数值计算方法期末试题及答案

精心整理《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，式为。

答案：-1，)3)(1(2)3)(2(21)(2-----=x x x x x L 4、近似值5、设)(x f ()；答案1n x =+6、对)(x f =]4,3,2,1(0)；78n 次后的误差限为(12+-n ab )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。

13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。

14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 代矩阵的谱半径)(M ρ=121。

15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l (1l )1(716)(2-+=x x x x N 。

16、(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代21]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

22、已知≤≤≤≤3110(x x S 是三次样条函数，则a =(3 )，b 23、(),(10l x l Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，=k 0(j)，当时=++=)()3(204x l x xk k k k (324++x x )。

《数值计算⽅法》试题集及答案要点《数值计算⽅法》复习试题⼀、填空题：1、----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ?=。

答案：--??--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得?≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差； 8、⽤⼆分法求⾮线性⽅程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为(12+-n a b )；9、求解⼀阶常微分⽅程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为()],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y)；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、两点式⾼斯型求积公式?10d )(x x f ≈(?++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f)，代数精度为( 5 )；12、解线性⽅程组A x =b 的⾼斯顺序消元法满⾜的充要条件为(A 的各阶顺序主⼦式均不为零)。

数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。

上海交通大学研究生试卷
《计算方法》
一、已知及拟合这批数据的非线性数学模型
1．如何将非线性模型线性化？
2．写出线性化模型中待定系数的法方程。

3．设数据如下：
0123
2.010 1.2100.74000.4500
求出拟合上述数据的非线性拟合函数。

二、给定求解常微分方程初值问题的线性多步公式
其中：
试确定系数，使它具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。

三、设，其中：为阶单位阵，为非零实数，
1．试确定之值，使得为阵（初等反射阵）
2．取，求的-条件数
四、设阶实矩阵的特征值满足：，对应的特征向量满足满足。

求矩阵
的按模最小特征值的算法如下：
其中：表示向量的绝对值最大的分量，为任一非零向量。

记为向量的Rayleigh商。

1．证明：
2．设，对作分解
3．取，计算，和
五、设为对称正定矩阵. 考虑迭代格式：
1． 求证：对任意初始向量，序列{}收敛，且收敛到之解.
2． 取，。

求上述迭代的收敛速度。

六、求以0，1，2为样条节点并满足下列插值条件的三次样条函数S(x)：
S(0)=0, S’(0)=0;
S(1)=1;
S(2)=0, S’(2)=0.
七、证明
若f(a)=f(b)=0,则：。

一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。

2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。

如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。

3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。

计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。

4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。

5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。

6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。

若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。

习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。

解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。

中国计量大学数值计算方法试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 数值计算方法主要用于（）。

A. 精确求解数学问题B. 近似求解数学问题C. 只求解线性数学问题D. 只求解非线性数学问题答案：B。

解析：数值计算方法就是用数值近似的方法来求解数学问题，因为很多数学问题很难得到精确解。

2. 在数值计算中，舍入误差是由（）引起的。

A. 计算方法不合理B. 计算机表示数字的有限精度C. 数据本身错误D. 算法复杂度答案：B。

解析：计算机只能表示有限精度的数字，在计算过程中就会产生舍入误差。

3. 对于迭代法求解方程，收敛性是指（）。

A. 迭代次数越来越少B. 迭代结果越来越接近精确解C. 迭代结果远离精确解D. 迭代过程中误差不变答案：B。

解析：收敛性就是说随着迭代的进行，得到的结果会不断接近方程的精确解。

4. 插值法的目的是（）。

A. 根据已知点构造函数B. 对函数进行积分C. 对函数进行微分D. 求函数的极值答案：A。

解析：插值法就是利用已知的一些点来构造一个函数，使得这个函数在这些点上的值与已知值相等。

5. 牛顿迭代法主要用于（）。

A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 进行数值积分D. 进行数值微分答案：B。

解析：牛顿迭代法是一种很常用的求解非线性方程的迭代方法。

6. 数值积分中，梯形公式是（）。

A. 一阶精度的数值积分公式B. 二阶精度的数值积分公式C. 三阶精度的数值积分公式D. 四阶精度的数值积分公式答案：A。

解析：梯形公式的误差阶数是一阶的，也就是它的精度是一阶精度。

7. 对于线性方程组Ax = b，高斯消元法的基本思想是（）。

A. 将系数矩阵A化为上三角矩阵B. 将系数矩阵A化为下三角矩阵C. 将系数矩阵A化为对角矩阵D. 将系数矩阵A化为单位矩阵答案：A。

解析：高斯消元法就是通过一系列的行变换将系数矩阵A化为上三角矩阵，然后再回代求解。

8. 数值计算中，条件数是用来衡量（）。

A. 算法的复杂度B. 矩阵的病态程度C. 误差的大小D. 计算速度的快慢答案：B。

《数值计算基础》考试样卷一、单项选择题（每小题3分，共15分）1、数值x 的近似值x *=0.1215×10－2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字.(A)21×10－3 (B) 21×10－4 (C) 21×10－5 (D) 21×10－6 2、若k A 为矩阵A 的k 阶主子矩阵，则矩阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。

(A) 0≠A (B) 某个0≠k A (C))1,1(0-=≠n k A k (D) ),,1(0n k A k =≠3、通过四个互异节点的插值多项式P (x )，只要满足( ), 则P (x )是不超过一次多项式。

(A) 初始值y 0=0 (B) 所有一阶均差为0 (C) 所有二阶均差为0 (D) 所有三阶均差为04、牛顿切线法求解方程f (x )=0的近似根，若初始值x 0满足( )，则解的迭代数列一定收敛。

(A))()(00x f x f ''<0(B) )()(00''x f x f >0(C))()(00''x f x f ≤0 (D))()(00''x f x f ≥0 5、改进欧拉法的平均形式公式是( )(A)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+)(21),(),(1c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y (B)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y(C)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+2=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y h y y x hf y y y x hf y y (D)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y二、填空题（每小题3分，共15分）1、sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 .2、设f(x)可导，求方程x=f(x) 根的牛顿迭代格式是 .3、设42)(2+=x x f ，则=]2,1[f .4、在区间[],a b 上的插值型求积公式系数01,,A A ┅,n A 满足01A A ++┅＋n A ＝ .5、二阶龙格－库塔法的局部截断误差是 . 三、解答题（每小题10分，共50分）1、用列主元消去法解线性方程组123240531192203x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦2、用牛顿法求6的近似值，取初始值20=x ，进行二次迭代。

数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。

数值计算考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值计算中，用于求解线性方程组的高斯消元法属于以下哪种方法？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答案：A2. 以下哪个函数是凸函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = -x^2C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x答案：A3. 计算矩阵A的特征值时，通常需要求解以下哪种方程？A. |A - λI| = 0B. |A + λI| = 0C. |A - λI| = 1D. |A + λI| = 1答案：A4. 以下哪种数值积分方法不需要函数的导数信息？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿-科特斯公式D. 高斯积分法答案：A5. 在求解非线性方程时，牛顿法的收敛速度通常是？A. 线性收敛B. 二次收敛C. 指数收敛D. 对数收敛答案：B6. 以下哪种方法用于求解常微分方程的数值解？A. 欧拉方法B. 牛顿法C. 高斯消元法D. 梯形法则答案：A7. 以下哪种方法用于求解偏微分方程的数值解？A. 有限差分法B. 有限元法C. 有限体积法D. 所有以上答案：D8. 在数值分析中，条件数是用来衡量什么的？A. 算法的稳定性B. 算法的效率C. 算法的复杂度D. 算法的精度答案：A9. 以下哪种方法用于求解线性方程组的迭代解法？A. 高斯消元法B. 雅可比迭代法C. 辛普森法则D. 梯形法则答案：B10. 在数值优化中，梯度下降法属于以下哪种优化算法？A. 线性规划B. 动态规划C. 凸优化D. 非线性规划答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 线性方程组Ax = b的解可以表示为x = A^(-1)b，其中A^(-1)是矩阵A的________。

答案：逆矩阵2. 函数f(x)在点x0处的泰勒展开式为f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + (1/2!)f''(x0)(x - x0)^2 + ...，其中f'(x0)表示函数在x0处的________。