2019高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程2 直线方程的几种形式习题 苏教版

第1讲 直线的方程考向预测核心素养直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查.直观想象、 数学运算一、知识梳理 1．直线的方向向量设A ，B 是直线上的两点，则AB →就是这条直线的方向向量． 2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°． 3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1．4．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．(2)不是倾斜角越大，斜率k 就越大，因为k ＝tan α，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k就越大，同样α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了．2．识记几种特殊位置的直线方程 (1)x 轴：y ＝0. (2)y 轴：x ＝0.(3)平行于x 轴的直线：y ＝b (b ≠0)． (4)平行于y 轴的直线：x ＝a (a ≠0)． (5)过原点且斜率存在的直线：y ＝kx . 二、教材衍化1．(人A 选择性必修第一册P 58习题T 7改编)若过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A.由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．(人A 选择性必修第一册P 60例1改编)经过点P (2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．答案：x －y －5＝03．(人A 选择性必修第一册P 67习题T 7改编)过点P (2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________．解析：当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0. 答案：3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏1．(多选)下列说法正确的是( ) A ．有的直线斜率不存在B ．若直线l 的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k ＝tan αC ．若直线l 的斜率为1，则它的倾斜角为3π4D ．截距可以为负值 答案：ABD2．(2020·山西省实验中学期中)如果AB ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.因为Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，AB ＜0，BC ＜0，所以－AB ＞0，－CB＞0，故直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 3．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________． 解析：由|k |＝|tan α|＝1知tan α＝±1，所以α＝π4或α＝3π4.答案：π4或3π44．(2020·昆明统考)已知直线l 1：y ＝2x －3，将直线l 1向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到直线l 2，则直线l 2的方程为________________．解析：根据直线y ＝kx ＋b 的平移规律，可得直线l 2的方程为y ＝2(x ＋4)－3＋2，即y ＝2x ＋7.答案：y ＝2x ＋7直线的倾斜角与斜率(综合研析) 复习指导1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 核心素养：直观想象、数学运算(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π(2)(2020·安阳模拟)已知点A (1，3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α. 因为sin α∈[－1，1]， 所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B.(2)直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2，1)， 因为k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交， 所以－2≤k ≤12.【答案】 (1)B (2)D本例(2)直线l 改为y ＝kx ，若l 与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是________________．解析：直线l 过定点P (0，0)， 所以k P A ＝3，k PB ＝12，所以k ≥3或k ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[3，＋∞)(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 求倾斜角时要注意斜率是否存在． (2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率； ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率.1．(2020·安徽省宿州市期末)若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D.直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0＜k 3＜k 2.直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1＜0，所以k 1＜k 3＜k 2.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1直线的方程(基础练透) 复习指导根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．核心素养：数学运算1．(2020·安徽省马鞍山市月考)在x 轴和y 轴上的截距分别为－2，3的直线方程是( ) A ．2x －3y －6＝0 B ．3x －2y －6＝0 C ．3x －2y ＋6＝0D ．2x －3y ＋6＝0解析：选C.由直线的截距式方程得x －2＋y3＝1，即3x －2y ＋6＝0.2．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1，2)，B (3，6)，C (5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C.由题知M (2，4)，N (3，2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.3．经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________． 解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝04．经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2)的直线方程为________________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，所以直线过点(1，1)，因为直线的方向向量v ＝(－3，2)， 所以直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0. 答案：2x ＋3y －5＝0巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况； (2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x 轴、y 轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x 轴、y 轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．[注意] (1)当已知直线经过点(a ，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x ＝my ＋a ； (2)当已知直线经过点(0，a )，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx ＋a ； (3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx .直线方程的综合应用(应用创新) 复习指导求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值．核心素养：数学抽象、数学运算(一题多解)已知直线l 过点M (2，1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．【解】 方法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋（－4k ）＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 方法二：设直线l ：x a ＋y b ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2，1)，所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab ，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.1．在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2. 2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：方法一：由本例方法一知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )(k ＜0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝21＋k 2|k |＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－k ）＋1（－k ）≥4. 当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二：由本例方法二知A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab ≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由直线l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， 当k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.[A 基础达标]1．(2020·辽宁省实验中学期末)倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y －1＝0 B.3x －y ＋1＝0 C.3x －3y －1＝1D.3x ＋3y －1＝0解析：选A.由题意知，直线斜率k ＝tan 60°＝3，在y 轴上的截距为－1，所以直线的斜截式方程是y ＝3x －1，化为一般式为3x －y －1＝0.2．(2020·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选A.由题意知2a －1－a 3－1＋a ＜0，即a －12＋a＜0，解得－2＜a ＜1.3．(2020·北京丰台区期中)若直线y ＝ax ＋c 经过第一、二、三象限，则有( ) A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＞0，c ＜0 C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＜0，c ＜0解析：选A.因为直线y ＝ax ＋c 经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a ＞0，在y 轴上的截距c ＞0.4．(2020·江西省抚州检测)已知k ＋b ＝0，k ≠0，则直线y ＝kx ＋b 的位置可能是( )解析：选B.因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以y ＝kx －k ＝k (x －1)，令y ＝0，得x ＝1，所以直线与x 轴的交点坐标为(1，0)．只有选项B 中的图象符合要求．5．(多选)过点A (1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0解析：选AC.当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a ＝1，代入点(1，2)，可得1a －2a ＝1，解得a ＝－1，所以直线方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.故选AC.6．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪b 2·|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．7．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝________．解析：因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.答案：5 18．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]．答案：[－2，2]9．已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，所以BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝010．直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1，4)，D (5，0)，则直线l 的方程为________．解析：直线l 平分▱ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3，2)，则直线l 的方程为y ＝23x .答案：y ＝23x11．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．解：如图，由题意，知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是45°，直线P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.12．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点， 所以BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC 边的垂直平分线DE 经过BC 的中点(0，2)， 所以所求直线方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.[B 综合应用]13．直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1解析：选D.设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1－2k，则－3＜1－2k ＜3，解得k ＞12或k ＜－1.14．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当a ＝________时，四边形的面积最小，最小值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，故当a ＝12时，四边形的面积最小，最小值为154.答案：12 154[C 素养提升]15．已知P (－3，2)，Q (3，4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．解析：直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 的延长线相交，由图可知k PQ ＜k l ＜k AQ ，解得－73＜a ＜－13.答案：⎝⎛⎭⎫－73，－13 16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，（m －0）·（－3n －1）＝（n －0）·（m －1）， 解得m ＝3， 所以A (3，3)． 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。