高等数学(上)期末考试题

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分,共30分）。

1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A）(B) 和（C）和（D）和12．函数在处连续,则（).（A）0 （B）(C)1 (D)23．曲线的平行于直线的切线方程为( )。

（A) （B）（C）（D）4．设函数，则函数在点处（）。

（A)连续且可导（B）连续且可微(C）连续不可导(D)不连续不可微5．点是函数的( ).（A）驻点但非极值点（B）拐点（C)驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线的渐近线情况是( ）.（A)只有水平渐近线（B)只有垂直渐近线(C）既有水平渐近线又有垂直渐近线(D)既无水平渐近线又无垂直渐近线7．的结果是( ）.（A) （B）（C）(D）8．的结果是( ).（A）（B）（C）(D)9．下列定积分为零的是（）.(A) (B）（C）（D)10．设为连续函数，则等于（）。

（A）（B）（C）（D）二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数在处连续，则。

2．已知曲线在处的切线的倾斜角为，则.3．的垂直渐近线有条。

4．.5．。

三．计算（每小题5分,共30分）1．求极限①②2．求曲线所确定的隐函数的导数。

3．求不定积分①②③四．应用题（每题10分，共20分)一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2．３．２４．５．２三．计算题１①② 2.3。

①②③四．应用题１．略２．。

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 （ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数 （B) 偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时， 下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ）.（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ） （D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数 （D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减 （B)在（+∞,1e）内单调递减 （C ）在（0，+∞）内单调递减 （D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ） （B ）（C ） （D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减 （B)在(,0)-∞内单调递减 （C ）在(,0)-∞内单调递增 （D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）． （A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点 （B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小 （C ） 高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数 （B ）是偶函数，非奇函数 （C ）既非奇函数，又非偶函数 （D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数 （B) 奇函数 （C)偶函数 （D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导； （B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导； （C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续； （D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。

高等数学期末考试试题答案及解析 题目：一、选择题（每题5分，共30分） 1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(1)的值。 答案：A. 2 解析：f'(x) = 3x^2 3，代入x = 1，得f'(1) = 3 3 = 2。

2. 设函数y = e^x，求y''(x)的值。 答案：B. e^x 解析：y' = e^x，y'' = (e^x)' = e^x。 3. 若函数y = f(x)在x = 0处可导，且f'(0) = 2，则f(x)在x = 0处的切线方程是：

答案：C. y = 2x 解析：切线方程为y f(0) = f'(0)(x 0)，代入f'(0) = 2，得y = 2x。

4. 定积分∫_0^1 (x^2 + 1)dx的值为： 答案：D. 2 解析：∫_0^1 (x^2 + 1)dx = ∫_0^1 x^2dx + ∫_0^1 1dx = (1/3)x^3 + x |_0^1 = 1/3 + 1 = 4/3。

5. 函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为： 答案：A. 1 解析：f(x) = sin(x)在[0, π]上单调递增，最大值出现在x = π/2处，此时f(π/2) = 1。

6. 设函数y = 2x^3 3x^2 + 4，求y'的零点。 答案：B. x = 1 解析：y' = 6x^2 6x，令y' = 0，得6x^2 6x = 0，解得x = 0 或 x = 1。因为x = 0不是极值点，所以x = 1是y'的零点。

二、填空题（每题5分，共30分） 1. 函数f(x) = x^3 3x^2 + 2x在x = 1处的极大值为______。

答案：3 解析：f'(x) = 3x^2 6x + 2，f''(x) = 6x 6。令f'(x) = 0，得x = 1 或 x = 2/3。代入f''(x)，得f''(1) = 0，f''(2/3) = 2 < 0，所以x = 1是极大值点，极大值为f(1) = 3。

一、 选择题1. 函数112-=x y 的定义域是（ ） A ．(-1,1)B ．[-1,1]C ．(,1][1,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞ 2. 函数1()ln(2)f x x =-的定义域是（ ） A.(2,)+∞ B.(3,)+∞ C.(2,3)(3,)+∞ D.(,2)(2,)-∞+∞3.函数13lg(2)y x x =+++的定义域是（ ） A.(3,2)(1,)--⋃-+∞ B.(2,1)(1,)--⋃-+∞C. (3,1)(1,)--⋃-+∞D.(2,)-+∞4.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤---<+=1,011,11,21)(2x x x x x x f ，则)2(-f = ( )A .23- B .3- C .0 D .25 5. 若0lim x x → f (x )存在, 则f (x )在点x 0是（ ） A . 一定有定义 B ．一定没有定义C ．可以有定义, 也可以没有定义D ．以上都不对6. 极限223712lim 43x x x x x →-+-+=（ ）。

A ．1 B ． 12- C ．12D ．1- 7. 极限2201lim 22x x x x x →-++-= ( )A. 21B. 1C.0D. 12- 8. 311lim 1x x x →-=-（ ） A.1 B.2 C.3 D.49.极限=-++-→221lim 221x x x x x ( ) A. 21B. 1 C .0D .∞ 10.函数11)(2--=x x x f ，当1→x 时的极是（ ）A.2-B. 2C. ∞D.极限不存在 11.函数21()1x f x x -=+，当1x →-时的极限（ ）A ．2B ． 2-C ． ∞D ．012.下列各式中，运算正确的是（ ） A.0lim 0sin x xx →= B.sin lim 1x xx →∞= C.lim 0sin x xx →∞= D.0lim 1sin x xx →=13. 下列各式中正确的是（ ）A ．0sin lim 0=→x xx B ．1sin lim =∞→x xxC ．0sin lim 1=→x xx D ．1sin lim 0=→x xx14. 设0sin lim 7x axx →= 时，则a 的值是（ ）A. 17 B.1 C.5 D.715.函数x xx x f sin )(+=，当∞→x 时的极限（ ）A ．0B ． ∞C ． -1D ．116.函数22x+1x<0f(x)=x +a x 0⎧⎨≥⎩在x=0处连续,则a 的值是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．017.函数22x+3x<0f(x)=3x +a x 0⎧⎨≥⎩在x=0处连续,则a 的值是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 018. 函数y=ln （2 - x - x 2）的连续区间为（ ）A ．（-1，2）B ．（-2，1）C ．（- ∞，1）∪（- ∞，1）D ．（- ∞，-2）∪（1，+∞）19.下列导数计算正确的是( )A.x x e e 22sin sin )(='B.()2112ln ln -='-x x C .22211(arcsin )()x x '=- D .x x 2sin )(sin 2='20.下列导数计算正确的是( )A.sin sin ()x x e e '=B.21(2log )2ln 2ln 2x x x x '+=+C.1()1x x x '+=+D.211)2ln (ln +='+x x 21.设ln y x x =+，则dy dx=( ) A.1x x + B.1x x + C.1x x +- D.1x x-+ 22. 设y =x -2，则='y （ ）A ．x -2ln2B ． x 12--xC ．－x 12--xD ．-x -2ln223设()y f x =-，则y '=（ ）A.()f x 'B.()f x '-C.()f x '-D.()f x '--24.设2()43f x x =-，则()1f '等于（ ）A.0B.-6C.-3D.325. 设函数在点x 0可导, 且f '(x 0) ＞0, 则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线的倾斜角是( )A ．00B ．锐角C ．900D ．钝角26.设函数在点0x 可导，且0()f x '<0，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的倾斜角是（ ）A ．0B ．锐角C ．钝角D ．9027. 设函数在点0x 可导，且3)(0-='x f ，则曲线)(x f y =在点0x x =处的切线的倾斜角是( )．A .0°B .90°C .锐角D .钝角28.曲线32y x x =+-在点(1,0)处的切线方程为（ ）A.2(1)y x =-B.4(1)y x =-C.41y x =-D.3(1)y x =-29.曲线y = ln x 上某点的切线平行于直线y = 2x －3, 该点的坐标是 ( )A ．（2, ln21） B ．（2，－ln 21） C ．（21，－ln2） D ．（21，ln2） 30.下列说法错误的是（ ） A ．可导一定连续 B ．不可导的点不一定没有切线C ．不可导的点一定不连续D ．不连续的点一定不可导31.函数f (x )在点 x 0连续是函数在该点可导的（ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不是充分条件, 也不是必要条件32.||x y =在0x =处（ ）A.连续不可导B.可导不连续C.可导且连续D.既不连续也不可导33.2(1)y x =-在1x =处（ ）A.连续B.不连续C.不可导D.既不连续也不可导34．已知函数f (x )＝,0,10,12⎩⎨⎧>+≤-x x x x 则在x =0处（ ） A ．间断 B ．连续 C ．f '(0) =－1 D ．f '(0) =135. 设f (x )可微，则d(e f (x ) ) =（ ）A ．f '(x )d xB ．e f (x )d xC ．f '(x ) e f (x )d xD ．f '(x ) d(e f (x ) )36.半径为R 的金属圆片，加热后半径伸长了dR ，则面积S 的微分dS 是（ ）A ．RdR πB ．RdR π2C ．dR πD ．dR π237. 函数)1ln()(x x x f +-=的单调减少区间是（ ）A.),0(+∞B.)0,(-∞C.(0,1)D.(-1,0)38. 函数x x x f -+=)1ln()(的单调减少区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)0,(-∞C ．(0,1)D ．(-1,0)39.函数()y f x =在0x x =处连续，且取得极值，则有( )A.0()0f x '=B.0()0f x ''<C.00()0()f x f x ''=或者不存在D.0()f x '不存在40. 若()00f x '=，则0x 是函数()f x 的（ ）A.极值点B.最值点C.驻点D.非极值点41. 函数()y f x =在0x x =处取得极值，则有( )A ．0()0f x '=B ．00()0()f x f x ''=或者不存在C ．0()0f x ''<D ．0()f x '不存在42. 函数x e x x f -=)(的极值是（ ）A ． 0B ． 1C ． -1D ． 243.若曲线弧位于其上任一点切线的下方，则该曲线弧是( )A.单调增加B.单调减少C.凹弧D.凸弧44. 曲线3(1)y x =-的拐点是（ ）A.(1,8)-B.(1,0)C.(0,1)-D.(2,1)45. 点 x = 0是函数y = x 2 的（ ）A ．驻点但非极值点B ．拐点C ．驻点且是拐点D ．驻点且是极值点46. 点0x =是函数3y x =的（ ）A ．极值点但不是驻点B ．驻点但不是极值点C ．驻点且是极值点D ．极值点且是拐点47.下列说法正确的是（ ）A.驻点一定是极值点B. 极值点一定是驻点或导数不存在的点C.极值点一定是拐点D. 拐点一定是极值点48.若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数()f x '＜0，二阶导数()f x ''＞0，则函数()f x 在此区间内（ ） A.单调减少，曲线是凹的 B.单调减少，曲线是凸的C.单调增加，曲线是凹的D.单调增加，曲线是凸的49.函数y = x 2e -x 及其图形在区间(1, 2)内是（ ）A ．单调增加且是凸的B . 单调减少且是凸的C ．单调增加且是凹的D ．单调减少且是凹的50. 曲线()y f x =在区间[,]a b 上单调减少且为凸的，则（ ）A ．()f x '>0或()0f x ''>B ．()f x '>0或()0f x ''<C ．()f x '<0且()0f x ''>D ．()f x '<0且()0f x ''<51. 曲线()y f x =在区间[,]a b 上单调增加且为凹的，则（ ）A ．()f x '>0,()0f x ''>B ．()f x '<0,()0f x ''<C ．()f x '>0,()0f x ''<D ．()f x '<0,()0f x ''>52.若()(),F x f x '=则()f x dx ⎰=（ ）A.()f xB.()F xC.()F x C +D.()f x C + 53. 若()(),F x f x '=则()dF x ⎰=（ ）A.()f xB.()F xC.()F x C +D. ()f x C +54.导数等于21sin2x 的函数是（ ） A ．21sin 2x B ．41cos2x C ．21cos 2x D ．1－21cos2x 55.⎰=dx x xf dxd )( ( ) A.)(21x f B.dx x f )(21 C .)(x xf D .dx x xf )( 56. 若c x x dx x f ++=⎰cos sin )(，则，=)(x f （ ） A.x x cos sin + B.x x cos sin - C.x x sin cos - D.x x cos sin -- 57.()23sin x e x dx -⎰=（ ）A. 23cos x e x c ++B. 23cos x e x +C. 23cos x e x -D. 158. 设⎰dx x f )(= 2cos2x + C ，则f (x ) =（ ） A ．sin2x B ．－sin 2x C ．sin 2x + C D ．－2sin 2x 59.dxd 52x xe dx ⎰= ( ) A ．42x x e B ．52x x e dx C ．42x x e dx D ．52x x e60.dx xx f 211⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛'= ( ) A ．)1(x f -+ C B ．－)1(x f -+ C C ．)1(x f + C D ．－)1(xf + C 61. 若： 10(2)2x k dx +=⎰，则k =（ ） A ．0 B ．1- C ． 1 D ．1262. 若： 12 0(3)2x k dx +=⎰，则k =（ ） A ． 1- B ． 0C ．12 D ． 1 63. 若 10(2)1x k dx +=⎰，则k =( ) A.0 B.-1 C.1 D.12 64. 已知 10()1x a x dx -=⎰，则常数a =（ ） A.83 B.13 C.34 D.23 65.下列积分正确的是（ ） A. 1211 11||02x dx x --==⎰ B. 22 02sin 2sin 2xdx xdx πππ-==⎰⎰ C. 22sin 0x dx ππ-=⎰ D. 1 122 1 04(1)2(1)3x dx x dx --=-=⎰⎰ 66. 曲线2,2y x y x ==+所围成的区域面积表成定积分为( )A ． 22 1(2)x x dx ---⎰B ． 12 2(2)x x dx --+⎰ C ． 22 1(2)x x dx -+-⎰ D ． 12 2(2)x x dx -+-⎰ 67.曲线ln y x =与直线x e =及0y =所围成的区域面积A=( )A ．1B ．－e 1C ．e1 D ．e 68. 曲线y =e x , y =e -x 与直线x =1所围成的区域面积A=( )A ．e +1-eB ．e －1-e －2C ．e －1-eD ．e + 1-e －2二、填空题1. 函数x y arcsin =的定义域为 .2.函数2112++-=x x y 的定义域为 . 3. 函数y =22x -+ arcsin x 的定义域为____________．5. 函数y=lnx 定义域为 .6.函数2211x y x-=+的奇偶性为 . 7.函数)1)(1(-+=x x x y 的奇偶性为 .8.设u y arcsin =，2v u =，1+=x v ，则复合函数=y .9.设arcsin y u =，v u a =，v x =，则复合函数y =____________．10. 可以将复合函数分解arcsin 2x y =为 .11. 函数2(arcsin3)y x =的复合过程是 .12. 设复合函数）（2sin 2-=x y ，则它的复合过程是 .13. 设复合函数2arcsin 1y x =（＋），则它的复合过程是 . 14. =++→4-32-lim 220x x x x x . 15. 2323lim 54x x x x →-=-+ . 16.极限sin limx x x→+∞的值为____________． 17.极限x x x 1sin lim 0→的值为____________． 18.=∞→x x x arctan lim . 19.0sin lim x x x→= ， sin lim x x x →∞= .20. 函数y=2x x -连续区间为 ..21.设()2xf x -=，当x → 时为无穷小量.22.设y =x 1－1，则当x →_____时，y 是无穷大量；当x →_____时，y 是无穷小量．23.设x y xe =，则y '＝ .24.已知)34cos(x y -=，求y '= ，=''y .25. 已知函数f (x )＝x sin x , 则f '(π)＝__________________．26. 已知函数x xe y -=，则y '= .27. 已知函数y = x x e -，则y '' =____________________．28. 设y = arctan x , 则y '=____________, y ''=____________．29曲线x y e =在点(0,1)处的切线方程为 .30. 若曲线y = ax 3+2在点x =1 处的切线与直线y =2x +1垂直，则a =__________．31. 曲线y = x 2－x 上过M （1，0）点的切线方程是__________________．32. 曲线x x +cos 2y ＝在点(0,2)处的切线方程为 .33. 函数在点x 0处可微的充要条件是___________________．34. d ( )= xdx . 35. ()21d x -=________________．d ( )=x e dx -.36. d ( )=dx , x de-= . 37.d =xdx sin , d =211dx x -. 38. ( )sin d xdx =； =-x de .39. 函数f (x )＝sin x －x 在定义域内单调___________．40.函数22ln y x x =-的单调递增区间是 .41.f (x )＝x 3－3x 2+7的极大值为________，极小值为__________．42. 函数)1ln()(2x x f +=在[－1，2]上的最大值为 ，最小值为 .43. 函数1)1()(32+-=x x f 在]1,2[-上的最大值是 ，最小值是 .44.函1)1()(32+-=x x f 数在]1,2[-上的最大值是 ，最小值是 .45.曲线f (x )＝xe x 的拐点的坐标为____ ______．46.若2()x f x dx e C =+⎰，则()f x = . 47.dxd dx x xf ⎰)(2= ____ ______． 48. ⎰=xdx 2sin ；cos3x dx =⎰ . 49. xdx ⎰= ；⎰dx = . 50. 3x dx =⎰ .51.232 2sin x xdx -=⎰ . 52.b a dx =⎰ ， 14 1sin x xdx -⎰= . 53. 13 1cos x xdx -=⎰ ； 132 1sin x xdx -=⎰ . 54. 曲线x y s i n =在[]0,π上和x 轴围成图形的面积用定积分表示为A= .55.178 1cos x xdx -⎰=___________________． 56.b a dx =⎰ . 57.=⎰xdx x sin 22-2 . 58.14 1sin x xdx -⎰= .三、计算题1. 求极限132123lim 22+---∞→x x x x x2. 求极限222372lim x x x x --+∞→3.求极限)1311(lim 31x x x ---→4.求极限x x x 5sin sin3lim 0→5. x x x x -→20sin lim6.求极限2cot 0lim(1tan )x x x →+ 7.求极限∞→x lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-31 8. 求极限x e x x 1lim 0-→ 9.已知arcsin y x =，求dy dx10.已知x x y 2sin 2=，求y ' 11.已知2ln 1y x =+ 求y ' 12.已知y =6sin 1322π+-⋅x x x ，求dx dy 13.已知y =(ln2x )cos3x ，求dx dy 14. 已知1010x y x +=,求y '' 15.已知x y arctan =，求dy 16.已知2ln(21)y x =- 求dy17. y=ln(5+3x )，求dy 18.已知22x y x e =，求dy 19. 求函数y =21ln x -的微分20.已知y =cos(3)x e x --，求dy 21. 求不定积分dx x x )2(-⎰22. 求不定积分dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3312 23.求不定积分⎰+dx x x cos 1sin 2 24.求定积分⎰+dx x x 1 25.求不定积分tan xdx ⎰ 26. 求不定积分211x dx x ++⎰27.求不定积分221x dx x +⎰ 28.求不定积分求tan xdx ⎰ 29.求定积分 20cos sin x xdx π⎰ 30. 求定积分 12 01x x dx -⎰ 31. 求定积分dx x x ⎰-1 021 32.求定积分dx x x ⎰+1 0 21arctan 33.求定积分 11||x dx -⎰ 34. 求定积分 21|1|x dx --⎰ 四、应用题1. 设有函数2sin y x x =+，求点(0,0)处的切线方程和法线方程.2.求函数x e x x f -+=)2()(在（0，2）点切线和法线方程.3.半径为15cm 的球，半径伸长2mm ，球的体积增加约多大？4.求函数y =x -ln(1+x )的极值.5. 求函数x e x x f -+=1)()(的极值.6.求曲线y =x 3-3x －2的单调区间,凹凸区间，拐点及极值.7.. 求曲线3231y x x =-+的单调区间，凹凸区间及极值.8.把一根半径为R 的圆木锯成矩形条木，问矩形的长和宽多大时，条木的截面积最大?9.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？10.要制造一个圆柱形有盖的油桶，若油桶的容积V 是常数，问底面半径r 和高h 之比等于多少时，才能使用料最省？11.欲做一个无盖圆柱形容器，其容积为V ，问当容器的底面半径为多少时，用料最少？12.曲线上任一点),(y x 切线的斜率为23x ，并且曲线经过)0,0(点，求此曲线方程13.计算由抛物线24y x =-和x 轴所围成图形的面积.14.求由直线23y x =+与曲线2y x =所围成平面图形的面积.15. 求由曲线12-=x y 与y=x+1所围成的平面图形面积. 16.求抛物线2x y =和直线x y =围成的平面图形的面积及该平面绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．17. 求平面曲线2x y =、3x y =围成的平面图形绕x 轴旋转所生成的旋转体的体积．18.求由y =x 2与直线x+ y = 2轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积.19.求由曲线x y =，x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积.20.求由抛物线y =x 2与y 2 = x 所围成的平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积.。

（本小题5分）第一学期期末高等数学试卷、解答下列各题（本小题5分）x 3 12x 162x 3(本小题5分)求 x 2 2 dx. (1 x )（本小题5分）（本小题5分） 求-^dx. 1 x（本小题5分）求— 1 t 2 dt .dx 0（本小题5分）求 cot 6 x esc 4 xdx.(本小题5分)求-1 1 , 求 1 p cos dx. x x（本小题5分）设X e2t cost确定了函数y y e si nt（本小题5分）求'x 1 xdx .0 ■（本小题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、 11、 12、13、求函数 y 4 2xx 2的单调区间丫（本小题5分) sin x dx.求2 2 0 8 sin 2 x (本小题5分) 设 x(t) e kt(3cos t 4sin t),求 dx .设函数y y （x ）由方程y 2 in y 2 x 6所确定，求史 dx （本大题共16小题, 总计80分）求极限 limx 2 9x 212x求极限 limarctan xx.1 arcsin xy(x),求乎dx14、 （本小题5分）求函数y 2e x e x 的极值15、 （本小题5分）2 2 2 2求极限 lim & “ （2x“ （3xD d°x Dx（10x 1）（11x 1）16、 （本小题5分）cos2x .求dx.1 sin xcosx二、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分） 1、（本小题7分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.（本大题6分）设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根一学期期末高数考试（答案）、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分）23x 212 26x 18x 122、（本小题3分）x 2\ 2x )1 d(1 x 2) 2(1 x 2)2c.3、（本小题3分） 因为 arctanx而 limarcsin — 02 x x2、（本小题7分）2求由曲线y -和y2三、解答下列各题所围成的平面图形绕 0X 轴旋转所得的旋转体的 体积.解:原式 limx 2lim 歿 x 212x18(19、 116 151故 limarcta n x arcs in o x x求—1 t2 dt .dx 0 '原式 2x 1 x 4cot 6 x(1 1 .7cot x 7(本小题4分) 2求1 工-x2cot x)d(cot x)1. 9cot x c.91cos^d(^) x x2(本小题4分)求 x 1 xdx.令 J 1 x ui u4、 5、(本小题3分)x .dx1 x1 x 1dx 1 x . dx dx1 xx ln 1 x(本小题3分)c.6、(本小题4分)cot 5 6 x csc 4 xd x8、1 （本小题4分） x e 2^st确定了函数y y e si nty(x),求 dy dx解:dy dxe 2t (2sin tt22e (cost 2tsin t ) e t (2 sint cost)22~(cost 2t sin t )cost)7、cos 1dx. x原式1 si n — x2u2)du 原式 2 (u41 \32(—)5 39、116 15解: dxx (t)dt13、（本小题6分）设函数y y （x ）由方程y 2 ln y 2 x 6所确定，求鱼dx2yy 空 6x 5 y3yx 57厂14、（本小题6分）求函数y 2e x ex , 2x1、y 2e (e y1 1驻点：x -| n —2 2由于 y 2e x e x 0故函数有极小值,,1n "2)2 210、（本小题5分） 求函数 y 4 2x x 2的单调区间解: 函数定义域（11、 12、 设 y 当x当x 当xX）2 2x 2(1 1, y 01, y0函数单调增区间为,11, y 0函数的单调减区间为1,(本小题5分)sin x ,2— dx.8 sin x2d cosx 09 cos 2 x原式1, 3 cosx ln ---------- 6 3 cosx丄In 26（本小题x （t ）6分)e kt (3cos t 4sin t),求dx .e kt (43k)cos t (4k 3 )sin t dtx的极值解.定义域）,且连续V x264d(*si n2x 1) 1 丄 si n2x2 1In 1 -si n2x c2、解答下列各题（本大题共2小题，总计13分） 1、（本小题5分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 沿, 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省•512设晒谷场宽为x,则长为 ----- 米,新砌石条围沿的总长为512xL 2x —— x (x 0)L c 51222x唯— •驻点 x 16 L1024 小3x即 x 16为极小值点 故晒谷场宽为16米，长为51232米时，可使新砌石条围沿16所用材料最省2、（本小题8分）15、（本小题 求极限 原式 2 2 2(x 1)(2x 1) (3x 1)2(10x 1)(10x 1)(11x 1)1 2 1 2 1 2 (1 -)2 (2 -)2 (3 -)2(10 丄)2x x x x1 1(10 -)(11 -)x x 10 11 216 10 11lim x lim x 16、（本小题7 210分) cos2x dx 1 sin xcosx cos2x 1 l sin2xdx2求由曲线y -和y2,8x 22x 3 x 10, x 1 4-)2x 32 (rdx 4x 40(匚6x)dx4J 1 5 (——x 4 5 1 1 7. -------x ) 64 7 04 1 1 512 44(—— )—5 7 35二、解答下列各题(本大题10分)设f (x) x(x 1)( x2)(x 3),证明f (x) 0有且仅有三个实根证明:f (x)在(，)连续,可导,从而在[0,3];连续，可导.又 f(0)f(1)f(2)f(3)则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1), 2 (1,2), 3(2,3)使f ( !) f ( 2) f ( 3)即f (x) 0至少有三个实根，又f (x) 0,是三次方程,它至多有三个实根 由上述f (x)有且仅有三个实根高等数学(上)试题及答案D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为(、填空题(每小题 3分，本题共 15分)1、2、时，f (x)x e 2x在x 0处连续.3、dx ln x ,则巴dyx/x+14、 曲线yx 在点(0, 1 )处的切线方程是y=x+15、 若 f (x)dxsin2x C ，C 为常数，则 f (x)2cos2x —。

高等数学期末考试卷课程高等数学(A 、B 类)（A 卷）参考答案2018~2019学年第 1 学期一．填空题（每小题3分，共15分） 1.3sin 0lim 12x x x → += 32e2.设()f x 可导，则极限0(1)(1)lim x f h f h h αβ→+−−=()(1)f αβ′+3.不定积分2ln 2x dx =∫22ln 2xC+4.若连续函数()f x 满足：20()sin x f t dt x x π=∫，则(4)f =2π5.反常积分20x x e dx +∞−=∫ 2 。

二． 选择题（每小题3分，共15分）1．设麦克劳林公式221(),x e x ax o x −−=+则常数a =（ B ）（A ）1 （B ）12 （C ）13 （D ）162.设曲线11x y e =−水平渐近线的条数为a ，铅直渐近线的条数为b ，则( D )(A)0,1a b ==; (B)1,0a b ==; (C)1,1a b ==; (D)2,1a b ==。

3．设()ln 2,y x =则它的微分dy =（ D ）(A) 12||dx x (B) 12dx x (C)1||dx x (D) 1dxx 4.设定积分32231211ln ,ln ,I xdx I xdx ==∫∫则（ C ）（A ）12I I = （B ） 1223I I = （C ） 12I I > （D ） 12I I <5.从原点()0,0引曲线y =( B )（A ）y x = （B ）12y x =（C ）2y x =（D ）23y x=三．计算（每小题8分，共48分）1．求极限x →解：原式＝0x →0x x →→012x →=012x →=201cos x x x →−=2． 已知(ln ,y x =求11,x x dy y ==′′。

解：因为 y ′=所以1x dy dx ==y ′′=1x y =′′3、设函数()y f x =由方程x y e e xy −=所确定，求导数0,x y y =′′′ 解：由方程x y e e xy −=的两边对x 求导，得x y e e y y xy ′′−=+，从而可解得x y e y y e x+′=+且当0x = 时得0y =，将0x =，0y =代入上式得(0)1y ′=再由方程x y e e y y xy ′′−=+的两边对x 求导数得 2x y y e e y e y y y xy ′′′′′′′−−=++，将0x =，0y =，(0)1y ′=代入上式得02x y =′′=−。

1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。