a 0 0
一、选择题 线性代数测试
a 1
b 1
c 1
c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ，则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = （
）
A. - D a 3 b 3 c 3
B. D
c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是
． （A ）13524876；
（B ）51324867； （C ）38124657； （D ）76154283．
3. 设 A m ⨯s ， B t ⨯n ， C s ⨯t ，则下列矩阵运算有意义的是（ ）
A. ACB ;
B. ABC ;
C. BAC ;
D. CBA .
4. 设 A 是n 阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ，则有（）
A. A = B ；
B. A ≠ B ；
C. R ( A ) = R (B ) ；
D. R ( A ) ≠ R (B ) .
5. 设 A 是 4×5 矩阵， A 的秩等于 3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为（ ）
A. 4
B.5
C.2
D.3
6. 向量组a 1 , a 2 , , a m （ m ≥ 2 ）线性相关，则（ ）．
A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示；
B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示；
C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示；
D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示．
⎛ a b + 3 0 ⎫ ⎪
7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ⎪ 为正定矩阵，则 a 满足 ． ⎪ ⎝ ⎭ 1 1
（1） a > 2 ； （B ） a > ； （C ） 2 a < ； （D ）与b 有关不能确定． 2
8. 设 A , B 均为 n 阶方阵，并且 A 与 B 相似，下述说法正确的是 ．
（A ） A T 与 B T 相似； （B ） A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量；
（C ） A -1 = B -1 ； （D ）存在对角矩阵 D ，使 A 、 B 都与 D 相似．
二、判断题
1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例。
2、设向量组的秩为 r ，则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。
3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。
4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例.
5、若 A 是实对称矩阵，则 A 一定可以相似对角化.
三、填空题
1 1 0 ⎩ ⎝ ⎭ 5 1 - 1 1
2
3 1 、已知行列式 D = 1 1 1 3
4 5
A 11 + A 12 + A 13 = .
， 其中 A ij 是 D 的（ i,j ） 元的代数余子式， 则
2、设方阵 A 满足 A 2 + 2 A + 2E = O ,则( A + 2E )-1 = .
3、若向量组α1 = (-2,3,1)T , α = (2, t ,-1)T , α = (0,0,1)T 线性相关,则t = .
4、若向量α= (1, s ,1) 与β= (t , 2, 0) 正交，则s , t 满足 .
5 、已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1 ， -1 ， 2 ， 则 3A 2 - 2 A - 2E 的特征值为
.
四、计算题 ⎛1 1 1 ⎫ ⎪ ⎛ 1 2 3⎫ ⎪
1、已知矩阵 A = 1 1 - 1⎪, B = - 2 - 1 0⎪ ，求3AB - 2 A 与AB T ⎪ ⎪ ⎝ ⎭
2、设向量组：α = (1,1,-1)T ，α = (3,4,-2)T ，α = (2,4,0)T ，α = (0,1,1)T ，试求此向
1 2 3 4
量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示.
3、求下列非齐次线性方程组的通解.
⎧x 1 + x 2 = 5, ⎪2x + x + x + 2x = 1, ⎨ 1 2 3 4
⎪5x 1 + 3x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 3. 2 3
