号下被开方数≥0;分式中分母不为0;即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围,二次根号下被开方数≥0;分式中分母不为0;∴10x +>∴1x >-故答案为1x >-11.将抛物线()221y x =-+先向右平移3个单位,再向下平移4个单位后,所得到的新抛物线的表达式为________.【答案】()253y x =--【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.根据平移规律“左加右减,上加下减”写出新抛物线解析式.【详解】解:抛物线()221y x =-+先向右平移3个单位,再向下平移4个单位后,所得到的新抛物线的表达式为()22314y x =--+-,即()253y x =--.故答案为:()253y x =--.12.在一个不透明袋子中,装有2个红球和一些白球,这些球除颜色外其他都一样,如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.25,那么白球的个数是________.【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义.解题的关键与难点在于理解概率的定义,求出球的总数.随机摸出一个球是红球的概率是20.25n=,可以得到球的总个数,进而得出白球的个数.【详解】解:设红、白球总共n 个,记摸出一个球是红球为事件A ,()20.25P A n==8n ∴=,∴白球有826-=个故答案为:6.13.某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况,随机抽取40名学生,调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图,那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名.【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体,根据条形统计图获取信息是解题的关键.根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名,进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解.【详解】解:由题意得:被调查的40人中,家务劳动时间不少于2小时的学生有26名,∴该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有26120078040⨯=(名),故答案为:780.14.一根蜡烛长30厘米,点燃后匀速燃烧,经过50分钟其长度恰为原长的一半.在燃烧的过程中,如果设蜡烛的长为y (厘米),燃烧的时间为t (分钟),那么y 关于t 的函数解析式为________(不写定义域).【答案】300.3y t=-【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式,解题的关键是理解题意.根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为15500.3÷=(厘米/分),即可直接进行求解.【详解】解:由题意可得:蜡烛长30厘米,经过50分钟其长度恰为原长的一半,∴经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米,∴蜡烛燃烧的速度为15500.3÷=(厘米/分),蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度,300.3y t \=-,故答案为:300.3y t =-.15.如图,正六边形螺帽的边长是4cm ,那么这个扳手的开口a 的值是______.【答案】43【解析】【分析】本题考查解直角三角形,等腰三角形的性质,含30︒角的直角三角形的性质.由螺帽是正六边形,可得ACD 是含30︒角的直角三角形,再根据4AC =即可求出AD 和AB .【详解】解:如图,连接AB ,则a AB =,过点C 作CD AB ⊥于D螺帽是正六边形120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥,AC BC =1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒,AD BD =4AC = 334322AD AC ∴==⨯=2233a AB AD ∴===⨯.故答案为:3.16.如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,2BC AD =,点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点,连接AC ,设AB a =,AC b = ,那么用向量a 、b 表示向量EF = ________.【答案】33a b -+【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题,熟练掌握三角形法则是解题的关键,根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可.【详解】解:AB a = ,AC b = ,BC BA AC a b \=+=-+ ,,2AD BC BC AD = ∥,111222AD BC a b \==-+ ,11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ , 点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点,111222EA BA AB a \==-=- ,111244DF DC a b \==+ ,11111332224444EF EA AD DF a b a b a b 骣骣琪琪\=++=-+-+++=-+琪琪桫桫 ,故答案为:3344a b -+ .17.如图,在ABCD Y 中,7AB =,8BC =,4sin 5B =.点P 在边AB 上,2AP =,以点P 为圆心,AP 为半径作P .点Q 在边BC 上,以点Q 为圆心,CQ 为半径作Q .如果P 和Q 外切,那么CQ 的长为________.【答案】3714##9214【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识,作PH BC ⊥于点H ,连接PQ ,先求出43PH BH ==,,设CQ a =,在Rt QPH △中,根据勾股定理列方程即可解决.【详解】解:作PH BC ⊥于点H ,连接PQ ,7AB = ,2AP =,725BP \=-=,在Rt BPH 中,4sin 5B =,455PH \=,43PH BH \===,,设CQ a =,P Q e 和Q 外切,P 半径为2,2PQ a \=+,在Rt QPH △中,4,835PH HQ a a ==--=-,()()222452a a ∴+-=+,解得:3714a =,故答案为:3714.18.如图,在扇形AOB 中,105AOB ∠=︒,8OA =,点C 在半径OA 上,将BOC 沿着BC 翻折,点O 的对称点D 恰好落在弧AB 上,再将弧AD 沿着CD 翻折至弧1A D (点1A 是点A 的对称点),那么1OA 的长为________.【答案】8-##8-+【解析】【分析】本题考查翻折性质,圆的基本性质,等边三角形判定与性质、勾股定理的应用,连接OD ,由翻折得1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒,,,证出OBD 是等边三角形,设AC a =,在Rt COD 中,根据勾股定理列方程并解出AC 进而求出结论.【详解】解:连接OD ,由翻折得:1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒,,,OC CD =,OB OD = ,OBD ∴△是等边三角形,60OBD ∴∠=︒,3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°,设AC a =,则1882OC a CD A O a =-==-,,在Rt COD 中,8OC CD a ==-,()()222888a a ∴-+-=,解得:12888a a =-=+>(舍去),(128288OA OA AC ∴=-=--=,故答案为:8-.三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.先化简,再求值:22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭,其中m =【答案】1m m -,222-【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值,分母有理化,掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键,注意化简过程中能因式分解要先因式分解.先算括号内的减法,把除法变成乘法,算乘法,最后代入求值即可.【详解】解:22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=;当m =122m m --==.20.解方程组:222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩【答案】121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到()(2)0+-=x y x y ,然后令因式2x y -和因式x y +分别为0即可求解.【详解】解:由题意可知:222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②对方程②进行因式分解得:()(2)0+-=x y x y 即20x y -=或0x y +=∴原方程组化为2620x y x y -=⎧⎨-=⎩或260x y x y -=⎧⎨+=⎩解得1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩故原方程组的解为:1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组,熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21.如图,一次函数图像在反比例函数图像相交于点(),2A m 和点()2,4B -,与y 轴交于点C .点()1,D n -在反比例函数图像上,过点D 作x 轴的垂线交一次函数图像于点E.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求CDE 的面积.【答案】(1)反比例函数为8y x=-,一次函数解析式2y x =--(2)92【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式,三角形面积.(1)利用待定系数法求解即可;(2)先分别求出C 、D 、E 的坐标,进而利用三角形面积公式解答即可.【小问1详解】解:设反比例函数为k y x=,把点()2,4B -代入k y x =得,428k =-⨯=-,∴反比例函数为8y x =-,把点(),2A m ,点()1,D n -代入8y x =-,得82m =-,881n =-=-,∴4m =-,8n =,∴点()4,2A -,点()1,8D -,设一次函数解析式y cx d =+,把点()4,2A -,点()2,4B -代入得4224c dc d -=+⎧⎨=-+⎩,解得12c d =-⎧⎨=-⎩,∴一次函数解析式2y x =--;【小问2详解】∵一次函数解析式2y x =--,∴()0,2C -,把点()1,D n -代入8y x =-,得881n =-=-,∴8n =,∴点()1,8D -,∵DE x ⊥轴,∴点E 的横坐标为1-,把1x =-代入2y x =--得121y =-=-,∴()1,1E --,∴189DE =+=,∴119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .22.根据以下素材,完成探索任务.探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图.高架路面用BM 表示,地面用AN 表示,斜坡用AB 表示.已知BM AN ∥,高架路面BM 离地面的距离BH 为25米,斜坡AB 长为65米.素材2如图②,矩形ECKG 为一辆大巴车的侧面示意图,CK 长为10米,EC 长为3.5米.如图③,该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上,矩形ECKG 的顶点K 与点B 重合,点B 与指示路牌底端P 点之间的距离BP 为6.5米,且BP BM ⊥.小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶,小张的眼睛到斜坡的距离FD 为1米.问题解决任务一如图①,求斜坡AB 的坡比.任务二如图③,当小张正好可以看到整个指示路牌(即P 、E 、F 在同一条直线上)时,试求小张距大巴车尾EC 的距离CD .【答案】任务一:斜坡AB 的坡比1:2.4i =;任务二:12.5米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质,矩形判定与性质,任务一:根据勾股定理求出第三边进而求出坡度;任务二:作PO DB ⊥交DB 延长线于点O ,作FQ PO ^于点Q ,交CE 于点R ,通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度,再证明FER FPQ ∽,根据性质求出结论即可.【详解】解:任务一:如图①,由题意得:在Rt ABH △中,BH 为25米,斜坡AB 长为65米,60AH \==(米),∴斜坡AB 的坡比251:2.460BHi AH ===;任务二:如图③,作PO DB ⊥交DB 延长线于点O ,作FQ PO ^于点Q ,交CE 于点R ,则四边形CRQO 为矩形,四边形FDCR 为矩形,,1RQ CO FR DC FD CR OQ \=====,米,3.51 2.5ER \=-=米,,90ABH PBO O H �行=� ,BP 为6.5米,25cos cos 6.565BO PBO ABH \Ð==Ð=,解得: 2.5BO =米,6PO \==米,615PQ ∴=-=米,10 2.512.5RQ CO ==+=米,,EC AB PQ AB ^^ ,ER PQ \∥,FER FPQ \ ∽,ERFRPQ FQ \=,2.5512.5FRFR \=+,解得:12.5FR =,经检验,12.5FR =是原方程的解,12.5CD FR \==米.23.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,延长CB 至点D ,使得DB CB =,过点A 、D 分别作AE BC ∥,DE BA ∥,AE 与DE 相交于点E ,连接BE .(1)求证:BE CD ⊥;(2)连接AD 交BE 于点F ,连接CE 交AD 于点G .如果FBA ADB ∠=∠,求证:23AG AB =.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,勾股定理等,解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法.(1)先证四边形AEDB 是平行四边形,得出AE CB =从而证出四边形AEBC 是矩形,即可证明结论;(2)设EF BF a ==,算出AE =,证明AEG DCG V ∽△,求出3AG =,AB =进而证出结论;【小问1详解】证明: AE BD ,DE BA ∥,∴四边形AEDB 是平行四边形,∴AE BD =,BD CB =,∴AE CB =,又 AE BD ,点D 在CB 的延长线上,∴AE CB ∥,∴四边形AEBC 是平行四边形,又 90C ∠=︒,∴四边形AEBC 是矩形,∴BE CD ⊥;【小问2详解】解:如图,四边形AEDB 是平行四边形,,EF BF AF DF \==,设EF BF a ==,FBA ADB Ð=Ð ,tan tan FBA ADB \Ð=Ð,AEBFBE BD \=,AE BD = ,222AE a \=,AE ∴=,BD BC AE \===,AE CD ,AEG DCG \ ∽,12AE AG CD DG \==,在Rt DBF △中,DF ==,AD\=,3AG \=,在Rt ABC △中,AB ==,2333AG AB \==,3AG AB \=.24.新定义:已知抛物线2y ax bx c =++(其中0abc ≠),我们把抛物线2y cx ax b =++称为2y ax bx c =++的“轮换抛物线”.例如:抛物线2231y x x =++的“轮换抛物线”为223y x x =++.已知抛物线1C :()2445y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为2C ,抛物线1C 、2C 与y 轴分别交于点E 、F ,点E 在点F 的上方,抛物线2C 的顶点为P .(1)如果点E 的坐标为()0,1,求抛物线2C 的表达式;(2)设抛物线2C 的对称轴与直线38y x =+相交于点Q ,如果四边形PQEF 为平行四边形,求点E 的坐标;(3)已知点()4,M n -在抛物线2C 上,点N 坐标为12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭,当PMN PEF △∽△时,求m 的值.【答案】(1)241y x x =+-(2)20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)1m =-或1732【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题,重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质,(1)将点()0,1E 代入表达式,求出m 的值,根据“轮换抛物线”定义写出即可;(2)根据轮换抛物线定义得出抛物线2C 表达式及点E 、F 坐标,并求出P 、Q 坐标,根据平行四边形性质得出PQ EF =列方程并解出m 值,进而解决问题;(3)先求()4,45M m --,结合求出的点P 、E 、F 坐标得出2PN 及2PF ,根据相似三角形性质得出关于m 的方程,解方程即可解决.【小问1详解】解:抛物线1C :()2445y mx m x m =+-+与y 轴交于点E 坐标为()0,1,当0x =,1y =代入,得1m =,451m \-=-,∴抛物线1C 表达式为241y x x =-+,∴抛物线1C 的“轮换抛物线”为2C 表达式为241y x x =+-;【小问2详解】解:抛物线1C :()2445y mx m x m =+-+,当0x =时,y m =,即与y 轴交点为()0,E m ,抛物线1C :()2445y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为2C ,∴抛物线2C 表达式为()2445y mx mx m =++-,同理抛物线2C 与y 轴交点为()0,45F m -,抛物线2C 对称轴为直线422mx m =-=-,当2x =-时,5y =-,∴抛物线2C 的顶点坐标为()25P --,,当2x =-时,382y x =+=,∴抛物线2C 的对称轴与直线38y x =+交点()2,2Q -,点E 在点F 的上方,45m m \>-,解得:53m <,()4553EF m m m \=--=-,四边形PQEF 为平行四边形,PQ EF \=,即()2553m --=-,解得:23m =-,20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭;【小问3详解】解: 点()4,M n -在抛物线2C 上,当4x =-时,()244545y mx mx m m =++-=-,即()4,45M m --,点N 坐标为12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()25P --,,()0,E m ,()0,45F m -,()222125225724PN 骣琪\=-++-+=琪桫,()()22222455416PF m m =-+-+=+,()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ,()111557242222PMN M P S PN x x 骣琪=×-=´-+´-+=琪桫 ,PMN PEF ∽,222PEF PMN S PF PF S PN PN 骣琪\==琪桫 25341652524m m -+\=,解得:12171,32m m =-=.25.在梯形ABCD 中,AD BC ∥,点E 在射线DA 上,点F 在射线AB 上,连接CE 、DF 相交于点P ,EPF ABC ∠=∠.(1)如图①,如果AB CD =,点E 、F 分别在边AD 、AB 上.求证:AF DF DE CE =;(2)如图②,如果AD CD ⊥,5AB =,10BC =,3cos 5ABC ∠=.在射线DA 的下方,以DE 为直径作半圆O ,半圆O 与CE 的另一个交点为点G .设DF 与弧EG 的交点为Q .①当6DE =时,求EG 和AF 的长;②当点Q 为弧EG 的中点时,求AF 的长.【答案】(1)见解析(2)①181313EG =;215AF =;②15【解析】【分析】(1)根据等腰梯形的性质可得B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠,A EDC ∠=∠,DEC BCE ∠=∠,根据三角形的外角性质得出FPE CED EDP ∠=∠+∠,进而可得ADF DCE ∠=∠,即可证明ADF DCE ∽,根据相似三角形的性质,即可求解;(2)①同(1)证明ADF PDE ∽,如图所示,过点A 作AM BC ⊥于点M ,连接DG,得出cos 13DEC ∠=,sin 13DEC ∠=,解直角三角形,分别求得EG ,EP ,进而根据相似三角形的性质求得AF 的长;②根据题意画出图形,根据垂径定理得出OQ EQ ⊥,根据题意可设EPF ABC α∠=∠=,ODQ OQD β∠=∠=,则90αβ+=︒,得出43tan tan 34αβ==,,设12FR a =,则9AR a =,则15AF a =,在Rt DFR 中,得出16DR a =,根据1697AD DR AR a a a =-=-=得出1a =,即可求解.【小问1详解】证明:∵梯形ABCD 中,AD BC ∥,AB CD =,∴B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠,A EDC ∠=∠,DEC BCE ∠=∠,又∵FPE CED EDP ∠=∠+∠,EPF ABC∠=∠∴ADF DCE∠=∠∴ADF DCE ∽,∴AF DFDE CE =;【小问2详解】解:∵EPF ABC ∠=∠,DPC EPF∠=∠∵180FPC DPC ∠+∠=︒,则180FPC B ∠+∠=︒∴180ECB PFB ∠+∠=︒∴ECB AFD∠=∠∵AD BC∥∴ECB DEC∠=∠又∵EDP FDA∠=∠∴ADF PDE ∽,如图所示,过点A 作AM BC ⊥于点M ,连接DG ,∵5AB =,3cos 5ABC ∠=∴3BM =,则4AM =,4sin 5AMABC AB ∠==,∵,AD BC AD CD⊥∥∴4CD AM ==∵10BC =∴1037AD MC BC BM ==-=-=又∵6DE =∴1AE =,在Rt EDC 中,6,4ED CD ==∴EC ===∴cos 13DEDEC EC ∠===,sin 13DC DEC EC ∠===∵ED 为直径∴90DGE ∠=︒∴3131813cos 61313EG ED DEC =⨯∠=⨯=,2131213sin 61313DG ED DEC =∠=⨯=∴1513134sin sin 135DG DG PD DPG ABC ====∠∠,31513913cos 51313PG PD DPG =∠=⨯=,则91313EP EG PG =-=,∵ADF PDE∽∴AF ADPE PD=∴913721135D A PE AF PD ⨯⋅===②过点F 作FR AD ⊥于点R,初中31∵ EQGQ =∴OQ EQ⊥∵OQ OD=∴ODQ OQD∠=∠设EPF ABC α∠=∠=,ODQ OQD β∠=∠=,则90αβ+=︒∵3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=,则35PG PD =设3,5PG k PD k ==,则4GD k=∴43tan tan 34αβ==,∵AD BC∥∴RAF α∠=设12FR a =,则9AR a =,∴15AF a =,在Rt DFR 中,3tan 4RF DR β==∴16DR a=又∵1697AD DR AR a a a =-=-=7=∴1a =∴15AF =【点睛】本题考查了解直角三角形,等腰梯形的性质,相似三角形的性质与判定,垂径定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.。
虹口区2023学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学 练习卷(满分150分,考试时间100分钟)注意:1.本练习卷含三个大题,共25题.答题时,请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本练习卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]1. 下列各数中,无理数是( )A. B. 3.14159 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用,熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键.根据无理数的定义(无理数是指无限不循环小数)判断即可.【详解】解:A、是分数,不是无理数,故本选项错误;B 、3.14159是小数,不是无理数,故本选项错误;C 是无理数,故本选项正确;D 、是循环小数,不是无理数,故本选项错误;故选C .2. 关于一元二次方程无实数根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系,列代数式求解即可.【详解】解:一元二次方程无实数根,的211 1.22111.2x 220x x m -+=m 1m <1m £m 1≥1m >220x x m -+=则判别式解得,故选:D .【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系,解题的关键是掌握相关基础知识,一元二次方程的判别式,当时有两个不相等的实数根,当时,有两个相等的实数根,当时,无实数根.3. 已知二次函数,如果函数值随自变量的增大而减小,那么的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质,熟练掌握二次函数的增减性是解题关键.根据二次函数,可得函数图象开口向下,对称轴为,函数值随自变量的增大而减小,则,得以解答.【详解】解:二次函数,,函数图象开口向下,对称轴为,时,函数值随自变量的增大而减小,故选:A .4. 下列事件中,必然事件是( )A. 随机购买一张电影票,座位号恰好是偶数B. 抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后反面朝上C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中,摸出一个球是红球D. 在平面内画一个三角形,该三角形的内角和等于【答案】D【解析】【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.根据事件发生的可能性大小判断.的()224240b ac m ∆=-=--<1m >()200ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<()24y x =--y x x 4x ≥4x ≤4x ≥-4x ≤-()24y x =--()24y x =--4x =y x 4x ≥()24y x =--10-< ∴()24y x =--4x =∴4x ≥y x 180︒【详解】解:A 、随机购买一张电影票,座位号是偶数,是随机事件;B 、抛掷一枚质地均匀的硬币,反面朝下,是随机事件;C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中,摸出一个球是红球,是不可能事件;D 、在平面内画一个三角形,该三角形的内角和等于,是必然事件;故选D .5. 如图,在正方形中,点、分别在边和上,,,如果,那么的面积为( )A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质,平行四边形的性质与判定,先根据正方形的性质得到,进而证明四边形是平行四边形,得到,则,最后根据三角形面积计算公式求解即可.【详解】解:∵四边形是正方形,∴,∵,∴四边形是平行四边形,∴,∴,∴,故选:B .6. 在中,,.如果以顶点为圆心,为半径作,那么与边所在直线的公共点的个数是( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个.180︒ABCD E F BC AD 2BE =6AF =AE CF ABE 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥,,AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=ABCD 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥,,AE CF AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△ABCD Y 5BC =20ABCD S = C BC C C AD【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积,直线与圆的位置关系d 、r 法则,熟练掌握法则是解题的关键.根据面积公式计算点C 到的距离d ,比较d 与半径的大小判断即可.【详解】解:如图,∵在平行四边形中,,,设点C 到的距离为d ,∴点C 到的距离,∴直线与圆C 相交,即有2个交点,故选:B .二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7.=___.【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义,求数a 的立方根,也就是求一个数x ,使得x 3=a ,则x 就是a 的立方根.【详解】∵(-2)3=-8,,故答案为:-28. 分解因式:_______.【答案】【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解.【详解】解:AD BC ABCD 5BC =20ABCD S = AD AD 2054d =÷= 45BC<=AD 2-229a b -=()()33a b a b +-229a b -=()()33a b a b +-故答案为:.【点睛】本题考查了因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.9. 解不等式:,的解集为________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式;按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解.【详解】解:去括号,移项,合并同类项,化系数为1,故答案为:.10. 函数的定义域是 【答案】>【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围,根据二次根号下被开方数≥0;分式中分母不为0;即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围,二次根号下被开方数≥0;分式中分母不为0;∴∴故答案为11. 将抛物线先向右平移3个单位,再向下平移4个单位后,所得到的新抛物线的表达式为________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并()()33a b a b +-()5232x x +≤+2x ≤()5232x x +≤+5263+≤+x x5362x x -≤-24x ≤2x ≤2x≤y =10x +>1x >-1x >-()221y x =-+()253y x =--用规律求函数解析式.根据平移规律“左加右减,上加下减”写出新抛物线解析式.【详解】解:抛物线先向右平移3个单位,再向下平移4个单位后,所得到的新抛物线的表达式为,即.故答案为:.12. 在一个不透明袋子中,装有2个红球和一些白球,这些球除颜色外其他都一样,如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为,那么白球的个数是________.【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义.解题的关键与难点在于理解概率的定义,求出球的总数.随机摸出一个球是红球的概率是,可以得到球的总个数,进而得出白球的个数.【详解】解:设红、白球总共n 个,记摸出一个球是红球为事件A ,,白球有个故答案为:.13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况,随机抽取40名学生,调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图,那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名.【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体,根据条形统计图获取信息是解题的关键.根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名,进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解.()221y x =-+()22314y x =--+-()253y x =--()253y x =--0.2520.25n=()20.25P A n==8n ∴=∴826-=6【详解】解:由题意得:被调查的40人中,家务劳动时间不少于2小时的学生有26名,该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有(名),故答案为:780.14. 一根蜡烛长30厘米,点燃后匀速燃烧,经过50分钟其长度恰为原长的一半.在燃烧的过程中,如果设蜡烛的长为(厘米),燃烧的时间为(分钟),那么关于的函数解析式为________(不写定义域).【答案】【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式,解题的关键是理解题意.根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为(厘米/分),即可直接进行求解.【详解】解:由题意可得:蜡烛长30厘米,经过50分钟其长度恰为原长的一半,经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米,蜡烛燃烧的速度为(厘米/分),蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度,,故答案为:.15. 如图,正六边形螺帽的边长是,那么这个扳手的开口的值是______.【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形,等腰三角形的性质,含角的直角三角形的性质.由螺帽是正六边形,可得是含角的直角三角形,再根据即可求出和.【详解】解:如图,连接,则,过点作于∴26120078040⨯=y t y t 300.3y t=-15500.3÷=∴∴15500.3÷=300.3y t \=-300.3y t =-4cm a 30︒ACD 30︒4AC =AD AB AB a AB =C CD AB ⊥D螺帽是正六边形,,.故答案为:16. 如图,在梯形中,,,点、分别是边、的中点,连接,设,,那么用向量、表示向量________.【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题,熟练掌握三角形法则是解题的关键,根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可.【详解】解:,,,,, 120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥AC BC=1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒AD BD =4AC = 4AD AC ∴===22a AB AD ∴===⨯=ABCD AD BC ∥2BC AD =E F AB CD AC AB a =AC b = a b EF = 3344a b -+ AB a = AC b =BC BA AC a b \=+=-+ ,2AD BC BC AD = ∥111222AD BC a b \==-+,点、分别是边、的中点,,,,故答案为:.17. 如图,在中,,,.点在边上,,以点为圆心,为半径作.点在边上,以点为圆心,为半径作.如果和外切,那么的长为________.【答案】##【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识,作于点H ,连接,先求出,设,在中,根据勾股定理列方程即可解决.【详解】解:作于点H ,连接,,,,在中,,11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ E F AB CD 111222EA BA AB a \==-=- 111244DF DC a b \==+ 11111332224444EF EA AD DF a a b a b a b æöæöç÷ç÷\=++=-+-+++=-+ç÷ç÷èøèø3344a b -+ ABCD Y 7AB =8BC =4sin 5B =P AB 2AP =P AP P Q BC Q CQ Q P Q CQ 37149214PH BC ⊥PQ 43PH BH ==,CQ a =Rt QPH △PH BC ⊥PQ 7AB = 2AP =725BP \=-=Rt BPH 4sin 5B =,,设,和外切,半径为2,,在中,,,解得:,故答案为:.18. 如图,在扇形中,,,点在半径上,将沿着翻折,点的对称点恰好落在弧上,再将弧沿着翻折至弧(点是点A 的对称点),那么的长为________.【答案】##【解析】【分析】本题考查翻折性质,圆的基本性质,等边三角形判定与性质、勾股定理的应用,连接,由翻折得,证出是等边三角形,设,在中,根据勾股定理列方程并解出进而求出结论.【详解】解:连接,455PH \=43PH BH \==,CQ a =P Qe Q P 2PQ a \=+Rt QPH △4,835PH HQ a a ==--=-()()222452a a ∴+-=+3714a =3714AOB 105AOB ∠=︒8OA =C OA BOC BC O D AB AD CD 1A D 1A 1OA 8-8-+OD 1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒,,OBD AC a =Rt COD AC OD由翻折得:,,,是等边三角形,,,设,则,在中,,,解得:(舍去),,故答案为:.三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.先化简,再求值:,其中.【答案】【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值,分母有理化,掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键,注意化简过程中能因式分解要先因式分解.先算括号内的减法,把除法变成乘法,算乘法,最后代入求值即可.【详解】解:1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒,,OC CD =OB OD = OBD ∴△60OBD ∴∠=︒3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°AC a =1882OC a CD A O a =-==-,Rt COD 8OC CD a ==-()()222888a a ∴-+-=12888a a =-=+>(128288OA OA AC ∴=-=--=8-22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭m 1m m -22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭;当.20. 解方程组:【答案】【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到,然后令因式和因式分别为0即可求解.【详解】解:由题意可知: 对方程②进行因式分解得:即或∴原方程组化为 或 解得或故原方程组的解为:或.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组,熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21. 如图,一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点,与轴交于点.点在反比例函数图像上,过点作轴的垂线交一次函数图像于点.()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=m =1m m -222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩()(2)0+-=x y x y 2x y -x y +222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②()(2)0+-=x y x y 20x y -=0x y +=2620x y x y -=⎧⎨-=⎩260x y x y -=⎧⎨+=⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩(),2A m ()2,4B -y C ()1,D n -D x E(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求面积.【答案】(1)反比例函数为,一次函数解析式 (2)【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式,三角形面积.()利用待定系数法求解即可;()先分别求出、、的坐标,进而利用三角形面积公式解答即可.【小问1详解】解:设反比例函数为,把点代入得,,∴反比例函数为,把点,点代入,得,,∴,,∴点,点,设一次函数解析式,的CDE 8y x=-2y x =--9212C D E k y x=()2,4B -k y x=428k =-⨯=-8y x=-(),2A m ()1,D n -8y x =-82m =-881n =-=-4m =-8n =()4,2A -()1,8D -y cx d =+把点,点代入得,解得,∴一次函数解析式;【小问2详解】∵一次函数解析式,∴把点代入,得,∴,∴点,∵轴,∴点横坐标为,把代入得,∴∴,∴22. 根据以下素材,完成探索任务.探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图.高架路面用表示,地面用表示,斜坡用表示.已知,高架路面离地面的距离为25米,斜坡长为65米.素如图②,矩形为一辆大巴车的侧面示意图,长为10米,长为的()4,2A -()2,4B -4224c d c d-=+⎧⎨=-+⎩12c d =-⎧⎨=-⎩2y x =--2y x =--()0,2C -,()1,D n -8y x =-881n =-=-8n =()1,8D -DE x ⊥E 1-1x =-2y x =--121y =-=-()1,1E --,189DE =+=119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .BM AN AB BM AN ∥BM BH AB ECKG CK EC 3.5材2米.如图③,该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上,矩形的顶点与点重合,点与指示路牌底端点之间的距离为米,且.小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶,小张的眼睛到斜坡的距离为1米.任务一如图①,求斜坡的坡比.问题解决任务二如图③,当小张正好可以看到整个指示路牌(即、、在同一条直线上)时,试求小张距大巴车尾的距离.【答案】任务一:斜坡的坡比;任务二:米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质,矩形判定与性质,任务一:根据勾股定理求出第三边进而求出坡度;任务二:作交延长线于点O ,作于点Q ,交于点R ,通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度,再证明,根据性质求出结论即可.【详解】解:任务一:如图①,由题意得:在中,25米,斜坡长为65米,(米),斜坡的坡比;任务二:如图③,作交延长线于点O ,作于点Q ,交于点R ,为ECKG K B B P BP 6.5BP BM ⊥FD AB P E F EC CD AB 1:2.4i =12.5PO DB ⊥DB FQ PO ^CE FER FPQ ∽Rt ABH △BH AB 60AH \=∴AB 251:2.460BH i AH ===PO DB ⊥DB FQ PO ^CE则四边形为矩形,四边形为矩形,米,米,,为米,,解得:米,米,米,米,,,,,,解得:,经检验,是原方程的解,米.23. 如图,在中,,延长至点,使得,过点、分别作,,与相交于点,连接.CRQO FDCR,1RQ CO FR DC FD CR OQ\=====,3.51 2.5ER\=-=,90ABH PBO O HÐ=ÐÐ=Ð=°BP 6.525cos cos6.565BOPBO ABH\Ð==Ð=2.5BO=6PO\==615PQ∴=-=10 2.512.5RQ CO==+=,EC AB PQ AB^^ER PQ\∥FER FPQ\∽ER FRPQ FQ\=2.5512.5FRFR\=+12.5FR=12.5FR=12.5CD FR\==Rt ABC△90C∠=︒CB D DB CB=A DAE BC∥DE BA∥AE DE E BE(1)求证:;(2)连接交于点,连接交于点.如果,求证:.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,勾股定理等,解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法.(1)先证四边形是平行四边形,得出从而证出四边形是矩形,即可证明结论;(2)设,算出,证明,求出 ,进而证出结论;【小问1详解】证明:,,四边形是平行四边形,,,,又,点D 在的延长线上,,四边形是平行四边形,又,四边形是矩形,;【小问2详解】解:如图,BE CD ⊥AD BE F CE AD G FBA ADB ∠=∠AG AB =AEDB AE CB =AEBC EF BF a ==AE =AEG DCG V ∽△AGAB = AE BD DE BA ∥∴AEDB ∴AE BD = BD CB =∴AE CB = AE BD CB ∴AE CB ∥∴AEBC 90C ∠=︒∴AEBC ∴BE CD ⊥四边形是平行四边形,,设,,,,,,,,,,,在中,,,,在中,,AEDB ,EF BF AF DF \==EF BF a ==FBA ADB Ð=Ð tan tan FBA ADB \Ð=ÐAE BF BE BD\=AE BD = 222AE a \=AE ∴=BD BC AE \==AE CD AEG DCG \ ∽12AE AG CD DG \==Rt DBF △DF ==AD \=AG \=Rt ABC △AB ==.24. 新定义:已知抛物线(其中),我们把抛物线称为的“轮换抛物线”.例如:抛物线的“轮换抛物线”为.已知抛物线:的“轮换抛物线”为,抛物线、与轴分别交于点、,点在点的上方,抛物线的顶点为.(1)如果点的坐标为,求抛物线的表达式;(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点,如果四边形为平行四边形,求点的坐标;(3)已知点在抛物线上,点坐标为,当时,求的值.【答案】(1) (2) (3)或【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题,重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质,(1)将点代入表达式,求出m 的值,根据“轮换抛物线”定义写出即可;AG AB \=AG AB \=2y ax bx c =++0abc ≠2y cx ax b =++2y ax bx c =++2231y x x =++223y x x =++1C ()2445y mx m x m =+-+2C 1C 2C y E F E F 2C P E ()0,12C 2C 38y x =+Q PQEF E ()4,M n -2C N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭PMN PEF △∽△m 241y x x =+-20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭1m =-1732()0,1E(2)根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E 、F 坐标,并求出P 、Q 坐标,根据平行四边形性质得出列方程并解出m 值,进而解决问题;(3)先求,结合求出的点P 、E 、F 坐标得出及,根据相似三角形性质得出关于m 的方程,解方程即可解决.【小问1详解】解:抛物线:与轴交于点坐标为,当,代入,得,,抛物线表达式为,抛物线的“轮换抛物线”为表达式为;【小问2详解】解:抛物线:,当时,,即与y 轴交点为,抛物线:的“轮换抛物线”为,抛物线表达式为,同理抛物线与y 轴交点为,抛物线对称轴为直线,当时,,抛物线的顶点坐标为,当时,,抛物线的对称轴与直线交点,点在点的上方,,解得:,2C PQ EF =()4,45M m --2PN 2PF 1C ()2445y mx m x m =+-+y E ()0,10x =1y =1m =451m \-=-∴1C 241y x x =-+∴1C 2C 241y x x =+-1C ()2445y mx m x m =+-+0x =y m =()0,E m 1C ()2445y mx m x m =+-+2C ∴2C ()2445y mx mx m =++-2C ()0,45F m -2C 422m x m=-=-2x =-5y =-∴2C ()25P --,2x =-382y x =+=∴2C 38y x =+()2,2Q - E F 45m m \>-53m <,四边形为平行四边形,,即,解得:,;【小问3详解】解:点在抛物线上,当时,,即,点坐标为,,,,,,,,,,解得:.25. 在梯形中,,点在射线上,点在射线上,连接、相交于点,.()4553EF m m m \=--=- PQEF PQ EF \=()2553m --=-23m =-20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ()4,M n -2C 4x =-()244545y mx mx m m =++-=-()4,45M m -- N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭()25P --,()0,E m ()0,45F m -()222125225724PN æöç÷\=-++-+=ç÷èø()()22222455416PF m m =-+-+=+()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ()111557242222PMN M P S PN x x æöç÷=×-=´-+´-+=ç÷èø PMN PEF ∽222PEF PMN S PF PF S PN PN æöç÷\==ç÷èø 25341652524m m -+\=12171,32m m =-=ABCD AD BC ∥E DA F AB CE DF P EPF ABC ∠=∠(1)如图①,如果,点、分别在边、上.求证:;(2)如图②,如果,,,.在射线的下方,以为直径作半圆,半圆与的另一个交点为点.设与弧的交点为.①当时,求和的长;②当点为弧的中点时,求的长.【答案】(1)见解析(2)①;;②【解析】【分析】(1)根据等腰梯形的性质可得,,,根据三角形的外角性质得出,进而可得,即可证明,根据相似三角形的性质,即可求解;(2)①同(1)证明,如图所示,过点作于点,连接,得出,,解直角三角形,分别求得,,进而根据相似三角形的性质求得的长;②根据题意画出图形,根据垂径定理得出,根据题意可设,,则,得出,设,则,则,在中,得出,根据得出,即可求解.【小问1详解】证明:∵梯形中,,,∴,,,又∵,∴AB CD =E F ADAB AF DF DE CE =AD CD ⊥5AB =10BC =3cos 5ABC ∠=DA DE O O CE G DF EG Q 6DE =EG AF Q EG AF EG =215AF =15B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠ADF DCE ∠=∠ADF DCE ∽ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG cos DEC ∠=sin DEC ∠=EG EP AF OQ EQ ⊥EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒43tan tan 34αβ==12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 16DR a =1697AD DR AR a a a =-=-=1a =ABCD AD BC ∥AB CD =B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠EPF ABC∠=∠ADF DCE∠=∠∴,∴;【小问2详解】解:∵,∵,则∴∴∵∴又∵∴,如图所示,过点作于点,连接,∵,∴,则,,∵∴∵∴又∵∴,在中,∴∴,ADF DCE ∽AF DF DE CE=EPF ABC ∠=∠DPC EPF∠=∠180FPC DPC ∠+∠=︒180FPC B ∠+∠=︒180ECB PFB ∠+∠=︒ECB AFD∠=∠AD BC∥ECB DEC∠=∠EDP FDA∠=∠ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG 5AB =3cos 5ABC ∠=3BM =4AM =4sin 5AM ABC AB ∠==,AD BC AD CD⊥∥4CD AM==10BC =1037AD MC BC BM ==-=-=6DE =1AE=Rt EDC 6,4ED CD ==EC ===cos DE DEC EC ∠===sin DC DEC EC ∠===∵为直径∴∴,∴,∵∴∴②过点作于点,∵∴∵∴设,,则ED 90DGE ∠=︒cos 6EG ED DEC =⨯∠==sin 6DG ED DEC =∠==sin sin DG DG PD DPG ABC ====∠∠3cos 5PG PD DPG =∠==EP EG PG =-=ADF PDE∽AF AD PE PD=215D A PE AF PD ⋅===F FR AD ⊥R EQGQ =OQ EQ⊥OQ OD=ODQ OQD∠=∠EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒∵,则设,则∴∵∴设,则,∴,在中,∴又∵∴∴【点睛】本题考查了解直角三角形,等腰梯形的性质,相似三角形的性质与判定,垂径定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=35PG PD =3,5PG k PD k ==4GD k =43tan tan 34αβ==AD BC∥RAF α∠=12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 3tan 4RF DR β==16DR a=1697AD DR AR a a a =-=-=7=1a =15AF =。
2013年九年级上册期中数学试卷(含答案)吉林长春二中13—14学年九年级上学期期中试卷—数学(120分钟;满分120分)一,选择题(每小题2分,共16分)1.下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()2下列各式是二次根式的是()3化简的结果是()A.10B.2C.4D.204.一元二次方程3x2-x=0的解是()A.x=0B.x1=0,x2=3C.x1=0,x2=D.x=5.用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变形为()A.(x+1)2=6B.(x-1)2=6C.(x+2)2=9D.(x-2)2=96.如图,在ΔABC中,∠CAB=70º,在同一平面内,将ΔABC绕点A旋转到ΔAB'C'的位置,使得CC'∥AB,则∠BAB'等于()A.30ºB.35ºC.40ºD.50º6题图7题图8题图7.如图,A、D是⊙O上的两个点,BC是直径,若∠D=35°,则∠OAC 的度数是()A.35°B.55°C.65°D.70°8.将5个边长都为2㎝的正方形按如图所示的样子摆放,点A.B.C.D.分别是四个正方形的中心,则图中四块阴影部分的面积的和为().A.2B.4C.6D.8填空题(每小题3分,共24分)9.当x_____时,二次根式有意义10.计算:+=_____.11.请你写出一个有一根为2的一元二次方程:______12.如果关于Χ的方程Χ-4Χ+Κ=0(Κ为常数)有两个相等的实数根,那么Κ=__13..三角形两边长是3和4,第三边的长是方程-12+35=0的根,则该三角形的周长为.14.如图,AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦,圆心角∠AOC=130°,AD、CB的延长线相交于点P,则∠P=.15.当x_____时,2=1-2x16.如图,点C、D在以AB为直径的⊙O上,且CD平分∠ACB,若AB=2,∠CAB=15°,则CD的长为.三,(每小题6分,共36分)17.计算.18.解方程:x(x-2)+x-2=0(1+)(1-)(+1)(-1)19.若+2=0求a2011b2013的值20.如图,在4×4正方形网格中,请你在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑,使图中黑色部分是一个中心对称图形.21.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.四(每小题8分,共16分)22先化简再求值.,其中=+123某厂2011年投入600万元用于研制新产品的开发,计划以后每年以相同的增长率投资,2013年投入1176万元用于研制新产品的开发。
2013年中考数学模拟试卷及答案 (总分150分,时间120分钟)一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分)1.51-的相反数是( ) A . 51 B . 51- C . 5 D .5-2.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则b a +的值 ( )A .大于0B .小于0C .小于aD .大于b 3.下列运算中正确的是 ( ) A .2325a a a += B .22(2)(2)4a b a b a b +-=- C .23622a a a ⋅= D .222(2)4a b a b +=+4. 两个相似三角形的面积比是9:16,则这两个三角形的相似比是 ( )A .9:16B . 3:4C .9:4D .3:165.如图,每个小正方形的边长为1,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为( ) A .90° B .60° C .45° D .30°6.如图,正六边形螺帽的边长是2cm ,这个扳手的开口a 的值应是 ( ) A .32 cm B .3cm C .332 cm D .1cm7.如图是某几何体的三视图及相关数据,则该几何体的侧面积是 ( )A .πab 21 B .πac 21C .πabD .πac 8.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m 的值是 ( )A .38B .52C .66D .74 二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分) 0 2 8 4 2 4 6 22 4 6 844 m 6 b主视图 c 左视图 俯视图 a a 0 b10.使2-x 有意义的x 的取值范围是 .11.自上海世博会开幕以来,中国馆以其独特的造型吸引 了世人的目光.据预测,在会展期间,参观中国馆的人次数估计可达到14 900 000,此数用科学记数法表示是 . 12.上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价a %后售价为128元.下列所列方程中正确的是13.小张和小李去练习射击,第一轮10发子弹打完后,两人的成绩如图所示.根据图中的信息,小张和小李两人中成绩较稳定的是 .14.若22=-b a ,则b a 486-+= .15.从1-9这九年自然数中任取一个,是2的倍数的概率是 . 16.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,DAB ∠=48︒,则ACD ∠= ︒. 17.如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =30°,∠C =60°,AD =4,AB =33,则下底BC 的长为 __________.18.如图,正方形纸片ABCD 的边长为8,将其沿EF 折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为三、解答题(本大题共有10小题,共96分) 19.(本题满分8分)计算:(1)计算:(-1)2012-| -7 |+ 9 ×( 5 -π)0+( 1 5)-160°30°DC B A(2)化简:aa a a a -+-÷--2244)111(20.(本题满分8分)为增强学生的身体素质,教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况,对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查,并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:(1)在这次调查中共调查了多少名学生?(2)求户外活动时间为1.5小时的人数,并补充频数分布直方图;(3)求表示户外活动时间 1小时的扇形圆心角的度数; (4)本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求?户外活动时间的众数和中位数是多少.21.(本题满分8分)有三张背面完全相同的卡片,它们的正面分别写上2、3、12,把它们的背面朝上洗匀后;小丽先从中抽取一张,然后小明从余下..的卡片中再抽取一张.(1)直接写出小丽取出的卡片恰好是3的概率;(2)小刚为他们设计了一个游戏规则:若两人抽取卡片上的数字之积是有理数,则小丽获胜;否则小明获胜.你认为这个游戏规则公平吗?若不公平,则对谁有利?请用画树状图或列表法进行分析说明.22.(本题满分8分)某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表:(注:获利=售价-进价)(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元,问甲、乙两种商品应分别购进多少件?(2)若商店计划投入资金少于4300元,且销售完这批商品后获利多于1260元,请问有哪几种购货方案? 并直接写出其中获利最大的购货方案.D CB AO E 23.(本题满分10分)如图,O 为矩形ABCD 对角线的交点,DE ∥AC ,CE ∥BD .(1)试判断四边形OCED 的形状,并说明理由; (2)若AB =6,BC =8,求四边形OCED 的面积.24.(本题满分10分)小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ,AB =80米.为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°,大厦底部B 的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度.(结果保留整数)(参考数据:o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈,,,)第25题 F EC B AB'C'25.(本题满分10分)如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =1,且抛物线经过A (—1,0)、C (0,—3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求这条抛物线所对应的函数关系式;(2)在抛物线的对称轴x =1上求一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,并求出此时点M 的坐标;(3)设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点,求使∠PCB =90°的点P 的坐标.26.(本题满分10分)如图,Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的,连结CC ' 交斜边于点E ,CC ' 的延长线交BB ' 于点F .(1)证明:△ACE ∽△FBE ;(2)设∠ABC =α,∠CAC ' =β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE 与△FBE 是全等三角形,并说明理由.27.(本题满分12分)甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地,乙车比甲车晚出发2小时(从甲车出发时开始计时).图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系对应的图象(线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修).请根据图象所提供的信息,解决如下问题:(1)求乙车所行路程y与时间x的函数关系式;(2)求两车在途中第二次相遇时,它们距出发地的路程;(3)乙车出发多长时间,两车在途中第一次相遇?(写出解题过程)28.(本题满分12分)已知⊙O 1的半径为R ,周长为C .(1)在⊙O 1内任意作三条弦,其长分别是1l 、2l 、3l .求证:1l +2l +3l < C ; (2)如图,在直角坐标系x O y 中,设⊙O 1的圆心为O 1)(R R ,.①当直线l :)0(>+=b b x y 与⊙O 1相切时,求b 的值; ②当反比例函数)0(>=k xky参考答案一、选择题1. D 2.A 3. B 4. B 5. C 6. A 7. B 8.D 二、填空题9.-8 10.x ≥2 11.71049.1⨯. 12.128)% 1(1682=-a 13.小张 14.14 15.9416.42 17.10 18.32 三、解答题19.(1)原式=1-7+3+5=2.(2).解:()()22211442(1)1122a a a a a aa a a a a a --+--÷=⋅=----- 20.(1)调查人数=10÷ 20%=50(人);(2)户外活动时间为1.5小时的人数=50⨯24%=12(人); (3)表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数=5020⨯360 o =144 o ; (4)户外活动的平均时间=18.150285.1121205.010=⨯+⨯+⨯+⨯(小时). ∵1.18>1 ,∴平均活动时间符合上级要求; 户外活动时间的众数和中位数均为1.21.(1)小丽取出的卡片恰好是3的概率为31(2)画树状图:∴共有6种等可能结果,其中积是有理数的有2种、不是有理数的有4种∴3162(==小丽获胜)P ,3264==(小明获胜)P ∴这个游戏不公平,对小明有利22.(1)设甲种商品应购进x 件,乙种商品应购进y 件.根据题意,得 1605101100.x y x y +=⎧⎨+= 解得:10060.x y =⎧⎨=答:甲种商品购进100件,乙种商品购进60件. (2)设甲种商品购进a 件,则乙种商品购进(160-a )件.根据题意,得1535(160)4300510(160)1260.a a a a +-<⎧⎨+->⎩解不等式组,得 65<a <68 . ∵a 为非负整数,∴a 取66,67. ∴ 160-a 相应取94,93.答:有两种构货方案,方案一:甲种商品购进66件,乙种商品购进94件;方案二:甲种商品购进67件,乙种商品购进93件.其中获利最大的是方案一.23.解:(1)四边形OCED 是菱形.∵DE ∥AC ,CE ∥BD ,∴四边形OCED 是平行四边形, 又 在矩形ABCD 中,OC =OD ,∴四边形OCED 是菱形. (2)连结OE .由菱形OCED 得:CD ⊥OE , ∴OE ∥BC 又 CE ∥BD ∴四边形BCEO 是平行四边形 ∴OE =BC =8∴S 四边形OCED =11862422OE CD ⋅=⨯⨯= 24.解:设CD = x .在Rt △ACD 中,tan37AD CD ︒=,则34AD x =,∴34AD x =. 在Rt △BCD 中,tan 48° =BD CD ,则1110BD x =,∴1110BD x =.∵AD +BD = AB ,∴31180410x x +=.解得:x ≈43.答:小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米. 25.⑴设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ,则有:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==+-1230ab c c b a 解得:⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a ,所以抛物线的解析式为y =x 2-2x -3. ⑵令x 2-2x -3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以B 点坐标为(3,0). 设直线BC 的解析式为y =kx +b, 则⎩⎨⎧-==+303b b k ,解得⎩⎨⎧-==31b k ,所以直线解析式是y =x -3.当x =1时,y =-2.所以M 点的坐标为(1,-2). ⑶方法一:要使∠PBC =90°,则直线PC 过点C ,且与BC 垂直, 又直线BC 的解析式为y =x -3,所以直线PC 的解析式为y =-x -3,当x =1时,y =-4, 所以P 点坐标为(1,-4). 方法二:设P 点坐标为(1,y ),则PC 2=12+(-3-y )2,BC 2=32+32;PB 2=22+y 2 由∠PBC =90°可知△PBC 是直角三角形,且PB 为斜边,则有PC 2+BC 2=PB 2.所以P 点坐标为(1,-4).26.(1)证明:∵Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的,∴AC =AC ',AB =AB ',∠CAB =∠C 'AB ' ∴∠CAC '=∠BAB '∴∠ACC '=∠ABB ' 又∠AEC =∠FEB ∴△ACE ∽△FBE(2)解:当2βα=时,△ACE ≌△FBE . 在△ACC '中,∵AC =AC ',∴180'180'9022CAC ACC βα︒-∠︒-∠===︒- 在Rt △ABC 中,∠ACC '+∠BCE =90°,即9090BCE α︒-+∠=︒,∴∠BCE =α ∵∠ABC =α, ∴∠ABC =∠BCE ∴CE =BE由(1)知:△ACE ∽△FBE ,∴△ACE ≌△FBE . 27.(1)设乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式为11y k x b =+,把(2,0)和(10,480)代入,得11112010480k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得1160120k b =⎧⎨=-⎩,y ∴与x 的函数关系式为60120y x =-.(2)由图可得,交点F 表示第二次相遇,F 点横坐标为6,此时606120240y =⨯-=,F ∴点坐标为(6,240), ∴两车在途中第二次相遇时,距出发地的路程为240千米.(3)设线段BC 对应的函数关系式为22y k x b =+,把(6,240)、(8,480)代入,得 222262408480k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得22120480k b =⎧⎨=-⎩,∴y 与x 的函数关系式为120480y x =-.∴当 4.5x =时,120 4.548060y =⨯-=.∴点B 的纵坐标为60, AB Q 表示因故停车检修,∴交点P 的纵坐标为60.把60y =代入60120y x =-中,有6060120x =-,解得3x =, ∴交点P 的坐标为(3,60).Q 交点P 表示第一次相遇,∴乙车出发321-=小时,两车在途中第一次相遇.28.(1)证明:R l 21≤Θ,R l 22≤,R l 23≤.1l ∴+2l +3l C R R =⨯<⨯≤223π,因此,1l +2l +3l < C .(2)①如图,根据题意可知⊙O 1与与x 轴、y 轴分别相切,设直线l 与⊙O 1相切于点M ,则O 1M ⊥l ,过点O 1作直线NH ⊥x 轴,与l 交于点N ,与x 轴交于点H ,又∵直线l 与x 轴、y 轴分别交于点E (b -,0)、F (0,b∴OE =OF =b ,∴∠NEO =45o ,∴∠ENO 1=45o , 在Rt △O 1MN 中,O 1N =O 1M ÷sin 45o =R 2,∴点N 的坐标为N (R ,R R +2),把点N 坐标代入b x y +=得:b R R R +=+2,解得:R b 2=,②如图,设经过点O 、O 1的直线交⊙O 1于点A 、D ,则由已知,直线OO 1:x y =是圆与反比例函数图象的对称轴,当反比例函数xk y =的图象与⊙O 1直径AD 相交时(点A 、D 除外), 则反比例函数xk y =的图象与⊙O 1有两个交点. 过点A 作AB ⊥x 轴交x 轴于点B ,过O 1作O 1C ⊥x 轴于点C ,OO 1=O 1C ÷sin 45o =R 2,OA =R R +2,所以OB =AB =⋅OA sin 45o ==⋅+22)2(R R R R 22+, 因此点A 的坐标是A )22,22(R R R R ++,将点A 的坐标 代入k y =,解得:2)223(R k +=. 同理可求得点D 的坐标为D )22,22(R R R R --, 将点D 的坐标代入xk y =,解得: 2)223(R k -= 所以当反比例函数)0(>=k xk y 的图象与⊙O 1有两个交点时,k 的取值范围是:22)223()223(R k R +<<-。
虹口区2014学年第一学期初三年级数学学科期终数学质量监控试题
(满分150分,考试时间100分钟) 2014.1
一、选择题∶(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.下列函数中,属于二次函数的是( )
A
.2yx; B.2(1)(3)yxx; C.32yx; D.21xyx.
2.抛物线232yxx与y轴的交点坐标是( )
A
.(0, 0); B.(2,0); C.(0,2); D.(0,-1).
3.在Rt△ABC中,90C,若a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,则下列结论中,正确的
是( )
A
.=csinAa; B.=bcosBc; C.=atanAb; D.=ctanBb.
4.如图,若AB∥CD∥EF,则下列结论中,与ADAF相等的是( )
A
.EFAB; B.EFCD; C.OEBO; D.BCBE.
5.如图,在△ABC中,如果DE与BC不平行,那么下列条件中,不能判断△ADE∽△ABC的是( )
A.=ADEC; B.=AEDB
; C.ADDEABBC; D.ADAEACAB.
6.如图,在四边形ABCD中,点E、F分别是边AB、AD的中点,若2EF,5BC,3CD,则
sinC
的值为( )
A
.34; B.34; C.53; D.45.
二、填空题∶(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.已知x∶y3∶2,那么xy∶x .
8.计算: 224560cossin .
9.在Rt△ABC中,90C,若5AC,2tanA,则BC .
10.写出抛物线212yx与抛物线212yx的一条共同特征是 .
11.已知抛物线2y2(3)1x,当123xx时,1y 2y(填“>”或“<”).
12.将抛物线23yx平移,使其顶点移到点2,1P的位置,则所得新抛物线的表达式是 .
13.二次函数2yaxbxc图像上部分点的坐标满足下表:
x
„„ -3 -2 -1 0 1 „„
y
„„ -3 -2 -3 -6 -11 „„
则该函数图像的顶点坐标为 .
14.如图,在△ABC中,EF∥BC,AD⊥BC交EF于点G,4EF,5BC,3AD,则
AG
.
15.如图,点G是△ABC的重心,GF∥BC, ABa,ACb,用a、b表示=GF .
16.如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的正弦值为 .
17.如图,某公园入口处原来有三级台阶,每级台阶高20cm,宽为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶
改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起点为C,现设计斜坡BC的坡度i1∶5,则AC的长度是
cm
.
18.如图,Rt△ABC中,90C,5AB,3AC,在边AB上取一点D,作DE⊥AB交BC于点
E,现将△BDE沿DE折叠,使点B落在线段DA上,对应点记为1B;BD的中点F
的对应点记为1F,
若△EFB∽△1AFE,则1BD .
三、解答题∶(本题共7题,满分78分)
19.(本题满分10分)
已知一个二次函数的图像经过(3,0)、(0,-3)、(1,-4)三点,求这个二次函数的解析式.
20.(本题满分10分,第(1)小题4分,第(2)小题满分6分)
已知二次函数27212xxy.
(1)用配方法把该二次函数的解析式化为kmxay2)(的形式;
(2)指出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴.
21.(本题满分10分)
如图,在△ABC中,90C,AD是CAB的角平分线,BEAE,垂足为点E.
求证:AEDEBE2.
22.(本题满分10分)
我国南水北调中线工程的起点是某水库,按照工程计划,需要原水库大坝进行混凝土培厚加高,使
大坝高由原来的156米增加到173.2米,以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中
原坝体的高为BE,背水坡坡角=69BAE,新坝体高为DE,背水坡坡角=60DCE,求工程完工后背
水坡底端水平方向增加的宽度AC.
(参考数据:690.93sin,690.36cos,692.60tan,31.732)
23.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)
在△ABC中,90BAC,90EAF,ABAFACAE.
(1)求证:△AGC∽△DGB;
(2)若点F为CG的中点,3AB,4AC,12tanDBG,求DF的长.
24.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)
如图,已知抛物线214yxbxc经过点4,0B与点8,0C,且交y轴于点A.
(1)求该抛物线的表达式,并写出其顶点坐标;
(2)将该抛物线向上平移4个单位,再向右平移m个单位,得到新的抛物线.若新的抛物线的顶点为P,
联结BP,直线BP将△ABC分割成面积相等的两个三角形,求m的值.
25.(本题满分14分,第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题4分)
已知:正方形ABCD的边长为4,点E为BC边的中点,点P为AB边上一动点,沿PE翻折△BPE得
到△FPE,直线PF交CD边于点Q,交直线AD于点G,联结EQ.
(1)如图,当=1.5BP时,求CQ的长;
(2)如图,当点G在射线AD上时,设=BPx,DGy,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范
围;
(3)延长EF交直线AD于点H,若△CQE∽△FHG,求BP的长.
虹口区2014学年第一学期初三年级数学学科期终数学质量监控试题
一、选择题∶
1.B.
2.C.
3.A.
4.D.
5.C.
6.D.
二、填空题∶
7.5∶3.
8.74.
9.10.
10.顶点都是原点(答案不唯一).
11.<.
12.2y321x.
13.(-2,-2).
14.125.
15.1133ba.
16.22.
17.240.
18.85.
三、解答题∶
19.
解:所以所求二次函数的解析式为223yxx.
20.
解:(1)27212xxy
2
17
222xx
2
17
21122xx
2
1
142x
.
(2)该二次函数图像的开口向下;
顶点坐标是(-1,4);
对称轴是直线1x.
21.略.
22.
解:工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC为240米.
23.
(1)略;
(2)解:∴565555DF.
24.
解:(1)∴抛物线的表达式为2184yxx.
∴顶点坐标是(2,-9).
(2)∴4m.
25.
解:(1)83CQ.
(2)216164xyx12x.
(3)综上所述,BP的长是233或23.