数学山东省滨讲义州市邹平实验中学《不等式的性质课件》课件(七级)

旧知回顾
等式的性质：
性质1：在等式两边都加上（或减去）同一个数或（式子），结果仍相等。
符号表示 如果a=b，那么a±c=b±c
性质2：在等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），结果仍相等。
ab
符号表示 如果a=b,那么ac=bc或 =
（c≠0）
cc
（1）x+3＞6 （2）2x＜8 （3）x-2＞0
练习：设x＞y，用“＞”或“＜”填空 （1）2x+1＿2y+1 （2）-3x-1＿-3y-1
讨论：利用不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式.
x-3＞5
x - 3 + 3＞5 + 3
x＞8
练习：（1） 2x＜6
2x ÷2＜6 ÷2
x＜3
（2）-4x＞3 -4x÷-4＜3÷-4 x＜-¾
课堂小结： 本节课你的收获是什么？
不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变.
ab
符号表示 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或 c ＜ c ）.
思考：比较上面的性质2和性质3，指出它们有什么
区别.
例1、如果a＞b，用“＞”或“＜”填空 （1）a-3＿b-3（不等式性质＿） （2）2+a＿2+b（不等式性质＿） （3）-3a＿-3b（不等式性质＿） （4）6a＿6b（不等式性质＿） （5）a÷3＿b÷3（不等式性质＿） （6）1-a＿1-b（不等式性质＿＿）
9.1.2不等式的性质学源自目标：1. 理解不等式的性质 2.能正确地运用不等式的基本性质来解题。
1、用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律 （1）5＞3，5+2 ＞＿ 3+2，5-2 ＞＿ 3-2；

不等式的可乘性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则ac>bc。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可乘性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已 知a大于b，并且c也大于0，那么在两边同时乘以c后，得到的结果仍然是ac大于bc。
不等式的可除性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则a/c>b/c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可除性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已知a大于b， 并且c也大于0，那么在两边同时除以c后，得到的结果仍然是a/c大于b/c。
PART 03
不等式的解法
代数法解不等式
代数法是解不等式最常用的方法 之一，通过移项、合并同类项、 化简等步骤，将不等式转化为容
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，称为传递性。它表明当两个数a和c之间存在一个 中间数b，且已知a大于b且b大于c时，那么a必然大于c。
不等式的可加性
总结词
如果a>b，那么a+c>b+c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可加性。它表明当两个数a和b之间存在一个 差值c时，如果已知a大于b，那么在两边同时加上c后，得到的结果仍然是a+c大 于b+c。
在经济中的应用
资源配置
市场分析
不等式可以用来描述资源配置问题， 例如在生产过程中如何分配资源以达 到最大效益。
在市场分析中，可以利用不等式性质 来分析市场供需关系，例如分析商品 价格与需求量之间的关系。
决策分析

(2)-3x<6
(1)根据_不__等__式_的__基__本__性__质_1, 两边__加__3_得
x-3+3>-2+3 即 x>1
(2)根据_不__等__式__的__基_本__性__质__3，两边除__以__-_3得
x>-2
随堂练习
将下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式：
（1）x+3<-1
x
正误辨析
1、若a>b,则能得到a-m>b-m ( √ )
2、若x-5<-1,则能得到x<4 ( √ )
3、若a>b,则能得到-a>-b
( ×)
4、若-5x<15，则能得到x<- 3 ( × )
5、若a>3，则ac>3c
(× )
五、典例精析
将下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式：
（1）x-3>-2
7+a _＞__ 3+a
类比等式基本性质一，一句话概括你的发现。
不等式基本性质1
不等式的两边都加（或减）同一个整式，不 等号的方向不变。
若a>b ，则a±c >b±c 若a<b，则a±c<b±c
探究二：
7>3 7×2 __＞__ 3×2 7 ×0.1 __＞__ 3×0.1 7 ÷0.1 __＞__ 3 ÷ 0.1
(3) - 3 >5
1
(2) x≤3
2
(4)5x<4x-6
六、知识小结
学什么：掌握不等式的基本性质； 做什么：会用不等式的基本性质进行变形； 易错点：注意不等式两边同时乘以或除以 某个数时，需判断是正还是负； 数学思想：类比的学习方法。

3．利用不等式的性质，把下列不等式化为x>a或x<a的形式．
(1) x－9>3； 解：x>12;
(2) －2x<4； 解：x>－2；
(3)－
1 2
x>－
1 4
；
解：x<
1 2
；
(4) 2 x－2>4.
3
解：x>9.
课堂小结
不等式的
不
基本性质1
等
式
的 不等式的基 基 本性质2 本
性 质
不等式的基 本性质3
思考
观察这些不等式，你 发现了什么？
用பைடு நூலகம்“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律.
(1) 5 ＞ 3，5+2 ＞ 3+2，5-2 ＞3-2，5+0 ＞ 3+0. (2) -1 ＜ 3，-1+2 ＜ 3+2，-1-2 ＜ 3-2，-1+0 ＜ 3+0.
(3) 6 ＞ 2，6×5 ＞2×5，6×（-5） ＜ 2×（-5）， (4) -2 ＜ 3，（-2）×6 ＜ 3×6，（-2）×（-6） ＞ 3×（-6）.
（-10）÷（-2） ＞ （-5）÷（-2）.
由结果可知乘法的性 质除法也适用.
知识归纳
不等式基 不等式的两边都加上（或减去）同 本性质1： 一个整式，不等号的方向不变.
如果a>b, 那么a±c>b±c.
不等式基 不等式的两边都乘（或除以）同一 如果a > b，c > 0，
本性质2： 个正数，不等号的方向不变.
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc.
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc.

a b 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或 ) 就是说 c c
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变。
不等式基本性质3：
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式 的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变。 不等式的对称性：
a b c c
如果a>b，那么b<a
不等式传递性：
如果a>b，b>c,那么a>c
小结： ①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题； ②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一 个性质符号，另一个是不等号．
（1）-3<0; （2）4x+3y>0 （3）x=3;（4） X2+xy+y2 （5）x≠5; （6）X+2>y+5;
不等式的性质 2
等式具有那些性质？
不等式是否具有这些的性质？
由a+2=b+2, 你能得到a=b吗？ 由a-2=b-2, 你能得到a=b吗？ 由0.5a=0.5b, 你能得到a=b吗？
a a 正 (2) ∵ , ∴a是____数 2 3
(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , 负 ∴a是____数
1、已知 a < - 1 ,则下列不等式中错误的是 （ B ） A、4a < - 4 B、- 4a < 4 C、a + 2 < 1 D、2 – a > 3
2、已知x < y，下列哪些不等式成立？ （1） x – 3 < y – 3 （2）- 5 x < - 5 y

不等式的基本性质
基本运算规则
改变不等式形式
讨论不等式的基本运算规则， 如加法、减法、乘法、除法等。
分析如何改变一个不等式的形 式得到另一个不等式，并教授 相应的方法。
传递性质和对称性质
探究不等式的传递性质和对称 性质，并讲解它们在实际问题 解法中的应用。
不等式的解法
1
基本方法
简单介绍不等式解法的基本方法。
设总比赛场数为x，甲队赢 了y场，则x=y+4；此外， 0.75y=0.5x ，解得乙队的胜 率是60%。
结语
通过本课程的学习，相信大家对于不等式的基本概念、解法、应用等方面都已经有所掌握。同时，不等 式的应用也体现了数学学科在实际生活中的重要性。希望大家能够继续深入学习和研究不等式的相关知 识，更好地掌握和应用数学。
2
一元一次不等式
分析和讲解一元一次不等式的解法，并给出具体的例子。
3
二元一次不等式
举例说明二元一次不等式的解法，并讲解解法的基本思路。
不等式的应用
求解实际问题
探讨在实际问题中如何运用不等式进行求解，并讲解具体的应用方法。
实际意义
以生活、工作、学习等方面为例，说明不等式运用的实际意义。
重要性总结
总结不等式在实际生活中的重要性，并展望未来不等式研究的发展方向。
应用案例精解
案例 家庭开支法
甲家月收入9000元，乙家 月收入7000元，两家月支 出相等。是否可能有这样的 情况，甲家的支出高于乙家？
设甲家的支出为x，乙家的 支出为y，则x+y=9000=y+y， 不等式为x>y，解得甲家支 出比乙家高。
甲乙两队比赛，甲队比乙队 多赢四场，甲队的胜率是 75%，乙队的胜率是多少？

1)·(a2-a+1).
题型三
利用不等式的基本性质求范围
【例 3】 已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为

, 的取值范围为
.
解析：∵x-y=x+(-y),∴需先求出-y 的范围.

1
1
∵ = · , ∴ 需先求出 的范围.
1
1
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
4
2
4
4
2
4
π
-
π
< .
∴− ≤
2
2
2
-
π
-
< 0.
< 0. ∴ − ≤
又 α<β,∴
222Fra bibliotekππ π -
+
的取值范围为 - ,0 .
,
的取值范围为 - ,
故
2
2 2 2
2
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
n
(6)如果 a>b>0,那么 >

(∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
由a>b 就可知
答案：C

2 +1
>

, 故正确;选项

【精彩点拨】 主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否
满足性质所需要的条件．
【自主解答】 (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2，∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<b1成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)转――→化考查差的符号(难以确定)转――→化 考查积的符号转――→化考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的． 2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有： 因式分解、配方、通分、分母有理化等．
题型二、利用不等式的性质求范围
【精彩点拨】 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
【自主解答】 ∵a>b，∴－a<－b.又 c>a>，∴ 1 > 1 >0.又∵a>b>0，∴ a > b .
c－a c－b
c－a c－b
1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质： a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则 0<c－a<c －b；三是倒数性质．最后再次用到不等式的乘法性质．
不等式的性质
教材整理 1 两实数的大小比较
a>b⇔a－b > 0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔ a－b<0.
教材整理 2 不等式的基本性质
性质1
对称性
a>b⇔b<a
性质2 性质3

.
【解析】∵d>c,∴d-c>0,又∵a+d<b+c,∴b-a>d-c>0,∴b>a.
4
已知12<a<60,15<b<36,求a+b,a-b的取值范围.
.. 导. 学 固思
【解析】∵15<b<36,∴-36<-b<-15, ∴27<a+b<96,-24<a-b<45. ∴a+b的取值范围为(27,96),a-b的取值范围为(-24,45).
第2课时
不等式的握常用不等式的基本性质. 2.会用不等式的性质证明简单的不等式.
.. 导. 学 固思
建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面 积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于
10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增
加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了, 还是变坏了?请说明理由.
2
确定取值范围 的取值范围.
【解析】设 f(x)=ax +bx(a≠0),∴
2
若二次函数y=f(x)的图像过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(-2)
������( ������) = ������ + ������, ������(-������) = ������- ������,
.. 导. 学 固思
问题1
c>0
������+������ ������ ������+������ ������
>
好
问题2 不等式的基本性质
(1)对称性:a>b⇔b
< > > >

1.已知α∈(0， )，β∈( ，π)，则α-2β的范围为 . 2.已知a>b>0，c2<d<0，e<0，2 求证
e e. ac bd
【解题指南】1.先求出-2β的范围，再根据不等式的性质求
α-2β的范围.
2.欲证明 e 因e 为，e<0，所以只需证明
1 1.
如果a-c与ab-cd同b号 d，那么只需证明a-c>b-d. a c b d
【探究总结】 1.不等式性质的注意点 (1)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件， 如a>b⇒ac>bc，只有c>0时该结论才成立，否则不成立. (2)注意不等式的互推性，有些性质是单向的，有些是双向的.
2.应用不等式的性质时应注意的问题 (1)利用不等式的性质证明不等式时要注意不等式的性质成立 的条件，如果不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证 明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行转化. (2)利用不等式的性质求代数式范围时，一是要合理、准确地 使用不等式的性质，二是要注意题设中的条件，特别注意题中 的隐含条件.
a<b，
故①错；
②当c≠0时，由a<b可得ac2<bc2，当c=0时，由a<b得不出
ac2<bc2，故②错；
③因为 1< 1<0，所以a<0，b<0，所以ab>0，所1以 ·ab<
ab
a
1·ab，即a>b，③正确；
b
④因为c>d，所以-c<-d，又a>b，两个不等式的方向不同向， 不能相加，所以a-c>b-d错误； ⑤a=3，b=2，c=-3，d=-4满足条件，但ac>bd不成立，故 ⑤错误. 答案：③