2013年全国中学生数学能力竞赛(决赛)试题高一年级组
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2013年全国中学生数学能力竞赛(决赛)试题
高一年级组
基础能力部分(共60分,每题5分)
1、已知2(3)4log 3233x f x =+,则8()(4)(8)(2)f x f f f +++
+= .
2
、若1122
a a +=,则
1114
4
2
111
11111a
a
a
a +
+
+=+-++ . 3、已知lg lg 2lg(2)x a x a +=-
,则= .
4、设222
{|40|,||2(1)10}
A x x x
B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B =,则实数a 的取值范围为 .
5、根据图中骰子的三种不同状态显示的数字,推出?处的数字是
.
6、设[]x 是不超过x 的最大整数,则333[log 1][log 2][log 500]++
+= .
7、奇函数()f x 在区间(,0)-∞上是增函数,且(2)1,(1)0f f -=-=,当120,0x x >>有1212()()()f x x f x f x =+,则不等式2log |()1|0f x +<在0x >的条件下的解集
为 .
8、甲、乙两人到商店买商品,商店里每件商品的单价只有8元和9元两种.已知两人购买商品的件数相同,且两人购买商品一共花费了172元,两人共购买8元商品 件. 9、牛顿冷却定律描述了一个物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为0T ,则经过一定时间h 后的温度T 将满足001
()2
m T T T T ==
-,其中n T 是环境温度,使上式成立所需要的时间h 称为半衰期.在这样的情况下,t 时间后的温度T 将满足
1
01()()2
n m m T T T T -=-,现有一杯195°F 用热水冲的还溶咖啡,放置在75°F 的房间
中,如果咖啡降温到105°F 需20分钟,经过30分钟后温度降为 . 10、某地兴修水利挖渠,其渠道的横截面为等腰梯形,腰与水平线的夹角为60°,要求横
戴面的周长(两腰和下底的和)为定值m ,问渠深h 为 时,可使史流量最大?
11、已知函数()f x 满足:(1)对任意的实数x ,(2)()f x f x +=;(2)对任意的实数x ,
(1)(1)f x f x +=-;(3)当01x ≤≤时,()f x x =,若关于x 的方程
()log (10)(0,1)a f x x a a -+=>≠且在区间[0,8]内恰有6个不同的实根,
则a 的取值范围为 .
12、在计算机和算法语言有一种函数[]x 叫做整函数(也成高斯函数),它表示x 的整数部
分,即[]x 是不超过x 的最大整数,例如:[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-.设函数
421
()122
x f x =-+,则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 .
综合能力部分(共90分)
13、已知全集U R =,集合22{|280},{|2300},||A x x x B x x x C x =--<=+->==
22320|x ax a -+<,求实数a 的取值范围. (1)使C A B ⊆;
(2)使()()U U C C A C B ⊇.
14、函数()f x 对任意的,m n R ∈都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,
()1f x >.
(1)求证:()f x 在R 上是增函数;
(2)若(3)4f =,解不等式2
(5)2f a a +-<.
15、烧一根不均匀的绳要用一个小时,如何用它来判断半个小时?烧一根不均匀的绳,从
头烧到尾总共需要1个小时.现在有若干条材质相同的绳子,问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢?
16、已知函数2()3f x x ax =-+的对称轴为1x =.
(1)求a 的值;
(2)设函数()log g x x m =+,对于任意12,[1,4]x x ∈有12()()f x g x >恒成立,求m 的
取值范围.
17、已知函数2()21f x x ax a =-++-在区间[0,1]上有最大值2,求a 的值.
18、对任意的实数x ,定义||[]x x x =-,其中[]x 表示不超过x 的最大整数. (1)求函数()||||f x x x =+-的值域; (2)设12,,
,n x x x 是任意给定的n 个互不相等的实数.
求证:存在某个正整数(1)k k n ≤≤,使得123||||||k k k x x x x x x -+-+-
+
1
||2
n k n x x --≤