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数学与音乐的关系在这个世界上，数学和音乐这两个看似截然不同的领域却有着深厚的联系。
数学是一门探索规律、逻辑思维和抽象概念的学科，而音乐则是一种通过声音来表达情感和创造美的艺术形式。
然而，当我们深入研究它们之间的关系时，我们会发现它们之间存在着许多有趣而奇妙的相似之处。
首先，数学和音乐都与节奏和模式有着密切的关系。
音乐中的节拍和节奏是由一系列有规律的音符组成的，而数学中的模式和序列也是由一系列有规律的数字或符号组成的。
例如，音乐中的节拍可以用1和0来表示，其中1表示强拍，0表示弱拍。
这种二进制的表示方法与计算机中的数字表示方法非常相似，而计算机正是基于数学原理来工作的。
其次，数学和音乐也都与频率和波形有关。
音乐中的各种音符和音高是由不同频率的声波组成的，而数学中的波形和曲线也可以用来表示各种规律和函数关系。
例如，正弦曲线是数学中最基本的曲线之一，而它也被广泛应用于音乐中，用来描述声音的周期性和变化规律。
此外，数学和音乐还都需要创造力和想象力。
数学家通过观察、发现和构建来解决问题，而音乐家则通过创作和表演来表达想法和情感。
无论是数学家发现一种新的数学规律，还是音乐家创作一首动人的乐曲，都需要他们的创造力和想象力。
另外，数学和音乐也都涉及到模式的研究。
数学家通过研究各种各样的数学模式来发现规律，而音乐家则通过研究和运用各种音乐模式来创作音乐。
例如，在音乐中，常常会使用一些音乐模式，如音阶、和声和节奏模式等，这些模式能够帮助音乐家创作出连贯、和谐的音乐作品。
最后，数学和音乐都需要耐心和坚持。
数学家需要花费大量的时间和精力来解决复杂的数学问题，而音乐家也需要反复练习和演奏来提高自己的演奏技巧。
无论是解决一个数学难题，还是演奏一首完美的曲子，都需要他们的耐心和坚持不懈。
综上所述，数学和音乐之间存在着紧密的联系。
它们都涉及到节奏和模式、频率和波形、创造力和想象力、模式的研究，以及耐心和坚持等方面。
数学启发了音乐的理论和表演技巧，而音乐则为数学提供了实践和应用的场景。
音乐与数学的关系（转）2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。
他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小,发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。
尔后，他又在琴弦上做试验，进一步发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。
就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。
他继而发现声音的质的差别（如长短、高低、轻重等）都是由发音体数量方面的差别决定的。
千百年来，研究音乐和数学的关系在西方一直是一个热门的课题，从古希腊毕达哥拉斯学派到现代的宇宙学家和计算机科学家，都或多或少受到“整个宇宙即是和声和数”的观念的影响，开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈代等人都潜心研究过音乐与数学的关系。
数学几何与哲学相契携行，渗进西方人的全部精神生活，透入到一切艺术领域而成为西方艺术的一大特色。
圣奥古斯汀更留下“数还可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”的名言。
现代作曲家巴托克、勋伯格、凯奇等人都对音乐与数学的结合进行大胆的实验。
希腊作曲家克赛纳基斯（1933~）创立“算法音乐”，以数学方法代替音乐思维，创作过程也即演算过程，作品名称类乎数学公式，如《S+/10-1.080262 》为10件乐器而作，是1962年2月8日算出来的。
马卡黑尔发展了施托克豪森的“图表音乐”（读和看的音乐）的思想，以几何图形的轮转方式作出“几何音乐”。
数学是研究现实世界空间形式的数量关系的一门科学，它早已从一门计数的学问变成一门形式符号体系的学问。
符号的使用使数学具有高度的抽象。
而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术。
它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。
数学给人的印象是单调、枯燥、冷漠，而音乐则是丰富、有趣，充溢着感情及幻想。
表面看，音乐与数学是“绝缘”的，风马牛不相及，其实不然。
数学与音乐数学在音乐创作和演奏中的奥秘数学与音乐：数学在音乐创作和演奏中的奥秘音乐作为一门艺术形式，与数学之间存在着紧密的联系。
数学在音乐创作和演奏的过程中扮演着重要的角色，它们之间的奥秘值得我们去探索。
本文将深入探讨数学与音乐之间的关系，并分析数学如何应用于音乐创作和演奏中。
一、数学与音乐的基本概念1. 音符与频率音乐中的音符对应物理世界中的声波。
音符的音高与其对应的频率有着直接的关系。
频率是指单位时间内振动的次数，它决定了音符所产生的音调高低。
数学中的谐波数学理论给出了音高与频率之间的具体关系，使得音乐能够被准确地表示和演奏。
2. 音阶和音程音阶是一系列音符按照一定规律排列所形成的音乐模式。
常见的音阶有十二平均律和纯律。
在数学中，十二平均律将八度音程分为12个等距的半音，而纯律则基于简单整数比例关系来确定音阶的构建。
3. 节拍和节奏节拍是音乐中的基本单位，它决定了音符的持续时间。
在节拍的基础上，音符的排列与分组形成了音乐的节奏。
数学中的时值概念可以帮助我们准确地计算音符的持续时间，从而实现对节拍和节奏的精确控制。
二、数学在音乐创作中的应用1. 和声规则在音乐创作过程中，和声是一个非常重要的概念。
和声规则规定了不同音符的排列和组合方式，使得音乐听起来和谐而美妙。
数学中的组合数学和概率论等分支学科能够提供一定的理论支持，帮助音乐创作者在和声的处理上做出更加准确和有创意的选择。
2. 曲线插值曲线插值是一种通过一系列已知点的坐标来估算未知点坐标的方法。
在音乐中，曲线插值可以用于创作和演奏中音符之间的连续转换，使得音乐听起来更加流畅和连贯。
数学中的插值理论为音乐创作者提供了一种有效的手段，使得他们能够更好地处理音符之间的过渡。
三、数学在音乐演奏中的运用1. 节奏感节奏感是音乐演奏过程中不可或缺的一部分。
科学实验证明，人类对节奏的感知与数学中的节拍概念有着密切的相关性。
通过对音符时值的准确计算和掌握，演奏者能够更好地体现音乐的节奏感，使得乐曲更加富有韵律感和动感。
数学中的数学与音乐的交互在数学中，我们常常遇到一些抽象的概念和复杂的问题，而音乐则给我们带来了美妙和愉悦的感受。
然而，你是否曾想过数学与音乐之间可能存在着某种交互关系呢？本文将探讨数学与音乐的交互，从数学角度解释音乐中的一些现象，并通过音乐来启发我们对数学的理解。
1. 节奏：数学的节奏感在音乐中，节奏是至关重要的元素之一。
而在数学中，节奏感也同样存在。
例如，数列中的间隔、周期性的函数图像以及运动的速度，都可以被看作是数学中的节奏。
当我们将数学问题转化成如同音乐一样的节奏，问题的解决就变得更加有规律和有趣。
2. 音符：数学的模式和规律音乐中的音符组成了旋律，而在数学中，模式和规律也是构建数学结构的基本元素。
幂次方函数中的指数律、等差数列中的公差等等，都是数学中模式和规律的例子。
通过将数学中的模式和规律与音乐中的旋律和和谐统一起来，我们可以更好地理解和感受数学的美妙。
3. 音阶：数学的音程音乐中的音阶是按照一定的音程顺序排列的音符集合，而数学中的音程可以被理解为数轴上的一个个有序单位间隔。
通过对比音乐中的音阶与数学中的音程，我们可以发现它们之间的相似之处，并为我们理解数学中的数学空间和数轴提供了一种直观的方式。
4. 调性：数学的变化音乐中的调性运用了不同的音符和和弦，产生了不同的情感和效果。
同样，在数学中，我们也经常会遇到各种各样的变化，如函数的图像、曲线的斜率等。
通过对比音乐中的调性和数学中的变化，我们可以探索数学中与变化相关的概念，如导数、微积分等。
5. 和声：数学的结构在音乐中，和声是由不同音符同时发出形成的和谐效果。
而在数学中，结构则是数学对象之间相互作用和相互关系的结果。
矩阵的线性变换和函数的复合等都是数学中的结构。
通过对比音乐中的和声和数学中的结构，我们可以更好地理解和感受数学中的抽象和逻辑。
总之，数学和音乐之间的交互关系是多方面的。
通过运用数学的思维方式和方法来理解音乐，我们可以发现数学的美妙所在；同样地，通过将音乐的元素和概念运用到数学中，可以开拓数学的认知和启发创造力。
初中数学与音乐的结合在初中阶段的学习中，数学和音乐似乎是两个截然不同的领域。
数学以其严谨的逻辑和精确的计算著称，而音乐则以其灵动的旋律和丰富的情感感染着人们。
然而，当我们深入探究，会惊喜地发现，初中数学与音乐之间存在着许多奇妙的联系，它们的结合不仅能为学习增添乐趣，还能帮助我们更深入地理解这两个学科。
首先，从节奏的角度来看，音乐有着明显的节拍和节奏，就如同数学中的规律和周期。
在一首歌曲中，节拍的强弱交替、音符的长短组合，形成了独特的节奏模式。
比如常见的 4/4 拍，每小节有四拍，强、弱、次强、弱的节奏循环，这与数学中的周期概念十分相似。
在数学中，我们学习周期函数，像正弦函数和余弦函数，它们的图像呈现出有规律的重复。
这种周期性的规律在音乐中体现得淋漓尽致，让我们在欣赏音乐的同时，也能感受到数学规律的美妙。
音符的频率与数学中的比例关系也有着紧密的联系。
不同的音符具有不同的频率，而这些频率之间存在着特定的比例关系。
例如，八度音之间的频率比例是 2:1。
当我们从一个音符升高一个八度，频率就会翻倍。
这种比例关系在数学中可以用分数和小数来表示，而在音乐中，它则决定了音高的变化，从而创造出和谐或不和谐的音响效果。
初中数学中的比例知识，能够帮助我们更好地理解音符频率之间的关系，进而更深入地欣赏音乐的和谐之美。
数学中的数列知识在音乐创作中也有着重要的应用。
作曲家在创作旋律时，常常会运用数列来构建音符的排列顺序。
比如，斐波那契数列在音乐中就经常出现。
斐波那契数列是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21……其特点是从第三项开始，每一项都是前两项之和。
在音乐中，作曲家可能会根据这个数列来决定音符的时长、音高的递进或者节奏的变化，创作出富有变化和吸引力的旋律。
通过学习数列，我们可以更清晰地理解音乐创作中的这些巧妙构思。
再来看乐谱，它就像是数学中的图表和公式。
乐谱上的音符、休止符、调号、拍号等各种符号，都有着明确的规定和含义。
音乐中的数学音乐与数学融合教案音乐中的数学：音乐与数学融合教案引言：音乐和数学是两个看似完全不同的学科，一个涉及声音和情感，另一个涉及数字和逻辑。
然而，对于那些深入研究它们的人来说，你会发现它们之间存在着许多令人惊讶的联系。
本教案旨在探索音乐中的数学概念，并通过融合音乐和数学的教学活动，帮助学生更好地理解这两个学科的关系。
一、背景知识1. 音乐中的数学：音符和拍子：音符长度、节拍的分割音程：全、半音程调性和和弦：调式、音程的构成2. 数学中的音乐：节奏与计算：拍子、节拍的分割、音符时值的比例数学模式：音阶、音程比例、频率和弦与声学：和弦的音程构成、频率的相对关系二、教学目标通过本课程的学习，学生将能够：1. 了解音乐和数学之间的联系，包括音符长度、音程、调性和和弦等概念；2. 理解音乐中的数学背后的原理和规律；3. 运用数学概念解读和创作音乐；4. 开发学生的数学思维和音乐表达能力。
三、教学过程1. 探索音乐中的数学（时间：30分钟）a. 直观感受：播放不同音调和音符长度的音乐片段，并引导学生描述听觉上的不同之处。
b. 学习音程：通过音程比例的概念，介绍全音、半音程的概念，让学生体验并辨认不同音程。
c. 讨论调性和和弦：通过乐谱的展示，让学生发现不同音符和音程之间的关系，以及和弦的构成。
2. 数学中的音乐（时间：40分钟）a. 节奏和计算：通过节拍的划分和音符时值的比例，让学生体验节奏与数学计算的关联。
b. 数学模式：介绍音阶的概念，以及音阶中音程的比例关系，让学生感受音乐中的数学模式。
c. 探索和弦与声学：通过和弦的音程构成和频率的相对关系，让学生了解声学与数学的联系。
3. 数学在创作音乐中的应用（时间：40分钟）a. 创作节奏：学生分组合作创作简单的节奏乐段，使用数学计算来决定不同音符的时值比例。
b. 创作旋律：学生利用音阶和音程的概念，创作简单的旋律片段。
c. 创作和弦进行：学生学习和弦的构成，并尝试创作简单的和弦进行。
音乐与数学关系的教学案例分析在我们的日常生活中，音乐和数学似乎是两个截然不同的领域。
音乐充满了情感和艺术的表达，而数学则以其严谨的逻辑和精确的计算著称。
然而，当我们深入探究，会发现这两者之间存在着令人惊叹的紧密联系。
通过教学实践中的案例分析，我们可以更清晰地看到这种联系，并更好地理解如何在教学中利用它们来提升学生的综合素养。
在一堂初中的音乐与数学融合教学课上，老师以节奏为切入点，展开了一场别开生面的教学。
首先，老师在黑板上写下了一段简单的节奏型：“哒哒哒哒哒”，然后问道：“同学们，你们能看出这里面有什么数学规律吗？”学生们一开始有些茫然，但经过老师的引导，他们发现每个节拍之间的时长是有固定比例的。
比如，假设“哒哒”的时长为 2 秒，“哒”的时长为 1 秒，那么这段节奏型就可以用数学的方式表示为 2 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 5 秒。
通过这样的分析，学生们不仅理解了节奏的构成，还初步认识到了音乐中的时间与数学中的数量之间的对应关系。
接着，老师拿出了不同长度的小木棍，代表不同的音符时长。
让学生们通过组合这些木棍，来创造出自己的节奏。
有的学生创造出了“哒哒哒哒哒哒哒”，有的则是“哒哒哒哒哒”。
然后，老师让学生们计算自己所创造节奏的总时长。
这一环节让学生们更加深刻地体会到了音乐节奏与数学计算的紧密结合。
在另一个教学案例中，老师以音阶为主题进行教学。
他先在钢琴上弹奏出了一个八度内的音阶，让学生们仔细聆听并感受音高的变化。
然后，老师在黑板上画出了一个简单的数轴，将八度内的音阶对应到数轴上的不同位置。
比如，中央 C 对应的数值是 0，D 对应的是 1，E 对应的是 2 等等。
通过这种方式，学生们直观地看到了音阶之间的音程关系在数学上可以用数值的递增来表示。
而且，他们还发现了半音和全音之间的数学比例关系。
例如，E 到 F 是半音，它们在数轴上的距离相对较短；而 C 到 D 是全音，距离相对较长。
为了加深学生们的理解，老师让学生们自己尝试在数轴上标出其他音阶的位置，并计算相邻音阶之间的音程差。
数学与音乐的关系与应用数学和音乐是两个看似完全不相关的领域，但实际上它们之间存在着紧密的关系。
本文将探讨数学和音乐之间的相互影响，并介绍数学在音乐中的应用。
一、数学与音乐的共同点1.1 节奏与数学节拍音乐中的节奏是由一系列有规律的拍子组成的，而数学则研究了各种数列和序列的规律。
这些数学规律可以应用于音乐中的节拍处理和编排，使音乐更加有层次感和节奏感。
1.2 音高与频率音乐中的音高与物理学中的频率有着密切联系。
频率越高，音高就越高。
而频率与音高之间的关系可以用数学的公式来表示，这就是著名的“音程比例律”。
通过数学的计算，我们可以准确地计算出不同的音高和音程。
1.3 和弦与数学关系和弦是音乐中重要的元素之一，它由不同音符组成。
数学中的数列和数学比例同样可以应用于和弦的构建中。
数学的知识帮助我们理解和弦的结构和音符间的关系，从而提升创作和演奏的水平。
二、数学在音乐中的应用2.1 频谱分析与音乐制作音乐制作中的频谱分析是非常重要的工具，它可以分析音乐中不同频率的声音分布。
而频谱分析正是基于数学的傅里叶变换原理。
通过频谱分析，音乐制作人可以准确地了解音乐中不同频率的声音特征，从而进行后期处理和调整。
2.2 数学模型与乐器制作在乐器制作中，数学模型的应用也发挥着重要的作用。
乐器的共鸣箱、管道和琴弦等都可以通过数学建模来进行优化设计。
数学模型可以帮助乐器制作者预测和分析乐器的各种声学性能，并进行改良。
2.3 数字编码与音乐传输数字编码是现代音乐传输和存储的基础。
各种音频文件的编码和压缩都离不开数学原理，例如基于离散余弦变换的MP3音频压缩技术。
通过数字编码，音乐可以方便地传输和存储，同时减小文件的大小和保持音质的同时。
三、结论数学和音乐之间的关系深远而复杂。
数学为音乐提供了理论基础和技术手段，同时也驱动着音乐的发展和创新。
音乐又为数学提供了实际应用的场景，使抽象的数学概念更加具体和生动。
在今后的发展中，数学与音乐的交叉应用将更加紧密，为人们带来更多美妙的音乐体验和数学探索的空间。
数学与音乐探索数学与音乐的关系数学和音乐，作为两个看似独立的学科，实际上存在着紧密的联系和相互依赖关系。
数学可用于探索音乐中的节奏、和谐和音程等特征，而音乐则可以激发数学在推理、模式和结构等方面的应用。
本文将深入研究数学与音乐之间的联系，并探索它们在创作、表演和理解方面的共通之处。
一、数学背后的音乐1. 节奏与拍子节奏是音乐的灵魂，而数学则提供了解析和描述节奏的方法。
通过数学中的拍子、节拍和时值的概念，可以分析音乐的节奏模式和结构。
例如，使用数学的计数方法，可以将音符的时值转化为数学运算，进而创作和演奏出各种形式的节奏。
2. 音程与比例音程是指两个音高之间的距离，而数学中的比例概念则可以用来解析和解释不同音程之间的关系。
例如，一个八度音程被认为是一个完全的比例关系，而其他音程则可以通过比例关系来衡量和计算。
数学的数值运算可提供理论基础，帮助音乐家创造出和谐的音乐。
3. 和弦与和谐和弦是音乐中一种重要的和谐结构，而它的构成和演奏则依赖于数学中的数值和比例概念。
例如，和弦中的音符之间存在着特定的音程关系，这些关系可以通过数学的计算来精确描述和分析。
借助数学的帮助，音乐家可以创造出丰富的和声变化来增强音乐的美感。
二、音乐启迪的数学1. 推理与创造力数学是一门需要逻辑推理和创造力的学科，而音乐则可以培养人们的推理和创造能力。
许多数学家在解决数学难题时，都借助音乐来激发灵感和创造力。
音乐的旋律和和声结构，可以让数学家从另一个角度来思考和解决问题。
2. 模式与结构音乐中的节奏、旋律和和声都有其特定的模式和结构，而数学则是研究模式和结构的学科之一。
通过学习音乐，人们可以培养对模式和结构的敏感，并将其应用到数学中。
例如，音乐中的重复模式可以启发数学家研究数列和序列，而音乐中的曲线变化则可以启发数学家研究函数和图形。
3. 数学思维的培养音乐需要集中注意力、逻辑推理和分析能力，这些都是培养数学思维所必需的。
通过学习音乐，人们可以提高解决问题和思考数学概念的能力。
数学学习的跨界应用探索数学与艺术音乐的关联数学是一门抽象而深奥的学科，它在我们生活中无处不在，其应用远不止于计算和解题。
而艺术音乐作为一种形式美的表达，也同样包含了数学的元素。
本文将探讨数学与艺术音乐之间的关联，并探索数学在创作和表演音乐中的应用。
一、规律与旋律的契合在音乐中，旋律是构成音乐的基本元素之一。
然而，旋律起伏、节奏变化、音符的数量等等，都是基于一定的规律。
数学中的数列、周期性图形等概念，恰好可以用来描述音乐中的旋律规律。
例如，斐波那契数列中的每个数都是前两个数之和，这种规律在音乐中的应用可以产生连续而和谐的旋律。
此外，三角函数中的正弦曲线也可以被用来模拟音乐中的和声关系。
通过数学的表达，我们可以更深刻地理解和感受音乐所传达的情感。
二、节奏与节拍的计算音乐中的节奏和节拍是非常重要的元素，它们决定了音乐作品的节奏感和韵律感。
而在音乐制作中，数学被广泛应用于计算节拍点、设定速度和合成音符。
例如，在电子音乐制作中，通过对节拍点的精确计算和控制，可以打造出丰富多样的节奏效果。
此外，使用数学模型还可以精确计算音符的时长和拍子的分割，帮助音乐家在演奏或创作过程中更加准确地把握曲速和节奏。
三、和声与和弦的完美结合和声是指不同音符在同一时间内的组合。
和弦则是指由若干个音符按照一定规律构成的音乐元素。
在音乐理论中，和声和和弦的组合是需要遵循一定的规则和原则的。
而这些规则和原则恰恰可以通过数学的方法来解释和描述。
例如，音乐中常见的和弦进行可以通过数学模型进行分析，帮助音乐家更好地理解和运用和声规则。
此外，音乐中的调性和调式也可以通过数学的方法进行分析和推导，使音乐更加丰富和有层次。
四、音乐信号处理与频谱分析音乐信号处理是指对音乐信号进行处理、分析和修饰的过程。
在音乐产生和录制的过程中，信号处理起着至关重要的作用。
而在信号处理领域，数学的方法和技术也被广泛应用。
例如，傅里叶变换在音乐信号分析和合成中起着重要作用，它可以将一个复杂的音乐信号分解成若干个简单的频率成分，并对其进行独立处理。
数学与音乐的对话 一、前言 一般人对数学的印象，多半是理性的、精确的，因此很少人会将它跟柔美浪漫和感性的音乐联想在一起。虽然音乐也有理性和精确的一面，但是在过去，数学和音乐一向是壁垒分明的。长期以来，学校中的音乐老师很少会有可能被请去教数学，而数学老师被请去教音乐的也很少耳闻。在小学里，由于是师资养成和学校采包班制的关系，学校音乐老师不够了，请级任老师去上音乐课的例子则较多。
处在这个多元的社会当中，科技、艺术和人文早已经开始产生了对话，它们之间原本存在的鸿沟也随着教育的改革，而日渐消除。近来，即将实施的九年一贯课程，强调课程统整、联结以及科技的融入，也显示了拉近科技、艺术和人文之间的关系与企图心。本文的主要目的，也是想借着「开启数学与音乐的对话」，深入了解数学与音乐的关系，以及学习音乐与数学对人们的影响，并提供几个范例以作为课程统整与联结之参考。
二、数学与音乐的意义 何谓数学？何谓音乐？各种解释与说法不一，其中有以下的看法： (1)数学源自于人们对自然界规则事物的观察，它是一种研究自然规律的科学； (2)音乐是对于声音中规则变化的认识，而不规则的声音，即属于噪音(黄嘉彦、张如梅，民89)。由此可知，数学与音乐都同样是在对自然界的事物作描述或探求，人们藉由数学和音乐，都可以了解到自然世界部分的现象。
例如，为什幺我们可以听见声音？而有些声音却听不到呢？是大小声的关系吗?还是跟振动频率有关？其实，除了考虑空气的传播因素之外，声音的大小声只跟「振幅」的大小有关，而声音能不能听得见就和「频率」有关了。
根据研究，人类可以听到的频率范围是15Hz到20,000Hz之间，猫和狗可以听到60,000Hz，而蝙蝠更可以听到80,000Hz。声音是由物体振动而来，经过了数字的描述，便可以具体的了解人和动物听觉上的差异。而哪些声音听起来是和谐好听的呢？实际上一个音并无法构成音乐，必须由许许多多的音，经过「排列组合」才能构成音乐，而且里面也必须存在着一定的「比例」关系才会好听，由此可知数学与音乐是有些关联存在的。
三、数学与音乐的关系 音乐利用符号来表示和传递声音，数学也是利用符号表示数量关系和空间形式(张祖贵译，民84)。以下我们将进一步从古希腊毕达哥拉斯时代，以及从形上学两个方面来探讨数学与音乐的关系。
(一)由古希腊毕达哥拉斯时代来看 自古以来，西方的数学和音乐就是「一体」的，所以数学与音乐之间的关系不只是用「密切」来加以形容，它们是「不分家的」。古希腊一位天才横溢的数学家毕达哥拉斯(Pythagoras，540B.C，约中国孔子的年代)，就曾经将数学作了以下的分类（见图一，王怀权，民70）：
■图一 毕达哥拉斯对于数学的分类
以现行的数学课程标准来看(教育部，民82)，学生要学习的数学内容有「数与计算」、「量与实测」、「图形与空间」、「统计图表」、「数量关系」、「术语与符号」，其中我们很难找到音乐的影子。而古希腊时代是将天文、几何、音乐与算术「统整」在数学之中的，这也是后来西方中世纪时代所谓「四艺」的教育内容。
毕达哥拉斯多才多艺，在宗教、天文、数学和音乐方面都很有研究，还被称为「乐器之父」。以下有一段关于他的故事：有一天毕氏经过一家打铁店，被其中打铁的声音所吸引住了，因为铁锤打铁的声音不但有「节奏」，且相当「悦耳」；他感到惊奇，于是走到里面去探究竟。他发现里面有四个人，分别拿了四个重量不同的铁锤，这四个铁锤重量的比恰好是12：9：8：6 。当两个铁锤的重量比分别是12：6、12：9和12：8时，一起敲打所发出来的声音听起来相当和谐。他回去之后，进一步利用当时专为审度音律之用的乐器单弦琴(monochord)做了个实验，结果有两项重要发现： (1)两个声音能够听起来和谐悦耳，跟两弦的长呈简单整数比有关； (2)两音弦长的比是4：3、3：2、2：1时是和谐的，它们的「音程」分别是四度、五度和八度。所以，对于毕氏而言，「音乐就是整数比」(蔡聪明，民83)。
虽然，当时毕氏还无法利用频率来实验，仅能根据弦长来验证音与音之间的比，不过，利用「五度音循环法」，由1出发，除了F音必须降低五度求得之外，其余连续升高五度(即连续乘以3/2)五次，再把超过八度的音降低八度(除以2)，或低于八度音的升高八度(乘以2)，就可以得到「毕氏音阶」，如表一(蔡聪明，民83)。
■表一 毕氏音阶
不过，在毕氏音阶里面却发现E、A、B三个音的比，并没有呈简单的整数比，因此后来有位天文学家C. Ptolemy就利用和弦的升降，将这些音修改为5/4、5/3、15/8，因而得到「纯律音阶」，如表二(详见蔡聪明，民83)。
■表二 纯律音阶
但是，随着音乐的发展，虽说世界一流的小提琴家与歌唱家都按纯律来演奏或演唱，但毕氏音阶和纯律音阶在移调和转调上，以及在不同的乐器一起演奏的和谐度上，均无法符合音乐家或作曲家的需求，于是德国风琴师Werckmeister在1691年，从发表的一篇文章「将键盘乐器调成平均律的数学」当中，引出了「十二平均律」，它使得乐曲转调容易，但是声音不纯(例如中央C应该是264Hz变成了261.6Hz)，且和弦并不那幺完美(蔡聪明，民83)，十二平均律就是将C 到C′之间等分割成十二个半音，所以，如果知道了C这个音的频率，就可以透过连续乘上一个常数12√2而得到12个半音。自从1939年国际间订定标准音A的频率为440Hz之后，其它音的频率也大致底定(见表三)。
■表三 音阶和频率 单位:Hz 音高 中央C D E F G A B 高音C 纯律 264 297 330 352 396 440 495 528 十二平均律 261.6 293.7 329.6 349.3 392.1 440 493.9 523.2
依据作者的经验，目前现代的钢琴调音仍可以分为两种：一种是利用调音器来调的，调音师「一个音一个音的敲」，然后与调音器所设定的频率对照是否正确，所以是按照十二平均律来调音的。另一种是比较「高明」的老师传利用他敏锐的「耳朵」来调音的，他是「一个和弦一个和弦的弹」由和弦发出的声音的和谐度来判断音是否准确，所以纯律至今仍然有人使用。 (二)由形上学来看 由于数学具逻辑推理的性质，它能够创造出优美的演绎模式，虽然我们不能用听觉感知它的节奏，可是我们可以随着理性的推理思考，用大脑去体会它的韵律，所以说「数学是推理的音乐」(欧阳绛，民85)。 以下我们举两个例子进一步说明数学与音乐的共通性——美。
■图二 视谱练习
《例一》 图二这首乐曲虽然只是写给人们视谱练唱用的，但是从它的音符的形式来看，除了最后一小节之外，其余都是「四个八分音符和两个四分音符」有「规律」反复的音群所构成，且都是使用所谓「模进」的方式来编写，所以，我们只要唱前面两个小节Do,Re,Mi,Fa,Do,Fa，就可以「预测」接下来就是Re,Mi,Fa,Sol, Re,Sol(前两行)，后两行音群下行的方式也是一样的模式。这四行谱前两行和后两行则几乎是「对称」的关系，「规律」和「对称」都是一种美的形式，在数学的领域中，无论代数、几何或统计都经常可以看见。
《例二》 数学王子高斯在小学时代曾经解过这样的题目：1＋2＋3＋…＋100＝？当全班同学都在埋头苦算的时候，高斯却轻而易举的把答案交出来了，全班师生们同感讶异。他的算法是按照头尾相加和是101的模式，连续不断的配对(其实这就类似于音乐中的『模进』)，到最后50＋51，一共可以得到五十对的101，所以将101乘以50就可以得到答案5050了(见图三)。从这个例子，我们也可以看到在运算的过程当中，数字构成的关系那幺的和谐而有规律，这种由一定数量关系所构成的和谐就是一种数学美(徐炎章、吴开朗、唐煌、周金才，民87，p.35)，而这种巧妙的解法本身也是一种美。
■图三 高斯的解题模式
音乐是透过作曲家的思维模式，运用符号把它记录下来，当它被传达到听众的耳朵时，是那幺的和谐、有秩序、有规律，所以容易给人产生一种美感，进而心灵获得启发和陶冶。数学本身不仅是艺术，也是一种思维的艺术(欧阳绛，民85)，对于人们心灵的美化也具有同样的效果。古希腊毕氏学派就认为：数学和音乐都可以净化人的灵魂。十九世纪数学家J. J. Sylvester(1814-1897)指出，置身于数学领域中，不断地探索和追寻，就能把人类的思维活动升华到纯净而和谐的境界。当代数理逻辑家王浩也说，数学具有纯净的美(dry beauty)。
Sylvester(1814-1897)又指出：「音乐不就是感觉中的数学，而数学不就是推理中的音乐吗？两者的灵魂是完全一致的。」这段话更道出了数学与音乐另一种形而上的关系。因此，如果说：「音乐家可以感觉到数学，而数学家可以想象到音乐。」是可以让人理解的。虽说音乐是梦幻，而数学是现实，但当人类智能升华到完美的境界时，音乐和数学就互相渗透而融为一体了(欧阳绛，民85)。
四、将数学应用于音乐之中 数学家莱布尼兹(Leibniz, 1646-1716)说：「音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目字在打交道」(引自蔡聪明，民83)。而实际上，「乐理」的确是一种可以用数学的方法来计算的具体知识(黄嘉彦、张如梅，民89)。
在音乐的领域当中，运用数学来处理相关的问题的例子非常多，例如：毕达哥拉斯发现弦长的简单整数比(算术的比例论)，进而推算出毕氏音阶、傅里叶(B. J. B. Joseph Fourier, 1786-1830)针对周期性的声音进行研究，发现任何声音都可以用简单的正弦函数(asinbx)各项的和来表示。以下将举几个的例子说明数学在音乐中被运用的情形： 在音乐当中，我们把记录声音的符号称为「音符」；把记录暂停的符号称为「休止符」。下表是音符与休止符的种类和名称。
■图四 音符与休止符的种类和名称
有了音符和休止符之后，任何的旋律便可以用它们来记载。而任何一段简单的旋律的构成，不外乎是音高、音的长度和演奏的速度。我们可以透过音高、音的长度和演奏的速度来了解其中的数学。
(一)音高 声音振动的频率快表示声音高，反之，则声音低。当声音用符号来记录之后(就是音符)，将它「挂在」五线谱上就可以从它的位置看到它的「音高」。
■图四 简谱示例
