独立性检验

题型一 作列联表 例 1 在一项有关医疗保健的社会调查中，调查的男性为 530 人，女性为 670 人，其中男性中喜欢吃甜食的为 117 人，女性中 喜欢吃甜食的为 492 人，请作出性别与是否喜欢吃甜食的列联表．
【解析】 作列联表如下：
喜欢吃甜食 不喜欢吃甜食
男
117
413
女
Leabharlann Baidu
492
178
总计
609
因为 P(K2≥3.841)≈0.05，所以有 95%的把握认为性别与休 闲方式有关系．
题型三 独立性检验的综合应用 例 3 在调查的 480 名男人中有 38 名患有色盲，520 名女人 中有 6 名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来判断色 盲与性别是否有关？你所得到的结论在什么范围内有效？
【解析】 法一：通过计算穿新、旧防护服的工人患皮肤病 的发病率可知，穿新防护服的发病率为 6.7%，而穿旧的发病率约 为 35.7%，说明新防护服对预防皮肤炎有一定效果．
法二：通过作等高条形图(如图所示)可知，穿上新防护服后 也有明显的效果．
法三：通过计算 K2 的观测值 k 知， k＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）≈13.826.查表可知， P(K2≥10.828)≈0.001，而 13.826 大于 10.828，故至少有 99.9% 的把握说明新防护服比旧防护服对预防患这种皮肤炎有效．
检查两组工人的皮肤炎患病人数如下：
防护服种类 阳性例数 阴性例数 总计
新
5
70
75
旧
10
18
28
总计
15
88
103
问这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效？并说
明你的理由．(注：显阴性即未患皮肤炎)
【思路】 解答本题可先结合列联表作出等高条形图并进行 定性分析，再利用随机变量 K2 的值进行定量分析．
(1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表． (2)试问该种药物以治疗“H7N9”病毒是否有效？
解析 (1)2×2 列联表如下：
存活数 死亡数 合计
服用药物 132
18
150
未服药物 114
36
150
合计
246
54
300
(2)由(1)知 K2＝300（24163×2×543×6－15101×4×15108）2≈7.317>6.635.
4．在独立性检验中，设 K2 的观测值为 k，当 k>3.841 时， 有 95%的把握说事件 A 与 B 有关；当 k>6.635 时，有 99%的把握 说事件 A 与 B 有关；当 k≥10.828 时，有 99.9%的把握认为 A 与 B 有关；当 k≤3.841 时，认为事件 A 与 B 是无关的．
患慢性气管炎 未患慢性气管炎 总计
吸烟
43
162
205
不吸烟
13
121
134
总计
56
283
339
试问：50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关系吗？
(P(K2≥6.635)≈0.010))
【解析】 本题意思是要考虑 50 岁以上的人的两种状态， 是否吸烟，是否患慢性气管炎，每种状态又分两种情况，吸烟、 不吸烟以及患慢性气管炎、未患慢性气管炎，表中的数据是调查 来的结果，可以利用这些数据计算出 K2 的值，并判断二者之间 的关系．
故我们有 99%的把握认为该种药物对“H7N9”病毒有治疗效
果．
课后巩固
1．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分 析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有 99%以上的把握认 为这个结论是成立的，下列说法中正确的( )
A．100 个吸烟者中至少有 99 个患有肺癌 B．1 个人吸烟，那么这个人一定患有肺癌 C．在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
(1)利用等高条形图，可以对两个分类变量是否有关系进行粗 略地判断．根据列联表，计算出相应的两个频率，作出等高条形 图，如果通过图形发现两个频率值a＋a b与c＋c d相差很大，就判断 这两个分类变量之间有关系．但是这种判断无法精确地给出所得 结论的可靠程度．
(2)利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系，能较精 确地给出这种判断的可靠程度，具体的做法是：①根据实际问题 的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 α，然后查表确定临界值 k0.②计算随机变量 K2 的观测值 k.③如 果 k≥k0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不 超过 α，否则就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不能推断 “X 与 Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结 论“X 与 Y 有关系”．
1．分类变量和列联表 (1)分类变量． 变量的不同值“表示个体所属的不同类别，像这样的变量称 为分类变量． (2)列联表． ①定义：两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2 列联表．
一般地，假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别
为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)如下 表．
K2＝（a＋b）（bn＋（da）d－（bca）＋c2）（c＋d），得 K2 的观测值为 k＝1 000×48（0×385×205×144－4×6×954642）2≈27.1.
由于 K2≈27.1>10.828，所以至少有 99.9%的把握认为性别与 患色盲有关系．这个结论只对所调查的 480 名男人和 520 名女人 有效．
【解析】 列联表如下：
不服用 服用 总计
头发稠密 14 55 69
头发稀疏 总计
46
60
5
60
51
120
题型二 等高条形图及 K 2 公式
例 2 某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内就有部分
工人患职业性皮肤炎，在生产季节开始，随机抽取 75 名车间工
人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，
答案 D
2．经过对 K2 的统计量的研究，得到了若干个观测值，当 K2<2.706 时，我们认为两分类变量 A、B( )
A．有 95%的把握认为 A 与 B 有关系 B．有 99%的把握认为 A 与 B 有关系 C．没有充分理由说明 A 与 B 有关系 D．不能确定
答案 C
3．若两个分类变量 X 和 Y 的 2×2 列联表为：
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
2.等高条形图 (1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量 间是否互相影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征． (2)观察等高条形图发现a＋a b和c＋c d相差很大，就判断两个分 类变量之间有关系．
果如下表所示：
死亡 存活 合计
第一种剂量 14
11
25
第二种剂量 6
19
25
合计
20 30
50
进行统计分析时的统计假设是____________________．
答案 假设电离辐射的剂量与人体受损程度无关
5．在研究某种药物对“H7N9”病毒的治疗效果时，进行动物 试验，得到以下数据，对 150 只动物服用药物，其中 132 只动物 存活，18 只动物死亡，对照组 150 只动物进行常规治疗，其中 114 只动物存活，36 只动物死亡．
591
总计 530 670 1 200
探究 1 对问题中的不同数据分成不同的类别，然后列表．注 意到列联表中的类别书写格式与数据也要对应清晰．
◎思考题 1 服用某种维生素对婴儿头发稀疏或稠密的影响 调查如下：服用维生素的婴儿有 60 人，头发稀疏的有 5 人；不 服用维生素的婴儿有 60 人，头发稀疏的有 46 人．由以上数据作 出列联表．
y1
y2
x1
5
15
x2
40
10
则 X 与 Y 之间有关系的可信度为________．
答案 99.9% 解析 K2≈18.8>10.828. 故有 99.9%的把握认为 X 与 Y 有关系．
4．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，
用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后 14 天内的结
探究 3 仅从等高条形图上只可以粗略的估计两个分类变量 的关系，可以结合所求的数值来进行比较，作图应注意单位统一， 图形准确，但它不能给我们两个分类变量有关或无关的精确的可 信程度，若要作精确的判断，可以作独立性检验的有关计算．
◎思考题 3 为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查
了 339 名 50 岁以上的人，调查结果如表所示：
2．独立性检验的方法与步骤
一般地，假设两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，
x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为下表：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计 a＋c
b＋d a＋b＋c＋d
要推断的结论：H0：X 与 Y 有关系．
通常可有以下两种方法来进行独立性检验，即判断 H0 成立 的可能性．
探究 2 判断两个分类变量是否有关系的途径有： (1)通过计算它们发生的频率来初步判断； (2)通过作等高条形图，利用图形的形象直观来定性判断； (3)计算随机变量 K2 的值，利用独立性假设的基本思想来定 量地判断．
◎思考题 2 在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了 124 人，其中女性 70 人，男性 54 人，女性中有 43 人主要的休闲 方式是看电视，另外 27 人主要的休闲方式是运动；男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视，另外 33 人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表； (2)试判断性别与休闲方式是否有关系．
【解析】 (1)列联表如下：
看电视 运动 总计
男性
21
33
54
女性
43
27
70
总计
64
60 124
(2)法一：作等高条形图 通过等高条形图可以判断性别与休闲方式有关系
法二：提出统计假设 H0：性别与休闲方式没有关系，根据表 中数据，由公式得 K2 的观测值为 k≈6.201 2>3.841.
【思路】 解答本题可先作出调查数据的列联表，再根据列 联表画出二维条形图或三维柱形图，并进行分析，最后利用独立 性检验作出判断．
【解析】 由题意作出列联表：
色盲 非色盲
男
38
442
女
6
514
总计
44
956
总计 480 520 1 000
根据列联表中所给的数据可以有 a＝38，b＝442，c＝6，d＝ 514，a＋b＝480，c＋d＝520，a＋c＝44，b＋d＝956，n＝1 000， 代入公式
3．独立性检验 (1)定义：利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系” 的方法称为独立性检验． (2)K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d），其中 n＝a＋b ＋c＋d.
(3)独立性检验的具体做法： ①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关 系”犯错误概率的上界 α，然后查表确定临界值 k0. ②利用公式计算随机变量 K2 的观测值 k. ③如果 k≥k0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误 的概率不超过 α，否则就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下 不能推断“X 与 Y 的关系”，或者在样本数据中没有发现足够证 据支持结论“X 与 Y 有关系”．
从题目的 2×2 列联表中可知： a＝43，b＝162，c＝13，d＝121， a＋b＝205，c＋d＝134，a＋c＝56， b＋d＝283，n＝a＋b＋c＋d＝339，
代入公式 K2＝（a＋b）（bn＋（da）d－（bac＋）c2）（c＋d），得 K2 的观测值为 k＝339×2（054×3×13142×1－561×622×8313）2≈7.469. 由于 7.469>6.635， 所以我们有 99%的把握认为 50 岁以上的人患慢性气管炎与 吸烟有关．
1．两个分类变量之间相关关系的定性分析 (1)分类变量． 取不同的“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类 变量． (2)频率分析． 通过对样本的每个分类变量的不同类别的事件发生的频率 的大小比较来分析两分类变量之间是否有关系．
(3)图形分析． 我们也可以利用等高条形图来分析两分类变量之间是否具 有相关关系，这是因为图形的形象直观，更能反映出相关数据的 总体状况．