抛物线及其标准方程练习题

课时作业(十二)

[学业水平层次]

一、选择题

1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )

A ．y 2＝－2x

B ．y 2＝2x

C ．x 2＝2y

D ．x 2＝－2y

【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B.

【答案】 B

2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2

9＝1的右顶点为焦

点的抛物线的标准方程为( )

A ．y 2＝16x

B ．y 2＝－16x

C ．y 2＝8x

D ．y 2＝－8x

【解析】 因为双曲线x 216－y 2

9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的

焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x .

【答案】 A

3．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，

且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于

( )

A. 2

B. 3 C ．2 D ．23

【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由b a

＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以

c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.

【答案】 B

4．抛物线y 2

＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2

9＝－1的两条渐近线所

围成的三角形的面积为( )

A ．3 3

B ．2 3

C ．2 D.3

【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±3

3x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积

为33，故选A.

【答案】 A 二、填空题

5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．

【解析】 抛物线y 2

＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－1

2，

设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1

2＝5，解得x 1

＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.

【答案】 2

6．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．

其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)

【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2

＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p

2＝1＋52＝7

2

≠6，所以③

不满足；由于抛物线y 2

＝10x

的焦点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

52，0，过该焦点的直线方程

为y ＝k ⎝

⎛⎭⎪⎫

x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－

2，此时存在，所以④满足．

【答案】 ②④

7．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．

【解析】 化方程为标准方程形式为x 2

＝12y ，故p 2＝1

8

，开口向上，

∴准线方程为y ＝－1

8.

【答案】 y ＝－1

8

三、解答题

8．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 2

2＝1上的抛物线的标

准方程．

【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，

则焦点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

m 2，0.

∵焦点在双曲线x 24－y 2

2＝1上，

∴m 2

4×4

＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .

9．已知平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．

【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有

x －1

2

＋y 2＝|x |＋1.

两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.

∴y 2

＝⎩⎪⎨

⎪⎧

4x x ≥0，0

x ＜0，

即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．

法二 由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．

[能力提升层次]

1．(2014·合肥高二月考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )

A ．2 2

B ．4 C. 2 D.322

＋1

【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点