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高一数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得顶点为、对称轴为；当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：(1)当时，的最小值是的最大值是中的较大者．(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是．(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．当时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．【解析】(1)是二次函数，且的解集是，可设－．(待定系数法，二次函数设为交点式)在区间－上的最大值是．由已知得，，－．(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为(讨论对称轴与闭区间的相对位置)①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时的最小值；②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，－综上所述，得的表达式为：．【点拨】①利用待定系数法求函数解析式；②对于二次函数,对称轴是确定的，而函数的定义域不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.【题型二】动轴定区间求在区间上的最大值和最小值．【解析】的对称轴为．①当时，如图①可知，在上递增，，．②当时，在上递减，在上递增，而，(此时最大值为和中较大者)当时，，如图，当时，，如图③，③当时，由图④可知，在上递减，，．综上所述，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．【点拨】①题目中的函数的对称轴是不确定的，定义域是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况(即)进行讨论.②在求最大值时，当，还需要判断和时谁离对称轴更远些，才能确定、哪个是最大值，则还有分类;【题型三】逆向题型已知函数在区间上最大值为，求实数的值．【解析】若，(注意函数不一定是二次函数)则而在上的最大值,(2)若则的对称轴为，则的最大值必定是、、这三数之一，若，解得，此时而为最大值与为最大值矛盾，故此情况不成立．若，解得，此时而距右端点较远，最大值符合条件，.若，解得，当时，，则最大值不可能是；当时，此时最大值为，；综上所述或【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是、、这三数之一，那逐一讨论求出值后再检验就行.巩固练习1 (★★) 已知函数．当时，求函数在区间上的值域；当时，求函数在区间上的最大值；求在上的最大值与最小值．【答案】(1) (2) ；(3)时, 最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为．时，最大值为，最小值为．【解析】(1)当时，，函数在－－上单调递减，在－上单调递增，－，，，，函数在区间上的值域是；(2)当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；(3)函数的对称轴为，①当，即时，函数在－上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当－，即－时，－a时，函数取得最小值为－；当－时，函数取得最大值为－．④当－，即－时，函数在－上是减函数，故当－时，函数取得最大值为－；当时，函数取得最小值为．2(★★) 已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．【答案】(1)最大值是，最小值(2)或(3)或【解析】(1)时，；在－上的最大值是，最小值是－；(2)在为单调函数；区间－在f(x)对称轴－的一边，即－－，或－；或－；－(3)－，中必有一个最大值；若－－－；－－，符合－最大；若，；，符合最大；或．3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.【答案】【解析】若时，在上是减函数，即则条件成立，令(Ⅰ)当时，即则函数在上是增函数，=即，解得或,(Ⅱ)当即若解得与矛盾;(2)若时即解得与矛盾;综上述：．4(★★★)已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.【答案】【解析】解法1：讨论对称轴中与的位置关系。
1.3.1 单调性与最大（小）值（2）从容说课最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，是高中数学的一个重点，它涉及到高中数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技能，灵活选择合理的解题途径.本节课利用单调性求函数的最值，目的是让学生知道学习函数的单调性是为了更好地研究函数.利用单调性不仅仅确定函数的值域、最值，更重要的是在实际应用中求解利润、费用的最大与最小，用料、用时的最少，流量、销量的最大，选取的方法最多、最少等问题.三维目标一、知识与技能1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用.2.启发学生学会分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力.二、过程与方法1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.2.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确.三、情感态度与价值观理性描述生活中的最大（小）、最多（少）等现象.教学重点领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念.教学难点利用函数的单调性求最值.教具准备多媒体课件（PowerPoint）.教学过程一、创设情景，引入新课师：前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时内的气温变化图，说出气温随时间变化的特点.生：从图象上看出0时～4时之间气温下降，4时～14时之间气温逐渐上升，14时～24时气温逐渐下降.师：好，请继续回答.某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低?生：14时气温达到最高，4时气温达到最低.师：从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0～24时之间，气温于14时达到最大值，从图象上看出，图象在这一点的位置最高.这就是本节课我们要研究函数的最大、最小值问题.〔点明本节课的内容，并板书课题：单调性与最大（小）值（2）〕二、讲解新课师：上面我们从直观的感受知道了最值的概念，下面给出严格的定义（一起看课件）. 一般地，设函数y =f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f （x 0）=M .那么，我们称M 是函数y =f （x ）的最大值，记为y max ＝f （x 0）.师：定义中的两个条件缺一不可，只有（1）没有（2）不存在最大值点，而只有（2）没有（1），M 不一定是函数y =f （x ）的最大值.比照最大值的定义，哪位同学说出最小值的定义？生：我们只需把“f （x ）≤M ”改为“f （x ）≥M ”，然后将最大值改为最小值即可. 师：回答的简洁而正确.（点击课件，读一遍最小值的定义） （1）对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≥M ；（2）存在x 0∈I ，使得f （x 0）=M .那么，我们称M 是函数y =f （x ）的最小值，记为y min＝f （x 0）.师：函数的最大值从图象上看是在指定的区间里最高位置对应的点的纵坐标，好像有一种一览众山小的情景.同样函数的最小值从图象上看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵坐标，好像有一种坐井观天的情景.请大家思考，是否每个函数都有最大值、最小值？举例说明.生：一个函数不一定有最值，例如y =x1在定义域内没有最大值也没有最小值. 师：对，有的函数可能只有一个最大（或小）值，例如y =3x +2，x ∈［0，3）.如果一个函数存在最值，那么函数的最大值和最小值都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个，如y =x 2，x ∈［－2，2］，最大值只有一个为4，而取最大值的x 有两个x =±2. （让学生自己出一些函数题给同桌解，加深对最值的理解）（接下来看函数最值的应用）【例1】 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点（大约是在距地面高度25 m 到30 m 处）时爆裂.如果在距地面高度18 m 的地方点火，并且烟花冲出的速度是14.7 m/s.（1）写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.（2）烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？（精确到1 m ） 方法引导：这是物理中的上抛运动，s =v 0t +21at 2，又v 0与重力加速度g 的方向相反，所以s =v 0t －21gt 2. 解：（1）设烟花在t s 时距地面的高度为h m ，则由物体运动原理可知 h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18.（2）作出函数h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18的图象（图略）.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18，我们有：当t =－)9.4(27.14-⨯=1.5时，函数有最大值，h =)9.4(47.1418)9.4(42-⨯-⨯-⨯≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m. 注：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知二次函数，求其定义域上的最大值.三、课堂练习1.求下列函数的最值：（1）y =x 2－2x +3，x ∈R ； （2）y =x 2－2x +3，x ∈［2，5］；（3）y =x 2－2x +3，x ∈［－2，0］； （4）y =x 2－2x +3，x ∈［－2，4］.让学生讨论、求解，并结合图象说明理由，总结归纳求解这类问题的一般方法.（作图要求：在坐标系内画出y =x 2－2x +3完整的图象，但定义域内的部分用实线画出，其余部分用虚线画出）答案：（1）x =1时，y min =2.（2）x =2时，y min =3；x =5时，y max =18. （3）x =0时，y min =3；x =－2时，y max =11. （4）x =1时，y min =2；x =－2或4时，y max =11.求二次函数在闭区间上最值问题的方法，是弄清对称轴与区间的相互位置、利用图象，结合单调性求解.课后研究：求下列函数的最值： （1）y =x 2－3x +1，x ∈［t ，t +1］，t ∈R ； （2）y =x 2－2ax +5，x ∈［－2，3］，a ∈R .【例2】 求函数y =12-x 在区间［2，6］上的最大值和最小值. 方法引导：由函数y =12-x （x ∈［2，6］）的图象可知，函数y =12-x 在区间［2，6］上递减.所以，函数y =12-x 在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1、x 2是区间［2，6］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=121-x －122-x =)1)(1()]1()1[(22112-----x x x x =)1)(1()(22112---x x x x . 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2－x 1＞0，（x 1－1）（x 2－1）＞0，f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）.所以，函数y =12-x 是区间［2，6］上的减函数. 因此，函数y =12-x 在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得最大值，最大值是2，在x =6时取得最小值，最小值是0.4.注：闭区间上的单调函数的最值在区间的端点处取得.2.北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月（按30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元.解：若设每天从报社买进x （250≤x ≤400，x ∈N ）份，则每月共可销售（20x +10×250）份，每份可获利润0.10元，退回报社10（x －250）份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f （x ），再求f （x ）的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得y =0.10（20x +10×250）－0.15×10（x －250）=0.5x +625，x ∈［250，400］. ∵函数y 在［250，400］上单调递增， ∴x =400时，y max =825（元），即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元. 四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容.（请一个思路清晰、善于表达的学生口述，教师可从中给予提示）生甲：这节课我们学习了函数最值的定义，定义中两点是缺一不可的.另外，若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个.有些函数不一定有最值，有最值的不一定同时有最大值最小值.生乙：今天学了两类函数的最值的求法；二次函数在闭区间上最值问题，关键是弄清对称轴与区间的相互位置；利用图象、结合单调性求解；单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的单调性，然后在区间的端点处取得.五、布置作业1.课本P 45习题1.3 A 组第6，7，8题，B 组第3题.2.（补充）某鱼塘目前鱼群总量为x 千克，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总量变为h 千克，反映x 与h 间的函数关系为h （x ）=rx （1－Nx ），其中常数r （r ＞1）是鱼群的增长系数，N （N ＞0）是该鱼塘环境所能负荷的最大鱼群重量（千克）.如果该鱼塘最多能负荷20万千克的鱼群，还知道有一年这鱼塘养了8万千克鱼群，第二年鱼塘鱼群总量达19.2万千克，为了保持每年鱼塘中鱼群量的稳定，捕鱼时必须适度捕捞.问这个鱼塘应保持鱼群量为多少时，才能从第二年起每年都有持续的最大捕鱼量?每年持续的最大捕鱼量是多少千克?板书设计1.3.1 单调性与最大（小）值（2）最大值： 最小值： 例1 例2 例3 例4。
高一数学解题技巧7：二次函数在闭区间上的最值或值域的求
解
二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来求解。
二次函数在闭区间的最值（值域）求解也是高考的重难点内容之一。
一、定轴定区间：此类问题结合相应的二次函数的图象即可求解
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二、定轴动区间：函数确定，但区间不确定，故需以对称轴与区间不同位置分类讨论
求最大值与求最小值分类讨论的情况一样吗？
三、动轴定区间：区间确定，而函数不确定。
故需以对称轴与区间不同位置分类讨论
无论哪种类型，同学们只需要紧紧抓住“区间与对称轴的相对位置”这一核心即可，要注意分类讨论与数形结合
新天鹅堡夏季，全景，alp湖，fuessenthannheimer山脉，allgaeubavaria。
（新）人教高中数学A版必修一第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修一的第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》。
第二章主要讲一元二次函数、方程和不等式。
相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系.我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题.在初中，我们已学过一次函数与方程、不等式，还学过二次函数与一元二次方程，知道方程(组)、不等式与函数之间具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一起来，这是数学知识的联系性与整体性的体现.本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认识不等关系和不等式的意义与价值;在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式——基本不等式;通过从实际情境中抽象一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式的概念，并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决元一次不等式的问题那样，利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法.本节主要讲二次函数与一元二次方程、不等式。
本节主要讲二次函数与一元二次方程、不等式的关系。
本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。
一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】４．从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式:用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。
本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。
通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。
内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。
二、教材分析。
