刚体的角动量第10次课PPT

质点直线运动或刚体平动
位移 速度
加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动
刚体的定轴转动 公式对比
角位移
角速度
角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
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刚体的平动
动能 牛顿定律 功 动能定理
刚体的转动
转动动能 转动定理 力矩的功
F ma
1 2 mv 2
1 J 2 2
M z Ja
如果 Mz = 0, 则
dLz d( J ) 0
Lz J 恒量
刚体对转轴的角动量守恒定律 当定轴转动的 刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一 转轴的角动量不随时间变化。 刚体组绕同一转轴作定轴转动时 , 系统对转轴的 角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量 和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改变 , 角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。
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例1: 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端有 一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最 初棒静止在水平位置，求由此下摆 角时的角加速 度和角速度。
解: 棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对O的力矩。 重力作用在棒的重心 , 当 棒处在下摆 角时，重力 矩为：
l/2
O

P
x
1 M＝ mgl cos Ja 2
M dt J
z
2
J 1
动量守恒定理
mi vi 恒矢量
角动量守恒定律
Lz J 恒量
机械能守恒定律
（动能 势能+转动动能） 始 ＝（动能 势能+转动动能） 末
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机械能守恒定律
（动能 势能）＝（动能 势能） 始 末
§5-4 固体的形变和弹性
一、固体在外力作用下的一般情形 形变 固体受外力作用所发生的形状变化，分为弹 性形变和塑性形变。
L J
1
二、刚体对转轴的角动量定理 将转动定理 Mz=Ja 写成下面的形式:
实验表明, 此式更具普遍性。 由上式得到
d d M z Ja J (J) dt dt
dLz d M z ( J ) dt dt
刚体对转轴的角动量定理 作定轴转动的刚体 对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于 同一转轴所受外力的合力矩。
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注意：
Lz J 恒量
1. 该定律的应用条件是: 刚体或刚体组必须满 足所受外力的合力矩为零； 2. 角动量、转动惯量和角速度必须相对同一轴； 3. 若将该定律应用于刚体组，刚体组中各个刚 体之间可以发生相对运动，但是它们必须是 相对于同一转轴在转动.
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刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ， 如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和花样滑冰运动 员作各种快速旋转动作, 都是利用了对转轴的角动 量守恒定律。
将上式两边积分
3g d a d cos d 2l
d


角速度为

0Leabharlann 03g cos d 2l
3g sin l
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例题2 一个质量为100kg的圆盘状平台，以1.05rad s-1
的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转，在平台的边 缘站着一个质量为60kg的人。问当人从平台边缘走到 盘的中心时，平台的转速是多少？ 解：因为带人的平台是自由转动的，即不受外力矩 的作用。若把人和平台看成一个系统，应满足角动 量守恒定律，则
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重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质 心所产生的力矩一样。因为棒绕轴O的转动惯量为：
1 2 J ml 3
l/2
O
棒处于θ角时的角加速度为：

P
x
1 mgl cos 3 g cos M a 2 1 2 J 2l ml 3
由角加速度的定义
d a dt
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作如下变换
d d d d a d t d d t d
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花样滑冰中常见的例子
先使自己 转动起来
花样滑冰 张臂
收臂
大 小
小 大
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回转仪定向原理
（转动惯量 ） 回转体
回转体质量呈轴对称分布； 轴摩擦及空气阻力很小。
受合外力矩为零 角动量守恒 恒矢量
其中转动惯量 基 座 万 向 支 架 使其以角速度 为常量
若将回转体转轴指向任一方向 高速旋转
则转轴将保持该方向不变 而不会受基座改向的影响
σ
应力 固体横截面单位面积 σB 上内力的改变量。应力是固体 σE 在单位横截面上产生的弹性力。 σP
应变 固体在外力作用下所 发生的相对形变量。 固体受力作用而被拉伸的整 个过程如图所示。
J 11 J 2 2
当人站在平台的边缘时，刚体组的转动惯量为：
1 J1 m1 R 2 m2 R 2 2
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当人站在平台中心时，刚体组的转动惯量等
于平台本身的转动惯量，即
1 J 2 m1 R 2 2
将J1和J2代入角动量守恒定律
1 1 2 2 2 ( m1 R m2 R )1 m1 R 2 2 2 1 1 2 2 m1R m2 R m1 m2 1 2 2 2 1 1 2.31rad s 1 1 2 m1R m1 2 2 13
注意：
1. 与质点动量表达式对比
p mv
Lz J
2. 在刚体对转轴的角动量的表达式中， 所涉及的 三个物理量都是相对于转轴的，所以不用写成矢 量式。 3. 对于密度均匀、形状对称、且绕几何对称轴旋 转的刚体。整个刚体对转轴上任意一点的角动量L 必定沿转轴并与角速度的方向相同，故可写成矢 量式
A M d
z
A F dr
1 1 2 2 A mv2 mv1 2 2
转动动能定理 1 1 2 A J 2 J 12 2 2
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刚体的平动
冲量 动量定理
刚体的转动
冲量矩 角动量定理 Mz d t
F dt
Fdt mv2 mv1
2
角动量定理也可以写为
Mz d t 称为冲量矩, 等于力矩与力矩作用于刚体的 时间的乘积。
对上式积分得到角动量定理的积分形式
M z d t dLz

t2
t1
M z dt J2 J1
该式表示：角动量的增量等于力矩对定轴转动刚 体的时间累积效应
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三、刚体对转轴的角动量守恒定律
M z dt dLz dJ