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2017年江苏省常州市高考数学一模试卷
一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M=．
2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．
3．函数f（x）=的定义域为．
4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是
5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．
6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l
的右焦点，则双曲线的离心率为．
9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．
10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B
两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．
11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．
12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．
13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．
二.解答题：本大题共6小题，共计90分
15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且
A﹣B=
（1）求边c的长；
（2）求角B的大小．
16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1
（1）求证：E是AB中点；
（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．
17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．
（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；
（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离
心率为，椭圆的右顶点为A．
（1）求该椭圆的方程：
（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的
斜率之和为定值．
19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n
+12=0，设数列{b
n
}
满足b n=
（1）求证：数列{}为等比数列；
（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：
（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．
四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作
答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]
21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．
四.必做题：每小题0分，共计20分
25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，
且==．
（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；
（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．
26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n
（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；
（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．
2017年江苏省常州市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M= {6，7} ．
【考点】补集及其运算．
【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，
M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，
则∁U M={6，7}．
故答案为：{6，7}．
2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由z+i=，
得=，
则|z|=．
故答案为：．
3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．
