高二年级第一学期数学期末考试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数i
i z +=
2(i 为虚数单位)，则=||z ．
2．若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 3．抛物线2
4y x =的焦点坐标为 ．
4．6
2x x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ．
5．已知实数x 、y 满足不等式组5
2600
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ．
6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232
=+-a x x 的一个根,则实数=a ．
7．已知21,F F 为双曲线C ：12
2=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则
=⋅||||21PF PF ．
8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同
的安排方案种数为 ．
9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ
=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到
直线l 710
的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02
=++q px x （,p q 是常数）的两
个实根，则直线AB 的方程是 ．
11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足2
21sin cos 2
AP AB AC θθ=
⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．
12．
已知椭圆C ：)0(1
22
22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，
M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。M 的最大值为 ．
二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足2|43|=
-+i z ，则|1|-z 的取值范围是（ ）．
（A ）⎡⎣（B ）⎡⎣（C ）⎡⎣（D ）⎡⎣
14．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边，且ac b =2
，那么直线0sin sin 2
=-+a A y A x 与
直线0sin sin 2
=-+c C y B x 的位置关系是（ ）． （A ）平行 （B ）垂直（C ）相交但不垂直 （D ）重合
15．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ，则ABC ∆的形状是（ ）．
（A ）等腰三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等边三角形
16．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．
（A ）2
10x y +-= （B ）10x =
（C ）22
10x y x x +---= （D ）2
310x xy -+=
三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分14分）
设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，
)(2
5|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知2||=
a ,1||=
b ,a 与b
的夹角为︒135.
(1)求
)2()(b a b a -⋅+的值； （2）若k 为实数，求||b k a
+的最小值．
19．（本题满分14分, 第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）一条光线通过点()1,2-P ，被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ，求反射光线所在的直线方程；
（2）已知ABC ∆的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是02=-y x 和
01=-+y x ，求边BC 所在直线方程．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知点21,F F 为双曲线C ：)0(122
2
>=-b b
y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交
双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是2
22b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为21,P P ，求12PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
教材曾有介绍：圆2
22r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。我们将其结论推广：椭圆
12222=+b y a x （0>>b a ）上的点),(00y x 处的切线方程为1202
0=+b y
y a x x ，在解本题时可以直接应用。已知，直线03=+-y x 与椭圆E ：12
22=+y a
x （1>a ）有且只有一个公共点．
（1）求a 的值；
（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点),2(m M ．
①设0m ≠，直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k 为定值． ②设m R ∈，求OAB ∆面积的最大值．
