一元二次不等式及其解法专题讲解及练习(含答案)

一元二次不等式解法演习例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ] 例3若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2},则a ＝________,b ＝________．例4不等式3129x -≤的整数解的个数是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4 例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[ ] A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0} 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32[ ] A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1D ．(x －3)(2－x)≤0例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1[ ] 例 9解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0． 1.分析比较与的大小后写出答案． a 1a 2.剖析求算术根,被开方数必须长短负数．解据题意有,x 2－x －6≥0,即(x －3)(x ＋2)≥0,解在“两根之外”,所以x ≥3或x ≤－2．3. 剖析依据一元二次不等式的解公式可知,－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根,斟酌韦达定理．解依据题意,－1,2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根,则由韦达定理知4.答案 A5. 剖析直接去分母须要斟酌分母的符号,所以平日是采取移项后通分．∵x 2＞0,∴x －1＞0,即x ＞1．选C ．解释：本题也可以经由过程对分母的符号进行评论辩论求解．6.解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020 故消除A.C.D,选B ．双方同减去2得0＜x －2≤1．选B ．解释：留意“零”． 7.分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0,依据其解集为{x|x ＜1或x ＞2} 答选C ．解释：留意本题中化“商”为“积”的技能．8. 解先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥ ∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0,即(x ＋3)(x －1)＜0,解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．解释：解不等式就是慢慢转化,将生疏问题化归为熟习问题．9. 剖析不等式的解及其构造与a 相干,所以必须分类评论辩论．解 1°当a＝0时,原不等式化为x－2＜0其解集为{x|x＜2};4°当a＝1时,原不等式化为(x－2)2＞0,其解集是{x|x ≠2};从而可以写出不等式的解集为：a＝0时,{x|x＜2｝;a＝1时,{x|x≠2};解释：评论辩论时分类要合理,不添不漏．。

一元二次不等式及其解法测试题和答案一元二次不等式及其解法测试题和答案一、选择题1.不等式的解集为( ).A. B.C. D.考查目的：考查简单分式不等式的解法.答案：A.解析：根据符号法则可将不等式化为，利用数轴描点可知A正确.2.(2012重庆理)不等式的解集为( ).A. B. C. D.考查目的：考查简单分式不等式的解法.答案：A.解析：原不等式可化为且，解得.解此题时要注意未知数的取值不能使分母为0.3.(2009天津理)设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则( ).A. B. C. D.考查目的：考查一元二次不等式的解法，以及分析和推理论证能力.答案：C.解析：由得，.∵，且此不等式解集中只有有限个整数，∴必有，此时不等式的解集为.∵此区间内恰有三个整数，而，∴，整理得，结合得，∴.二、填空题4.(2008江西理)不等式的解集为 .考查目的：考查指数函数的`单调性、分式不等式、一元二次不等式的解法.答案：，或.解析：原不等式即，所以，即，解得或.5.(2010江苏卷)已知函数，则满足不等式的的取值范围是_ _ _____.考查目的：考查一元二次不等式的解法、函数的图象与性质，考查数形结合与分类讨论思想.答案：.解析：由函数的图象及单调性，分下面两种情况：①，解得；②，解得. 综上可知.6.若对任何实数恒成立，则实数的取值范围是 .考查目的：考查一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系，以及分类讨论和数形结合思想.答案：.解析：若，则对任何实数不恒成立，∴.由题意得，函数的图象恒在轴下方，∴抛物线开口向下，与轴没有公共点，∴，且，解得.三、解答题7.已知函数和的图象关于原点对称，⑴求函数的解析式；⑵解不等式.考查目的：考查利用对称性求函数解析式的方法、绝对值不等式以及一元二次不等式的解法等基本方法.答案：⑴；⑵.解析：⑴设是函数图象上任一点，则它关于原点的对称点在函数的图象上，所以，即，故.⑵由，可得；当时，，此不等式无解；当时，，解得，因此原不等式的解集为.8.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为.若方程有两个相等的实数根，求的解析式；考查目的：考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，以及运算求解能力.答案：.解析：设.∵的解集为，∴由一元二次不等式与一元二次方程的关系可知，1，3是方程的两个根，∴，且. 又∵方程有两个相等的实数根，∴，由①②③及解得，，，∴.。

【课堂例题】例1.解下列一元二次不等式(组)：(1)29610x x++>; (2)220425x x-+≤-;(3)22320x x-+>; (4)210x x-+<; (5)204414x x<++<。

例2.求参数k的取值范围:(1)不等式2(1)40x k x+-+>恒成立；(2)函数y=(,)-∞+∞上恒成立.例3.(1)已知210ax bx+->的解集为1(,2)2，求实数,a b的值;(2)已知210ax bx+-≥的解集为{1}，求实数,a b的值;【知识再现】已知一元二次不等式220,0ax bx c ax bx c ++>++<，记24b ac ∆=- 我们有：(框内画二次函数的草图，横线上写解集，能写区间的填写区间形式) (1)0∆>时，方程有两个不相等的实根，记为12x x <，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 .(2)0∆=时，方程有两个相等的实根，记为1x ，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 .(3)0∆<时，方程无实根，则①当0a >时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 .【基础训练】 1.解下列不等式：(1)(1)(23)1x x x x -<-+; (2)25(2)(1)10x x x -≤+-.2.写出一个解集只含一个元素的一元二次不等式: .3.不等式22(21)0x a x a a -+++>的解集是 .4.已知函数y =R 的充要条件是( )(A) 04k <<4; (C) 04k <≤; (D) 04k ≤≤.5.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为∅，则下面不可能是系数,,a b c 的一组取值的有 .(写出所有正确的序号)①1,2,1a b c ===； ②1,2,2a b c ==-=； ③1,2,2a b c ==-=-； ④1,2,1a b c =-=-=-；⑤1,2,2a b c =-==； ⑥0,0,1a b c ===.6.解不等式组：(1)2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩; (2)2221223x x x x x x ⎧>-⎪⎨--≤-++⎪⎩.7.解关于x 的不等式：(1)2(1)0x m x m +--≥; (2)20x ax a +-≥.【巩固提高】 8.已知不等式组(32)(32)0x x x a -+≥⎧⎨->⎩，无实数解，求实数a 的取值范围.9.当k 取何值时，关于x 的不等式23208kx kx +-<对于一切实数x 都成立？提示：注意k 的特殊情形.(选做)10.已知0a ≠，解关于x 的不等式：22(1)0ax a x a -++>.【温故知新】11.关于x 的方程2210x ax ++=至多只有一个实数解的充要条件是 .【课堂例题答案】例1.(1) 11(,)(,)33-∞--+∞; (2) 2{}5; (3) R ;(4) ∅; (5)3111(,)(,]2222---. 例2.(1) (3,5)k ∈-；(2) [0,4]k ∈例3.(1)51,2a b =-=;(2)1,2a b =-=【知识再现答案】(1)0∆>时，方程有两个不相等的实根，记为12x x <，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为12(,)(,)x x -∞+∞； 20ax bx c ++<解集为12(,)x x ；20ax bx c ++≥解集为12(,][,)x x -∞+∞；20ax bx c ++≤解集为12[,]x x . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为12(,)x x ；20ax bx c ++<解集为12(,)(,)x x -∞+∞；20ax bx c ++≥解集为12[,]x x ；20ax bx c ++≤解集为12(,][,)x x -∞+∞.(2)0∆=时，方程有两个相等的实根，记为1x ，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为11(,)(,)x x -∞+∞； 20ax bx c ++<解集为∅；20ax bx c ++≥解集为(,)-∞+∞；20ax bx c ++≤解集为1{}x . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为∅；20ax bx c ++<解集为11(,)(,)x x -∞+∞； 20ax bx c ++≥解集为1{}x ；20ax bx c ++≤解集为(,)-∞+∞. (3)0∆<时，方程无实根，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为(,)-∞+∞； 20ax bx c ++<解集为∅；20ax bx c ++≥解集为(,)-∞+∞； 20ax bx c ++≤解集为∅. ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为∅；20ax bx c ++<解集为(,)-∞+∞； 20ax bx c ++≥解集为∅；20ax bx c++≤解集为(,)-∞+∞.【习题答案】 1.(1)(,1)(1,)-∞+∞; (2)3{}22.2(1)0x -≤,答案不唯一.3.(,)(1,)a a -∞+∞.4.B5.③④⑤6.(1) 23(,1][,)(3,)34x ∈-∞-+∞; (2) 5[1,]2x ∈-.7.(1)当1m >-时，解集为(,][1,)m -∞-+∞；当1m =-时，解集为(,)-∞+∞； 当1m <-时，解集为(,1][,)m -∞-+∞.(2)当4a <-或0a >时，解集为([)a a -+-∞+∞；当04a ≤≤时，解集为(,)-∞+∞.8.32a ≥9.30k -<≤提示:分为0k =与0k >⎧⎨∆<⎩两种情况.10.当0a >时，原不等式等价于1()()0x x a a-->;①1a >时，解集为1(,)(,)a a-∞+∞；②1a =时，解集为(,1)(1,)-∞+∞；③01a <<时，解集为1(,)(,)a a -∞+∞；当0a <时，原不等式等价于1()()0x x a a--<;①10a -<<时，解集为1(,)a a；②1a =-时，解集为∅；③1a <-时，解集为1(,)a a .11.a -≤。

一元二次不等式及其解法（含详解）题组一 一元二次不等式的解法1.不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是 ( ) A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3] 解析：法一：首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x ＋5≥2(x－1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 法二：特殊值检验法．首先x ≠1，排除B ，显然x ＝0，x ＝2是不等式的解，排除A 、C.答案：D2．解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)．解：由12x 2－ax －a 2>0⇔(4x ＋a )(3x －a )>0⇔(x ＋a 4)(x －a 3)>0， ①a >0时，－a 4<a 3， 解集为{x |x <－a 4或x >a 3}； ②a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a <0时，－a 4>a 3， 解集为{x |x <a 3或x >－a 4}． 题组二 一元二次不等式的实际应用3.某产品的总成本＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0＜x ＜240，所以150≤x ＜240，即最低产量是150台．答案：C4．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1000(1＋0.6x )(0＜x ＜1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1000＞0，0＜x ＜1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x ＞0，0＜x ＜1. 解得0＜x ＜13. ∴投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．5.若不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2或a ≤－3B ．a ＞2或a ≤－3C ．a ＞2D ．－2＜a ＜2解析：原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋2＞0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)＜0， 解得a ＞2.答案：C6．(20XX·宁波模拟)设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，则t 的取值范围是________． 解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立，令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤0，t ≤－2或t ≥0， ∴t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24. ①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7， 由－2a ＋7≥a 得a ≤73，∴a ∈∅. ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a ＜－4.综上得a ∈[－7,2]．8.不等式x 2－|x |－ ( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}解析：原不等式⇔|x |2－|x |－2<0⇔(|x |－2)(|x |＋1)<0⇔|x |－2<0⇔－2<x <2. 答案：A9．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9. 答案：a ≤910．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得 ⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结5 一元二次不等式的解法 高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥32 答案 A解析 不等式可化为⎩⎨⎧4x （x －1）≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( )A ．－81B ．81C ．－64D ．64答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集为{x |1<x <3}，所以1，3是方程x 2－ax －b ＝0的根，所以⎩⎨⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81. 3．不等式5x －102x －3≤0的解集为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥2或x <32 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤2 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32 答案 C解析 不等式5x －102x －3≤0等价于(5x －10)(2x －3)≤0，且2x －3≠0，解得32<x ≤2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6，2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．{k |0＜k ≤1}B ．{k |k ＜0或k ＞1}C ．{k |0≤k ≤1}D ．{k |k ＞1}答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎨⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧k ＞0，36k 2－4k （k ＋8）≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B ．(－7，24)C ．(－24，7)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)答案 B解析 由题意可得(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以－7<a <24.故选B.7．关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为( )A ．(5，6]B ．(5，6)C ．(2，3]D ．(2，3)答案 A解析 关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0可化为(x －m )(x －2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x |2<x <m }，且5<m ≤6，即实数m 的取值范围是(5，6].故选A.8．对任意实数x ，不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1>k 恒成立，则正整数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1恒为正数，∴原不等式等价于3x 2＋2x ＋2>kx 2＋kx ＋k 对x ∈R 恒成立，即(k －3)x 2＋(k －2)x ＋k －2<0恒成立，∵当k ＝3时，x ＋1＜0不恒成立，∴⎩⎨⎧k －3<0，Δ<0，Δ＝(k －2)2－4(k －3)(k －2)＝(k －2)(k －2－4k ＋12)＝(k －2)(10－3k ).由Δ<0，得k <2或k >103.又k <3，∴k <2，∵k 为正整数，∴k ＝1.9．(多选)设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则关于x 的不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为( )A ．10B ．3C ．－4.5D ．－5答案 BC解析 不等式[x ]2＋[x ]－12≤0可化为([x ]＋4)([x ]－3)≤0，解得－4≤[x ]≤3.又[x ]表示不小于实数x 的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC.10．(多选)关于下列四个不等式的说法，正确的有( )A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为－1答案 BCD解析 对于A ，由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)·(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)，故错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23，故正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a ，故a ＝3，故正确；对于D ，依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，∴q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故正确．故选BCD.11．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎨⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析 因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a ).12．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.则同时满足①②的x 的取值范围为________．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值范围为________．答案 (2，3) (－∞，9]解析 由①得1<x <3，由②得2<x <4，故同时满足①②的x 的取值范围为2<x <3.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2，3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上大于9，所以实数m 的取值范围为m ≤9.二、高考小题13．(2022·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示).答案 (－4，1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎨⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.三、模拟小题16．(2022·山东枣庄八中月考)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－2)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)答案 B解析 令f (x )＝x 2－4x －2－a ，则函数的图象为开口向上且以直线x ＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1，4)上，f (x )<f (4)＝－2－a ，若不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则－2－a >0，解得a <－2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2).故选B.17．(2022·北京房山区月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．{x |－1≤x ≤2}答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2，即⎩⎨⎧x ≤0，x ＋2≥x 2①或⎩⎨⎧x >0，－x ＋2≥x2②.解①可得－1≤x ≤0，解②可得0<x ≤1.综上可得，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1，1].故选A.18．(2022·湖南湘潭高三模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3，5)B ．(－2，4)C ．[－3，5]D ．[－2，4]答案 D解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为1<x <a ，要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4，即1<a ≤4；当a ＝1时，不等式的解集为∅，满足题意；当a <1时，不等式的解集为a <x <1，要使得解集中至多包含2个整数，则a ≥－2，即－2≤a <1.综上，实数a 的取值范围是[－2，4].故选D.19．(2022·山西运城模拟)某电商新售A 产品，售价每件50元，年销售量为11.8万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x %的营业税(即每销售100元征税x 元).第二年，电商决定将A 产品的售价提高50·x %1－x %元，预计年销售量减少x 万件．要使第二年A 产品上交的营业税不少于10万元，则x 的最大值是( )A ．2B ．5C ．8D ．10答案 D解析 由题意，第二年A 产品年销售量为(11.8－x )万件，A 产品的售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %元，所以第二年A 产品年销售额为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )万元，则第二年A 产品上交的营业税为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )x %万元．由题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )x %≥10，化简得x 2－12x ＋20≤0，即(x －2)(x －10)≤0，所以2≤x ≤10，所以x 的最大值是10.故选D.20．(多选)(2022·湖北宜昌模拟)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥66答案 ACD解析 因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25，故A 正确；因为不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66，故B 错误；由题意，得⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66，故C 正确；由题意，得⎩⎨⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66，故D 正确．故选ACD.21．(多选)(2022·江苏省淮安市清江浦区校级期末)若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法中正确的是( )A ．当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3B ．m ＞－14C ．当m ＞0时，2＜x 1＜x 2＜3D ．当m ＞0时，x 1＜2＜3＜x 2答案 ABD解析 当m ＝0时，方程为(x －2)(x －3)＝0，解得x 1＝2，x 2＝3，所以A 正确；方程整理可得x 2－5x ＋6－m ＝0，有不同的两实数根的条件为Δ＝25－4(6－m )＞0，可得m ＞－14，所以B 正确；当m ＞0时，即(x －2)(x －3)＞0，函数f (x )＝(x －2)(x －3)－m 的图象与x 轴交于点(x 1，0)，(x 2，0)，可得x 1＜2＜3＜x 2，所以C 不正确，D 正确．故选ABD.22．(2022·广西柳州模拟)若不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意的实数a ，b 均成立，则实数λ的取值范围为________．答案 [－8，4]解析 由已知可得a 2－λab ＋(8－λ)b 2≥0，若b ＝0，则a 2≥0恒成立；若b ≠0，对不等式两边同除以b 2可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－λ·a b ＋8－λ≥0恒成立，故Δ＝λ2－4(8－λ)≤0，解得－8≤λ≤4，故实数λ的取值范围为[－8，4].一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·河南信阳高三模拟)已知关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.(1)当a ＝2时，解上述不等式；(2)当a <1时，解上述关于x 的不等式．解 (1)当a ＝2时，代入可得(2x －1)(x －1)<0，解不等式可得12<x <1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.若a <1，当a ＝0时，代入不等式可得－x ＋1<0，解得x >1；当0<a <1时，化简不等式可得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，由1a >1，可得1<x <1a ； 当a <0时，化简不等式可得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，解不等式可得x ＞1或x <1a . 综上可知，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <1a . 2．(2022·湖北襄阳模拟)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1，1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1，1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1，1]，①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1；③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0恒成立．综上，实数a 的取值范围为(1－2，＋∞).(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0， 因为1－⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ， 所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <－a ＋1a ； 当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a ＋1a <x <1. 3．(2022·陕西咸阳高三阶段检测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n ).(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小.解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n ).当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0，1－an ＋ax >0.所以f (x )－m <0，即f (x )<m .4．(2022·上海松江区高三检测)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5).(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式组⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋k ）<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意x ∈[－1，1]，不等式tf (x )≤2恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0，5)，所以0，5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎨⎧b ＝－10，c ＝0， 所以f (x )＝2x 2－10x .(2)不等式组⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋k ）<0， 即⎩⎨⎧2x 2－10x >0，2（x 2＋2kx ＋k 2）－10（x ＋k ）<0， 解得⎩⎨⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1， 所以实数k 的取值范围是[－2，－1).(3)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0， 当t ＝0时显然成立；当t >0时，有⎩⎨⎧t ·1－5t ·（－1）－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎨⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1，1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以有t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0.综上，实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，16.。

一元二次不等式基础练习题答案[推荐五篇]第一篇：一元二次不等式基础练习题答案一、十字相乘法练习：1、x2+5x+6=(x+2)(x+3)2、x2-5x+6=(x-2)(x-3)3、x2+7x+12=(x+3)(x+4)4、x2-7x+6=(x-1)(x-6)5、x2-x-12=(x-4)(x+3)6、x2+x-12=(x+4)(x-3)7、x2+7x+12=(x+4)(x+3)8、x2-8x+12=(x-2)(x-6)9、x2-4x-12=(x+2)(x-6)10、3x+5x-12=(3x-4)(x+3)11、3x+16x-12=(3x-2)(x+6)12、3x2-37x+12=(3x-1)(x-12)13、2x2+15x+7=(2x+1)(x+7)14、2x2-7x-15=(2x+3)(x-5)15、2x2+11x+12=(2x+3)(x+4)16、2x2+2x-12=2(x-2)(x+3)二、一元二次不等式 22解一元二次不等式时化为一般格式：ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)；练习：1、解下列不等式：10（2）-2x2+6x-5<0；R3（3）x2-4x+5<0 ；空集（4）10x2-33x+20<0；0.810；x （5）-x2+4x-4>0；空集（6）x2-(2m+1)x+m2+m<0；m （7）(x+5)(3-x)>0；-55x--4>0；x4x+32-x(11)<0；x24+x2、(1)解关于x的不等式x2-2ax-3a2<0a>0时，不等式解为：-aa<0时，不等式解为：3aa=0时，不等式解为：空集(2)解关于x的不等式x+(1-a)x-a<0.a>-1时，不等式解为：-1a<-1时，不等式解为：aa=-1时，不等式解为：空集3、（1）若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x-3（2）已知一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2A.a<0;B.-20≤a<0;C.-20≤a≤0;........D.-20（2）对于任意实数x，不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则a的取值范围是______________________________-1（3）对任意实数x，不等式x2+x+k>0恒成立，则k的取值范围是___________k>0.25第二篇：一元二次不等式基础练习题一元二次不等式强化一、十字相乘法练习：1、x2+5x+6=2、x2-5x+6=3、x2+7x+12=4、x2-7x+6=5、x2-x-12=6、x2+x-12=7、x2+7x+12=8、x2-8x+12=9、x2-4x-12=10、3x+5x-12=11、3x+16x-12=12、3x2-37x+12=13、2x2+15x+7=14、2x2-7x-15=15、2x2+11x+12=16、2x2+2x-12=二、一元二次不等式 22解一元二次不等式时化为一般格式：ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)；练习：1、解下列不等式：（1）3x2-7x>10；（2）-2x2+6x-5<0；（3）x2-4x+5<0 ；（4）10x2-33x+20<0；（5）-x2+4x-4>0；（6）x2-(2m+1)x+m2+m<0；（7）(x+5)(3-x)>0；（8）(5-x)(3-x)<0；x--4（9）(5+2x)(3-x)<0；（10>0；x+32-x(11)<0；4+x2、(1)解关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(2)解关于x的不等式x+(1-a)x-a<0.3、（1）若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x-3（2）已知一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2A.a<0;B.-20≤a<0;C.-20≤a≤0;........D.-20（3）对任意实数x，不等式x2+x+k>0恒成立，则k的取值范围是___________第三篇：高中数学一元二次不等式练习题一、解下列一元二次不等式：1、x2+5x+6>02、x2-5x-6≤03、x2+7x+12<04、x2-7x+6≥05、x2-x-12<06、x2+x-12>07、x2-8x+12≥08、x2-4x-12<09、3x2+5x-12>0 10、3x2+16x-12>011、3x2-37x+12>012、2x2+15x+7≤0 13、2x2+11x+12≥014、3x2-7x>1015、-2x2+6x-5<0 16、10x2-33x+20≤01719、-x2-2x+3≥022、3x2-7x+2<02325、2x2+11x+6<02628、5x2+14x-3≤02931、8x2-2x-3>03234、2x2-x-21>03537、5x2+17x-12≤03840、16x2+8x-3<04143、4x2-29x-24≤04446、12x2+16x-3>04749、6x2+25x+14≤050、x2-4x+5<018、-6x2-x+2≤0、6x2+x-1≤024、-3x2-11x+4>027、12x2+7x-12>030、8x2+10x-3≥033、4x2+8x-21>036、10x2-11x-6>039、10x2-7x-12≥042、4x2-21x-18>045、4x2-9<048、20x2-41x+9≤051、-x2+4x-4>021、x2-3x+5>0、4x2+4x-3>0、x2-4≤0、2x2-11x-21≥0、4x2-15x-4<0、4x2-8x-5<0、16x2-8x-3>0、10x2+x-2>0、9x2+6x-8>0、12x2-20x+3>0、(x+2)(x-3)<620第四篇：一元二次不等式综合练习题一元二次不等式综合练习题解答题1.已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|a<x<a+3}，且A I B=φ，求实数a的取值范围是2.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<5}，解不等式cx2+bx+a<03.解关于x的不等式2x2-(4+a)x-2a<04.已知函数f(x)=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图像在x轴上，求实数k的取值范围x25.已知函数f(x)=(a,b为常数)，且方程f(x)-x+12=0有两个实数ax+bx1=3，x2=4.(1)求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x的不等式f(x)<(k+1)x-k 2-x第五篇：一元二次不等式及其解法1.a.b.c.解一元二次不等式化为标准型。

一元二次不等式练习一、选择题1．设集合S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |－7<x <－5}B ．{x |3<x <5}C ．{x |－5<x <3}D ．{x |－7<x <5}2．已知函数y ＝ax 2＋2x ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a ≥13C ．a ≤13D ．0<a ≤133．不等式x ＋1x －2≥0的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥2} B ．{x |x ≤－1或x >2}C ．{x |－1≤x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－14，则a ，b 的值分别是( ) A ．a ＝－8，b ＝－10 B ．a ＝－1，b ＝9C ．a ＝－4，b ＝－9D ．a ＝－1，b ＝25．不等式x (x －a ＋1)>a 的解集是{}x |x <－1或x >a ，则( )A ．a ≥1B ．a <－1C ．a >－1D ．a ∈R6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集为{}x |－3<x <1，则函数y ＝f (－x )的图象为( )7．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)二、填空题8．若不等式2x2－3x＋a<0的解集为(m,1)，则实数m的值为________．9．若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式ax＋bx－2>0的解集是________．10．若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．三、解答题11．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．.12．设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．答案1.【解析】 ∵S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |－7<x <3}，∴S ∩T ＝{x |－5<x <3}．【答案】 C2.【解析】 函数定义域满足ax 2＋2x ＋3≥0，若其解集为R ，则应⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4－12a ≤0，∴a ≥13. 【答案】 B3.【解析】 x ＋1x －2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)(x －2)≥0，x －2≠0⇔x >2或x ≤－1. 【答案】 B4.【解析】 依题意，方程ax 2＋bx －2＝0的两根为－2，－14， ∴⎩⎨⎧ －2－14＝－b a ，12＝－2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9. 【答案】 C5.【解析】 x (x －a ＋1)>a ⇔(x ＋1)(x －a )>0，∵解集为{}x |x <－1或x >a ，∴a >－1.【答案】 C .6. 【解析】 由题意可知，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，其图象为开口向下的抛物线，与x 轴的交点是(－3,0)，(1,0)，又y ＝f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，故只有B 符合．7.【解析】 ∵a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，∴x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2，原不等式化为x 2＋x －2<0⇔－2<x <1.【答案】 B8. 【解析】 ∵方程2x 2－3x ＋a ＝0的两根为m,1，∴⎩⎨⎧ m ＋1＝32，1·m ＝a 2，∴m ＝12. 【答案】 129.【解析】 由于ax >b 的解集为(1，＋∞)，故有a >0且b a ＝1.又ax ＋b x －2>0⇔(ax ＋b )(x －2)＝a (x ＋1)(x －2)>0⇔(x ＋1)(x －2)>0，即x <－1或x >2.【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)10.【解析】 方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0化为：4＋a ＝－9x ＋43x ＝－⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ≤－4， 当且仅当3x ＝2时取“＝”，∴a ≤－8.【答案】 (－∞，－8]11.【解析】 原不等式化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇔(x ＋1)(ax －2)≥0.①若－2<a <0，2a <－1，则2a≤x ≤－1；②若a ＝－2，则x ＝－1；③若a <－2，则－1≤x ≤2a. 综上所述，当－2<a <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 12.【解析】 (1)要使mx 2－mx －1<0，x ∈R 恒成立． 若m ＝0，－1<0，显然成立；若m ≠0，则应⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇔－4<m <0. 综上得，－4<m ≤0.(2)∵x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立， 即mx 2－mx －1<－m ＋5恒成立； 即m (x 2－x ＋1)<6恒成立，而x 2－x ＋1>0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34， ∴当x ∈[1,3]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1min ＝67， ∴m 的取值范围是m <67.。

一元二次不等式解法习题及答案一元二次不等式解法练习1例1 若0＜a ＜1，则不等式(x－a)(x－) ＜0的解是 [ ] a11A ．a ＜x ＜C ．x ＞或x ＜a a a 11B ．＜x ＜a D ．x ＜或x ＞a a a例2 x 2-x -6有意义，则x 的取值范围是．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．例4 不等式3x -12≤9的整数解的个数是A．7 C．5 （） B ．6 D ．4例5 不等式1＋x ＞1的解集为 [ ] 1-xB ．{x|x≥1}D ．{x|x＞1或x ＝0} A ．{x|x＞0} C ．{x|x＞1}例6 与不等式x -3≥0同解的不等式是 [ ] 2-xA ．(x－3)(2－x) ≥0B ．0＜x －2≤1C ．2-x ≥0 x -3D ．(x－3)(2－x) ≤0例7 不等式ax ＜1的解为{x|x＜1或x ＞2}，则a 的值为 [ ] x -11A ．a ＜21C ．a ＝21 B．a ＞21 D．a ＝－23x -7例8 解不等式2≥2．x +2x -3例 9 解关于x 的不等式(x－2)(ax－2) ＞0．1分析比较a 与的大小后写出答案． a 1、11解∵0＜a ＜1，∴a ＜，解应当在“两根之间”，得a ＜x ＜．a a选A ．2、分析求算术根，被开方数必须是非负数．解据题意有，x 2－x －6≥0，即(x－3)(x＋2) ≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．3、分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知⎧b -=(-1) +2=1⎧11⎧a 得a =，b =-．⎧22 ⎧-1=(-1) ×2=-2⎧⎧a4、答案 A5、分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．1解不等式化为1＋x －＞0，1-x -x 2x 2通分得＞0，即＞0，1-x x -1∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．⎧(x -3)(2-x ) ≥0，解法一原不等式的同解不等式组为⎧ x -2≠0．⎧6、故排除A 、C 、D ，选B ．x -3解法二≥0化为x ＝3或(x－3)(2－x) ＞0即2＜x ≤3 2-x两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ．说明：注意“零”．分析可以先将不等式整理为7、(a -1) x +1＜0，转化为x -1[(a－1)x ＋1](x－1) ＜0，根据其解集为{x|x＜1或x ＞2}11可知a －1＜0，即a ＜1，且－＝2，∴a ＝． a -12答选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．8、解先将原不等式转化为3x -7-2≥0 x 2+2x -3-2x 2-x -12x 2+x +1即2≥0，所以2≤0．x +2x -3x +2x -3 17由于2x 2＋x ＋1＝2(x＋) 2＋＞0，48∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x＋3)(x－1) ＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．9、分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．解1° 当a ＝0时，原不等式化为x －2＜0其解集为{x|x＜2}；222° 当a ＜0时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－) ＜0，其解a a集为2{x|＜x ＜2}； a223° 当0＜a ＜1时，因2＜，原不等式化为(x－2)(x－) ＞0，其解a a集为2{x|x＜2或x ＞}； a4° 当a ＝1时，原不等式化为(x－2) 2＞0，其解集是{x|x≠2}；225° 当a ＞1时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－) ＞0，其解a a集是2{x|x＜或x ＞2}． a从而可以写出不等式的解集为：a ＝0时，{x|x＜2｝；2a ＜0时，{x|＜x ＜2｝； a20＜a ＜1时，{x|x＜2或x ＞； aa ＝1时，{x|x≠2}；2a ＞1时，{x|x＜或x ＞2}． a说明：讨论时分类要合理，不添不漏．。

3.2⼀元⼆次不等式及其解法练习题及答案解析1．若16－x 2≥0，则( )A ．0≤x ≤4B ．－4≤x ≤0C ．－4≤x ≤4D ．x ≤－4或x ≥4答案：C2．不等式(x －2)(2x ＋1)＞0的解集是( )A ．(－12，2)B ．(－2，12) C ．(－∞，－2)∪(12，＋∞) D ．(－∞，－12)∪(2，＋∞) 答案：D3．⼆次函数y ＝x 2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是__________．答案：{x |1＜x ＜3}4．解不等式0≤x 2－x －2≤4.解：原不等式等价于x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4，解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2；解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}∩{x |－2≤x ≤3}＝{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．⼀、选择题1．下⾯所给关于x 的⼏个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中⼀定为⼀元⼆次不等式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B2．不等式x (2－x )＞3的解集是( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |－3＜x ＜1}C ．{x |x ＜－3或x ＞1}D ．?解析：选D.将不等式化为标准形式x 2－2x ＋3＜0，由于对应⽅程的判别式Δ＜0，所以不等式x (2－x )＞3的解集为?.3．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选B.A ＝{x |－12＜x ＜3}，B ＝{1,2,3,4,5}，∴A ∩B ＝{1,2}，故选B.4．不等式组?x 2－1<0x 2－3x <0的解集是( ) A ．{x |－1C ．{x |0D ．{x |－1解析：选C.原不等式组等价于：x 2<1x (x －3)<0??－1A ．{x |x ＞3或x ＜－2}B ．{x |x ＞2或x ＜－3}C ．{x |－2＜x ＜3}D ．{x |－3＜ x ＜2}解析：选C.⼆次函数的图象开⼝向下，故不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．6．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )(x －1t)＜0的解集为( ) A ．{x |1t ＜x ＜t } B ．{x |x ＞1t或x ＜t } C ．{x |x ＜1t 或x ＞t } D ．{x |t ＜x ＜1t} 解析：选D.∵0＜t ＜1，∴1t ＞1，∴t ＜1t∴(x －t )(x －1t )＜0?t ＜x ＜1t. ⼆、填空题7．函数y ＝x 2－2x －8的定义域为__________．解析：由题意知x 2－2x －8≥0，∴x ≥4或x ≤－2，∴定义域为{x |x ≥4或x ≤－2}．答案：{x |x ≥4或x ≤－2}8．当a ＜0时，关于x 的不等式(x －5a )(x ＋a )＞0的解集是________．解析：∵a ＜0，∴5a ＜－a ，由(x －5a )(x ＋a )＞0得x ＜5a 或x ＞－a .答案：{x |x ＜5a 或x ＞－a }9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________．解析：由题意，k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.⼜k ≠0，∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2且k ≠0.答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)三、解答题10. 求下列关于x 的不等式的解集：(1)－x 2＋7x ＞6；(2)x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0.解：(1)∵－x 2＋7x ＞6，∴－x 2＋7x －6＞0，∴x 2－7x ＋6＜0，∴(x －1)(x －6)＜0.∴1＜x ＜6，即不等式的解集是{x |1＜x ＜6}．(2)x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0，因式分解得(x －m )[x －(m ＋1)]＜0.∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1.即不等式的解集为{x |m ＜x ＜m ＋1}．11．已知⽅程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2. (1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax 2＋bx －1＞0.解：(1)∵⽅程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得－12＋2＝－b a －12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax 2＋bx －1＞0变为－2x 2＋3x －1＞0，即2x 2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1. ∴不等式ax 2＋bx －1＞0的解集为{x |12＜x ＜1}． 12．求不等式ax ＋1＜a 2＋x (a ∈R )的解集．解：将原不等式化为(a －1)x ＜a 2－1. ①当a －1＞0，即a ＞1时，x ＜a ＋1. ②当a －1＜0，即a ＜1时，x ＞a ＋1. ③当a －1＝0，即a ＝1时，不等式⽆解．综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为{x |x ＜a ＋1}；当a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a ＋1}；当a ＝1时，不等式的解集为?.上⼀页下⼀页。

一元二次不等式练习一、选择题1 .设集合 S= {x| — 5<x<5} , T = {x|x2 + 4x— 21<0}，贝U S n T =( )A . {x| — 7<x< — 5}B . {x|3<x<5}C . {x| — 5<x<3}D . {x| — 7<x<5}2 .已知函数y = ：ax2 + 2x + 3的定义域为R，贝U实数a的取值范围是()1 1 1A . a>0 B. a> C . a< D . 0<a<_3 3 3x + 13 .不等式 > 0的解集是()x — 2A . {x|x < — 1 或 x > 2}B . {x|x < — 1 或 x>2}C . {x|— 1 < x < 2}D .{x|— 1< x<2}I'114 .若不等式ax2 + bx — 2>0的解集为x| — 2<x< —-:贝U a，b的值分别是（A . a =一 8， b =一 10B . a =一 1， b= 9C . a = — 4，b = — 9D . a=— 1，b = 25 .不等式x(x— a+ 1)>a的解集是{x|x< — 1 或 x>a} ，则()A . a 》1B . a< — 1C . a>—1 D. a駅6 .已知函数f(x) = ax2 + bx + c,不等式f(x)>0的解集为{x| — 3<x<1}，则函数y = f( — x)的图象为（）7 •在R上定义运算。

：a O b = ab + 2a+ b,则满足x O(x — 2)<0的实数x的取值范围是()A • (0,2)B • ( — 2,1)C . (— ^,—2) L(1 ,+x)D . (—1,2)二、填空题8 .若不等式2x2— 3x+ a<0的解集为(m,1)，贝U实数m的值为_________ .ax + b9 .若关于x的不等式ax — b>0的解集是(1, +^),贝U关于x的不等式 >0的解集x — 2是________ .10 .若关于x的方程9x + (4 + a)3x + 4 = 0有解，则实数a的取值范围是_________ .三、解答题11 .解关于 x 的不等式：ax2— 2 >2x— ax(a<0).12 •设函数 f(x)= mx 2 — mx — 1.( 1 )若对于一切实数 x ，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；⑵若对于x q i,3], f(x)< — m + 5恒成立，求m 的取值范围.■-S = {x |— 5<x <5}, T = {x |— 7<x <3},答案1.【解析】•'S A T = {x | — 5<x <3}.【答案】 Ca>0,[a>0,2. 【解析】 函数定义域满足ax 2+ 2x + 3>0,若其解集为R ，则应即[A< 0，| 4 — 12a < 0,【答案】 BX + 1f (x + 1 ]X — 2 尸 0,3. 【解析】> 0?? x >2或x < — 1.X — 2x — 2 丰 0【答案】 B14. 【解析】 依题意，方程ax 2+ bx — 2 = 0的两根为—2，—-，4r 1 b —2 —4=—a ， a =— 4,•••即1 2 b =— 9.；=-一，2a【答案】 C5. 【解析】 x (x — a + 1)>a ? (x + 1)(x — a )>0 ,•• •解集为{x |x < —1 或 x >a } ,・a >— 1.【答案】 C.6.【解析】由题意可知，函数 f (x )= ax 2+ bx + c 为二次函数，其图象为开口向下的抛物线，与轴的交点是(一3,0), (1,0)，又y = f (— x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，故只有 B 符合.7. 【解析】 ’.a O b = ab + 2a + b,/x O (x — 2) = x (x —2) + 2x + x — 2 = x 2+ x — 2，原不等式化为—2<0 ?— 2<x <1.【答案】 B8.【解析】T 方程2x 2 — 3x + a = 0的两根为m,1 ,3m + 1 = 一,2a1m=；，【答案】1「a 》—.x 2 + xb ax + b9.【解析】由于 ax >b 的解集为(1 , + m )，故有 a >0 且一 =1.又 >0? (ax + b )(x —2) = a (x + 1)(xa x — 2—2)>0 ? (x + 1)(x — 2)>0，即 x <— 1 或 x >2.【答案】(—g,— 1) q 2,+ g )10.【解析】 方程9x+ (4 + a )3x+ 4 = 0化为:当且仅当3x= 2时取“ =”，「a < — 8.【答案】（一g,— 8]11.【解析】原不等式化为 ax 2+ (a — 2)x — 2 >0? (x + 1)(ax — 2) > 0.2 2①若一2<a <0,— 1，^y —wx < — 1 ；aa② 若 a =— 2，则 x =— 1;2③ 若 a < — 2，则—1 w x w .ar \2综上所述，当—2<a <0时，不等式解集为丿x 「w x w — 1 ；>；• aJ 当a = — 2时，不等式解集为{x |x =— 1};2当a < — 2时，不等式解集为」x |— 1 w x w12.【解析】（1）要使mx 2— mx — 1<0 , x 駅恒成立.若m = 0,— 1<0，显然成立；m <0 ,若m 丰0,则应？— 4<m <0.△= m 2+ 4m <0综上得，—4<m w 0.(2) -.x q 1,3], f (x )< — m + 5 恒成立,即 mx 2— mx — 1< — m + 5 恒成立;即 m (x 2— x + 1)<6 恒成立，而 x 2— x + 1>0 ,69x + 44 + a =——3x 43x + — W —4 , 、3xJ•'m< x 2— x +16x 2 — x +11x —一 2+ .2丿•••当x q 1,3]时,nin =7'•'m的取值范围是m<—.7精品资料。