高一数学必修1集合知识点总结
集合的含义与表示知识点总结
一、课标要求
《课程标准》对本课内容的要求是:能够了解集合的含义,知道常用数集的表示方法,了解集合元素的三个性质,会用适当的方法表示集合.集合知识是整个高中学习的基础,使学生掌握和使用数学语言表述数学问题的基础.通过学习集合知识,可以使学生更好的理解数学中的集合语言,可以使学生逐步运用集合的观点和思想分析数学问题.
二、本节知识要点
（1）集合的含义与表示;
（2）元素与集合之间的关系与表示;
（3）集合元素的三个基本性质;
（4）常用数集的表示;
（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）;
（6）集合的分类.
三、集合的含义与表示
一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
集合用大写字母来表示,集合的元素与小写字母来来表示.
四、元素与集合之间的关系与表示
a a
元素与集合之间是从属关系:若元素在集合A中,就说元素属于集合A,记作;若元素不在集合A中,则称元素不属于集合A,记作.
a∉
a∈a a A A
要求会判断元素与集合之间的从属关系.
五、集合元素的三个基本性质
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
确定性给定一个集合,它的的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.
互异性给定一个集合,它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复出现.
在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.
无序性 集合中的元素是没有顺序的.
如果构成两个集合的元素是相同的,那么就称这两个集合相等.
六、常用数集的表示
自然数集N ; 正整数集N +或N *; 整数集Z ; 有理数集Q ; 实数集R .
七、集合的两种表示方法
集合有两种常用表示方法,即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn 图法）.
列举法
把集合的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举{}法.
用列举法表示集合时要注意以下几点:
（1）元素之间必须用逗号隔开;
（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;
（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;
（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜;
（5）注意与的表示是有区别的:表示的是一个元素,表示的是只有一个a {}a a {}a 元素的集合.二者具有从属关系,及.
a a A ∈ 列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.
描述法
定义 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作,(){}x P I x ∈其中为集合的代表元素,I 表示元素的取值范围,表示集合的元素所具有x x ()x P 的共同特征.
第二定义 用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法.
注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合,集合.
{}0322=--=x x x A {}062<-=x x B 用描述法表示集合时要注意以下几点:
（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集;
（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;
（3）不能出现未被说明的字母,如集合中的未被说明,应正确表示{}n x Z x 2=∈n 为或;
{}Z n n x Z x ∈=∈,2{}Z x n x x ∈=,2（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略.
如集合,也可以写作.
{}02=+∈x x R x {}02=+x x x （5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;
（6）所有描述的内容都要写在大括号内;
（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集.
当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.
例1. 用两种方法表示二元一次方程组的解. ⎩
⎨⎧=-=+152y x y x 注意:二元一次方程组的解是有序实数对,所以在表示二元一次方程组的解时,要表示为点集的形式.
解:解二元一次方程组得: ⎩⎨⎧=-=+152y x y x ⎩
⎨⎧==12y x 用列举法表示为,用描述法表示为. (){}1,2()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧==12,y x y x 提示:与表示的是两个不同的集合.
(){}1,2(){}2,1例2. 指出集合与集合的区别.
{}12-=x y x (){}12,-=x y y x 注意:区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作,其(){}x P I x ∈中表示的就是代表元素,它可以是一个数字（数集）,也可以是有序实数对（点x 集）.
解:集合表示的是一个数集,它表示函数解析式中自变量的{}12-=x y x 12-=x y 取值范围,所以R ;
{}=-=12x y x 集合表示的是一个点集,它表示函数的图象上所有(){}12,-=x y y x 12-=x y
点的坐标.
例3. 用合适的方法表示下列集合:
（1）文房四宝;
（2）2019年9月3日,新乡市平原示范区所辖乡镇;
（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.
注意:在用描述法表示集合时,元素之间必须用逗号隔开,不要用错标点符号.点集的代表元素为有序实数对.
解:（1）;
{}砚纸墨笔,,,（2）;
{}师寨镇桥北乡原武镇韩董庄乡祝楼乡,,,,（3）.
(){}0,0,>（1）方程的所有实数根组成的集合;
022=-x （2）由大于10小于15的所有整数组成的集合.
注意:在用描述法表示集合时,代表元素的取值范围,如果从上、下文来看是明确的,可以省略.
解:（1）列举法:;
{}2,2-描述法:或.
{}022=-∈x R x {}022=-x x （2）列举法:﹛11 , 12 , 13 , 14﹜;
描述法:.
{}1511<<∈x Z x 八、集合的分类
集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集
含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集. 不含任何元素的集合叫做空集,记作.
∅ 如方程的实数根组成的集合就是一个空集,即012=+x {}012=+∈x R x .
{}∅==+∈012x R x 九、重要结论:
判断形如的方程的实数根的个数的方法是:
02=++c bx ax
